La controversia de la doble columna,
un homenaje a Enzo Levi
ÁIvaro A. Aldama
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua
Se presenta la discusión sobre el llamado enigma de la doble columna que surgió en cuan- do Newton en sus celebérrimos Principia, propuso, sin demostración, que la fuerza que produce el movimiento de un líquido saliendo por un orificio practicado en un tanque, es igual a dos veces el peso de la columna de líquido sobre el orificio. Esto provocó una gran polémica, ya que cuan- do el líquido está en reposo, la fuerza sobre el orificio es solamente una vez el peso de la colum- na líquida sobre él. Daniel Bernoulli concluyó con la disputa años después. En forma por de- más interesante, recientemente se produjo un debate similar, relacionado con el mismo tema, en el contexto de la traducción al inglés de la monumental obra El agua según la ciencia, publicada por el eminente investigador Enzo Levi en En este artículo se presenta, como un homenaje a Levi en el tercer aniversario de su fallecimiento, la solución a la controversia que reapareció a últimas fechas.
Palabras clave: El agua según la ciencia, Segunda Ley de Newton, Teorema de Bernoulli, Prin-
cipio de Torricelli, flujo de agua, doble columna, principio de conservación de energía.
Introducción
En Enzo Levi publicó una obra singular: El agua según la ciencia (Levi, en la que se presentan los desarrollos históricos de la ciencia y de la tecnolo- gía del agua, a través de las contribuciones de gigan- tes como Arquímides, Galileo, Lagrange, Newton, Prandtl, von Kármán y otros.
El estilo del libro es maravilloso. No sólo describe con detalle los experimentos y reproduce los esque- mas y desarrollos que dieron lugar a descubrimientos notables, sino que además envuelve al lector, en forma por demás amena y hasta apasionante, en una narra- ción de los sucesos que formaron el contexto de esos descubrimientos, vistos a través de los ojos de sus principales actores. Es así como el libro describe anécdotas, aventuras, controversias y hasta apasiona- das rivalidades entre científicos célebres.
Una de las polémicas descritas en el libro es la que surgió como resultado de la publicación de los Princi- pia de Newton, en los que el autor incluyó, a manera de conjetura, un corolario relacionado con el problema
del flujo de agua saliendo por un orificio practicado en un tanque. Esto dio lugar a una discusión que terminó anos después, con una publicación de Daniel Ber- noulli.
Una disputa similar a la anterior y relacionada con el mismo tema, surgió alrededor de la traducción al in- glés de El agua según la ciencia. Este artículo presen- ta la solución a la controversia, como un homenaje a Enzo Levi en el tercer aniversario de su muerte.
El enigma aparece
En el capítulo II de El agua según la ciencia, intitulado
p la densidad de líquido y V la velocidad con la que sale del tubo. Por tanto, despreciando la fricción en el tubo corto, la segunda ley de Newton se puede escri- bir como:
Pero, en concordancia con el enfoque lagrangiano, V=dL/dt, por
lo
que puede expresarse como:Suponiendo que el tanque mantiene una carga constante sobre el orificio, h (ilustración y aplicado el principio de conservación de energía al elemento diferencial mostrado en la ilustración en línea dis- continua, se tiene que el trabajo realizado por las fuer- zas de presión es igual al cambio de energía cinética, esto es
ficio y como altura dos veces la altura del agua en el tanque (ilustración Esto provocó un gran revuelo en la comunidad científica de esos tiempos, ya que, como se muestra en la ilustración es claro que cuando el orificio está obturado y el agua esta en reposo, la fuer- za sobre el orificio es igual a una vez el peso de la co- lumna de agua sobre el mismo.
Por la razón anterior, quienes leían el citado corola- rio de Newton se preguntaban perplejos ¿Cómo es po- sible que la fuerza que produce el movimiento del Iíqui- do a través del orificio sea el doble del peso de la co- lumna de agua sobre él mismo? y ¿De dónde puede provenir esa fuerza? Este enigma se aclaró hasta que Daniel Bernoulli publicó su tratado de hidrodinámica en según se detalla en la siguiente sección.
La solución de Bernoulli
Levi presenta una reconstrucción de la solución de Bernoulli al enigma de la doble columna, en el capítu- lo I I de El agua según la ciencia. De hecho, Bernoulli analizó un problema hidrodinámicamente equivalente al planteado con anterioridad. Se trata del caso de un tanque provisto de un tubo de descarga corto de lon- gitud L (ilustración 3).
En términos contemporáneos, la estrategia de Ber- noulli para atacar el problema en cuestión se clasifica- ría como un enfoque lagrangiano (Panton, 1984). La fuerza actuante sobre el fluido contenido en el tubo puede expresarse como una presión p multiplicada por el área de la sección transversal del tubo, A. Sean
formarse en la suma de lo que suele llamarse energía de presión y energía cinética, por Io que podría pen- sarse que en la ecuación (5) los términos p/p y V 2 / 2
están transpuestos.
Medina propuso entonces modificar el desarrollo en la versión inglesa de El agua según la ciencia de modo que dicha ecuación apareciera como: gh = p/p
+
V 2 / 2Esta propuesta la comentó con Liggett, quien supervi- saba la traducción del libro y estuvo de acuerdo, pero solicitó a Medina que pidiera la opinión del autor de este artículo.
La solución de la controversia recurrente
Después de analizar el problema con detenimiento, el que escribe hizo llegar a Medina y a Liggett el análisis que se presenta a continuación. El origen de la confu- sión y, a la postre, del resurgimiento de la controversia, parece ser el haber expresado la fuerza que actúa sobre el orificio como la multiplicación de una presión
por el área del mismo. En realidad, de lo que se trata, de acuerdo con el antes citado corolario newtoniano, es encontrar una expresión para la fuerza que produ- ce el movimiento del chorro que sale del orificio.
Con el objeto de simplificar el análisis del problema es conveniente emplear un enfoque euleriano, ya que de ese modo el fenómeno en cuestión se torna perma- nente. Para tal efecto, considérese el esquema mostra- do en la ilustración de un chorro de líquido saliendo por un orificio practicado en la pared de un tanque.
Supóngase que el flujo es permanente y que los efectos viscosos son despreciables. Utilícese el volu- men de control mostrado en la ilustración con línea r
La interpretación del resultado anterior ofrecida en
El agua según la ciencia es la siguiente: la energía específica asociada con la presión que actúa sobre el orificio, p/p, está dada por la suma de la energía po- tencial por unidad de masa, gh, y de la energía cinéti- ca por unidad de masa, V 2 / 2 . Esta última puede con- vertirse en una energía potencial equivalente gh, con
Io cual se tiene la columna de agua adicional para ex- plicar el enigma de la doble columna.
La
controversia resurgeDurante James Liggett, connotado profesor de la Escuela de Ingeniería Civil y Ambiental de la Univer- sidad de Cornell de los Estados Unidos de América, EUA, y editor en jefe de la Revista de Ingeniería Hi- dráulica publicada por la Sociedad Americana de In- genieros Civiles (ASCE por sus siglas en inglés), pro- puso a Levi que la ASCE publicara una versión en inglés de El agua según la ciencia. Levi accedió y la ASCE autorizó que la traducción del libro se iniciara el mismo año. El trabajo de traducción fue encargado a Daniel Medina, entonces profesor del Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad del Noreste, EUA.
Sustituyendo ahora (9) en (7) se llega a:
discontinua, cuyo extremo izquierdo está en una posi- ción suficientemente alejada del orificio como para considerar que la velocidad del líquido ahí es despre- ciable. La aplicación del principio unidimensional de cantidad de movimiento al volumen de control selec- cionado resulta en (Sotelo, 1974):
donde el primer término del miembro izquierdo repre- senta la fuerza de presión actuando en el extremo izquierdo del volumen de control. El segundo término en (6) representa una fuerza indeterminada originada por la interacción de las partículas fluidas fuera del volumen de control y las que están dentro del mismo. Finalmente, el término en el miembro derecho de (6) representa el cambio en la cantidad de movimiento del fluido a lo largo del volumen de control.
Por conveniencia, llámese F a la fuerza total que ac- túa en el volumen de control, esto es
Aplicando ahora el teorema de Bernoulli entre la superficie libre del tanque y la salida de líquido por el orificio, se obtiene una expresión del principio de TorriceIi:
Sustituyendo (8) en (6) y despejando a Fe se obtiene:
Empleando de nuevo la ecuación anterior se transforma en:
que demuestra en forma clara la conjetura newtoniana de la doble columna. Dividiendo (10) entre pA, se ob- tiene:
Llamando p a F/A se observa que (12) y (5) son idénticas, lo cual demuestra que la reconstrucción que hizo Levi del análisis de Bernoulli es correcto.
Comentarios finales
El análisis presentado en la sección anterior fue envia- do a Medina y Liggett, quienes, después de conside- rarlo decidieron mantener intacto el desarrollo de la sección que presenta la solución de Bernoulli, en la traducción de El agua según la ciencia. Así, la ASCE publicó The Science of Water (Levi, 1995). Sirva esto como un testimonio de que en este caso, como en mu- chos otros después de todo Enzo Levi tenía razón.
Recibido: de diciembre, Aprobado: de diciembre,
Agradecimientos
El autor desea expresar su agradecimiento a la maestra Clara Levi por proporcionarle documentos que permitieron reconstruir la suce- sión de hechos que llevaron a lo que se describe en este artículo. También se reconoce la asistencia del maestro en ciencias Luis Al- berto Gómez U. en la elaboración de las ilustraciones que acompa- ñan el texto.
Referencias
Levi, E. El agua según la ciencia, CONACYT-Castell Mexicana, México.
Levi,
E.
The Science of Water The Foundations ofModern Hydraulics, American Society of Civil Engineers, Nueva York.
Panton, R.L. incomprensible Flow, Wiley-Interscience,
Nueva York.
Abstract
Aldama, A. "The Double Column Enigma, an Homage to Enzo Levi". Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XI. Num pages January-April,
A discussion on the so-called "double column enigma" is presented. Such puzzle arose in when Newton, in his most celebrated Principia, proposed, without proof, that the force that produces the motion of a liquid flowing though an orifice made on a tank, is equal to twice the weight of the liquid column on top of it. This initiated a long-standing controversy, since when the liquid is at rest, the force over the orifice is once the weight of the liquid above it. The controversy was resolved by Daniel Bernoulli, years late,: In the most inte- renting of ways, a similar controversy arose recently regarding the same topic, in the context of the translation into English of the monumental work El agua según la ciencia published by the eminent research Enzo Levi in This paper presents the solution to this newly arisen controversy, as an homage to Levi, in the third anni- versary of his passing away.
Key Words: water quality, mathematical models, simulation, distribution networks, drinking water, computer
