Problemas propuestos Luis Zegarra Agramont
ALGEBRA LINEAL
Problemas propuestos.
1. En ‘8"sobre , dados los subespacios‘
[ œ \ − Î B + B œ ! B + B œ ! † † † † † † † † † † † B + B œ ! " 8" " 8" 8" 8 8" œ ‘ # [ œ# ˜\ −‘8" Î + B + B † † † + B B" # 8 8" œ !™
a) Determine la dimensión de ["exibiendo una base para ello e indicando el valor
del parámetro real +Þ
b) Determine + de modo que [" y [# estén en suma directa.
2. Sean W œ Ö? ß ? ß † † † ß ? ×" " # 8 y W œ Ö@ ß @ ß † † † ß @ ×# " # 8 bases de un espacio
vectorial Z sobre , tales que:‘
? œ @" "
? œ @ @# " #
? œ @ @ @$ " # $
† † † † † † † † † † † † † †
? œ @ @ † † † @8 " # 8
a) Determine U matriz de cambio de base de W Ä W Þ# "
b) Se dice que una base es ortonormal si
Ð@ à @ Ñ œ " =3 3 Á 4
! =3 3 œ 4
Muestre que si W"es ortonormal entonces W# tambien lo es.
3. Un sistema lineal de % ‚ &tiene la solución dada por
\ œ > > ! " ! "! # # ! ! " & $ " % # ! Ô × Ô × Ô × Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Õ Ø Õ Ø Õ Ø " #
a) Exprese esta solución en una matriz ampliada.
b) Determine la solución para \ œ ÖB ß B ß B ×F " # $
c) Estudie si existe \ œ Ö‡ß ‡ß ‡×F tal que la solución para estas variables básicas
sea imposible (justifique su respuesta).
4. Sea E8‚: y suponga E E> es no singular si E\ œ ] determine \ aprovechando
para ello la inversa de E EÞ>
Determine para y \ À E œ ] œ " " " " ! # " $ % " % ' Ô × Ô × Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Õ Ø Õ Ø 5. Sea E œ # % # % "! ' # ' & Ô × Õ Ø
a) Determine la descomposición de Cholesky.
b) Pruebe que E es positiva definida.
c) Si 0 ÐBß Cß DÑ œ \ E\ß con \ œ demuestre queÀ
B C D > Ô × Õ Ø 0 ÐBß Cß DÑ œ #ÐB #C DÑ #ÐC DÑ D# # # ocupe Ð Cholesky)
6. Analice los valores extremos (máx.o mín) o puntos silla de la función
0 ÐBß Cß DÑ œ B C D Ð( B C DÑß a Bß Cß D !# $
8. Se dice que dos matrices simétricas E y F son congruentes si son matrices
asociadas a una misma forma cuadrática, es decir, b T no singular, tal que
F œ T ET Þ>
Sea la forma cuadrática J Bß Cß D œ B #C #BC 'CDa b # # respecto de la base
canónica de ‘$.Calcule la expresión matricial y polinómica de Jrespecto de la
base de ‘$, {a"ß "ß " ß "ß "ß ! ß "ß !ß ! ×Þb a b a b Aproveche lo anterior para mostrar
dos matrices congruentes.
9. Identificar la cónica, en caso que sea real trazar su gráfico e indicar sus elementos principales en el sistema original.
$B #BC $C ## # È# B 'È# C # œ ! 10. Considere la matriz F œ * ' $ ' & " $ " ' Ô × Õ Ø a) Determine la descomposición F œ PY
b) Demuestre que F es positiva definida
c) Determine la descomposición de Cholesky y de aquí escriba la forma
cuadrática J \ œ \ F\a b > como suma de cuadrados.
11. En Q&‚"sobre dado el subespacio ‘ [ ßpor
[ œ Ö ] − Q&‚"Î ] œ E\ es compatible } en que E œ " # ! " " " " " # $ # & " " ! # # # % ' " $ " ! " Ô × Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Õ Ø
a) Determine los valores de y adecuados de modo que 5 : c" # ! 5 :d−
O/< E Þ>
b) Determine una base para M7 Eßnote que [ œ M7 EÞ
12. Sean E y F dos matrices de 8 ‚ 8 con elementos reales definidos por: + œ "ß33
a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 y +3"ß3 œ "ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 "Þ y el resto de los
+ œ !Þ34 Para la matriz Fß , œ 3ß a 3ß 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8Þ34
13. Sea Z un espacio vectorial con un producto interior Ð à Ñ! "
a) Para cada par de vectores , de ! " Z ß se define el producto ! "‰ por:
! "‰ œ # Ð à ÑÞ! " ¿Está bien definido este nuevo producto interior?
b) Sea un número real arbitrario, si se define el producto 5 ! "‡ por:
! "‡ œ # Ð à ÑÞ! " Determinar para qué valores de 5 esta definición determina
un producto interno.
14. Sea X À" ‘$ Ä‘$ß una T.L. definida por la matriz
E œ " ! " " " ! ! " # Ô × Õ Ø con respecto a: W œ" {a"ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×b a b a b
Determine la matriz de X À# ‘$ Ä‘%ßtambién una T.L. con respecto a:
canónicas de tal que
W œ Ö "ß "ß " ß "ß "ß ! ß "ß !ß ! × Ä W œ Ö# a b a b a b $ ‘%×à
ÐX ‰ X Ñ Bß Cß D œ #Bß B Cß B C Dß !# " a b a b
15. En el espacio vectorial euclídeo ‘&ß se considera el subespacio [ que forman los
ÐB ß B ß B ß B ß B Ñ" # $ % & que verifican a:
B B B B œ ! B B B %B B œ ! #B $B B #B œ ' " # $ & " # $ % & " # $ %
Determine una base ortonormal para [ y otra para [ Þ¼ Hallar también los
vectores en [ y en [¼más cercanos al vector Ð"ß !ß !ß !ß !ÑÞ
16. Sea E una matriz de tamaño 8 ‚ 8à sean B ß B ß Þ Þ Þ ß B" # : vectores columna de
8 ‚ "Þ
a) Demuestre que si los vectores EB ß EB ß Þ Þ Þ ß EB" # : son linealmente
independientes, entonces también lo son los B ß B ß Þ Þ Þ ß B" # :.
b) Se puede afirmar que si los B ß B ß Þ Þ Þ ß B" # : son PÞMÞtambién lo son
EB ß EB ß Þ Þ Þ ß EB" # :, en caso que su respuesta sea negativa que se necesita
para que así lo sean. 17. Sean
E œ , [ œ ß ß # " " ! " # " ! " $ ! " " " " # ! 5 ! " " " ! " Ô × Õ Ø ¢š ›£ Ô × Ô × Ô × Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Õ Ø Õ Ø Õ Ø
Determine de modo que 5 O/< E Š [ Þ
18. Sea W œ Ö! !"ß #ß Þ Þ Þ ß !8× un conjunto ortonormal de vectores en un espacio
vectorial Z sobre un cuerpo Oß con .37 Z œ 8
a) Demuestre que W es una base para y que para todo vector Z ! − Z ßse tiene
! œ!Ð à! ! !Ñ
3œ" 8
3 3
b) Demuestre que || !3 !4ll œÈ#ß a 3 Á 4à 3ß 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
19. a) Encuentre tres vectores ortonormales " ""ß # y "$tal que " ""ß #sea una base
del espacio columna de
E œ " # ! " # " Ô × Õ Ø
b) ¿Cuál de los 4 subespacios asociados a Eß contiene a "$?
20. Sea y vectores linealmente independientes en 8.t /t ‘3 y sea T el plano a través de
. /t tß y . La ecuación paramétrica del plano es !t t< œ 5.t > ß 5ß > −/t ‘Þ Demuestre
que una transformación lineal X À‘$ Ä‘$ transforma T sobre un plano que
pasa por o sobre una recta que pasa por 0 o sólo sobre el origen en !t t ‘$.¿Que se
les tiene que pedir a Xa b.t y Xa b/t para que la imagen del plano T sea un plano?.
21. Sea E − Q8‚8una matriz ortogonal y sea {! !"ß #ß Þ Þ Þ Þ ß!8× una base ortonormal
para ‘8 Probar que { ! ! ! es también una base ortonormal de
" # 8
Þ E ß E ß Þ Þ Þ Þ ß E ×
‘8Þ
22. Dados dos vectores fijos, no nulos ß ! "ß pertenecientes a ‘$, se define el operador
a! "à b por:
a! " #à b œ! " #a à bß # −‘$
a) Demuestre que a! "à b es lineal.
b) Determine el nucleo.
c) Encuentre la matriz de a! "à b relativa a las bases canónicas de ‘$.
23. 1. La matriz asociada a una T.L. X À‘$ Ä‘# con respecto a las bases
Ö! ! !"ß #ß $× y Ö ß" "" #×es
E œ # " "
$ # $
” •
Encuentre la matriz de X con respecto a las bases: Ö! ! !wß wß w× Ä Ö ß " "w w×
" # $ " #
donde !"w œ!"!#à !#w œ!"!$à !$w œ!$!#
#""w œ"""#à #"#w œ"""#
24. Sea X À T Ä T# # una T.L. definida por
X " > >a #bœ # > #>#
X # > >a #bœ !
X > #>a #bœ " #>#
a) Justificando indique si X es invertible
b) Determinar la matriz representativa de X con respecto a la base
W œ Ö" > > ß # > > ß > #> ×# # #
y calcule la imagen por , del vector X $ "!> #!># ocupando esta matriz.
25. Encuentre los valores y vectores propios de X%ß si X À Q Ä Q es una T.L.
## ##
definida por
X + , œ #- +
-- . , #- .
Š” •‹ ” •
26 a) Sea Þ E una matriz de 8 ‚ 8 y sea F œ T"ET Þ Demuestre que si es un!
vector propio de E asociado con el valor propio de 5 Eß entonces T"! es un
vector propio de F asociado con el valor propio de 5 EÞ
b) Sea E una matriz de 8 ‚ 8 idempotente, entonces la matriz solo admite como
valores propios a: 1 y 0.
27. En un espacio vectorial cualquiera se da una base Wß mediante
W œ Ö? ß ? ß ? ß ? ß ? ×" # $ % &
averiguar si también es una base para el espacio, cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
W œ Ö? ? ß ? ? ß ? ? ß ? ? ß ? ? ×" " # # $ $ % % & & '
W œ Ö? ß ? ? ß ? ? ? ß ? ? ? ? ? ×# " " # " # $ " # $ % &
28. Encuentre una base para el subespacio [ de ‘%, dado por
donde: E œ ß \ œ ß ] œ " # $ % B B " $ % & B C # & ( * B D % "! "% ") B > Ô × Ô × Ô × Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Õ Ø Õ Ø Õ Ø " # $ % 29. Dado el sistema +B +B +B " # $ +B œ +% # B B " # B $ ,B œ $,% #B B #B Ð$+ #,ÑB œ !" # $ %
a) Mediante el rango justificar los distintos casos de solución del sistema, según
sean los valores de las constantes y + ,Þ
b) Resolver matricialmente no por ampliada indicando los valores de y Ð Ñ + ,
adecuados tal que \ œ ÖB ß B ×F # %
c) ¿Es posible resolverlo en el caso que \ œ ÖB ß B ×F " $ ? (justifique)
30. Sea E œ ß con + Á !ß , Á ! y - Á ! ! + ! , ! -, ! ! Ô × Õ Ø
a) Probar que es E es invertible.
b) Exprese E como un producto de matrices elementales.
31. Sea E œ " # " % ) 5 &5 # $ 5 $ 5 # Ô × Õ Ø
a) Para que valores de el rango de 5 E5es: "ß # o $Þ
b) Apoyándose en a) resuelva cuando sea posible el sistema
B #B" # B œ "$
%B )B 5 &5 # B œ 5 #" # a # b $
$B 5B" # $B œ$ "#5
c) Para que valor de 5ß el sistema dado en b) no tiene solución.
32. Si !"# œ !demuestre que â â â â â â â â â â â â " -9= -9= -9= " -9= -9= -9= " œ ! ! " ! # " #
33. Sea de tal que si demuestre que si E œ + 8 ‚ 8 + œ " 3 Á 4 " + 3 œ 4 c d34 34 œ 3 k kE œ + † + † † † + †" # 8 ! 4œ! 8 " +4 ß donde + œ "!
34. Determine los valores de y de modo que el sistema+ ,
B B #B ,B œ !" # $ %
#B $B B $,B œ !" # $ %
$B #B +B #,B œ !" # $ %
$B #+B $B" # $ œ !
tenga infinitas soluciones, indicando en cada caso de solución el número de parámetros.
35. Ocupando la inversa de una matriz cuadrada, resuelva el sistema dado.(Como
sugerencia considere B$y B&como parámetros)
# B B "! B" # $ #! B œ "!&
% B B #! B B "! B œ #!" # $ % &
#B & B B #! B œ $!# $ % &
36. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso afirmativo demuestre y en caso contrario dé un contra ejemplo.
a) El conjunto de las matrices singulares es un subespacio del espacio vectorial de las matrices de 8 ‚ 8Þ
b) Si ? es C L. de los vectores ? ß3 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þß 8 y cada ?3es C L. de los vectores
@ ß4 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þß 7, entonces es C L. de los ? @4Þ
c) El conjunto formado por la intersección de un plano y una recta cualquiera en ‘$ß es un subespacio de ‘$.
37. En Q#‚#sobre , dado el conjunto‘
W œ " " ß # " ß " !
5 " $ " # #
š” • ” • ” •›
a) ¿Para que valor de 5ß Wes linealmente independiente?
b) Muestre que el vector ”! "• siempre és combinación lineal de los vectores
" $
de WÞ
c) ¿Es cierto que el sistema: # B C D œ !
# C D > œ !
38. Sea X À" ‘$ Ä‘$ß una T.L. definida por la matriz E œ " ! " " " ! ! " # Ô × Õ Ø con respecto a: W œ" {a"ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×b a b a b
Determine la matriz de X À# ‘$ Ä‘%ßtambién una T.L. con respecto a:
canónicas de tal que
W œ Ö "ß "ß " ß "ß "ß ! ß "ß !ß ! × Ä W œ Ö# a b a b a b $ ‘%×à ÐX ‰ X Ñ Bß Cß D œ #Bß B Cß B C Dß !# " a b a b 39. Sea E œ " " # % # " $ " & % * "$ Ô × Õ Ø
a) Determine la dimensión de: M7 E y de O/< E>
b) Encuentre una base ortogonal para O/< E
40. Sea X À T Ä T$ # una función por
X Ð:ÐBÑÑ œ : ÐBÑß a :ÐBÑ − Tw
$
a) Demuestre que X es una X ÞPÞ
b) Determine la matriz representativa de X ß con respecto a las bases:
W œ Ö " B B B ß " B B ß " Bß " ×" # $ # de T$ y
W œ Ö "ß " #Bß " #B $B ×# # de T# respectívamente.
c) Ocupando matrices representativas, hallar : ÐBÑ si : ÐBÑ œ ' #B Bw #
41. Sea X À" ‘$ Ä‘$ß una T.L. definida por la matriz
E œ " ! " " " ! ! " # Ô × Õ Ø con respecto a: W œ" {a"ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×b a b a b
Determine la matriz de X À# ‘$ Ä‘%ßtambién una T.L. con respecto a: W Ä W# $
donde: W œ Ö "ß "ß " ß "ß "ß ! ß "ß !ß ! ×# a b a b a b y W œ Ö$ Canónicas de ‘%× y tal que:
42. Dada E œ " $ ! $ " , + ! # Ô × Õ Ø
a) Determine los valores de y de modo que el vector + , a"ß "ß "b sea un vector
propio de E y luego encuentre los otros valores y vectores propios
b) Para los valores de y + , encontrados en a) diga si E es diagonalizable,
fundamente su respuesta.
43. Sea X À T Ä T# # una T.L. definida por
X " > >a #bœ # > #>#
X # > >a #bœ !
X > #>a #bœ " #>#
a) Justificando indique si X es invertible
b) Determinar la matriz representativa de X con respecto a la base
W œ Ö" > > ß # > > ß > #> ×# # #
y calcule la imagen por , del vector X $ "!> #!># ocupando esta matriz.
44. Sea X À Q##Ä Q## una T.L. definida por
X + , œ #- +
-- . , #- .
Š” •‹ ” •
Encuentre los valores y vectores propios de X%
% Þ5 a) Sea E una matriz de 8 ‚ 8 y sea F œ T"ET Þ Demuestre que si es un!
vector propio de E asociado con el valor propio de 5 Eß entonces T"! es un
vector propio de F asociado con el valor propio de 5 EÞ
b) Sea E una matriz de 8 ‚ 8 idempotente, entonces la matriz solo admite como
