Modelación micromecánica para suelos arcillosos

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(1)Modelación micromecánica para suelos arcillosos. por: Ing. Carlos Mauricio Boton Gomez. Asesor: Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano. Universidad de los Andes Facultad de Ingenierı́a Departamento de Ingenierı́a Civil y Ambiental Magı́ster en Ingenierı́a Civil Grupo de Investigación en Geotécnia 2007.

(2) Tabla de Contenido 1. Introducción. 1. 2. Marco teórico. 6. 2.1. Fuerzas a Nivel de Partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Fuerzas Esqueletales (Tipo A). 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.2. Fuerzas Gravitacionales (Tipo A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.1.3. Fuerzas Hidrodinámicas (Tipo B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.1.4. Fuerzas Capilares (Tipo C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.1.5. Fuerzas Eléctricas (Tipo C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.6. Fuerzas Cementantes (Tipo C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.2. Comportamiento Coloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.1. Suspensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.3. Caracterización de las Arcillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3. Prologo de la Simulación. 30. 3.1. Interacción de las Partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.1.1. Fuerzas repulsivas por Doble Capa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.1.2. Fuerzas atractivas de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.2. Cálculo de las Fuerzas de Interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.3. Las Fuerzas de Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.4. El Paso de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 3.5. Resultados de Simulaciones anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. I.

(3) 4. Herramientas Computacionales. 54. 4.1. Programas para modelación con DEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.2. Uso de SWIFT - Algoritmo de Aceleración de Rastreo de Proximidades . .. 58. 5. Presentación de la Simulación. 60. 5.1. La Clase CUBOIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.2. La Clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.3. La Clase GLDRAWCUBOIDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 5.4. Otras Clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 5.5. Simulación Inicial de los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 6. Conclusiones. 75. II.

(4) Índice de figuras 2.1. Distribución de Fuerzas esqueletales (J. Valdes, M. Guimaraes, and M. Aloufi) Santamarina 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.2. Esfuerzos visualizados como una red de fuerzas de contacto. M.D. Bolton 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Frustración rotacional (Santamarina 2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.4. Presión Hidrostática, Fuerza de Flotación y fuerzas esqueletales inter-partı́culas N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.5. Evolución de la desecación - Régimen Pendular . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.6. Los modelos de la doble capa eléctrica, su potencial y la caı́da de potencial hacia el seno de la solución Helmholtz (1890), Gouy-Chapmann (1923) y Stern (1946) respectivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.7. Representación esquemática de algunos minerales arcillosos . . . . . . . . .. 15. 2.8. Microestructuras en Arcillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.9. Análisis de hidrómetro de suspensiones de Caolinita a varias Resistividades Iónicas [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.10. Relación entre diámetro medio hidráulico de los flocs y la Resistividad Iónica [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.11. Imágenes de Microscopio Óptico. A. Caolinita con Agua. B. Caolinita con Metanol. C. Caolinita con Anilina. D. Caolinita con Xileno. E. Bentonita con agua. F. Bentonita con Anilina. [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.12. Diferentes tipos de arcilla (www.minersoc.org) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. III.

(5) 3.1. Fuerza vs distancia entre dos partı́culas de Caolinita paralelas. A. Anandarajah y Yao (1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.2. Fuerza vs distancia - Interacción de partı́culas http://www2. ocean.washington.edu/oc540/lec02-26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.3. Un sistema de dos partı́culas inmersas en un fluido y la fuerza repulsiva entre ellas: a)plano x-y y b)plano ζ y η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.4. Dominio rectangular considerado para el análisis [2] . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.5. Diagrama para el cálculo de la Fuerza Repulsiva de Doble Capa [3] . . . . .. 39. 3.6. Interacción de Van der Waals entre un punto y una pared [9] . . . . . . . .. 40. 3.7. Interacción atractiva de Van der Waals entre dos partı́culas en 3-D [9] . . .. 42. 3.8. Interacción atractiva de Van der Waals entre una partı́cula y una pared [9]. 43. 3.9. Cambio de las atracciones de Van der Waals con respecto al cambio en la separación entre dos partı́culas de Ilita [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.10. Cambio de las atracciones de Van der Waals con respecto al cambio en la inclinación entre dos partı́culas de Ilita [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.11. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.12. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.13. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.14. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.15. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.16. Simulaciones realizadas por Yao 2001 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.1. Algoritmo de funcionamiento de YADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 5.1. La clase CUBOIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.2. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5.3. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 5.4. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 5.5. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. IV.

(6) 5.6. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.7. La clase CUBOIDSTEST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 5.8. La clase GLDRAWCUBOIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 5.9. Simulación con una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 5.10. Simulación con una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 5.11. Simulación con varias partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 5.12. Simulación con varias partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. V.

(7) Índice de tablas 2.1. Tamaño aproximado de partı́culas según mineral . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.1. Constantes de Hamaker [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 5.1. Parámetros mecánicos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 5.2. Otros parámetros fı́sico-quı́micos según Yao [9] . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. VI.

(8) Capı́tulo 1. Introducción Se han analizado de manera tanto analı́tica como experimental modelos fı́sicos para obtener la mayor aproximación al comportamiento de los materiales. En el caso de los suelos, los modelos mas usados se fundamentan en el análisis de medios continuos. Aunque muchos de estos modelos ofrecen un grado de aproximación al comportamiento real muy satisfactorio, es necesario ir más allá de estos análisis. Se deben considerar el mayor número de parámetros relacionados con la naturaleza y composición del suelo y las fuerzas a que pueden estar sujetos los cuerpos que le componen. Para lograr esto se debe hacer uso de técnicas y leyes para Medios Discretos. En la actualidad se utiliza la Micromecánica, que puede darnos alternativas en la búsqueda de soluciones a muchos de los interrogantes de la mecánica de los suelos. La micromecánica es una técnica que se usa para analizar los comportamientos mecánicos, eléctricos y termodinámicos de un material con microestructura. Las leyes que gobiernan el comportamiento de las partı́culas en el medio discreto derivan de leyes aplicables a medios continuos. El método de los elementos discretos fue formulado por Cundall en 1971. El propósito era considerar el comportamiento mecánico de un cuerpo o medio a partir de una discretización, en un conjunto de elementos los cuales forman parte de un medio. De acuerdo con Cundall dichas partı́culas que forman el conjunto son consideradas como cuerpos rı́gidos y no se admite deformación. La deformación del conjunto total es la que se produce por el rea-. 1.

(9) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2007-I-3. comodamiento de las partı́culas existentes ante la aplicación de alguna acción mecánica. Para la caracterización del medio los elementos discretos que lo conforman deben contar con una serie de propiedades tanto geométricas como mecánicas. En su formulación inicial, Cundall utilizó prismas, los cuales interactuaban unos con otros. Posteriormente hizo una formulación en 2D para elementos discretos con forma de discos. Las propiedades mecánicas del medio se determinan por la interacción de contacto entre los diferentes elementos discretos que conforman el medio. Esta interacción esta definida a partir de una rigidez normal y una rigidez tangencial, la cual relaciona las fuerzas con los desplazamientos generados entre ellas. Adicionalmente se define un modelo de amortiguamiento de origen viscoso, donde se agrega una viscosidad para las fuerzas en el sentido normal como en el sentido tangencial. El método de los elementos discretos es un método numérico que es capaz de simular el comportamiento de medios definidos geométricamente por partı́culas. Su aplicabilidad es para cualquier geometrı́a de partı́culas o elementos. Su aparición inicial se debe a la solución de problemas de mecánica de rocas y fue desarrollado por Cundall. Los Elementos discretos están basados fundamentalmente por leyes de la mecánica clásica, como lo son la Leyes de Newton. Con posterioridad a Cundall, en el año 1973, Serrano y Rodrı́guez- Ortiz y en el año 1974 Rodriguez Ortiz, desarrollaron un modelo numérico para una discretización mediante conjuntos de discos y esferas. Cundall, en el año 1979 sigue con el desarrollo y el estudio de aplicaciones del método de los elementos discretos para la solución de diferentes problemas de ingenierı́a, y se centra principalmente en el estudio de medios granulares. Para ello, Cundall, desarrolló un modelo numérico para simular el comportamiento mecánico de cuerpos compuestos por discos y esferas. El modelo propuesto por Cundall, se basa en el uso de un código numérico que utiliza básicamente dos leyes. La ley fuerza-desplazamiento y la segunda ley de Newton. Asimismo, el modelo establecido, tiene en cuenta el comportamiento viscoso del medio.. Entre los diferentes investigadores que aportaron al estudio de problemas ingenieriles mediante análisis numérico utilizando el método de los elementos discretos, cabe destacar a. 2.

(10) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2007-I-3. Cundall, Drescher y Strack, los cuales hicieron numerosos experimentos numéricos a partir de la teorı́a que formula el método. La discretización de problemas en dos dimensiones es la base del principio de la modelación mediante DEM. Una vez realizados múltiples ensayos en dos dimensiones, parece obvio dar un paso más, avanzando en las técnicas de análisis, y realizar ensayos donde el problema considerado sea en tres dimensiones. Siguiendo con la modelación de medios compuestos por conjuntos de partı́culas, y con las tendencias hacia una modelación en tres dimensiones, diversos autores realizaron modelaciones, donde el estudio ya no era en dos dimensiones sino en tres dimensiones. La caracterización de los medios granulares se hicieron mediante conjunto de esferas.. Entre los estudios realizados con elementos discretos con formas esféricas se encuentran los realizados por Cundall con esferas compactas. Los resultados obtenidos mediante la simulación, se comparan con los experimentos fı́sicos descritos por Ishiboschi y Cheu, y con los resultados teóricos que se deben de obtener de Jenkins. En los ensayos en tres dimensiones realizados por Cundall, mencionados anteriormente, se distinguen principalmente dos tipos bien definidos de ensayos. Por una parte, un tipo de ensayo donde se utiliza un contacto de rigideces lineal entre partı́culas. Y por otra parte, un segundo tipo, donde el contacto de rigideces entre partı́culas es no-lineal. El contacto de rigideces no-lineal, se formula de acuerdo con la teorı́a de Hertz. La modelación de materiales y medios granulares y el estudio de problemas mecánicos en dichos medios, se realiza cada vez más mediante la técnica del método de los elementos discretos. El software desarrollado por Cundall y Strack en el origen de la formulación fue el BALL y el TRUBALL. Para el cálculo en dos y en tres dimensiones respectivamente. Dichos códigos describen el comportamiento de materiales granulares. Como que BALL es condicionalmente estable, requiere un control optimo de los parámetros de amortiguamiento. Un amortiguamiento excesivamente largo causa el flujo viscoso de las partı́culas, fenómeno que es más caracterı́stico de cuerpos inmersos en flujos de Stokes que de materiales granulares estáticos.. 3.

(11) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2007-I-3. Con la evolución en las investigaciones realizadas, se busca vencer el reto computacional. Este reto está en la búsqueda de soluciones analı́ticas a las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de los elementos particulados y tmabién, en la disminución de los tiempos de cálculo para una modelación. Recientemente, se ha hecho uso de la Dinámica Molecular para la solución de problemas con elementos particulados lo que ha acelerado los procesos de cálculo.. Las simulaciones con elementos discretos (DEM) se han aplicado ampliamente al análisis de medios granulares; sin embargo, existen pocos estudios para simulaciones con medios más finos (p.e. arcillas). Esto debido a que partı́culas del origen de las arcillas tienen una gran superficie especı́fica. No solo las fuerzas de tipo mecánico gobiernan el comportamiento de estos materiales, sino que existen fuerzas de origen electro-quı́mico, que hacen la solución y modelación de estos medios un problema de solución compleja.. Con la implementación de la teorı́a DLVO, se pueden establecer comportamientos y parámetros útiles y aplicables a la solución de este tipo de problemas. La teorı́a DLVO (Derjaguin-Landau y Verwey-Overbeek) es la teorı́a clásica para explicar los fenómenos de coalescencia y coagulación en sistemas de partı́culas coloidales. Donde un conjunto de partı́culas coloidales está sometida a dos tipos de fuerzas. Por una parte fuerzas de naturaleza electrostática repulsivas (las partı́culas coloidales en solución están cargadas con el mismo signo) y por otra parte fuerzas de dispersión tipo Van-der-Waals de naturaleza atractiva. Ambas fuerzas se consideran aditivas. Dependiendo del predominio de una u otra las partı́culas se agregarán o permanecerán en suspensión. Las fuerzas electrostáticas pueden ser modificadas variando la fuerza iónica del medio o el pH, con lo que los procesos de coagulación pueden ser controlados.. Recientemente Anandarajah ha venido desarrollando un modelo númerico implementable a la teorı́a de los elementos discretos, donde se tengan en cuenta estas fuerzas de superficie.. 4.

(12) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2007-I-3. Partiendo de las formulaciones realizadas por la teorı́a DLVO, Anandarajah ha trabajado en soluciones analı́ticas a la solución de las fórmulas de potencial eléctrico. Se han obtenido resultados satisfactorios al simular sistemas iónicos monovalentes compuestos por un fluido y partı́culas de arcilla. A través de la implementación de algoritmos computacionales estables se puede mejorar y optimizar los tiempos de cálculo y obtener resultados importantes para el análisis de fenómenos macromecánicos. La realización de esta tesis tiene por objeto utilizar las herramientas existentes de simulaciones con elementos discretos para medios granulares y extenderlas a la simulación de partı́culas de suelos finos como arcillas. Esto a través de algoritmos y mecanismos ya postulados para el tratamientos de fuerzas electro-quı́micas. Se estudiará todo lo referente a las fuerzas y comportamiento a nivel de partı́cula. Se profundizará el análisis para partı́culas más finas especialmente arcillas. Seguidamente se expondrán las herramientas utilizar para la simulación. Y por ultimo se verán los resultados del modelo comparándolos con modelaciones sobre materiales similares. El escrito tendrá la siguiente estructura: Fuerzas a nivel de Partı́cula Fuerzas electro-quı́micas para partı́culas cohesivas Herramientas computacionales para simulaciones con Elementos Discretos Revisión de modelos computacionales similares Implementación de Simulación Discusión y Conclusiones. 5.

(13) Capı́tulo 2. Marco teórico 2.1.. Fuerzas a Nivel de Partı́cula. A nivel de partı́cula existen fuerzas que ejercen efectos importantes sobre el comportamiento del suelo. Según Santamarina (2001), a nivel de microestructura del suelo existen tres tipos de fuerzas [7]: Tipo A - Fuerzas debido a esfuerzos aplicados en la Frontera Estas fuerzas son transmitidas a través de las cadenas granulares que se forman entre el esqueleto del suelo. Tipo B - Fuerzas a nivel de partı́cula Entre estas el peso, las fuerzas de flotación e hidrodinámicas. Tipo C - Fuerzas a nivel de contacto Como las fuerzas capilares a bajo grado de saturación, las fuerzas eléctricas y fuerzas cementantes.. 2.1.1.. Fuerzas Esqueletales (Tipo A). En los contactos de las partı́culas se desarrollan fuerzas tanto normales como tangenciales debido a un esfuerzo efectivo aplicado. La fuerza normal depende de la magnitud del esfuerzo y del diámetro de las partı́culas. Estos esfuerzos efectivos aplicados al suelo, no son soportados uniformemente por las fuerzas esqueletales (Dantu 1968; Gherbi et al.. 6.

(14) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. 1993; Jaeger et al. 1996) [7].. Estudios recientes aplican métodos fotoelásticos como se observa en la Figura 2.1:. Figura 2.1: Distribución de Fuerzas esqueletales (J. Valdes, M. Guimaraes, and M. Aloufi) Santamarina 2001. La figura 2.2, muestra la fuerza resultante a nivel microestructural debido a una compresión vertical aplicada en un instante; el espesor de las lı́neas indica la magnitud de las fuerzas de contacto. Las trayectorias tienen un fuerte cambio repentino, a medida que el esfuerzo desviador aumenta, a fin de que muchas partı́culas pueden alternarse en transmitir una proporción no equitativa de la carga global. Estos trabajos han sido complementados con simulaciones DEM por Cundall y Strack (1979), y mas recientemente por Thornton (2000). A partir de estas observaciones se establecen las siguientes afirmaciones: Las cadenas de partı́culas forman estructuras columnares que resisten los esfuerzos aplicados en la frontera (Drescher and de Josselin de Jong 1972; Oda et al. 1985). Las partı́culas que forman parte de estas cadenas están cargadas en la dirección de los esfuerzos principales aplicados. Las partı́culas que no son parte de las cadenas principales evitan el colapso de estas. Por lo tanto las fuerzas principales que actúan sobre estas partı́culas son transversales a las cadenas principales. (Radjai et al. 1998) 7.

(15) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.2: Esfuerzos visualizados como una red de fuerzas de contacto. M.D. Bolton 2000. Existen partı́culas que pueden tener tamaños inferiores a las de los poros, y por esto pueden migrar cuando las propiedades del fluido permitan el desarrollo del flujo en el medio (Santamarina 2001). Cuando se presentan grandes poros, las fuerzas de cadena forman meniscos alrededor de los poros, los cuales tiendes a colapsar durante el corte Figura 2.1b. La estabilidad de las columnas está relacionada con la dirección del movimiento de las las partı́culas durante la carga. (Duffy and Mindlin 1957): La rigidez desarrollada por la resistencia al corte en los contactos puede perderse si la dirección de la carga es inversa. De acuerdo a la magnitud del esfuerzo aplicado, las partı́culas pueden llegar a fracturarse o ser sometidas a movimientos de traslación o rotación. Esto resulta en que pueden cambiar las cadenas principales y secundarias de las fuerzas esqueletales. Un incremento en el esfuerzo promedio se traduce en una reducción del volumen y un 8.

(16) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. mayor número de coordinación. Una variación en la fuerza desviadora causa anisotropı́a interna en la distribución de los contactos. Estos dos fenómenos pueden restringir o frustrar el posible eje de rotación de las partı́culas (Figura 2.3).. Figura 2.3: Frustración rotacional (Santamarina 2001). Con esto se observa que la frustración a la rotación de las partı́culas está asociada al número de coordinación y por lo tanto a la fricción desarrollada en los contactos. El decrecimiento en el número de coordinación es frecuentemente asociado a la dilatación local y a un cambio en la fábrica del suelo. Estos conceptos son manejados para modelos de partı́culas esféricas; para el caso de partı́culas de suelo, la frustración rotacional depende del coeficiente de uniformidad, el tamaño relativo entre partı́culas y la forma de las partı́culas.. Según Santamarina (2001), “ ... La resistencia al corte del suelo es el balance entre la reducción en la coordinación para minimizar la resistencia friccional por la libre rotación de las partı́culas y el incremento en la coordinación producido por el colapso en las cadenas de partı́culas ...”. 2.1.2.. Fuerzas Gravitacionales (Tipo A). Las fuerzas de tipo gravitacional a las que esta sujeta la partı́cula, son el peso y la flotación. El peso está expresado, (según la 4a Ley de Newton) para una partı́cula esférica de diámetro d como [7]: 1 W = πGs γw d3 6 9. (2.1).

(17) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. donde Gs es la gravedad especı́fica del mineral que compone la partı́cula y γw es el peso unitario del agua. La fuerza de flotación también actúa sobre la partı́cula y de acuerdo al principio de Arquı́medes, la fuerza de flotación es igual al peso del fluido que la partı́cula desplaza al sumergirla. La fuerza de flotación para una partı́cula de diámetro d es: 1 U = πγw d3 6. (2.2). El peso efectivo de una partı́cula sumergida es W − U . En el caso donde se sometan partı́culas a una fuerza inter-partı́cula N constante y sean sumergidas en un medio fluido, la fuerza de flotación será la misma para cada partı́cula. Ninguna de las fuerzas entre las partı́culas no se ve afectada con la profundidad (Santamarina 2001).. Figura 2.4: Presión Hidrostática, Fuerza de Flotación y fuerzas esqueletales inter-partı́culas N.. 2.1.3.. Fuerzas Hidrodinámicas (Tipo B). El movimiento del fluido a través de las cadenas de poros inter-conectados, produce fuerzas viscosas de arrastre y fuerzas resultantes de los gradientes de velocidad del flujo. Para un fluido con velocidad v relativo a una partı́cula de diámetro d, la fuerza viscosa de arrastre Fdrag es proporcional a la viscosidad del fluido según ecuación de Stoke (para bajos números de Reynolds - Graf 1984 y Bear 1972) [7]:. Fdrag = 3πµvd 10. (2.3).

(18) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. donde µ es la viscosidad del agua, v es la velocidad del fluido en movimiento a través de los poros, la cual puede ser determinada con la fórmula v = ki/n. La fricción viscosa junto con el gradiente de velocidad, alteran el esfuerzo efectivo actuante sobre el suelo, actuando sobre las partı́culas que forman el esqueleto.. 2.1.4.. Fuerzas Capilares (Tipo C). Una molécula en un fluido experimenta atracciones de Van der Waals con moléculas vecinas, las cuales actúan en todas las direcciones y por esto tienden a cancelarse. Para el caso de las moléculas de agua presentes en la superficie del fluido, estas experimentan una fuerza efectiva normal en los bordes. Esta fuerza se asemeja al comportamiento de una membrana que intenta encogerse generando una tensión Ts que caracteriza la interfase; debido a esto se presenta una presión del fluido en los poros positiva. La presión de poros del fluido es computada con la ecuación de Laplace [7]: u = Ts. 1 1 + r1 r2. (2.4). donde r1 y r2 son los radios de curvatura de la interfase aire-agua para poros esféricos r1 = r2 . Además el agua tiende a secar e hidratar el hidrófilo de la superficie del mineral. El encogimiento del volumen de agua de la membrana hacia adentro, hace que la membrana intente adherirse a la superficie del mineral alrededor de las gargantas de los poros. Esta tensión en la garganta es transmitida sobre el esqueleto en términos de esfuerzo efectivo. Como progreso de la desecación, el aire invade gradualmente el especimen y si la fase fluida permanece continua, el medio está en régimen funicular. El promedio de la fuerza inter-partı́cula es:. u 4. (2.5). Ts Régimen Funicular. (2.6). Fcap = πd2 Fcap = π. d2 dporo. 11.

(19) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. A muy baja humedad el fluido se mantiene desconectado en forma de menisco en los contactos inter-partı́cula; este se conoce como régimen pendular. Con el secado, la presión negativa incrementa, y la sección de contacto decrece. La fuerza capilar a nivel de contacto se calcula con la ecuación de Laplace cuando el contenido de humedad es muy bajo:. Fcap = πdTs Régimen Pendular. (2.7). Las fuerzas capilares en arcillas pueden ser altas incluso con muy altas tasas de saturación, debido a que dporo es muy pequeño.. En el proceso de secado la interfase aire-agua disminuye, esta se desplaza desde los poros más pequeños hacia los más grandes. Esto produce aumento en la presión de poros negativa del fluido; la fuerza inter-partı́culas se refleja en la distribución del tamaño de los poros del suelo y está directamente relacionado con el tamaño de las partı́culas.. Figura 2.5: Evolución de la desecación - Régimen Pendular. 2.1.5.. Fuerzas Eléctricas (Tipo C). El fenómeno de las fuerzas eléctricas a nivel de contacto involucra la interacción geométrica, la agitación térmica y las fuerzas eléctricas de Coulomb. Como resultado, se desarrollan fuerzas de atracción y repulsión , y el balance entre estas fuerzas varı́a con la 12.

(20) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. distancia inter-partı́cula, describiendo una relación no lineal Fuerza-Distancia [7].. Cuando la distancia inter-partı́cula está entre 30 − 40 Å, ni las moléculas de agua, ni la naturaleza atómica de las cargas influencian de manera importante las fuerzas inter-partı́cula. Las atracciones de Van der Waals entre dos partı́culas de igual diámetro (Israelachvili 1992) se puede expresar como:. Att =. Ah d Atracciones de Van der Waals 24t2. (2.8). donde t es la separación entre partı́culas y Ah es la constante de Hamaker para Sı́liceagua-sı́lice Ah = 0,64 ∗ 10 − 20J. La repulsion resulta de la agitación térmica y efectos cinéticos. La fuerza de repulsión entre dos partı́culas esféricas de igual diámetro d es: t. Rep = 32πRT Co dϑe ϑ. (2.9). donde R = 8,314J/(mol.K) es la constante del gas, T es la temperatura (K), Co es la concentración iónica del fluido en los poros (mol/m3 ) y ϑ es el espesor de la doble capa o longitud de Debye-Huckel la cual es ϑ = 9,65 · 10−9 (Co−0,5 ) para iones monovalentes.. A más pequeñas distancias, la concentración de iones entre partı́culas excede la concentración de fluidos en los poros Co y esta e únicamente función de la densidad de carga en la superficie y el potencial de superficie gradualmente decrece cuando las partı́culas llegan a estar más cercanas debido a una unión iónica. En este rango la atracción electrostática puede exceder las fuerzas de atracción de Van der Waals, particularmente cuando se presentan uniones divalentes y trivalentes. Cuando la distancia entre partı́culas está entre 10 − 20 Å, la naturaleza tanto de los iones como de las moléculas de agua deben ser tenidas en cuenta. Como lo proponen los modelos de Helmholtz (1890), Gouy-Chapmann (1923) y Stern (1946) Fig. 2.6, las fuerzas repulsivas corresponden a una capa doble difusa alrededor de las. 13.

(21) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.6: Los modelos de la doble capa eléctrica, su potencial y la caı́da de potencial hacia el seno de la solución Helmholtz (1890), Gouy-Chapmann (1923) y Stern (1946) respectivamente partı́culas coloidales, debido a la naturaleza del mineral que le compone y a la interacción electro-quı́mica con el medio en que se encuentra inmersa. Para calcular la fuerza neta de repulsión se debe recurrir a calcular el potencial sobre la superficie a través de métodos de solución diferencial. Existe otro fenómeno al cual pueden estar sujetas las partı́culas y que representa fuerzas de repulsión. Este ocurre cuando las partı́culas están interactuando lo suficientemente cerca que las capas iónicas que les circundan. se traslapan. De esta manera se generan fuerza de naturaleza repulsiva que en ciertos minerales pueden llegar a ser importantes. La fuerza repulsiva de Born satisface la siguiente ecuación:. FR ∝. −n dn+1. donde, d es el espacio entre iones y n el número de capas llenas de electrones.. 14. (2.10).

(22) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.7: Representación esquemática de algunos minerales arcillosos. Incidencia de los Minerales de la Arcilla Las partı́culas de arcilla contienen minerales compuestos por silicatos hidratados los cuales están principalmente gobernados por fuerzas de superficie. Las unidades básicas para la conformación de las estructuras cristalinas de estos minerales son: 1. el tetraedro de sı́lice; y 2. el octaedro de Aluminio y/o Magnesio. La disposición de estas láminas en paquetes de dos o tres genera estructuras arcillosas.. Existe una alta probabilidad de un intercambio entre las láminas, p.e. partı́culas de Al+3 pueden ser sustituidas por Si+4 en la lámina tetraedral o Mg+2 puede ser sustituida por Al+3 en la lámina octaedral, cada sustitución genera láminas cargadas negativamente. Esta carga debe ser balanceada por cationes, lo cual produce enlaces quı́micos entre láminas. En la ausencia de tal sustitución, las capas están únicamente atadas por fuerzas de Van de Waals, esto se puede observar en la figura 2.7.. Los iones que controlan y forman la superficie laminar sobre los minerales de arcilla son O−2 o OH− , y es por esto que las superficies laminares tiene carga negativa. Debido a que las moléculas de agua son dipolares, forman una capa de agua alrededor de la superficie del mineral mediante un enlace de hidrógeno. En la zona mas cercana a la superficie, las moléculas de agua son retenidas en una capa fuertemente entrelazada que a más distancia de la partı́cula de mineral, se debilita.. Tanto las cargas inter-laminares como las cargas a nivel de superficie del mineral, 15.

(23) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.8: Microestructuras en Arcillas. pueden establecer la organización de la microestructura de las láminas.. La floculación y la agregación son parámetros que tienen importantes efectos en la mecánica del suelo, determinan el comportamiento del flujo y caracterı́sticas como la permeabilidad del suelo, la resistencia al corte y la compresibilidad (Figura 2.8). No solo el comportamiento está regido por las cargas permanentes producidas por los intercambios isomórficos, adicionalmente en los bordes de la superficie aparecen cargas que son directamente dependientes del PH del medio y que se dan por la descomposición de grupos de partı́culas que se encuentran a nivel de superficie. Estas cargas solo pueden llegar a ser neutralizadas en cierta condición del PH, a la cual se le denomina PZC (Punto de carga cero); este adicionalmente depende del tipo de enlace quı́mico presentado. En el punto donde el PH esté por encima del PZC, la carga se tiende como negativa debido a la alcalinidad del medio; lo contrario sucede cuando el PH esta por debajo del PZC. Esto no implica que el valor de PZC sea neutro, dependiendo del grupo funcional implicado puede oscilar entre ácidos y alcalinos.. Otro de los fenómenos que tiene efectos sobre el comportamiento mecánico del suelo, es la osmosis. La osmosis ocurre debido al movimiento del fluido dentro de. 16.

(24) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. el espacio interlámina, donde los iones presentes dentro de estas capas, generan una membrana semipermeable y un medio de más alta concentración. Esto genera una diferencia de presiones que puede disminuir el espacio interlámina, y evitar el flujo de agua hacia estos espacios. Esto se traduce en una reducción en la capacidad de expansión. Este efecto tiene más ocurrencia en los minerales doble capa.. Influencia en el comportamiento Geomecánico En investigaciones recientes [6], se ha evidenciado variaciones en las propiedades mecánicas de los materiales, atribuidas a la floculación de partı́culas debido a una variación en las fuerzas atractivas y repulsivas. Esto ante la evidencia experimental de partı́culas de arcilla con presencia de diferentes fluidos (Kaya y Fang, 2005). Según los análisis de las imágenes microscópicas (Figura 2.11) sobre Caolinita y Bentonita en presencia de lı́quidos orgánicos se ha concluido que en ambos materiales existe un grado de floculación y formación de cadenas. El grado de estas depende de la constante dieléctrica del fluido. Si el fluido corresponde a una solución electrolı́tica, las fuerzas fı́sico-quı́micas dominan las interacciones sobre las partı́culas y la sedimentación [8]. La formación de las cadenas se origina como resultado del balance entre las fuerzas atractivas interpartı́cula, las fuerzas repulsivas interpartı́cula y las fuerzas hidrodinámicas [6].. Las fuerzas de interacción de los minerales de doble capa laminar, sean atractivas o repulsivas, son una función directa del espesor esta doble capa [8]. Basados en la teorı́a Gouy-Chapman, el espesor de la doble capa es controlado por la fuerza Iónica I del fluido en los poros. A su vez la fuerza Iónica I es una función de la concentración total molar mi y la valencia zi de todas las especies iónicas en la solución y está definida como [8]:. 17.

(25) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.9: Análisis de hidrómetro de suspensiones de Caolinita a varias Resistividades Iónicas [8]. I=. 1 2. (mi · zi ). (2.11). En conclusión a esto, debido a que la fuerza iónica del fluido de los poros en una sistema agua-suelo afecta la formación y estabilidad de la fabrica del suelo, existe un impacto directo sobre el comportamiento mecánico del suelo. De acuerdo a ensayos de laboratorio realizados en muestras de Caolinita suspendidas en una solución electrolı́tica, se concluye que [8]: Que la densidad de un floc o cadena, es dependiente de su tamaño y de la fuerza iónica. Que la densidad del floc es menor que la densidad de las partı́culas que le conforman, reflejando la naturaleza porosa del floc. La densidad del floc es efectivamente una función lineal del tamaño del floc. A medida que los tamaños del floc siguen incrementando, las densidades se aproximan a un valor constante (Figura 2.9). De acuerdo a la teorı́a clásica de la Doble Capa, para soluciones con fuerza iónica más alta, el espesor de la doble capa de la partı́cula colapsa y como resultado se forman flocs de más alta densidad. 18.

(26) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.10: Relación entre diámetro medio hidráulico de los flocs y la Resistividad Iónica [8]. Se puede obtener una relación lineal de la dependencia densidad-tamaño-fuerza iónica, usando valores promedio (Figura 2.11). Cuando el fluido en los poros es reemplazado por lı́quidos orgánicos, el comportamiento de las partı́culas actúa como partı́culas de tamaño limo-arena, y entonces el comportamiento de suelos arcillosos puede asumirse como el de suelos granulares (Kaya y Fang, 2005). Considerando el siguiente concepto de esfuerzo efectivo:. σ = σtot − u0 (Rrep − Aatr ). (2.12). Donde σ es el esfuerzo efectivo, σtot es el esfuerzo total, u0 es la presión del agua en los poros, Rrep es la repulsión interpartı́cula, y Aatr es la atracción interpartı́cula. De la ecuación sale a la vista que la diferencia entre la presión intergranular y el esfuerzo geomecánico efectivo es la diferencia entre las fuerzas atractivas y repulsivas interpartı́cula. Si el esfuerzo repulsivo es igual al esfuerzo atractivo, o si son 19.

(27) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. pequeños comparados con el esfuerzo total, no habrá diferencia entre el esfuerzo efectivo y la presión intergranular. En otras palabras, como los resultados de Fernandez y Quigley (1985) y Anandarajah y Zhao (2000) indican, los suelos arcillosos pueden comportarse como arena fina y (o) suelo arcilloso sobre-consolidado con la presencia de lı́quidos orgánicos. Se debe enfatizar que los cálculos teóricos por Kaya y Fang (2000) y Anandarajah y Zhao (2000) no son precisos por las fuerzas de dispersión y de acido/base.. Las fuerzas de minerales de arcilla son diferentes en magnitud y naturaleza. Ası́, su interacción con lı́quidos orgánicos, que también tiene fuerzas diferentes de dispersión y acido/base, será una función de la interacción de estas fuerzas en la interfaz. Las propiedades mecánicas de minerales de arcilla con lı́quidos orgánicos también serán una función de las fuerzas entre el mineral y la interfaz lı́quida. 2.1.6.. Fuerzas Cementantes (Tipo C). Existen muchos mecanismos que llevan a la cementación. P.e. La evaporación del agua en los meniscos entre dos partı́culas y la precipitación de sal, forman cristales que unen las partı́culas vecinas. “... La cementación es una consecuencia natural de envejecimiento y resultante de efectos diagenéticos en suelos ...”. La mayorı́a de los suelos naturales tienen algún grado de unión interpartı́cula. La cementación está frecuentemente acompañada de contracción o expansión resultantes de cambios en las fuerzas esqueletales interpartı́culas. Sin embargo la contribución mecánica más significativa de la cementación es activada cuando se desarrollan desplazamientos en el suelo [7].. 20.

(28) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.11: Imágenes de Microscopio Óptico. A. Caolinita con Agua. B. Caolinita con Metanol. C. Caolinita con Anilina. D. Caolinita con Xileno. E. Bentonita con agua. F. Bentonita con Anilina. [6]. 21.

(29) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 2.2.. MIC 2007-I-3. Comportamiento Coloidal. Los coloides son sistemas que están compuestos por unidades cinéticas cuyas dimensiones son grandes en comparación con los átomos. Los coloides se clasifican según su comportamiento en Liofóbicos y Liofı́licos.. Para los coloides Liofobicos no hay una afinidad marcada entre las partı́culas o moléculas y la estabilidad del sistema depende principalmente de las cargas eléctricas de las partı́culas; además sus unidades cinéticas se caracterizan por ser partı́culas rı́gidas que pueden ser amorfas, cristalinas o simplemente gotas lı́quidas. Para los coloides Liofı́licos existe una fuerte afinidad entre las partı́culas y las moléculas de la dispersión y su estabilidad está controlada por la carga de las partı́culas y de la solución; sus unidades cinéticas pueden ser grandes moléculas o agrupaciones de moléculas disueltas en el medio disperso.. Los sistemas Liofóbicos pueden ser floculados o coagulados agregando pequeñas cantidades de electrolitos, cuya efectividad depende caracterı́sticamente del tipo de valencia y de la naturaleza del electrolito. Son termodinámicamente inestables. En el análisis microscópico, aparece que antes de la floculación, cada partı́cula individual está sujeta a un movimiento térmico (Movimiento Browniano), para luego agrupase y formar aglomerados más grandes. En el caso de la coagulación se mantiene la individualidad donde las partı́culas están unidas por fuerzas débiles en pocos puntos y en este caso las partı́culas son sujetas de facil peptización. Aunque no se puede tomar como una regla, los coloides Liofı́licos, en la mayorı́a de las situaciones no presentan floculación con la aplicación de pequeñas cantidades de electrolitos.. Los sistemas Liofı́licos se caracterizan por ser enteramente abiertos al medio disperso y sus uniones o cadenas están sujetas a una actividad térmica que puede. 22.

(30) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. traducirse en una alta capacidad de adsorción de otras moléculas p.e. Agua. Son termodinámicamente estables.. Es importante considerar el fenómeno que se presenta cuando las partı́culas forman sistemas concentrados que pueden permitir una interacción entre las capas doble eléctricas, esto ocurre cuando el tamaño promedio de las partı́culas es igual o menor al espesor de las capas dobles; sin embargo en sistemas más diluidos se puede presentar un choque o encuentro para sistemas donde las partı́culas tienen libertad de movimiento.. Los factores que influencian la estabilidad de sistemas coloidales son principalmente: Para una solución coloidal o suspensión se adquiere estabilidad por la formación de una capa doble de suficiente resistencia para mantener su individualidad y evitar la aglomeración (Peptización). Secundariamente la estabilidad para una solución coloidal o suspensión una vez formado puede ser afectada y eventualmente completamente destruida (Floculación o Coagulación) por la adición de electrolitos arbitrarios al sistema. Es importante considerar que la Estabilidad y la Coagulación pueden ser mejor entendidas sobre la base de un estudio detallado de los cambios que ocurren en las dobles capas eléctricas cuando las esferas iónicas de las partı́culas se interpenetran. 2.2.1.. Suspensiones. Fundamentalmente no existe una diferencia entre las soluciones coloidales y las suspensiones, la principal diferencia está en las dimensiones de las partı́culas que forman la parte dispersa. Un sistema es llamado suspensión cuando las partı́culas individuales se sedimentan en unas pocas horas, mientas la solución coloidal se mantienen 23.

(31) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. en suspensión por dı́as o cuando las partı́culas son suficientemente pequeñas.. Aproximadamente el lı́mite entre las suspensiones y los coloides está dado por una partı́cula de dimensión aproximada 1µ. En el campo de la estabilidad, las suspensiones estables no muestran una marcada diferencia con los sistemas floculados. Sin embargo en un examen más riguroso aparecen claras diferencias las propiedades mecánicas de suspensiones concentradas y sedimentos formados por ellas.. Una suspensión estable como p.e. Suspensión Acuosa de suelo de granos de cuarzo, demuestra el fenómeno de dilatancia. Un sistema dilatante llega a comportarse como un lı́quido y fluye fácilmente bajo pequeños esfuerzos. Para rápidos cambios de forma o grandes esfuerzos cortantes el sistema se endurece y ofrece alta resistencia a la deformación. Por otra parte en sistemas floculados, que estén en estado floculado por adición de electrolitos o por el caso de un medio disperso no apto para crear estabilidad, muestra una marcada plasticidad. A pequeños esfuerzos se ofrece una resistencia relativa fuerte y se puede llegar a comportar como un solido, mientras que a grandes esfuerzos puede llegar a fluir. De acuerdo a esto en el caso de la dilatancia, la doble capa eléctrica crea una fuerte repulsión entre las partı́culas que están más cercanas, entonces las partı́culas evitan ser presionadas unas contra otras y facilmente resbalan ante la presencia de una delgada capa de lı́quido. Por lo tanto el sistema fluye facilmente, aplicando esfuerzos que sean suficientemente débiles para permitir que el lı́quido fluya a través de los espacios capilares entre las partı́culas. Pero cuando se intenta deforma el sistemas rápidamente, el lı́quido que fluye en los canales capilares entre las partı́culas no puede seguir estos movimientos, ya que los desplazamientos adicionales son inhibidos y el sistema llega comportarse mas o menos como un sólido.. Existe una directa conección entre las propiedades de dilatancia, plasticidad y las densidad de los sedimentos de la suspensión. 24.

(32) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Tabla 2.1: Tamaño aproximado de partı́culas según mineral. 2.3.. Caracterización de las Arcillas. Caracterı́sticamente las arcillas describen propiedades fı́sico-quı́micas que se derivan, principalmente, de: Su tamaño extremadamente pequeño (a nivel de partı́cula), inferior a 2 mm como lo muestra las Fig. 2.12 Su morfologı́a laminar (filosilicatos) Las sustituciones isomórficas, que dan lugar a la aparición de carga en las láminas y a la presencia de cationes débilmente ligados en el espacio interlaminar. Por estos factores, presentan, un área superficial muy grande y, a la vez, la presencia de una gran cantidad de superficie activa, con enlaces no saturados. Debido a esto pueden interactuar con muchas sustancias, en especial compuestos polares (p.e. las que tienen comportamiento plástico en mezclas arcilla-agua con elevada proporción sólido/lı́quido y son capaces en algunos casos de expandirse, con el desarrollo de propiedades reológicas en suspensiones acuosas). Por otra parte, la existencia de car25.

(33) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Figura 2.12: Diferentes tipos de arcilla (www.minersoc.org). 26.

(34) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. ga en las láminas se compensa, con la entrada en el espacio interlaminar de cationes débilmente ligados y con estado variable de hidratación, que pueden ser intercambiados fácilmente mediante el contacto de la arcilla con una solución saturada en otros cationes, a esta propiedad se la conoce como capacidad de intercambio catiónico. A continuación se muestran algunos ejemplos de superficies especı́ficas de arcillas:. Caolinita de elevada cristalinidad. hasta 15 m2/g. Caolinita de baja cristalinidad. hasta 50 m2/g. Halloisita. hasta 60 m2/g. Illita. hasta 50 m2/g. Montmorillonita. 80-300 m2/g. Sepiolita. 100-240 m2/g. Paligorskita. 100-200 m2/g. La capacidad de intercambio catiónico (CEC) se puede definir como la suma de todos los cationes de cambio que un mineral puede adsorber a un determinado pH. Es equivalente a la medida del total de cargas negativas del mineral. Estas cargas negativas pueden ser generadas de tres formas diferentes: Sustituciones isomórficas dentro de la estructura. Enlaces insaturados en los bordes y superficies externas. Disociación de los grupos hidroxilos accesibles. A continuación se muestran algunos ejemplos de capacidad de intercambio catiónico (en meq/100 g):. 27.

(35) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. Caolinita. 3-5. Halloisita. 10-40. Illita. 10-50. Clorita. 10-50. Vermiculita. 100-200. Montmorillonita Sepiolita-paligorskita. 80-200 20-35. Algunas arcillas pueden absorber agua u otras moléculas en el espacio interlaminar (esmectitas) o en los canales estructurales (sepiolita y paligorskita). La capacidad de absorción está directamente relacionada con las caracterı́sticas de textura (superficie especı́fica y porosidad) y se puede hablar de dos tipos de procesos que difı́cilmente se dan de forma aislada: absorción (cuando se trata fundamentalmente de procesos fı́sicos como la retención por capilaridad) y adsorción (cuando existe una interacción de tipo quı́mico entre el adsorbente, en este caso la arcilla, y el lı́quido o gas adsorbido, denominado adsorbato). La hidratación y deshidratación ocurren con independencia del tipo de catión de cambio presente. El grado de hidratación está ligado a la naturaleza del catión interlaminar y a la carga de la lámina. La absorción de agua en el espacio interlaminar tiene como consecuencia la separación de las láminas dando lugar al hinchamiento. Este proceso depende del balance entre la atracción electrostática catión-lámina y la energı́a de hidratación del catión. A medida que se intercalan capas de agua y la separación entre las láminas aumenta, las fuerzas que predominan son de repulsión electrostática entre láminas, lo que contribuye a que el proceso de hinchamiento pueda llegar a disociar completamente unas láminas de otras. Cuando el catión interlaminar es el sodio, las esmectitas tienen una gran capacidad de hinchamiento, pudiendo llegar a producirse la completa disociación de cristales individuales de esmectita, teniendo como resultado un alto grado de dispersión y un máximo desarrollo. 28.

(36) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. MIC 2007-I-3. de propiedades coloidales. Si por el contrario, tienen Ca o Mg como cationes de cambio su capacidad de hinchamiento será mucho más reducida. Las arcillas son eminentemente plásticas. Esta propiedad se debe a que el agua forma una envuelta sobre las partı́culas laminares produciendo un efecto lubricante que facilita el deslizamiento de unas partı́culas sobre otras cuando se ejerce un esfuerzo sobre ellas. La elevada plasticidad de las arcillas es consecuencia, nuevamente, de su morfologı́a laminar, tamaño de partı́cula extremadamente pequeño (elevada área superficial) y alta capacidad de hinchamiento.. 29.

(37) Capı́tulo 3. Prologo de la Simulación 3.1.. Interacción de las Partı́culas. Luego de postular la mayorı́a de las fuerzas que pueden actuar sobre una partı́cula trataremos las fuerzas esencialmente sobre partı́culas de suelos finos. Como es el objeto de este trabajo, se desean analizar partı́culas de suelos arcillosos, las cuales representan sistemas coloidales. Un sistema coloidal está compuesto por dos fases:una continua, que normalmente es un fluido, y otra dispersa en forma de partı́culas, por lo general sólidas, de tamaño mesoscópico. En particular, se define la escala mesoscópica como la situada entre unos 10 nanómetros y 10 micrómetros. Caracterı́sticamente las partı́culas en suelos arcillosos describen una forma aplanada y alargada (laminar). Además de tener tamaños mesoscópicos, tienen carga superficial. Esto hace que existan fuerzas electro quı́micas generadas por la interacción iónica entre la partı́cula y el medio en que está inmersa. El principal problema para modelar sistemas de partı́culas coloidales es la inclusión de las fuerzas electro-quı́micas. Las principales fuerzas electro-quı́micas que se presentan en la interacción de partı́culas coloidales con carga son: Las fuerzas atractivas de Van der Waals. 30.

(38) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.1: Fuerza vs distancia entre dos partı́culas de Caolinita paralelas. A. Anandarajah y Yao (1992). Las fuerzas repulsivas de la Doble capa difusa Las fuerzas repulsivas de Born Para calcular este tipo tipo de fuerzas se debe partir de la integración de los potenciales, que para algunas formulas requieren de métodos de numéricos complejos de solución como elementos finitos, diferencias finitas o métodos iterativos. Mientras la interacción de las partı́culas se aproxime a menor distancia, las fuerzas electro-quı́micas comienzan a ser más importantes en el comportamiento de las partı́culas. Varios estudios se han realizado para medir las fuerzas sobre partı́culas coloidales cargadas de tipo arcilloso como se muestra en la figura 3.1. De acuerdo a esto y si observamos la lı́nea de la fuerza neta, podemos ver la gran influencia de las fuerzas atractiva y repulsiva sobre cierta distancia lı́mite de interacción. Tanto la fuerza repulsiva generada por la doble capa difusa de las partı́culas como la fuerza atractiva de Van der Waals, permanecen constantes cuando las. 31.

(39) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. Figura 3.2: Fuerza vs distancia ocean.washington.edu/oc540/lec02-26. -. Interacción. MIC 2007-I-3. de. partı́culas. http://www2.. partı́culas están interactuando a una distancia menor o igual a un 1nm (para este caso de análisis). A partir de esta distancia, debido al traslapo de las capas que rodean las partı́culas, comienza a ser importante la fuerza repulsiva de Born. Esta fuerza se genera principalmente por la interacción de los electrones de las capas dobles de las partı́culas. En la figura 3.2 podemos ver un esquema de la influencia de la fuerza repulsiva de Born sobre las partı́culas, donde se alcanzan valores muy por encima de las fuerzas repulsivas producidas por la Doble Capa. Debido a que se desea obtener una simulación mas realista del comportamiento de este tipo de partı́culas se deben incluir la fuerzas de Born. Las fuerzas de repulsión de Born se tienen en cuenta a través de la interacción mecánica, pues su comportamiento es muy similar al procedimiento utilizado mediante el calculo de fuerzas con el volúmen de traslapo en que se encuentren los pares de partı́culas. 3.1.1.. Fuerzas repulsivas por Doble Capa. Para las fuerzas repulsivas por la presencia de la Doble Capa existen tres modelos básicos anteriormente mencionados. Estos son los modelos de Helmholtz (1890),. 32.

(40) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Gouy-Chapmann (1923) y Stern (1946). Utilizando la teorı́a Gouy-Chapman de la doble capa eléctrica, y como lo propone [2], se usa la fuerza repulsiva entre dos partı́culas aplanadas no paralelas de longitud finita sumergidas en electrólitos de 1:1. Se asimila el modelo al propuesto por [1] para la solución del cálculo de potencial en dos platos de longitud infinita y paralelos. La distribución del potencial alrededor de los platos es computada solucionando la ecuación Poisson-Boltzmann con la ayuda de la diferencias finitas. La magnitud y posición de la fuerza repulsiva neta entre dos platos son entonces computadas para un rango de valores de parámetros geométricos y el potencial de la superficie. Los resultados señalan que cuando el ángulo entre partı́culas aumenta, la magnitud de fuerza repulsiva decrece, y la posición cambia hacia los extremos más cercanos. También [2] muestra que la fuerza computada por el método simplificado basado en la aproximación de Derjaguin es aproximada al computado por el método numérico de diferencias finitas. La fuerza repulsiva electrostática entre partı́culas negativamente cargadas en un medio depende de la geometrı́a y la orientación de partı́culas, intensidad de carga eléctrica en la superficie de la partı́cula, y la composición de medio circundante de las partı́culas. La teorı́a clásica Gouy-Chapman, que trata el medio como un electrolito sin estructura, fue usada por Verwey y Overbeek para investigar la interacción entre platos planos y entre esferas para el caso con iones simétricos. La teorı́a fue extendida por Grahame (4) para los electrólitos asimétricos 1:2 y 2:1. De acuerdo a la postulación de [2], dos partı́culas aplanadas Figura 3.3, cada una con un ancho unitario y longitud l, están colocados en un fluido de extensión infinita y el ángulo entre ellas es θ, y la separación más cercana entre ellos es 2d. Las partı́culas son aproximadas por lı́neas rectas. El potencial eléctrico en superficie de la partı́cula es tratado aquı́ como la constante, ψ0 . Se asume que la fase lı́quida es una solución monovalente de electrolito. La fuerza repulsiva entre partı́culas en la dirección global y y su posición medida más cercana en los extremos de la partı́cula son Fy y ly , respectivamente. El plano de simetrı́a es representado por ahı́ Γ0 . Se asume que los 33.

(41) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.3: Un sistema de dos partı́culas inmersas en un fluido y la fuerza repulsiva entre ellas: a)plano x-y y b)plano ζ y η. iones son cargas de punto y la interacción entre ellos no es tenida en cuenta.. La distribución espacial del potencial eléctrico ψ en el sistema es gobernada por la ecuación Poisson-Boltzmann: νe −8πenν ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ sinh( ψ) + 2 + 2 = 2 ∂x ∂y ∂z kT. (3.1). Donde , e, k, T y n son la constante dieléctrica del medio, la carga electrónica unitaria, la constante de Boltzmann, la temperatura absoluta y la concentración iónica del medio respectivamente. Introduciendo las transformaciones de variable y aplicándolo a 2D: νeψ kT. (3.2). ζ = Kx. (3.3). η = Ky. (3.4). φ=. 34.

(42) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. donde,. K=. 8πne2 ν 2 kT. (3.5). La fuerza neta electrostática y repulsiva actuando sobre la partı́cula mostrada en la Fig. 3.3a puede ser computado de la densidad de fuerza dada por:. f = fx i + fy j = ρ(. ∂ψ ∂ψ i+ j) ∂x ∂y. (3.6). Dónde fx y fy son las densidades de fuerza en las direcciones x y y, i y j son los vectores unitarios de la base en las direcciones x y y, y ρ es la densidad de la carga, ρ se relaciona con ψ como: ρ = −2nνe sinh(φ). (3.7). La fuerza neta sobre la partı́cula es obtenida mediante la integración de las densidades de fuerza como: F = Fx i + Fy j =. Ω. ρ(. ∂ψ ∂ψ i+ j)dΩ ∂x ∂y. (3.8). Se definen las fuerzas netas adimensionales Rζ y Rη :. Rζ =. Fx 2nkT. (3.9). Rη =. Fy 2nkT. (3.10). Transformando la integral de volumen en una integral de superficie: R=−. Γ. (sζ i + sηj = cosh φdΓ 35. (3.11).

(43) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.4: Dominio rectangular considerado para el análisis [2]. Donde sζ y sη son ζ y η componentes de vectores de la unidad normales para la superficie Γ y i y j son los vectores de la base de la unidad en las direcciones ζ y η. Considerando un contorno cerrado alrededor de la partı́cula como se muestra en Fig. 3.4, esta integral puede ser simplificada dividiéndolo en integrales sobre Γ1 a través Γ8 y notando lo siguiente. El vector de la unidad normal para Γ5 es igual y opuesto para el vector de la unidad normal para Γ6 , pero la distribución de φ a lo largo de Γ5 es idéntica por encima Γ6 . Por consiguiente, la suma de integrales de Γ5 y Γ6 es cero. Por el mismo argumento, la suma de integrales sobre Γ7 y Γ8 es cero y de integrales de Γ2 y Γ4 es cero. Observando que Γ1 y Γ3 son normales para el eje η y son de longitud igual, la ecuación simplifica a:. Rζ = 0. 36. (3.12).

(44) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Rη =. Γ1. (cosh φ − 1)dΓ. (3.13). La solución analı́tica propuesta por [2], unidimensional es: . φD. (2 cosh(y) − 2 cosh(φD ))−1/2 dy = −D. (3.14). φ0. donde φD es el potencial adimensional en el plano medio y 2D es la separación entre partı́culas Figura 3.3b. Anandarajah y Chen (1994) proponen utilizar la aproximación analı́tica de Derjaguin como se describe a continuación. La ecuación anterior relaciona el potencial del plano medio φD con la mitad de la distancia de separación D para un caso de una sola dimensión, donde las partı́culas son paralelas e infinitamente largas. En el caso más general de interés aquı́, donde las partı́culas no son paralelas y de longitud finita, aproximando las partı́culas por segmentos paralelos pequeños en una distancia dada ζ, el potencial del plano medio entre cada par de segmentos paralelos pequeños en una ζ dada es computado por la ecuación de una sola dimensión. La fuerza neta entre las dos partı́culas es luego obtenida por la suma total de fuerzas entre todos los pares de segmentos paralelos pequeños como: . Rη =. i=n . {cosh φiD − 1}∆L cos(θ/2). (3.15). i=1 . Donde Rη es la fuerza neta aproximada, es el plano medio potencial para el par i-esimo, ∆L es una fracción de L (o el tamaño de cuadro), y n es el número total de pares usados para aproximar las partı́culas. φiD debe ser determinado de ecuación unidimensional para la distancia de separación del par i-esimo, η0i , dado por: η0i = 2D + (2i − 1)∆L sin(θ/2). (3.16). Esta solución analı́tica es la propuesta por [2] (1994). Este modelo es aplicable a 37.

(45) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. simulaciones en 2 dimensiones.. Para aplicar esta postulación a partı́culas y modelos tridimensionales Anandarajah y Yao [3] (2003) hacen la siguiente postulación. El procedimiento fué aplicado para calcular la fuerza repulsiva por Doble Capa ası́: 1. Determinar el plano medio λ entre dos planos orientados arbitrariamente α y β sobre las partı́culas 1 y 2, respectivamente. (los planos de las partı́culas) 2. Encontrar las proyecciones de las partı́culas 1 y 2 en un plano medio 3. Definir el área de traslapo entre estas proyecciones 4. Dividir el área traslapada en un numero de franjas delgadas paralelas a la lı́nea de intersección en los planos α y β, y calcule la distancia de separación entre los correspondientes pares de lı́neas de partı́culas. 5. Calcular la fuerza repulsiva entre cada par de lı́neas de acuerdo al procedimiento propuesto y sumar para todas las franjas para calcular la fuerza repulsiva total entre las partı́culas. 6. Sumar los momentos de las fuerzas en cada franja y dividir por la fuerza total para encontrar la localización de la fuerza total repulsiva. Estas consideraciones de acuerdo a la figura 3.5.. 3.1.2.. Fuerzas atractivas de Van der Waals. La fuerza de Van der Waals proviene de la interacción entre moléculas de cada partı́cula. El efecto global es generalmente atrayente. De acuerdo a la postulación realizada por [9]. Para computar la energı́a asociada con la fuerza van der Waals entre. 38.

(46) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.5: Diagrama para el cálculo de la Fuerza Repulsiva de Doble Capa [3]. dos moléculas separadas en el vacı́o por una distancia r, London (1930) propuso la siguiente ecuación:. u(r) = −. B r6. (3.17). Donde la B es llamada la constante London. Según Hamaker (1937) y De Boer (1936), la energı́a asociada con la fuerza de van der Waals atractiva entre dos macro-cuerpos puede calcularse por la suma total en pares de todas las interacciones intermoleculares correspondientes: ρ1 ρ2 udΩ1 dΩ2. U= V1. (3.18). V2. Donde V1 y V2 , son volúmenes de los macro-cuerpos 1 y 2 respectivamente y ρ1 y ρ2 son densidades moleculares. La fuerza de Van der Waals atractiva puede ser obtenido como la derivada de la función de energı́a con relación a la distancia. 39.

(47) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.6: Interacción de Van der Waals entre un punto y una pared [9]. La integración de la formula da como resultado una relación que contiene un componente geométrico y una constante Hamaker A (Lyklema, 1991).. A = π 2 Bρ1 ρ2. (3.19). Una aproximación macroscópica fue propuesta por Lifshitz en 1956 para calcular la constante de Hamaker por ahı́ considerando las propiedades de la mol de las partı́culas y los medios interpartı́cula como los espectros dieléctricos e ı́ndices refractivos (Lifshitz, 1956). Anandarajah y Chen (1997) desarrollaron ecuaciones analı́ticas para evaluar la fuerza atractiva de Van der Waals para un sistema de partı́cula/pared por la aproximación de Hamaker-de Boer para tener en cuenta los efectos geométricos y el método simplificado Lifshitz (1956) para tener en cuenta el efecto del medio lleno del espacio entre las dos partı́culas de arcilla. La interacción atractiva de Van der Waals entre una molécula en el punto P y una pared infinitamente larga con espesor dado d1 (Fig. 3.6) puede ser solucionado. 40.

(48) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. analı́ticamente y puede ser expresado como funciones de la de distancia de separación h. Considere un anillo dentro de la pared de radio r sin θ y con un espesor radial y axial d(R tan θ) y dR respectivamente. La distancia entre cualquier punto en el anillo y el punto de la molécula es el mismo,. R . cos θ. La energı́a de interacción de Van Der. Waals entre el anillo y la molécula en el punto P puede ser calculada usando la fórmula de London (2.7). El volumen del anillo es:. dV = 2πR2 tan θdRd(tan θ). (3.20). Integrándose sobre la pared, la energı́a total de la interacción de van der Waals, esta puede ser obtenida y expresada como sigue: Up (h) =. ρ1 udV. (3.21). V. 1 = πBρ1 6. . 1 1 − 3 3 (h + d1 ) h. (3.22). La fuerza total van der Waals es derivada como: 1 dUp (h) Fp (h) = = πBρ1 dh 2. . 1 1 − 4 h (h + d1 )4. (3.23). Como lo señala Manchun (2001) [9]. Para un sistema de dos partı́culas aplanadas en un fluido (Fig. 3.7), la solución analı́tica de la integración multidimensional no está disponible. Aunque los métodos numéricos rigurosos pueden usarse para solucionar el problema multidimensional de integración, es computacionalmente muy dispendioso. Considerando la naturaleza altamente localizada de la fuerza van der Waals, es razonable reemplazar una partı́cula por una pared infinitamente larga de espesor finito y desarrollar un método simplificado para calcular la fuerza atractiva de Van der Waals entre dos partı́culas en espacio tridimensional (Fig. 3.8). La interacción total de Van der Waals entre una partı́cula y una pared infinitamente larga 41.

(49) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.7: Interacción atractiva de Van der Waals entre dos partı́culas en 3-D [9]. puede ser obtenida integrando la interacción entre cada punto en la partı́cula y la pared. Fparticle =. Fp (Z)ρ2 dVparticle. (3.24). particle. Donde Z denota la coordenada Z del punto P en el sistema de coordenadas X −Y −Z mostrado en Fig. 3.8. Note que O está en la superficie superior de la pared. La matriz T denota la matriz de transformación de la partı́cula aplanada. Para un punto dado con coordenada homogénea (x, y, z, 1)T en el sistema de coordenadas local de x − y − z, es homogénea la coordenada (X, Y, Z, 1)T en la coordenada X − Y − Z puede calcularse usar la siguiente fórmula: Donde (x0 , y0 , z0 ) sea la coordenada X − Y − Z del centro de la partı́cula Op , y la tij de cosenos directores. El sistema de coordenadas homogéneo es usado porque simplifica las operaciones de transformación de coordenada. Suponga la longitud, la anchura y la altura de la partı́cula es 2L, 2W y 2H respectivamente y el espesor de la pared es 2T . La fuerza total Van der Waals puede. 42.

(50) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.8: Interacción atractiva de Van der Waals entre una partı́cula y una pared [9]. escribirse con el siguiente formato:. Fparticle =. A 1 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − − + − − 12πt31 t32 t33 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − ) Q0 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7. donde, ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣. ⎤ P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7. ⎡. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣. −Lt31 − W t32 − Ht33 + z0 −Lt31 + W t32 − Ht33 + z0 +Lt31 + W t32 − Ht33 + z0 +Lt31 − W t32 − Ht33 + z0 −Lt31 − W t32 + Ht33 + z0 −Lt31 + W t32 + Ht33 + z0 +Lt31 + W t32 + Ht33 + z0 +Lt31 − W t32 + Ht33 + z0. 43. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. (3.25).

(51) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. ⎤. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣. Q0. ⎡. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣. Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6. MIC 2007-I-3. ⎤ P0 + 2T P1 + 2T P2 + 2T P3 + 2T P4 + 2T P5 + 2T P6 + 2T. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. (3.26). P7 + 2T. Q7. Pi corresponde a las coordenadas Z de los vertices de la partı́cula en el sistema de coordenadas X − Y − Z. Pi son distancias de vertices de la partı́cula a la superficie superior de la pared, mientras que Qi son distancias de vertices de la partı́cula a la superficie más baja de la pared. La fuerza neta entre la partı́cula y la pared es perpendicular a la pared. El punto de acción de la fuerza atractiva de Van der Waals puede ser obtenida: . . Fparticle X =. Fp (Z) × Xρ2 dVparticle. (3.27). Fp (Z) × Y ρ2 dVparticle. (3.28). particle. . . Fparticle Y = particle. Mientras las ecuaciones anteriormente citadas tienen en cuenta el efecto de geometrı́a en la magnitud y la dirección de la fuerza atractiva de Van der Waals, un valor adecuado de las constantes Hamaker se necesita para ser tener en cuenta el efecto de la composición de minerales de arcilla y el fluido que llena el espacio intersticial. La constante de Hamaker se ha calculado para los diversos sistemas de interés para los ingenieros geotecnicosl y geoambientales por Anandarajah y Chen (1994) y Chen (1996). Por la conveniencia, los valores de constantes Hamaker para varios sistemas pertinentes se han copiado de Chen (1996) y se presentan en Tabla 44.

(52) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Tabla 3.1: Constantes de Hamaker [9]. 3.1. Similar a la interacción repulsiva de capa doble, la interacción de Van der Waals también cambia considerablemente con el cambio en la distancia de separación de la partı́cula y su orientación. Fig. 3.9 muestra el cambio de la Fuerza van der Waals con relación al cambio de distancia de separación para dos partı́culas paralelas del illite. La fuerza atractiva de Van der Waals que la disminuye rápidamente con el incremento de distancia de separación. Fig. 3.10 muestra el cambio de fuerza van der Waals con relación al cambio de ángulo de la inclinación, donde la distancia mı́nima es mantenida en 1,0nm. La fuerza atractiva de Van der Waals alcanza su máximo valor cuando dos partı́culas son paralelas a uno a otro si la distancia mı́nima no cambia. Siguiendo el mismo esquema para estudiar los efectos tridimensionales de fuerza repulsiva por doble capa, los efectos tridimensionales de la fuerza atractiva de Van der Waals son también estudiados. Rotar la partı́cula consistentemente hacia fuera le reduce la interacción atractiva de van der Waals entre partı́culas.. 45.

(53) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. MIC 2007-I-3. Figura 3.9: Cambio de las atracciones de Van der Waals con respecto al cambio en la separación entre dos partı́culas de Ilita [9]. Figura 3.10: Cambio de las atracciones de Van der Waals con respecto al cambio en la inclinación entre dos partı́culas de Ilita [9] 46.

(54) CAPÍTULO 3. PROLOGO DE LA SIMULACIÓN. 3.2.. MIC 2007-I-3. Cálculo de las Fuerzas de Interacción. Como lo propone Anandarajah y Yao (2003) [9], en cada paso de tiempo, la detección de contacto está bajo la dirección de llamar las funciones en SWIFT. SWIFT reporta una lista de pares de partı́culas con distancias menores a donde las fuerzas fı́sico-quı́micas no son considerables. Las Fuerzas de interacción se calculan para cada uno de estos pares en la lista. La fuerza repulsiva de la capa doble y la fuerza atractiva de Van der Waals entre cada par de partı́culas que interactúa se calculan después de los métodos descritos anteriormente. Para esos pares de la partı́cula con distancias menores del truncamiento de la fuerza mecánica, las fuerzas mecánicas se calculan usando el siguiente método: Encontrar todos los contactos Vértice-Cara y todos los contactos de BordeBorde entre las dos partı́culas y almacénelos en dos listas respectivamente. Procese las dos listas de contacto entre dos partı́culas y calcule fuerzas mecánicas considerando la información de contacto. Básicamente, los contactos mecánicos son procesados uno por uno. Si no hay registro del contacto, el contacto es uno nuevo y deberı́a ser introducido en la lista después del cálculo de la fuerza mecánica. Si el contacto existe en el anterior paso de tiempo, la fuerza mecánica es actualizada según los movimientos relativos durante el paso de tiempo. Las reglas elásticas o perfectas plásticas de movimiento de fuerza son aplicadas, basadas en el estado del contacto mecánico. Al mismo tiempo, la información acerca del contacto es actualizada. Por otra parte, algunos contactos en el anterior paso de tiempo ya no pueden existir en este paso de tiempo debido al movimiento de partı́culas. Por consiguiente, después del cálculo de fuerzas, los contactos que no pueden existir deben ser removidos.. 47.