Vectores trigonométricos

Vectores

_{trigonometricos}

PO�

SALOM6N CHORNIK

_STEINGARD,

_ingeniero

civil

I.-DEFINICIONES DE LOS VECTORES sen v y cos v

Consideremos un sistema

_ortogonal

de eoordenadas

_X,

Y y los vectores unita­

rios h e _{i cuyas} direcciones coinciden con los

_ejes

X e Y

_{respectivamente (fig. I).}

En este sistemaun vector V

_cualquiera

_puede

_expresarse, siendo a _yfJdos va­

riables escalares por la forma

V = _IIh

-�i

Definimos los vectores

trigoaometrieos

sen v

(seno

del vector

_v)

_y cos v

(coseno

del vector

_v)

en relaci6n COil el sistema de

_ejes

_eoordenados

_X,

Y _por la�

expresiones

....

1)

2)

sen v =

cosaShfJ·

h +senaChtJ· i

....

cosV =

_('osaCh(J.

h₊

_senaShfJ·

_i .... ....

En el caso

_particular

_fJ = 0 _{0 sea} v =ah _se tiene

sen v = senai _{cos v} =_cose. h

y considerandolas

magnitudes

escalares de los vectores

1

sen

;

I

= _sena

I

_cos

;1

_=COsa.

Es decir los vectores sen v _y cos v en el easo _fJ = 0 coinciden _en direeci6n

con

los

_ejes

Y y X

,respectivamente

y sus

_magnitudes

esealares

_corresponden

a las

Observese laeorrespendeuciade lasexpresicnes1)y2)con eldesarroUo de loe_complejoe i.sen (11- i�) - _C08llS�+i._eenexCh�

cos _(ex

e� AN.4LES DE LA FACULTAD DE CIBNCIAS FISICAS Y ltIATEMATICAS

funcioneseirculares

trigonometrieas,

como resulta de las definiciones deestaa funcio­

nes en el circulo.

Enel caso

_particular

a =_{0 0 sea V} =

-(3. i se tiene

sen V = _Sh(3. h _{cos V} =

Ch(3.

h

y eonsiderandolas

magnitudes

escalares

I

cos

;

I

=

_Chp

Es decir los vectores sen v _y cos v en el caso a =0 tienen _sus direeeiones

coincidentes con el

_eje

X. Sus

_magnitudes

esealares

_corresponden

a las funciones

hiperb6licas

Sh/J

y

eh/J.

...

-2.-PnOPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS VfX:TORES sen V y cos V

...

A.-Propiedades

esealares de losvectoressen v _y cos v.

De aeuerdo conlas definieiones establecidas

I

sen

;

I

==

V

cos1a.

Sh2fJ

+

senza.

Ch2(3

I

de donde

_{reemplazando cos2a}

= _1-

sen2a

y

3)

o

3')

I

sen

;

I

=

V

�

Ch_2fJ

-cos2a

En

_igual

forma

de donde

4)

o

4')

Formando In surna _yrestade los cuadradosen

_3')

_y

4,)

5)

I

cos

;

12

+

I

sen

;

12

=:

DB L.-t UNIVBR81DAD DBCHILE 86

6)

y 108

productos algebraicos

en

₃₎

_y

₄₎

_Y

_3')

_y

_4')

7)

7')

y

En eI cuo

_particular

_fJ = _{0 las f6rmulas}5 y

_6,

_{7 Y 7' se convierten en} lasf6r­

mulas dela

trigonometrfa

rectilfnea

cosla

+

senla

- ₁

0082a_ sen2a

=_cos2a

sene • C08a =

i

_sen2a

En el caso

_particular

a = _{0 las mismas} f6rmulas _{se convierten en} las f6rmulas

de la

_{trigonometria}

_hiperb6lica

Ch1fJ

+

Sh2fJ

= Ch 28

Ch18

-Sh1fJ

= ₁

Sh(J

.

Ch8

=

!

Sh 28

68 ANALES DB LA FACULTA.D DB CIBNCIA8 P181CA8 Y MATBMATICA8

B.-Propiedades

vectoriales de los vectores sen v _{y cos} v .

• ....

-a) Argumentos

delosvectores sen v _y cos v .

Sean tp y 9los

angulos

queforman losveotores sen v_ycosv conel

eje

X

(fig

1).

De las definiciones fundamentales siendo

senaCbp

y

cosaCbp

las

componentes

del vector sen v tenemos

8)

tgtp so -tga

ThtJ

....

Siendo

cosaCb�

y

senaShtJ

las componentesdel vector cos v•

9)

tg9 = _tga.

ThtJ

De

₈₎

Y

9)

deducimos las funciones del

_Angulo",

-9

10)

sen2a

tg

(tp- 9)

=

Sh2�

11)

12)

b)

Producto escalar

_(cos

v. sen

v).

El

_producto

escalar

(cos

v, sen

v)

est.a definido

por

En virtud de

7')

y

12)

tenemos

13)

(cos;. sen;)

-

�Sh2�

esdeeir dicho

_producto

escalares

_{independiente}

de la variable a .

c)

Produ�to

vectorial

[co;

v,

se;

v]

El

_producto

vectorial

[C08

;.

sen

;]

siendo

j

unvector unitario normal al

_plano

...

. formado

por h e i esta de finido _por

[cos;. sen;]

=

DB LA UNIVERSIDAD DB CHlLB 67

y en virtud de

₇₎

_y

₁₁₎

14)

[

....

-]

-oosv, sen _v =

tsen2a.

j

10 eual

significa

que el

producto

vectorialindicado es

_{independiente}

deIa variable fJ.

3.-VECTORES cos V +sen v y cos v

-sen v

Reflriendonos a 10.

figura

2 tenemos

representados

en OA _y OB los vectores cos v _y sen v

_{respectivamente.}

De la

oomposici6n

de dichos vectores resulta

--...

--I I

/1

I I

-OC= OOB V+sen v

....

BA = cosv-sen v

Aplicando

el teorema de

Pitagoras

0.1

triangulo

OBC obtenemos

1

cos

;

+sen

;

I

:l

=

I

cos

;

l:l

+

I

sen

;

11

+

'21

cos

;

I

.

I

sen

;

I·

cos

(I{J

-9)

Y en virtud de 5) y 13)

I....

cos V +sen

....I:l

v =Ch2fJ +Sh2fJ

y teniendo

_preseate

que Ch2fJ+

Sh2fJ

=e213 setiene

68 ANAT.ES DB LA FACULTAD DE CTBNCIAS FISICAS Y MATBMATICA8

quesetraduce en la

_figura

en OC =

e�

.

En

_igual

forma de I

_triangulo

OBA dedueimos

1

--12

COS v-sen v =

Ch2fJ-

Sh2fJ

y teniendo

presente

que

Ch2fJ

-Sh2fJ =e-2� _se

tiene

16)

1

cos

;

-

sen;

I

= e-�

que se traduceen la

_figura

en BA =e-tl

Multiplicando

15)

y

16)

results.

17)

que setraduce en la

figura

en OC. BA = 1

- ...

y en

_palabras

el

_producto

de las

_magnitudes

esealares de losvectores cos v ₊sen v

y cos v-sen v eseonstante e

igual

a 180 unidad. Si _fJ = 0 _{se veri}fica siendo

0<': := BA = _{1 una.} identidad

(fig. 3).

Demostramos ademas la

_propiedad,

_que es evidente _{por definici6n} en el caso

- ...

delas funciones

circulares,

de que los vectoressen v ₊ cos v _y sen v...;..sen v for­ man con el

_eje

X el

_angulo

a _y

-a

_{respectivamente.}

En efecto

_proyectando

los vectores sen_v, cos v _y su resultante cos v+sen v

....

sabre el

_eje

X _y

_aceptando

_que el vector cosv +senv

_forma

el

angulo

a con el

_eje

X tcaemos la identidad

DB LA UNIVBRSIDAD DB CHILB 69

En

_igual

forma

_proyectando

los vectores cos _v,

-sen v _y su resultante cosv

-sen v sobre el

_eje

X _y

_aceptando

_que el vector cos v-sen v forma el

Angulo

-a con el

_eje

X tenemos la identidad

cosaCM

- cosaSM =

e41cosa

En adelante

_emplearemos

para estos vectores los sfmbolos

18)

19)

eW= _{cos v+sen v} ... ...

e-... _{cos v}

-sen v

definiendo w un vector de

_igual

magnitud

y normal avo sea

....

...

Considerando de acuerdo con

_las.

_propiedades

_{estudiadas que}108 vectores'e"" y

e-w tienen

respectivamente magnitudes e�

y e�

yestan

inclinados con

_respeeto

al

eje

X de

_ingulos

a_y

-a estos

pueden

_expresarse en la forma

20)

21)

....

eW = _e�_coee- h_+e�_sene. i

.... ....

e-w =

e�cosah-e�sena.

_i

...

-4.-DEFINICIONES DE LOS VECTORES sec v y cosec v

-Definimos elvector see v

_(secante

_{del vector}

_v)

como un vector de

_igual

di-...

reccion

que cos v _y

_{magnitud igual}

_{al valor}

_reclproco

de la

magnitud

del vector

....

cos v. En forma similar definimos elvector cosec v

(cosecante

del vector

_v)

como

...

un vector de

_igual

direcci6n _que sen v _y

_{magnitud igual}

_{al valor}

_reefproco

de la

magnitud

del vector sen v

_{(fig. 4).}

Por 10 tanto,las

_magnitudes

de estos vectores son

22)

1

-I

1 1

sec v =

I

-I

=

yi(Ch

2{j

+

COs2Ci)

cosv

....

cr 1«

Haciendo (!-O elvector eW sereduce ae I

vector queen

_la.

formae ea _{muy empleado}en

10 ANALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATBMATICAS

x

23)

I

cosec

�

1_

1

=

-:====l====-I

sen

-,.

v

n

(Ch2-eos2C1

De aeuerdo eon las definiciones estos vectores tienen por

expresion

24)

2

(

cosaChP·

h

+

sen4Shlt·

;)

see v =

Ch2tJ +cos2a

2

(

cosaShP·

�

+

senaChlt.

7)

25)

cosec v =

Ch21t- cos2a

5.-DEFINICIONESDE LOS VECTORES _tg V y _cotg v

Definimos el vector_tg v

_(tangente

del vector

v)

como un vector de

_magnitud

igual

al cuociente entre las

_magnitudes

de los vectores sen v _y cos v _{y de argu­}

mento

_igual

a Ia diferencia de los argumcntosde dichos vectores. Definimos el vec-tor _eotgv

_(cotangente

del vector

_v)

como un vector de

_{magnitud igual}

al valor

reelproco

de In

_magnitud

de _tgv _y de

_{argumento igual}

al

complcmento

del argu­ mentode

tg

v

_(fig.

_5).

Por 10 _{tanto, las}

_magnitudes

de estos

_vecto�es

son

27)

I

-I

'sen;1

Ch21t

- cos2a

tgv

=

1

-I

=

C08 v

Ch2P

+ cos2a

1

cotg

�I

==

1 Ch2tJ+cos2a

Itg�1

=-Ch2p-cos2a

26)

DB LA UNIVBR81DAD DB CHILE

x

tg

-;

==

\tg

�I

_cos

("

-e)

h

+

Itg

�I

sen

_("

-

9)1

teniendo

_{preeente 11)}

_y

12)

28)

tg

v ==

1

(Sh2�.

�

+

sen2a.;)

Ch2�

+ cos2a

29)

cotgv =

1

(sen2a.

�

+

Sb2�.

7)

Ch2�-cos2a

6.-VECTORE8 TRIOONOldTRIC08 INVERB08

A)

Vector

_Log

v.

Definimos el vector

_Log

v

_(logaritmo

del vector

_v)

como un vector _{tal que el}

vector

eLog

V

igual

avo sea

....

-v"

eLoav

-

-Si y, x son las _componentes del vector

_Log

v sobre las direcciones h e ires­

pectivamen

te tenemos

Logv

"yh+x

i

de donde

segnn

20)

7t ANALES DB LA FACULTAD DB C1BNCIAS FlSICAS Y MATBMATICAS

resulta a ==eYc08:1

(1=_. _eYsens

de donde

� x _--aretg­

«

y:=

i Log

(al

₊

(11)

luego

obtenemos la.

_expresi6n

de

_Log

v

30)

B)

Vector veet COl V

...

-Definimos el vectcos v como un vector tal _{que el vector} cos

_{(veeteos v)}

sea

igual

avo sea

V :=₀₀₈

_{(veeteos v)}

.. -

-Si x, y 80n las componentes del vector vectoos v sobre las direcciones h e i

respectivamente

tenemos

•

veet cos v = _x.

_h-yi

de don de

_segtin

₂₎

-, v

=_{cos v}

(vectcos

v)

=

_c08xCby.

_h+

eenx-Shy'

i

por 10 tanto siendo

_v-ah-(1i

a -

cosxChy

fJ =

-senxShy

De este sistema de eeuaclones se determina x e _y obteniendose

x=

iarccos�

y=

-iarCh�

siendo

por10 tanto

-

DB LA UNIVBR81DAD- DB CHILB

7.-RI:8UMIlN

Los vectores

_{trigonometrieos}

COS v _y senv

_constituyen

una

_{generalizaci6n}

de

las funciones

_{trigonometrlcas}

eirculares _que

_permit.e

abarcar tambien las funeiones

hiperbelieas.

Como vectores tienen

_propiedades

eseslares y veetoriales que hemos

desarrolladoen eJ

presente

estudio.

-En funci6n de los vectores fundamentales hemos defibido los vectores sec _v,

...

-cosec_v,

_tg

_{v, cotg_v y} los _{vectores inversos que} tambien

tienen

diversas

_propie­

clades escalares y vectoriales. Estas

propiedades,

comaasimismo las

_aplicaciones

de

los vectores

_{trigonometrieos}

en Geometrfa y' Resistencia de Materiales Jas hemos