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(1)SOLUCIONAIO. Examen de admisión. UNI. 2017-1 Matemática. MATEMÁTICA PREGUNTA N.o 1. Por extensión, tenemos que. Sean los conjuntos las cifras son consecutivas  A = abcdef (12)  y crecientes, a > 0  . B = (11)(10)9876 (12) ,(10)98765 (12) ,...,.  B = abcdef (12) . {. las cifras son consecutivas  y decrecientes . Se observa que A y B son disjuntos.. ACADEMIA. Halle el número de elementos de A ∪ B. A) B) C) D) E). 654321(12) ,543210 (12)}. → n(B)=7. Nos piden n(A ∪ B)=n(A)+n(B) n(A ∪ B)=6+7. CESAR VALLEJO. 8 9 10 13 14. ∴ n(A ∪ B)=13 Respuesta: 13. CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA N.o 2. RESOLUCIÓN Tema: Conjuntos numeración. La suma de las cifras de los cuatro últimos dígitos de E = 2 + 22 + ... + 22 ... ...3 2 + 3 + 33 + ... + 33 . Análisis y procedimiento las cifras son consecutivas  • A = abcdef (12)  y crecientes, a > 0  . 51 dígitos. 51 dígitos. es A) 11 D) 17. se debe cumplir que 0 < a < b < c < d < e < f < 12. B) 13. C) 16 E) 19. RESOLUCIÓN Por extensión, tenemos que A = 123456 (12) ; 234567 (12) ,...,6789 (10)(11)(12). Tema: Operaciones básicas en Z+. → n(A)=6. Análisis y procedimiento Piden la suma de los cuatro últimos dígitos de E.. {.  • B = abcdef (12) . }. las cifras son consecutivas  y decrecientes . Por dato E = 2 + 22 + ... + 22 ... ...3 2 + 3 + 33 + ... + 33 51 dígitos 51 dígitos . se debe cumplir que 12 > a > b > c > d > e > f ≥ 0. 51 sumandos. 1. 51 sumandos.

(2) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO RESOLUCIÓN. Entonces E = 5 + 55 + 555 + ... + 55 5 ... 51 dígitos . Tema: Teoría de divisibilidad Análisis y procedimiento Sabemos que. 51 sumandos. Ordenamos los sumandos en vertical.. 27 27. 5 ... .... 5. 5 5. 5 7. 5 2. o. E = 3 3n + 3 2n + 3 n + 3 = 8 + r. 5 +  25 5 5   5 5   51 5 5  sumandos    5 5  5 5. residuo. Analizamos cada caso: par e impar. • Si n es par Recuerde que o. (impar )(par ) = 8 + 1. 255. En las unidades: 5×51= lleva. 275. En las decenas: 5×50+25= lleva. En las centenas: 5×49+27=. lleva. ( ) ( ) ( ) o. ACADEMIA queda. o. o. o. E = 8 +1 + 8 +1 + 8 +1 + 3 = 8 + 6 ∴ r=6. CESAR VALLEJO 272. lleva. En las unidades de millar: 267 5×48+27=. → E=33n+32n+3n+3. queda. queda. • Si n es impar → n = 2k+1; k ∈Z+ E = 33(2k+1)+32n+32k+1+3. queda. E = 36k · 33+32n+32k · 3+3. o o o CREEMOS EN LA EXIGENCIA ) (8o ) E = ( 8 + 1 + 3) + (8 + 1) + ( 8 + 1 3 + 3. Por lo tanto, la suma (S) pedida es S=7+2+5+5=19. o. E=. o. o. + 8 +1 + 8 + 3 + 3. o. Respuesta: 19. E = 8+2 ∴ r=2. PREGUNTA N.o 3 Sea r el residuo de dividir. Luego I. Verdadera Por lo analizado r=6 si n es par.. E=33n+32n+3n+3 entre 8. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I. r=6, si n es par. II. r=6, si n es impar. III. r=2, si n es impar. A) solo I D) I y II. 8 +3. B) solo II. II. Falsa Por lo analizado no cumple que r=6 si n es impar. III. Verdadera Por lo analizado r=2 si n es impar.. C) solo III E) I y III. Respuesta: I y III. 2.

(3) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 4. PREGUNTA N.o 5. a (a y 3 primos entre sí), con a > 0. 3 Al numerador le agregamos el número A ∈ N y al denominador 2A, se obtiene una fracción equivalente que es la mitad de la fracción original, entonces la suma de todos los valores posibles de a es:. Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado: I. Entre dos números racionales existe al menos un número irracional. II. El número p se puede expresar exactamente 22 . como un número racional r = 7 III. La suma de dos números irracionales es un número irracional.. Sea la fracción. A) 4 D) 12. B) 8. C) 9 E) 15. A) VVV D) FVF. RESOLUCIÓN Tema: Números racionales. Tema: Racionales. ACADEMIA. Análisis y procedimiento Sean Q: el conjunto de los números racionales Q’: el conjunto de los números irracionales R: el conjunto de los números reales ∈Q'. CESAR VALLEJO R. a+ A a = 3 + 2A 6. –∞. 6a+6A=3a+2Aa. 6A 2A − 3 6A − 9 + 9 a= 2A − 3 9 a = 3+ 2A − 3. 1. p. e. 2. –1 –0,5 0 1 4. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. 6A=a(2A – 3). C) VFF E) FFF. RESOLUCIÓN. Análisis y procedimiento a Dada la fracción 3 por condición 1 a a+ A = × ; A ∈N 3 + 2A 2 3. B) VVF. 2. 3. 4. +∞. ∈Q. I.. Verdadera Porque • Q no es continuo en R. • La unión disjunta de Q y Q' da R, es decir, Q ∩ Q'=f Q ∪ Q'=R II. Falsa Porque 22 ∈Q p ∈ Q' y r = 7 III. Falsa Contra ejemplo a = 2 + 5; a ∈ Q '; b = 5 − 2; b ∈ Q ' Luego, a+b=10 ∧ 10 ∈ Q. a=. Es divisor entero positivo de 9.. → 1, 3 o 9. Evaluamos Si 2A – 3=1 → A=2 → a=12 Si 2A – 3=3 → A=3 → a=6 Si 2A – 3=9 → A=6 → a=4 Como a es PESI con 3, el único valor de a es 4.. Nota La adición no cumple la ley de clausura o cerradura en Q'.. Respuesta: VFF. Respuesta: 4. 3.

(4) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 6. Entonces de (I) y (II), se tiene + V1 V2 V3 434 = = = = 31 1 4 9 14 . Se dispone de tres recipientes cúbicos cuyos lados de longitud L1, L2, L3 cumplen con la siguiente condición: L1 L2 L3 = = 1 2 3. +. ∴ V2=4×31=124. Se pretende distribuir 434 litros de agua entre los tres recipientes de modo que alcancen el mismo nivel o altura. Determine los litros de agua que recibe el recipiente de longitud L2. A) 112 D) 136. B) 120. Respuesta: 124. PREGUNTA N.o 7 Se elige aleatoriamente un número entero de cinco cifras. Calcule la probabilidad que dicho número sea par y la suma de sus cifras sea 42.. C) 124 E) 146. RESOLUCIÓN Tema: Razones - proporciones - SRGE Análisis y procedimiento Por condición. A). 7 × 10 − 4 9. D). 11 × 10 − 3 9. ACADEMIA. B). 11 13 × 10 − 4 C) × 10 − 4 9 9 E). CESAR VALLEJO. 13 × 10 − 3 9. RESOLUCIÓN. 434. Tema: Teoría de probabilidades. Análisis y procedimiento Recuerde que para un evento A contenido en un espacio muestral W, la probabilidad (definición clásica) de que ocurra el evento A, se calcula así. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. H. V1. H. L1. V2. H. L2. V3. P ( A) =. N.º de casos favorables de A n ( A) = n (Ω) N.º de casos totales. L3 Casos favorables. Donde V1 = L12 × H ; V2 = L22 × H ; V3 = L23 × H. abcde es par. (I). suman 42 suman 40 suman 38 suman 36 suman 34. Por dato L1 L2 L3 L2 L2 L2 = = → 1 = 2 = 3 1 2 3 1 4 9 →. L12 × H L22 × H L23 × H = = 1 4 9. 0 2 4 6 8. e es par o cero..     . Observación. (II). En la base 10, la suma de 4 dígitos es como máximo 36.. 4.

(5) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática Entonces si e=6 → a=b=c=d=9. RESOLUCIÓN. ∴ hay un caso. Análisis y procedimiento Del enunciado se tiene • N=aa×bb (D.C.) Como N es un cubo perfecto, entonces. Tema: Números primos y compuestos. si e=8 → abcd8 7999 → 8899 →. 4! P(4 ; 1; 3) = = 4 casos 1! × 3 ! 4! P(4 ; 2; 2) = = 6 casos 2!× 2!. o. o. α = 3 ∧ β = 3. • M=aa+1×bb+1 (D.C.) Como M es un cuadrado perfecto, entonces o. ∴ (N.º de casos favorables)=1+4+6=11. o. α +1 = 2 ∧ β +1 = 2 o. Casos totales. → α = 6+3 o α = 6k + 3; k ∈ Z 0+ 2 −1 + 4. → α=. abcde : 10 000; 10 001; 10 002; ...; 99 999 . o. 3+ 3. 90 000 numerales. ACADEMIA Análogamente con b se tiene. Por lo tanto, la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 cifras, dicho número sea par y sus cifras sumen 42 es 11 11 P= = × 10 − 4 90 000 9. CESAR VALLEJO. 11 Respuesta: × 10 − 4 9. o. β = 6+3. β = 6n + 3; n ∈ Z 0+. De donde se tiene que N=a6k+3×b6n+3 (D.C.) 6k+4. y sea P =. PREGUNTA N.o 8. P =a. Sean a, b, a, b ∈ N, N=aabb, M=aa+1bb+1, con a y b primos diferentes. Si N es un cubo perfecto y M es un cuadrado perfecto. Entonces indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).. 3. (D.C.). N⋅ M. 2k+1. ×b2n+1×a3k+2×b3n+2. → P = a5k+3×b5n+3 (D.C.) Evaluando las proposiciones, tenemos I.. I. El número de divisores de 3 N ⋅ M es impar. II. El producto ab(a+1)(b+1) es múltiplo de 36. III. El número de divisores de 3 N ⋅ M es par. A) B) C) D) E). 6n+4. M=a ×b CREEMOS EN LA EXIGENCIA. Falsa CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los valores que tomen k y n.. II. Verdadera ab(a+1)(b+1). VVV VVF FVV FVF FFF. → (6k+3)(6n+3)(6k+4)(6n+4) → 3(2k+1)3(2n+1)2(3k+2)2(3n+2) o. → 36(2k+1)(2n+1)(3k+2)(3n+2)=36. 5.

(6) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO → (m+3)2 < 4. III. Falsa CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los valores que tomen k y n.. → – 2 < m+3 < 2 → – 5 < m < –1 ∴ m ∈ ⟨– 5; –1⟩. Respuesta: FVF. Respuesta: ⟨– 5; –1⟩. PREGUNTA N.o 9 Sean las ecuaciones y=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3 Determine los valores reales de m para que nunca se intersequen. A) ⟨– 5; –1⟩ B) ⟨– 5; 1⟩ D) R\ [– 5; –1]. PREGUNTA N.o 10 Si E=⟨– ∞; 2] es el conjunto solución de la inecuación |x – a| ≤ |x – b|, 0 < a < b, entonces el menor valor de (a+b)2 es:. C) ⟨1; 5⟩ E) R\ ⟨– 5; –1⟩. A) 8 D) 14. RESOLUCIÓN Tema: Gráfica de funciones. B) 10. C) 12 E) 16. ACADEMIA RESOLUCIÓN Tema: Valor absoluto. Análisis y procedimiento A partir de las funciones y=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3 Se tiene la representación. CESAR VALLEJO. Análisis y procedimiento Se tiene la inecuación |x – a| ≤ |x – b|; 0 < a < b → (x – a)2 ≤ (x – b)2. → (x – a)2 – (x – b)2 ≤ 0. → (x – a+x – b)(x – a – x+b) ≤ 0. Y. CREEMOS EN LA EXIGENCIA ( )(. → 2x − a − b b − a) ≤ 0 . 4. (+ ). 3 1/4. → 2x – a – b ≤ 0 → x≤ 3/2. X. a+b 2. →. x ∈ −∞;. a + b 2 . Como el conjunto solución es E=⟨ – ∞; 2], tenemos a+b =2 → 2 → a+b=4. Como se piden los valores reales de m para que nunca se intersequen. igualamos las expresiones. ∴ (a+b)2=16. x2 – 3x+4=mx+3 → x2 – (m+3)x+1=0. Observación El valor de (a+b) es único.. Se cumple que su discriminante es negativa. → (m+3)2 – 4(1)(1) < 0. Respuesta: 16. 6.

(7) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 11. PREGUNTA N.o 12. {. }. 2. Dados a; b ∈ R y los problemas de programación lineal. Sea A = z ∈ C : 4 ( z − 3) ( z − 3) = z + 15 Halle z0 ∈ A tal que |z0| sea mínimo. A) –1 D) – 7i. B) 1. mín ax+by (1) sa (x; y) ∈ D. C) i E) 7. Sea (x0; y0) solución del problema (1). Señale la alternativa correcta después de determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. ( – x0; – y0) es solución del problema (2). II. Si D ≠ f, entonces la solución de los problemas (1) y (2) son distintas. III. Si las soluciones de los problemas (1) y (2) coinciden, entonces D = ( x 0 ; y 0 ) .. RESOLUCIÓN Tema: Números complejos Análisis y procedimiento Tenemos. {. }. 2. ) = z + A = z ∈ C : 4( z − 3) ( z − 3 15. {. (I ). Graficamos A De (I). ACADEMIA. 4 ( z − 3 ( z + z ) + 9 ) = z + 15 2. máx ax+by (2) sa (x; y) ∈ D. A) VVV D) FFV. B) VFV. }. C) VVF E) FFF. 2. 2. 3 z − 12 ( z + z ) + 21 = 0 2. z − 4 (z + z) + 7 = 0. CESAR VALLEJO RESOLUCIÓN. Tema: Programación lineal. (II). Ahora, sea z=x+yi en (II) x2+y2 – 8x+7=0. Análisis y procedimiento Analizamos las proposiciones. I. Falso Si (x0; y0) es solución de (1) y (x0; y0) ∈ IC,. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. (x – 4)2+y2=32. entonces, (– x0; – y0) ∈ IIIC. ∴ (– x0; – y0) no es solución del problema (2).. Im A. II. Falso Si D = {( x '; y ')}, entonces. 3 1. 4. Re. mín ax+by=máx ax+by. III. Falso Si tenemos que x + y ≤ 5 x + y ≥ 5  D= ; z = 4 x + 4y x ≥ 0 y ≥ 0 al resolver tenemos que. En la gráfica, z0 ∈ A. Entonces, z 0 mínimo es z0=1. Respuesta: 1. 7.

(8) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO De 2 ≤ x ≤ 4. Y. – 7 ≤ 1 – 2x ≤ – 3 5 Luego,. D. 5. Ran( f )=A=[– 7; – 3] 7 • g: A → B, g( x) = x +1. X. Como g es biyectiva. → máx z=20 ∧ mín z=20. Las soluciones de (1) y (2) coinciden, pero D ≠. A=Dom(g) ∧ B=Ran(g). {( x 0 ; y0 )}. → A=[– 7; – 3]. (D es segmento). → –7 ≤ x ≤ –3. ACADEMIA. PREGUNTA N.o 13 7 biyectiva. x +1. Determine B.. −. 1 1 1 ≥ ≥− 6 x +1 2. CESAR VALLEJO. Sean f: [2; 4] → A, f(x)=1– 2x biyectiva y g: A → B, g ( x ) =. +1. – 6 ≤ x+1 ≤ – 2. Respuesta: FFF. 7  7 A)  − ; −   2 6. −. 7 7 7 ≥ ≥− 6 x +1 2. −. 7 7 7 ≤ ≤− 2 x +1 6. −. 7 7 ≤ g( x ) ≤ − 2 6. invertimos. ×(7). CREEMOS EN LA EXIGENCIA. B) [ −7; − 3].  7 7 ∴ B = − ; −   2 6.  21 25  C)  − ; −  2 6  25   D)  −21; −  3 .  7 7 Respuesta:  − ; −   2 6. E) [ 2; 4 ]. PREGUNTA N.o 14. RESOLUCIÓN. Al efectuar la división. Tema: Funciones. x n+1 − (n + 1) x + n x −1. Análisis y procedimiento Tenemos. el término independiente del cociente que resulta es. • f: [2; 4] → A; f(x)=1 – 2x. A) – 2n D) n. Como f es biyectiva, A=Ran( f ).. 8. B) – n. C) 0 E) 2n.

(9) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática RESOLUCIÓN. RESOLUCIÓN. Tema: División algebraica. Tema: Sistema de ecuaciones no lineales. Análisis y procedimiento En la división indicada. Análisis y procedimiento Se tiene 0 < a < b < c → c – b > 0 (x1; y1) y (x2; y2) son soluciones del sistema.. x n+1 − (n + 1) x + n x −1. y=ax2+bx+c y=cx2+bx+a. Aplicamos la regla de Ruffini.. De ax2+bx+c=cx2+bx+a. (n+2) términos. 1 0 0 . . . 0 – (n+1) 1 1 ... 1. x=1. 1 1 1 ... 1. (a – c)x2=a – c; a – c ≠ 0. n. 1. –n. –n. 0. x2=1 Si. ACADEMIA → q(x)=x +x n. n –1. +x. x=1 → y=a+b+c x= –1 → y=a – b+c. n–2. +...+x – n. CESAR VALLEJO. Luego, las soluciones son. Por lo tanto, el término independiente de q(x) es – n.. ( – 1; a – b+c) y (1; a+b+c). Respuesta: – n. PREGUNTA N.o 15. Como x1 < x2. → x1= – 1; y1=a – b+c > 0 (c – b > 0 ∧ a > 0). CREEMOS EN LA→EXIGENCIA x =1; y =a+b+c > 0 2. 2. (c > b > a > 0). Sean a; b; c ∈ R tales que 0 < a < b < c y x1 < x2. Siendo (x1; y1) y (x2; y2) soluciones del sistema de ecuaciones. ∴ x1 < 0; x2, y1, y2 > 0. y=ax2+bx+c. Respuesta: x1 < 0; x2, y1, y2 > 0. y=cx2+bx+a. PREGUNTA N.o 16. entonces podemos afirmar que. Determine los puntos de intersección de la gráfica de la función definida por f( x ) = x − 2 + x 2. A) x1, x2, y1, y2 > 0. con la recta 3x – 2y= – 11.. B) x1, x2 < 0; y1, y2 > 0. A) B) C) D) E). C) x1, x2 > 0; y1, y2 > 0 D) x1 < 0; x2, y1, y2 > 0 E) x1 > 0; y1, y2 < 0. 9. ( – 1; 2), (3; 9) (1; – 4), (3; 10) (–1; 4), (3; 10) ( – 1; 1), (4; 9) (1; – 4), (3; 12).

(10) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. RESOLUCIÓN. RESOLUCIÓN. Tema: Gráfica de funciones. Tema: Logaritmos. Análisis y procedimiento Tenemos. Análisis y procedimiento Tenemos. y=f(x)=|x – 2|+x2. log x=log 1024 – 3 log 2 – log y. 3 11 3x – 2y= – 11 → y = x + 2 2. log x+log y = log 1024 – log 8 log xy = log 128 → xy=128. Igualando ordenadas 3 11 x − 2 + x 2 = x + → 2 x − 4 = −2 x 2 + 3 x + 11 2 2. Además 2x – y = 256=28 → x – y=8. → 2x – 4= – 2x2+3x+11 ∨ 2x – 4=2x2 – 3x – 11. Se forma el sistema. 0=2x2 – x – 15 ∨ 0=2x2 – 5x – 7 (2x. +5). (2x. – 7). (x. – 3). (x. +1).  xy = 128; x > 0 ∧ y > 0  x − y = 8. ACADEMIA Entonces x=16; y=8. CESAR VALLEJO. 0=(2x+5)(x – 3) ∨ 0=(2x – 7)(x+1) 5 7 x=− ∨ x=3 x = − ∨ x = −1 2 2 (sí cumple) (sí cumple) (no cumple) (no cumple). Por lo tanto, el valor de x es 16.. Respuesta: 16 o. Luego si x=3 → f(3)=10=y si x= – 1 → f( – 1)=4=y. N. 18 CREEMOS EN LAPREGUNTA EXIGENCIA. → (x; y)=(3; 10). Determine la traza de A, si se cumple que  1 2. → (x; y)=( –1; 4). 1 0. 2 ( A + I )2 =  y (A − I) = −   0 1   0 1 . Por lo tanto, los puntos de intersección son (3; 10), ( –1; 4).. A) 1 D) 2. B) 5/4. C). 2. E) 4. Respuesta: ( –1; 4), (3; 10). RESOLUCIÓN PREGUNTA N.o 17. Tema: Matrices. Halle el valor de x si log x = log 1024 − 3 log 2 − log y  x −y = 256  2 A) 2 D) 16. B) 4. Análisis y procedimiento 1 2   1 0   ( A + I )2 − ( A − I )2 =  − −   0 1    0 1    2 2 =  0 2 . C) 8 E) 24. 10.

(11) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática Por dato se sabe que. 1/2 1/2   2 2 → A= 4A =   1/2  0  0 2. 12n+21 > 170 12n > 149. ∴ traza ( A) =. n > 12,4.... 1 1 + =1 2 2. En toda PA se cumple 2×(2.º término)=(1.er término)+(3.er término). Respuesta: 1. 2×(4n+7)=(3n+a)+(4n+8+a) o. PREGUNTA N. 19. 8n+14=7n+2a+8. Considere la progresión aritmética. n + 6 = 2 a. 14. 3a(n); 43(n+1); 4a(n+2); .... 10. Por dato n donde la suma de los tres primeros términos es es mínimo mayor que 170. Si n es el menor posible, calcule la suma de los primeros 12 términos de esta ACADEMIA Luego, la PA inicial sería progresión.. A) 1150. B) 1330. D) 1350. CESAR VALLEJO. 41 ; 52 ; 63 ; 74 ; ... ; a12; .... C) 1340. 11. E) 1650. RESOLUCIÓN. 11. 11. Su término general es an=11n+41. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. Tema: Sucesiones. Entonces el término doce es. Análisis y procedimiento Se tiene la progresión aritmética (PA).. a12=11×12+41 a12=173. 3an; 43(n+1); 4a(n+2); ... r. Nos piden, la suma de los 12 primeros términos de la PA.. r. (3n+a); (4n+7); (4n+8+a); ... r. S12 =. r. S12 =. La suma de los 3 términos en función del término. (a1 + a12 ) × 12 2. (52 + 173) 2. central y la razón (r). ∴ S12=1350. (4n+7 – r)+(4n+7)+(4n+7+r)=12n+21. Respuesta: 1350. 3(4n+7)=12n+21. 11. × 12.

(12) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 20. PREGUNTA N.o 21. Considere para cada n ∈ N el conjunto. En un cuadrilátero convexo ABCD se verifica. Sn = { x ∈ R : 2 x − 1 = n + 1} y. que AB ≅ BC ≅ CD. Si m ABD=13m DBC y. {. A = x ∈R : x < 3. }. m ADB=6m DBC, halle m DBC.. Determine la suma de los valores de n, de tal forma que se cumpla Sn ⊆ A. A) 1 D) 4. B) 2. A) 2º. B) 3º. C) 4º. D) 5º. C) 3 E) 5. E) 6º. RESOLUCIÓN Tema: Congruencia de triángulos. RESOLUCIÓN Tema: Valor absoluto. Análisis y procedimiento Análisis y procedimiento Tenemos que B. • Sn={x ∈ R: |2x –1|=n+1}; n ∈ N → 2x –1=n+1 ∨ 2x –1=– n –1 n+ 2 x= 2 → Sn = •. {. −n ∨ x= 2. n + 2 −n ; 2 2. }. a 13a a 7a 7a. ACADEMIA. CESAR VALLEJO a. 90º – 7a b. C 90º – 7a b. S. 30º. A. A = {x ∈ R : x < 3} = − 3 ; 3. CREEMOS EN LAPiden EXIGENCIA. Como Sn ⊆ A →. {. b. m  DBC=a.. }. n + 2 −n ; ⊆ − 3; 3 2 2. ABC isósceles → m  BAS=90º – 7a. Esto es n+ 2 − 3< < 3 → −2 3 − 2 < n < 2 3 − 2 2 −n − 3< < 3 → −2 3 < n < 2 3 2. AS=SC=b ASB ≅ CHD (ALA). (I). → AS=CH=b. (II). AHC notable → m CAH=30º. (I) ∩ (II). ABD (S m  i=180º). −2 3 < n < 2 3 − 2 como n ∈ N → n=1 Por lo tanto, la suma de valores de n es 1.. ∴ a=5º. Respuesta: 1. Respuesta: 5º. 12. H. a a 6a D.

(13) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 22. Piden AB=x.. Determine la longitud (en cm) del lado de un. R . 2 AB=longitud del lado de un polígono regular. Tenemos como condición que BC =. polígono regular inscrito en una circunferencia C de radio R cm si la longitud del lado de un polígono de doble número de lados inscrito en C es igual R a cm. 2. CB=longitud del lado de un polígono regular de doble número de lados. CSO: teorema de Pitágoras. 15 R 2. OS =. B). 15 R 3. OSC ∼. C). 15 R 4. D). 15 R 5. A). E). ACADEMIA. R 15 4 BHC. x R HB CB 2 = → = 2 R OS CO R 15 4. CESAR VALLEJO ∴ x=. 15 R 6. 15 R 4. Respuesta:. 15 R 4. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. RESOLUCIÓN Tema: Polígonos regulares. PREGUNTA N.o 23 En un triángulo ABC, se traza BM ( M ∈ AC ) tal que 3 AM = MC, por M se traza MH ⊥ BC ( H ∈ BC ) y 4 por A se traza AE ⊥ BM ( E ∈ BM ). Si MH=8 u,. Análisis y procedimiento. C A. H. x 2 R R. R 4. R S 4 B q x 2. AE = 6 3 u y m MBC=30º, calcule el área del triángulo MHC (en u2).. q R 15 4 O. A) 30 3 B) 32 3 C) 34 3 D) 36 3 E) 38 3. 13.

(14) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. RESOLUCIÓN. PREGUNTA N.o 24. Tema: Áreas de regiones triangulares. La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el área (en cm2) de la circunferencia que pasa por. Análisis y procedimiento Recuerde. los puntos P, Q, R, S, T, U; teniendo en cuenta que son puntos medios de las aristas.. A P m. A(. B. n. m⋅n ABC) = 2. Q U. C R. B 30º. T. 8 3 S H E. 6 3. 8. 3. q M q. A. ACADEMIA a=8 3. CESAR VALLEJO 4. C. D). 8 3. P Piden. A( MHC)=S S=. A) pa2. B). 2 2 pa 4. 2 2 pa 2. E). 3 2 pa 4. Poliedros regulares CREEMOS EN LATema: EXIGENCIA. 8⋅a → S = 4a 2. Análisis y procedimiento. . CP ⊥ BM AEM ∼. C). RESOLUCIÓN. MHB: BH = 8 3. →. pa 2 2. a Q 2. CPM. CP = 8 3. a 2. a 2. a 2 2 a 2 2. a 2 2. CPB: CB = 16 3 R. → a=8 3. a 2 2 S. 14. U. a 2 2. a 2 2. ∴ S = 32 3 Respuesta: 32 3. P. T.

(15) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática Sea r el radio de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R, S, T y U.. 40. p 5. A 54º. Nos piden A =pr 2. 20 B. (*). 1. 3p 10 10. Como P, Q, R, S, T y U son puntos medios, entonces, el hexágono PQRSTU es regular. 10. a 2 → PQ = 6 = r = 2. P'. Reemplazamos en (*) A =. P. D. 54º 10. 20. C 3p 10 10. 3. Q 2. T. πa 2 2 Como. pa 2 Respuesta: 2. ACADEMIA. m DAQ=54º → m QAP=36º. CESAR VALLEJO. o. PREGUNTA N. 25. En la figura se tiene una plataforma rígida ABCD en forma de trapecio tal que AB=DC=2BC=20 cm y una cuerda AP, calcule (en cm) la longitud recorrida por el extremo P, hasta que haga contacto con DC, sabiendo que AP=40 cm.. → 1 =. → mQAP =. π ⋅ 40 → 1=8p 5. Como. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. A) B) C) D) E). 14p 15p 16p 17p 18p. BC // AD → m QBC=54º. P. A 54º. B. 54º. C. → mQBC = → 2 =. 3π 10. 3π ⋅ 20 → 2=6p 10. Además. D. m DCT =. RESOLUCIÓN. 3π 3π → 3 = ⋅ 10 10 10. → 3=3p. Tema: Circunferencia. ∴ 1+2+3=17p. Análisis y procedimiento Piden la longitud recorrida por el extremo P. (1+2+3). Respuesta: 17p. 15. π 5.

(16) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 26. →. En un triángulo ABC, en AC se ubica un punto H, por dicho punto se traza la perpendicular PH a AC, la cual interseca a AB en Q. Si m PAB=53º,. → AH=AR=12. m ACB=143º, AP=AB y AH=12 m. Calcule HC (en m).. Además. A) 4 D) 10. B) 6. AHP ≅. ARB. ARC: not 37º y 53º → 12+x=20. C) 8 E) 12. ∴ x=8. RESOLUCIÓN. Respuesta: 8. Tema: Congruencia de triángulos. PREGUNTA N.o 27. Análisis y procedimiento Piden HC=x.. ACADEMIA Dato: AP=AB; AH=12. En el paralelogramo ABCD mostrado en la figura, BD ⊥ DC. Se ubica un punto P, en el interior del triángulo ABD, de modo que (AP)2+(PC)2=55 y (PB)2+2(CD)2=30. Calcule PD.. CESAR VALLEJO. P. B. A. CREEMOS EN LA EXIGENCIA A) 1. . B) 3 C) 5. B Q 53º A. q. 53º 12. D) 7. . E) 9. 143º H x 37º C. RESOLUCIÓN Tema: Relaciones métricas. 12 Análisis y procedimiento. R. Datos (AP)2+(PC)2=55. Trazamos AR ⊥ BC.. (PB)2+2(CD)2=30. m PAH =m BAR = 53º + q. 16. C. D.

(17) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática RESOLUCIÓN. Nos piden calcular PD.. Tema: Relaciones métricas en la circunferencia Q Análisis y procedimiento Nos piden BP=a.. n  B. C b. m. n. a A. P. Por dato tenemos que a+b=6.. n. x. L2. D. Del dato 2. a. B. 10. A. P. 2. b. a +b =55 2. D. 2. m +2n =30 8 APQ (teorema de la mediana). ACADEMIA. a2+2=2m2+2n2. E. (I). CESAR VALLEJO. BQCD (teorema de Marlen) 2.  +x2=m2+b2. Recuerde que. (II). De (I) y (II) a2 – x2=m2+2n2 – b2 → x2=25. m. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. n t. m · n=t. . ∴ x=5 En el problema (10+a)a=(8+b)b. Respuesta: 5. 10a − 8b = b 2 − a 2 = ( b + a ) (b − a ). o. PREGUNTA N. 28. 6. → 8a=7b → a=7k; b=8k. Desde el punto de vista P, se trazan rectas secantes L 1 y L 2 a una circunferencia C. L 1 corta a C en A y B (AP > BP), L 2 corta a C en E y D (EP > DP). Si AB=10 cm, ED=8 cm y BP+DP=6 cm, determine la longitud (en cm) de BP. A) 2,8 D) 3,1. B) 2,9. 15k=6. k=0,4. a = 7×(0,4) ∴ a=2,8. C) 3,0 E) 3,2. Respuesta: 2,8. 17. L1.

(18) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. PREGUNTA N.o 29. PREGUNTA N.o 30. En el ángulo triedro trirrectángulo O - ABC; si las áreas de las caras OAB, OBC y OAC miden respectivamente S, 2S y 3S. Entonces el área de la región que determina un plano secante a las aristas y que pasa A, B y C es. La figura mostrada es un dodecaedro regular. Calcule la medida del ángulo entre AB y CD.. A) 2S 2. B) 3S 2. C A) B) C) D) E). C) S 14. D) 2S 3. E) S 15. 30º 36º 45º 60º 72º. B. A. RESOLUCIÓN. D. Tema: Ángulo triedro. RESOLUCIÓN Tema: Poliedros regulares. Análisis y procedimiento Tenemos los siguientes datos:. AOAB=S. ACADEMIA. AOBC=2S. Análisis y procedimiento Nos piden calcular x. x: medida del ángulo determinado por AB y CD.. CESAR VALLEJO. AOAC=3S Nos piden AABC.. C N. Q. O 3S CREEMOS EN LA EXIGENCIAA. S A. B. x. 2S. 36º C. M. 36º. D B En el gráfico, tenemos que DMNC es un trapecio isósceles.. Como el triedro es trirrectángulo. → MN // DC. 2 2 2 → A 2ABC = A OAB + A OBC + A OAC 2. 2. → A 2ABC = (S) + ( 2S) + ( 3S). 2. Además, AQNBM es un pentágono regular.. ∴ A ABC = S 14. ∴ x=72º. Respuesta: S 14. Respuesta: 72. 18.

(19) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 31. PREGUNTA N.o 32. La superficie lateral de un prisma recto regular triangular es un rectángulo cuya diagonal mide 12 m y su altura 6 3 m. Calcule el área total del sólido (en m2).. En el gráfico AB//FG y ϕ – q=38º. Determine la medida del ángulo formado por L 1 y L 2.. A) 38 3. B) 39 3. F. C) 40 3. D) 41 3. 8º. L1. E) 42 3. L2. RESOLUCIÓN Tema: Prisma. b b E D ϕ q B a C a. Análisis y procedimiento A. Nos piden AST.. AST: área de la superficie total del prisma regular.. A) 15º. ACADEMIA C. 2 2. 2. G. B) 30º. C) 37º. D) 53º. E) 60º. CESAR VALLEJO RESOLUCIÓN. 12. CREEMOS EN LAAnálisis EXIGENCIA y procedimiento. 2 2. Tema: Ángulos determinados por dos rectas paralelas con una secante. 6 3. 2. B. A. Piden x.. 6. x: medida del ángulo entre L 1 y L 2 . Dato: f – q=38º. El prisma es regular, por lo tanto, su base es un triángulo equilátero.. AST=ASL+2Abase A base =. F x. 22 3 = 3 4. Q x+a. L2. A SL = 6 × 6 3 = 36 3. 8º. L1. a. A ST = 36 3 + 2 3. B. ∴ A ST = 38 3 A Respuesta: 38 3. 19. b D aa. f. b E. q C. G.

(20) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO RESOLUCIÓN. AB // GF entonces. Tema: Identidades trigonométricas fundamentales. m QEF=b=x+a+8º → b – a=x+8º AB // GF entonces. Análisis y procedimiento Nos piden eliminar a y b de las igualdades dadas.. (I). • p · sen2a+q · cos2a=a; p ≠ q (p – a) · tan2a=a – q. 2a+f+8º=q+2b → f – q+8º=2(b – a). tan 2 α =. (II). Como f – q=38º (dato). a−q p−a. (I). • q · sen2b+p · cos2b=b; p ≠ q. De (I). (q – b) · tan2b=b – p. b – a=x+8. tan 2 β =. Reemplazamos en (II) 38º+8º=2(x+8º). ACADEMIA. b− p q−b. (II). • p · tana=q · tanb; p ≠ q p2 · tan2a=q2 · tan2b. ∴ x=15º Respuesta: 15º. PREGUNTA N.o 33. CESAR VALLEJO. (III). (I) y (II) en (III). a−q b − p = q2 ⋅  p2 ⋅   p − a   q − b . Operando. CREEMOS EN LA EXIGENCIA 1 1. Al eliminar a y b de las igualdades 2. 1 1 abpq ⋅  + − −  = 0 a b p q. 2. p sen (a)+q cos (a)=a q sen2(b)+p cos2(b)=b. ∴. p tan(a)=q tan(b). 1 1 1 1 + = + p q a b. donde p ≠ q, obtenemos Respuesta: A). 1 1 1 1 − = − p q a b. 1 1 1 1 + = + p q a b. PREGUNTA N.o 34 Sea f: [– p; p] → R la función definida por. B) p+q=a+b. f(x)=cos4(x)+sen2(x) – 1. C) p – q=a – b. ¿En cuántos puntos el gráfico de esta función interseca al eje de las abscisas?. 1 1 1 1 D) + = + p q a b. A) 1 D) 4. E) a+p=q+b. 20. B) 2. C) 3 E) 5.

(21) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática RESOLUCIÓN. RESOLUCIÓN. Tema: Funciones trigonométricas directas. Tema: Funciones trigonométricas inversas. Análisis y procedimiento. Análisis y procedimiento. f(x) intersecta al eje x → f(x)=0 cos4x+sen2x – 1=0. Y. Y=arccosx. p. cos4x – cos2x=0 cos. 2. P 0. cos2x(cosx+1)(cosx –1)=0. –1. π π cos x = 0 → x = − ; 2 2 cosx+1=0 → cosx= –1 → x= – p; p. 1 – p/2. cosx –1=0 → cosx=1 → x=0. En el punto P. ACADEMIA Cinco soluciones para x ∈ [ – p; p].. arccos x = arctan x α. α. CESAR VALLEJO. → cosa=x ∧ tana=x. Por lo tanto, f(x) interseca al eje x en 5 puntos.. sec α =. Respuesta: 5. 1 x. Como. PREGUNTA N.o 35. Y=arctanx. p/2. x (cos 2 x − 1) = 0. CREEMOS EN LA EXIGENCIA sec2a=1+tan2a. Las funciones arc cos y arc tan se intersecan en el punto P. Calcule la abscisa de P.. 1 x2. = 1+ x2. 1=x2+x4. A). 2 5−2 2. B). 2 5+2 2. C). 5 −1 2. x2 +. D). 5 −1 4. Como x2 ≥ 0. E). 2 5 +7 2. Completando cuadrados. 2. 5  2 1  x +  = 2 4. → x2 =. 21. 1 5 =± 2 2. 5 −1 2. X.

(22) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO → csc a > cot a. Como la abscisa de P es positiva, tenemos. ∴ x=. csc α − cot α>0 α tan > 0 2. 5 −1 2. x=. 2 5−2 2. Luego 0<. 0 < a < p ∨ 2p < a < 3p. 2 5−2 2. Respuesta:. π 5π ≤ α < π ∨ 2π < α < 2 2. ACADEMIA. B). 2p;. 5p 2. (II). De (I) y (II) obtenemos.  π 5π En el intervalo  ; , determine todos los valores 2 2 de a donde se cumple csc(a) > cot(a). A). (I). Debido a que π 5π ≤α< 2 2. PREGUNTA N.o 36. p ;p 2. α π α 3π < ∨ π< < 2 2 2 2. Por lo tanto, los valores de a son π 5π  2 ; π ∪ 2π; 2 . CESAR VALLEJO Observación. En la clave E se debe considerar cerrado en. C). D). E). π 3π 9π 5π ; ∪ ; 2 4 4 2. π CREEMOS EN LARespuesta: EXIGENCIA ;π. ∪ 2π;. 2 . π 5π 9π ; ∪ 2π; 2 6 4. p . 2. 5π 2. PREGUNTA N.o 37 Dada la figura. π 5π ; π ∪ 2π; 2 2. q 45º. RESOLUCIÓN Tema: Inecuaciones trigonométricas Análisis y procedimiento Nos piden los valores de a partir de la inecuación dada. Analizamos la inecuación en el intervalo. 37º calcule 37tan(q)..  π 5π 2; 2 . A) 10 D) 16. 22. B) 12. C) 14 E) 18.

(23) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática RESOLUCIÓN. PREGUNTA N.o 38. Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo. En el gráfico mostrado si AB // CD, entonces el valor de tan(q) es. Análisis y procedimiento. Y. Tenemos el siguiente gráfico. X D C. 45º. q. B(– 6; – 8) 25k. 25k. B. A(0; – 4). q. 20k. 37º 53º. 37º. 12k. 16k E. A. C. D. ACADEMIA. A) −. 3 2. B) −. 1 2. C) −. 1 2. CESAR VALLEJO D). E). 1 3. 3 2. RESOLUCIÓN. Tema: Reducción al primer cuadrante. Se traza BE ⊥ a la prolongación de DA.. CREEMOS EN LA EXIGENCIA Análisis y procedimiento. En. ABC: AB=4a. En. AEB: AB=5b. Como AB // CD, entonces los ángulos formados por el eje de ordenadas y los segmentos AB y CD son de igual medida.. → AB=20k, BE=16k, AE=12k Y AC=25k, AD=25k BED: tan θ =. X. 16 k 37 k. 4 q. 8. a ∴ 37tanq=16 B(– 6; – 8) Respuesta: 16. 23. 6. A(0; – 4) 4.

(24) UNI 2017-1. Academia CÉSAR VALLEJO. Como. 0 < arctan. q+a=180º → tanq=– tana 6 tan θ = − 4 3 ∴ tan θ = − 2 Respuesta: −.  2  π ≤ ;  1  4  x +  x. Para x=0,  2x  arctan  =0  1 + x 2 . 3 2. luego,. o.  π Ran f = 0;   4. PREGUNTA N. 39 Dadas las funciones f y g definidas por  2x   x  f( x ) = arctan  , g = arc sen  2  x + 1   1 + x 2  ( x ). •. x x2 +1. =. ACADEMIA. Determine Ran( f ) ∩ Dom(g).. B) R. E) [0; 1]. −. RESOLUCIÓN. → −. Análisis y procedimiento  2x   x  f( x ) = arctan  ; g = arcsen  2  x + 1   1 + x 2  ( x ) 2x. x+. =. 1 x. 1 1 1 1 ≤ ∨− ≤ x+ <0 x 2 x 2. 1 1 1 ≤ x + ≤ − {0} x 2 2. para x=0, g está definida.. Tema: Funciones trigonométricas inversas. 1+ x2. x+. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. D) [1; +∞⟩. •. 1. 1 1 ≥ 2 ∨ x + ≤ −2 x x. → 0< x+. C) ⟨– ∞; 1]. =. CESAR VALLEJO x+.  π A) 0;   4. 1 x2 +1 x. 2 1+ x x. 2. =. luego Domg=R. 2 x+. 1 1 1 ≤ x + ≤ ⊂ [ −1; 1] x 2 2.  π ∴ Ranf ∩ Domg = 0;   4. 1 x. 1 1 1 2 ≥ 2→ 0 < ≤ →0< ≤1 1 2 1 x x+ x+ x x.  π Respuesta: 0;   4. 24.

(25) UNI 2017-1. Solucionario de Matemática PREGUNTA N.o 40. II. En forma general, la ecuación puede expresarse como sigue:. Dada la ecuación general de la cónica C: Ax2+By2+Cx+Dy+F=0 con A, B, C, D, F constantes arbitrarias, se tiene que: I. Si A=B ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una circunferencia. II. Si B=0 y A ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una parábola. III. Si A · B < 0 y D2 – 4B2F > 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una hipérbola. Luego son verdaderas:. Ax2+0xy+By2+Cx+Dy+F=0 Pero B=0 → Ax2+0xy+0y2+Cx+Dy+F=0 Por la teoría de ecuación cuadrática general, tenemos que 02 – 4A(0)=0. A) solo I D) solo III. B) II y III. C) solo II E) I y III. La ecuación puede ser una parábola o dos rectas paralelas, o una recta o un conjunto vacío.. RESOLUCIÓN Tema: Cónicas. ACADEMIA. Análisis y procedimiento I.. CESAR VALLEJO. Como A=B ≠ 0, entonces, la ecuación sería: Ax2+Ay2+Cx+Dy+F=0. 2. 2. A x+. C  D  C2 + D2 F   −  =  +  y +  x + 2A 2A A 4 A2. 2. 2 2 D C BC +AD – 4ABF +B Y+ = 2B 2A 4AB. CREEMOS EN LA EXIGENCIA. si. si. C2 + D2 4 A2 C2 + D2 4 A2. F − >0 A −. F ≤0 A. (Corrección). Completando cuadrados en la ecuación obtenemos. Completando cuadrados obtenemos 2. III. AB < 0 y D2 – 4BF > 0. tienen ≠ signo =. Circunferencia.  2. 2. BC +A(D – 4BF) 4AB. A≠0 B≠0. Como el segundo miembro es diferente de cero, entonces, la ecuación es una hipérbola.. Caso degenerado (punto o conjunto vacío). Por lo tanto, no siempre es una circunferencia.. Respuesta: solo III. 25.

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