SISTEMAS_CON_PARÁMETROS_ALGUNAS_SOLUCIONES

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(1)SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. 4 x + 2 y = a  1.  x + y − z = 2 ax + y + z = 1  z x y 0 4 2  1 1 −1   a 1 1   z  −1  → 0  1 .  Intercambiamos las ecuaciones  x y z  Intercambiamos las columnas a  1 1 −1 2 C1 y C3 E yE 2      1 2   → 4 2 0 a        →  a 1 1 1 1    y x x x   z y   z y  1 1 2 1 2 1 2  −1 1  −1 1 E + E1  E − E2  2 4 a  3 → 0 2 4 a  3 → 0 2 4 a   0 2 a + 1 3   0 0 a − 3 3 − a  1 a 1     . DISCUSIÓN •. Si a ≠ 3 ⇒ (a − 3) ≠ 0 ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ S .C.D. (es decir, solución única). •.  z y x   −1 1 1 2 Si a = 3 ⇒  0 2 4 3  ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 2 < nº de incógnitas ⇒  0 0 0 0    ⇒ S .C.I . (es decir, infinitas soluciones). RESOLUCIÓN a) Para a ≠ 3 x  z y  1 2  −1 1 Acabamos de ver en el apartado anterior que si a ≠ 3 ⇒  0 2 4 a  ⇒ S .C.D.  0 0 a − 3 3 − a   . −z+ y+x =2.   2 y + 4x = a  (a − 3) x = 3 − a . Tenemos que resolver el sistema. De la 3ª ecuación tenemos: x =. 3 − a − (a − 3) = = −1 ⇒ x = −1 a −3 a −3. Sustituyendo x = −1 en la 2ª ecuación: 2 y − 4 = a ⇒ 2 y = a + 4 ⇒ y = Sustituyendo x = −1 e y =. a+4 2. a+4 en la 1ª ecuación: 2 1.

(2) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. −z+. a+4 a+4 a+4−2−4 a−2 −1 = 2 ⇒ z = −1 − 2 ⇒ z = ⇒z= 2 2 2 2. a+4 a−2  Para cada a ∈ ℜ − {3} tenemos un S.C.D. con solución  − 1, ,  2 2  . b) Para a = 3  z y x   −1 1 1 2 Acabamos de ver en el apartado anterior que si a = 3 ⇒  0 2 4 3  ⇒ S .C.I .  0 0 0 0    Tenemos que resolver el sistema. − z + y + x = 2  2 y + 4x = 3 . − z + y + x = 2  Pasamos " x" con los términos independientes y la denominamos x = λ ⇒ 2 y + 4x = 3  ⇒. − z + y = 2 − λ 3 − 4λ  De la 2ª ecuación tenemos y = 2 y = 3 − 4λ  2. Sustituyendo “ y =. −z+. 3 − 4λ ” en la 1ª ecuación, tenemos que: 2 3 − 4λ 3 − 4λ 3 − 4λ − 4 + 2λ − 2λ − 1 = 2−λ ⇒ z = −2+λ ⇒ z = ⇒z= 2 2 2 2.  3 − 4λ − 2λ − 1  Para a = 3 tenemos un S.C.I. con solución  λ , ,  con λ ∈ ℜ 2 2  . 2.

(3) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. 2 x − y + 3 z = 2  2. 5 x − y + az = 6 x + y + 2z = 2  Ordenamos las ecuaciones del sistema y z z x y  x  E 2 + (−2) E1 1 1 2 2  2 − 1 3 2  ∗ ∗ ∗ E1 = E3 E = E1 E3 = E2  E + (−5) E1  5 − 1 a 6         2   → 2 − 1 3 2  3   →    1  5 − 1 a 6  1 2 2      y y z z x  x  1 2 2 1 2 2 1 1 E + (−2) E2   → 0 − 3 − 1 − 2  3   → 0 − 3 − 1 − 2   0 − 6 a − 10 − 4   0 0 a −8 0     . DISCUSIÓN •. Si a ≠ 8 ⇒ (a − 8) ≠ 0 ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ S .C.D. (es decir, solución única). •. y z x  1 2 2 1 Si a = 8 ⇒  0 − 3 − 1 − 2  ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 2 < nº de incógnitas ⇒  0 0 0 0   . ⇒ S .C.I . (es decir, infinitas soluciones). RESOLUCIÓN a) Para a ≠ 8 y z x  1 2 2 1 Acabamos de ver en el apartado anterior que si a ≠ 8 ⇒  0 − 3 − 1 − 2  ⇒ S .C.D.  0 0 a −8 0   . Tenemos que resolver el sistema. x + y + 2z = 2   − 3 y − z = −2  (a − 8) z = 0. De la 3ª ecuación tenemos: z =. 0 =0⇒ z =0 a −8. Sustituyendo z = 0 en la 2ª ecuación: − 3 y − 0 = −2 ⇒ y =. −2 2 ⇒y= 3 −3. 3.

(4) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS Sustituyendo z = 0 e y =. 2 en la 1ª ecuación: 3 x+. 2 2 6−2 4 +0 = 2 ⇒ x = 2− ⇒ x = ⇒x= 3 3 3 3. 4 2  Para cada a ∈ ℜ − {8} tenemos un S.C.D. con solución  , ,0  3 3 . b) Para a = 8 y z x  1 2 2 1 Acabamos de ver en el apartado anterior que si a = 8 ⇒  0 − 3 − 1 − 2  ⇒ S .C.I .  0 0 0 0   . Tenemos que resolver el sistema. x + y + 2 z = 2  − 3 y − z = −2 . x + y + 2z = 2  Pasamos " z" con los términos independientes y la denominamos z = λ ⇒ − 3 y − z = −2  ⇒. x + y = 2 − 2λ  2−λ −2+λ ⇒y=  De la 2ª ecuación tenemos y = − 3 y = −2 + λ  3 −3. Sustituyendo “ y =. x+. 2−λ ” en la 1ª ecuación, tenemos que: 3. 2−λ 2−λ 6 − 6λ − 2 + λ 4 − 5λ = 2 − 2λ ⇒ x = 2 − 2λ − ⇒x= ⇒x= 3 3 3 3.  4 − 5λ 2 − λ  Para a = 8 tenemos un S.C.I. con solución  , , λ  con λ ∈ ℜ 3  3 . 4.

(5) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. mx + 2 z = 6  6. 3x + y = 0 2 x + mz = 6  x y z  y z x   m 0 2 6 0 2 m 6 Intercambiamos las ecuaciones E1 y E 2  3 1 0 0  Ordenamos las columnas → 1 0 3 0               →     2 0 m 6   0 m 2 6      x y z x  y z  3 0  1 0 3 0 1 0 − 2 E + mE2   → 0 2 m 6   3  → 0 2 m 6   0 m 2 6   0 0 m 2 − 4 6m − 12     . Entonces, m2 − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2 y. m≠2. DISCUSIÓN •. Si m ≠ −2 y m ≠ 2 ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ S .C.D. , es decir, solución única. •. y z x   1 0 3 0 Si m = 2 ⇒  0 2 2 6  ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 2 < nº de incógnitas ⇒  0 0 0 0    ⇒ S .C.I . , es decir, infinitas soluciones. •. x y z  3 0 1 0 Si m = −2 ⇒  0 2 − 2 6  ⇒ Rango( A) ≠ Rango( A* ) ⇒ S .I . , es decir, no tiene solución .  0 0 0 − 24   . RESOLUCIÓN a) Para m ≠ −2 y m ≠ 2 x y z  3 0 1 0 Acabamos de ver en el apartado anterior que si m ≠ −2 y m ≠ 2 ⇒  0 2 m 6  ⇒ S .C.D.  0 0 m2 − 4 6m − 12   . y + 3x = 0. Tenemos que resolver el sistema.   2 z + mx = 6   2 (m − 4) x = 6m − 12. 5.

(6) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS De la 3ª ecuación tenemos: x =. Sustituyendo x =. 6m − 12 6( m − 2) 6 ⇒x= ⇒x= 2 (m − 2)(m + 2) m −4 m+2. 6 en la 2ª ecuación: m+2. 6m 6m 6m + 12 − 6m 12 12 = 6 ⇒ 2z = 6 − ⇒ 2z = ⇒ 2z = ⇒z= :2⇒ m+2 m+2 m+2 m+2 m+2 12 6 ⇒z= ⇒z= 2( m + 2) m+2 2z +. Sustituyendo x =. 6 en la 1ª ecuación: m+2. 18 18  6  y + 3⋅ =0⇒ y =− =0⇒ y+ m+2 m+2 m+ 2. 18 6   6 Para cada m ∈ ℜ − {− 2,2} tenemos un S.C.D. con solución  ,− ,  m+2 m+2 m+2. b) Para m = 2 y z x  1 0 3 0 Acabamos de ver en el apartado anterior que si m = 2 ⇒  0 2 2 6  ⇒ S .C.I . .  0 0 0 0    Tenemos que resolver el sistema. y + 3 x = 0  E 2 : ( 2) y + 3 x = 0  →  2 z + 2 x = 6 z+x =3 . y + 3 x = 0  Pasamos " z" con los términos independientes y la denominamos z = λ ⇒ z+x =3  ⇒. y + 3 x = 0  ⇒ x = 3−λ x = 3−λ . Sustituyendo “ x = 3 − λ ” en la 1ª ecuación, tenemos que:. y + 3(3 − λ ) = 0 ⇒ y + 9 − 3λ = 0 ⇒ y = 3λ − 9 Para m = 2 tenemos un S.C.I. con solución (3 − λ ,3λ − 9, λ ) con λ ∈ ℜ. 6.

(7) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS.  x + y + mz = m  8. mx + my + z = 1  x + my + z = m   x y  1 1 m m   1 m  x 1 → 0  0 . z  Intercambiamos las ecuaciones  x y z  E 2− E1 m m  1 1 m m E 2 y E3 E + (− m)⋅E1 1 1       → 1 m 1 m  3   →  m m 1 1 1 m     y z  1 m m m −1 1− m 0  0 1 − m 2 1 − m 2  . m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 Entonces  2 1 − m ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1 DISCUSIÓN •. Si m ≠ −1 y m ≠ 1 ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ S .C.D. , es decir, solución única. •. x y z   1 1 1 1 Si m = 1 ⇒  0 0 0 0  ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 1 < nº de incógnitas ⇒  0 0 0 0    ⇒ S .C.I , es decir, infinitas soluciones. •. y z x  1 − 1 − 1 1 Si m = −1 ⇒  0 − 2 2 0  ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 2 < nº de incógnitas ⇒  0 0 0 0   . ⇒ S .C.I , es decir, infinitas soluciones. RESOLUCIÓN a) Para m ≠ −1 y m ≠ 1 y z x  1 1 m m  Acabamos de ver en el apartado anterior que si m ≠ −1 y m ≠ 1 ⇒  0 m − 1 1 − m 0  ⇒ S .C.D.  0 0 1 − m 2 1 − m 2   . 7.

(8) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS x+. + mz = m. Tenemos que resolver el sistema.   (m − 1) y + (1 − m) z = 0  2 2 (1 − m ) z = 1 − m . De la 3ª ecuación tenemos: z =. 1 − m2 ⇒ z =1 1 − m2. y. Sustituyendo z = 1 en la 2ª ecuación: (m − 1) y + (1 − m) ⋅1 = 0 ⇒ (m − 1) y + 1 − m = 0 ⇒ (m − 1) y = m − 1 ⇒ y =. m −1 ⇒ y =1 m −1. Sustituyendo z = 1 e y = 1 en la 1ª ecuación: x + 1 + m = m ⇒ x = −1 Para cada m ∈ ℜ − {− 1,1} tenemos un S.C.D. con solución (−1,1,1). b) Para m = 1 x y z   1 1 1 1 Acabamos de ver en el apartado anterior que si m = 1 ⇒  0 0 0 0  ⇒ S .C.I .  0 0 0 0    Tenemos que resolver el sistema x + y + z = 1} x + y + z = 1} Pasamos " z" e " y" con los términos independientes y las denominamos y = λ , z = α ⇒. ⇒ x =1− λ −α Para m = 1 tenemos un S.C.I. con solución (1 − λ − α , λ , α ) con α , λ ∈ ℜ. c) Para m = −1 y z x  1 − 1 − 1 1 Acabamos de ver en el apartado anterior que si m = −1 ⇒  0 − 2 2 0  ⇒ S .C.I .  0 0 0 0   . Tenemos que resolver el sistema. x + y − z = −1  − 2 y + 2z = 0 . x + y − z = −1  Pasamos " z" con los términos independientes y la denominamos z = λ ⇒ − 2 y + 2z = 0 . 8.

(9) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS ⇒. x + y = −1 + λ   De la 2ª ecuación tenemos y = λ − 2 y = −2λ . Sustituyendo “ y = λ ” en la 1ª ecuación, tenemos que x + λ = −1 + λ ⇒ x = −1 Para m = −1 tenemos un S.C.I. con solución (−1, λ , λ ) con λ ∈ ℜ. 9.

(10) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. x + y + z = 1  17. (a + 1) x + y + z = a  x + (a + 1) y + z = 1  y y y x z z z   E 2− (a +1) E1  x  x  1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 E + E2  E − E1 a +1 1 1 a  3   → 0 − a − a − 1 3 → 0 − a − a − 1   1 a + 1 1 1  0  0 a 0 0  0 − a − 1      . DISCUSIÓN •. Si a ≠ 0 ⇒ Rango( A) = Rango( A* ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ S .C.D. , es decir, solución única. •. x y z   1 1 1 1 Si a = 0 ⇒  0 0 0 − 1 ⇒ Rango( A) ≠ Rango( A* ) ⇒ S .I ., es decir, no tiene solución única  0 0 0 − 1  . RESOLUCIÓN a) Para a ≠ 0 y z x  1 1 1 1  Acabamos de ver en el apartado anterior que si a ≠ 0 ⇒  0 − a − a − 1 ⇒ S .C.D.  0 0 − a − 1  . Tenemos que resolver el sistema. De la 3ª ecuación tenemos: z =. x + y + z = 1  − ay − az = −1 − az = −1 . −1 1 ⇒z= −a a. Sustituyendo z =. 1 1 en la 2ª ecuación: − ay − a ⋅ = −1 ⇒ −ay − 1 = −1 ⇒ −ay = 0 ⇒ y = 0 a a. Sustituyendo z =. 1 a. e y = 0 en la 1ª ecuación: x + 0 +. 1 1 a −1 =1⇒ x = 1− ⇒ x = a a a.  a −1 1  Para cada a ∈ ℜ − {0} tenemos un S.C.D. con solución  ,0,  a  a. 10.

(11) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS. x + y + z = 5  18.  x − y + az = 3 3x + y + (a + 2) z = 9  y y y z z z x  E 2→ E 2− E1 x  x  1 5 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 → E 3+ (−3) E1  → E3 − E2  2  1 −1  E  E 3 a 3       → 0 − 2 a − 1 − 2    → 0 − 2 a − 1 − 2       3  0 − 2 a − 1 − 6   0 1 a + 2 9  0 0 − 4       . DISCUSIÓN Rango( A) = 2 ∀a. Rango( A* ) = 3 ∀a ⇒ Rango( A) ≠ Rango( A* ) ∀a ⇒ S .I . ∀a. 11.

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