Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso. Espacio euclídeo Determinación de ángulos

Unidad 6

Espacio euclídeo

5.1. Determinación de ángulos. ... 2

-5.1.1. Ángulo determinado por dos rectas secantes. ... 2

-5.1.2. Ángulo determinado por planos secantes. ... 2

-5.1.3. Ángulo determinado por una recta y un plano secantes. ... 2

-5.2. Determinación de distancias. ... 3

-5.2.1. Distancia entre dos puntos del espacio. ... 3

-5.2.2. Distancia de un punto exterior a un plano. ... 3

-5.2.3. Distancia entre dos planos. ... 4

-5.2.4. Distancia de un punto exterior a una recta. ... 4

-5.2.5. Distancia entre dos rectas paralelas. ... 5

-5.2.6. Distancia de una recta a un plano. ... 5

-5.2.7. Distancia entre dos rectas que se cruzan. ... 5

-5.3. Otros problemas métricos. ... 6

-5.3.1. Perpendicular común de dos rectas que se cruzan. ... 6

-5.3.2. Plano mediador. ... 7

-5.3.3. Plano bisector. ... 7

-5.3.4. Puntos simétricos respecto de un plano. ... 8

-5.3.5. Puntos simétricos respecto de una recta. ... 8

-5.3.6. Punto de una recta equidistante de dos puntos exteriores a ella. ... 9

-5.3.7. Recta que corta a otras dos rectas dadas. ... 9

Anexo I. EJERCICIOS... 11

Anexo II. NORMATIVA... 12

-OBSERVACIÓN: Se pueden encontrar ejercicios resueltos paso a paso en la página web:

5.1. Determinación de ángulos.

5.1.1. Ángulo determinado por dos rectas secantes.

El ángulo determinado por dos rectas secantes r y s es el menor de los ángulos que determinan dichas rectas, por tanto coincide con el formado por sus vectores directores u y

v, o con el suplementario de éste.

Es decir:

( )

r s

,

=

( )

u v

,

o bien:

( )

r s

,

=

180

−

( )

u v

,

Por tanto, para calcular hacemos:

cos( , )r s cos u v u v

α

⋅ = = ⋅

Si las rectas son perpendiculares

α

=90o y u v⋅ =0

Si las rectas se cruzan, se puede definir el ángulo, como el que forman dos secantes paralelas a ellas.

5.1.2. Ángulo determinado por planos secantes.

El ángulo determinado por dos planos secantes

π π

y ´ es el menor de los ángulos diedros que ambos planos determinan. Su medida coincide con el ángulo formado por los vectores normales de cada uno de los planos o con el suplementario de éste.

Es decir:

( )

_{π π}

_{, '}

₌

( )

_{n n}

_,

_′

_{o bien:}

( )

_{π π}

_{, '}

₌

₁₈₀

₋

( )

_{n n}

_,

_′

Por tanto, para calcular hacemos:

( )

cos , ' cos n n n n

π π

=

α

= ⋅ ′ ′ ⋅

Si los dos planos son perpendiculares n n· ′ =0

5.1.3. Ángulo determinado por una recta y un plano secantes.

El ángulo determinado por una recta r y un plano

π

que son secantes se determina como el ángulo que forma la recta r con su proyección sobre el plano. Dicho ángulo es:

a) El complementario del ángulo que forman el vector director de la recta r, es decir u, con el vector normal al plano n, si u y n se encuentran en el mismo semiespacio.

Es decir:

α

=

( )

r

,

π

=

90

−

( )

u n

,

Llamando

β

=

( )

u n

,

tenemos que

α

=90−

β

Entonces:

sen

α

=

sen 90

(

−

β

)

=

cos

β

b) El complementario del suplementario del ángulo que forman u y n, si u y n se encuentran en distinto semiespacio.

Es decir:

α

=

( )

r,

π

=90−

(

180−

( )

u n,

)

=

( )

u n, −90

Llamando

β

=

( )

u n

,

tenemos que

α β

= −90

Entonces:

sen

α

= −

cos

β

ya que

(

)

sen

α

=

sen

β

−

90

=

sen

β

cos90

−

cos

β

sen 90

=

sen

β

⋅ −

0

cos

β

⋅ = −

1

cos

β

Por tanto, para no tener que diferenciar a que caso corresponde cada problema, para calcular hacemos:

( )

( )

sen r, sen cos cos u n, u n

u n

π

=

α

=

β

= = ⋅

⋅

Una recta y un plano son perpendiculares cuando sen

α

=1 ⇒

α

=90, entonces

u n .

Una recta y un plano son paralelos cuando sen

α

=0 ⇒

α

=0, entonces u⊥n.

5.2. Determinación de distancias.

5.2.1. Distancia entre dos puntos del espacio.

La distancia entre dos puntos

P p p

(

₁

,

₂

,

p

₃

)

y

Q q q q

(

₁

,

₂

,

₃

)

viene dada por el módulo del vector PQ .

(

)

(

) (

2

) (

2

)

2 1 1 2 2 3 3 , d P Q = PQ = q − p + q − p + q − p

5.2.2. Distancia de un punto exterior a un plano.

• Si un punto Q pertenece a un plano

π

, evidentemente, la distancia al mismo es nula.

La distancia de un punto

P p p

(

₁

,

₂

,

p

₃

)

a un plano

π

:Ax+By Cz+ + =D 0 es la distancia entre el punto P y Q (su proyección sobre el plano). En el cálculo práctico no es necesario calcular el punto Q, sino aplicar directamente la siguiente expresión, que se puede leer como:

“Sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano (con valor absoluto) y dividir por el módulo del vector normal al plano”.

(

)

1 2 3 2 2 2 , Ap Bp Cp D d P A B C

π

= + + + + +

Esta expresión debe relacionarse con la correspondiente en el plano a la distancia de un punto a una recta. La demostración puede encontrarse en la página 142 del libro de texto.

5.2.3. Distancia entre dos planos.

Si los planos se cortan, la distancia entre ellos es cero, al igual que cuando los planos son

coincidentes.

Si no se cortan, es porque son planos paralelos. Para hallar la distancia entre dos planos

paralelos, basta con tomar un punto de uno de

ellos y hallar la distancia de ese punto al otro plano.

Para su cálculo utilizamos la expresión obtenida en el epígrafe anterior (distancia de un punto a un plano).

(

1

,

2

)

(

1

,

)

(

,

2

)

d

π π

=

d

π

Q

=

d P

π

5.2.4. Distancia de un punto exterior a una recta.

• Si un punto P pertenece a una recta r, evidentemente, la distancia a la misma es nula.

• Por ello consideramos un punto P exterior a la recta r.

La distancia desde un punto P a una recta r es igual a la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta, es decir, es la distancia desde P a su proyección P´ sobre la recta.

Determinamos la distancia como una aplicación del producto vectorial. De la recta r conozco un punto R y su vector director u.

El área del paralelogramo determinado por los vectores RP y u es: RP u× = u h⋅ ; h=d P r( , ); ⇒ h d P r( , ) RP u u × = =

5.2.5. Distancia entre dos rectas paralelas.

Si las rectas r y s son paralelas, tomamos un punto de una de ellas y hallamos la distancia desde dicho punto a la otra recta.

( ) ( ) ( )

,

,

,

d r s

=

d P s

=

d Q r

Para su cálculo utilizamos la expresión obtenida en el epígrafe anterior (distancia de un punto a una recta).

5.2.6. Distancia de una recta a un plano.

Si la recta y el plano se cortan la distancia es cero, al igual que cuando la recta está contenida en el plano. Si no se cortan es porque recta y plano son

paralelos. En este caso, la distancia entre ellos se

calcula como la distancia de cualquiera de los puntos P de la recta r al plano

π

( ) (

)

1 2 3 2 2 2 Si r P r d r, d P, Ap Bp Cp D A B C

π

⇒ _{∀ ∈}

π

₌

π

₌ + + + + +

5.2.7. Distancia entre dos rectas que se cruzan.

Sean dos rectas no coplanarias cruzadas, cuyas ecuaciones son:

(

)

1 2 3 1 2 3 , _r :x q y q z q r Q v r r r − − ₌ − ₌

(

)

1 2 3 1 2 3 , s : z p x p y p s P v s s s − − ₌ − ₌

Para hallar la distancia entre dichas rectas r y s, se calcula sobre el paralelepípedo de la figura, siendo la altura del paralelepípedo la distancia buscada. Teniendo en cuenta, que:

base

base

Volumen Volumen A altura Altura

A = ⋅ ⇒ ₌ ; es decir

( )

, , , r s r s PQ v v d r s v v     = ×

Otra forma de calcular sería hallando los puntos en los que ambas rectas cortan a su perpendicular común, entonces la distancia entre las rectas sería la distancia entre esos puntos.

5.3. Otros problemas métricos.

5.3.1. Perpendicular común de dos rectas que se cruzan.

La perpendicular común de dos rectas r y s no coplanarias cruzadas es la recta que corta ortogonalmente a ambas rectas a la vez.

El vector director de dicha recta es perpendicular a los vectores directores de ambas, luego se obtiene: v_p = ×v_r v_s

Se determina la perpendicular común por la intersección de dos planos

α

y

β

, que se obtienen:

(

)

(

)

: det , , 0 : : det , , 0 r s r s r r r s plano A X v v v p plano A X v v v

α

β

 _{× =}   × = 

Los puntos genéricos R y S también llamados pies de la perpendicular, se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones formado por:

Para el punto R: Sistema formado por la recta r y p. Para el punto S: Sistema formado por la recta s y p.

( ) (

,

,

)

5.3.2. Plano mediador.

Dados dos puntos A y B del espacio se llama “Plano mediador” del segmento AB al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de A y B.

Si

P x y z

(

, ,

)

es un punto del plano mediador verifica:

d A P

(

,

)

=

d B P

(

,

)

, es decir:

(

) (

2

) (

2

)

2

(

) (

2

) (

2

)

2

1 2 3 1 2 3

x a

−

+ −

y

a

+ −

z

a

=

x b

−

+ −

y b

+ −

z b

También se puede obtener la ecuación del plano mediador teniendo en cuenta que éste pasa por el punto medio de A y B, además de que el vectorAB

es un vector normal al plano buscado.

EJEMPLO:

5.3.3. Plano bisector.

Dados dos planos

π

y

π

′ del espacio se llama “Plano bisector” del ángulo formado por los dos planos al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de

π

y

π

′.

Si

P x y z

(

, ,

)

es un punto del plano bisector verifica:

d P

(

,

π

) (

=

d P

,

π

′

)

, es decir:

2 2 2 2 2 2 Ax By Cz D A x B y C z D A B C A B C ′ ′ ′ ′ + + + + + + = ′ ′ ′ + + + +

La resolución de esta expresión da lugar a dos planos, teniendo en cuenta que la igualdad de valores absolutos implica la igualdad de las expresiones salvo en el signo. Por tanto las ecuaciones de los planos bisectores se obtienen al simplificar las expresiones: 1: _{2 2 2 2 2 2} Ax By Cz D A x B y C z D b A B C A B C ′ ′ ′ ′ + + + ₌ + + + ′ ′ ′ + + + + ; 2: _{2 2 2 2 2 2} Ax By Cz D A x B y C z D b A B C A B C ′ ′ ′ ′ + + + _{= −} + + + ′ ′ ′ + + + +

5.3.4. Puntos simétricos respecto de un plano.

Los puntos simétricos respecto de un plano se pueden obtener por diversos medios, pero siempre se ha de tener en cuenta que el plano debe ser plano mediador de un punto y su simétrico respecto a él.

Una forma posible es hallar la proyección ortogonal del punto sobre el plano (construyendo una recta perpendicular al plano que pase por el punto) y después considerar que esta proyección es el punto medio del punto inicial y su simétrico. En otras palabras:

5.3.5. Puntos simétricos respecto de una recta.

Los puntos simétricos respecto de una recta también se pueden obtener por diversos medios. Se debe tener en cuenta que ambos puntos y la recta están contenidos en un mismo plano.

Una forma posible es hallar la proyección ortogonal del punto sobre la recta (construyendo un plano perpendicular a la recta que pase por el punto) y después considerar que esta proyección es el punto medio del punto inicial y su simétrico. En otras palabras:

5.3.6. Punto de una recta equidistante de dos puntos exteriores a ella.

Un planteamiento podría ser el siguiente, hallar el plano mediador de A y B, para después hallar la intersección de este plano con la recta dada. El punto obtenido es la solución. Además se puede utilizar el concepto de punto genérico de la recta para hallar esta intersección. Es decir:

También se podría hallar la distancia del punto genérico de la recta a los puntos A y B. Igualando ambas expresiones se obtendría una ecuación de la que calcular el valor del parámetro “t” que da la solución.

5.3.7. Recta que corta a otras dos rectas dadas.

El problema se puede plantear de forma que la recta buscada pase por un punto P, o bien que sea paralela a otra recta. En cualquiera de los dos casos la recta la podemos obtener como intersección de dos planos, tal como se indica a continuación.

Un ejemplo del primer caso sería:

Más ejercicios resueltos en:

Anexo I.- EJERCICIOS.

De la relación de ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha del profesor Pedro Castro Ortega del I.E.S. “Fernando de Mena” hay que hacer al menos…

Ángulos: 6, 28, 32, 43

Distancias: 1, 3, 12, 13

Anexo II.- NORMATIVA.

Contenidos:

Bloque 2. Geometría:

- Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. - Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas.

Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Criterios de evaluación

2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones.

Este criterio valora el uso del lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones (objetivos 1, 3, 5,6 y 8).

3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto.

Este criterio valora la competencia para representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente (objetivos 1, 3, 5, 6 y 8).

Indicadores:

La valoración de los criterios de evaluación anteriores se realizará mediante la observación de los siguientes indicadores asociados a cada unidad didáctica: Se indican en negrita los indicadores considerados mínimos.

C.E. Indicadores U. D.

2

1. Aplica el producto escalar en la determinación del módulo de un vector, del ángulo de dos vectores y de otros aspectos geométricos.

2. Aplica el producto vectorial en la determinación del vector director de una recta, en el cálculo de las áreas de un paralelogramo y un triángulo o en el cálculo de las distancias entre rectas que se cruzan o son paralelas.

3. Aplica el producto mixto en la determinación del volumen de un paralelepípedo o de un tetraedro, así como en determinar la distancia entre dos rectas que se cruzan.

4. Calcula los ángulos entre los elementos del espacio. 5. Calcula distancias entre los elementos del espacio.

6. Resuelve problemas métricos en general: proyecciones de puntos, rectas que se apoyan en otras dos dadas y elementos simétricos.

6 . E s p a c io e u c lí d e o

3

1. Resuelve actividades con contextos en las que aparecen matrices. 2. Resolver problemas de la realidad social y natural utilizando sistemas de

ecuaciones lineales.

3. Resolver diferentes problemas reales utilizando elementos de la geometría vectorial, afín y euclídea.

4. Resolución de problemas de la vida ordinaria para los que se requiera el estudio y representación de funciones.

5. Plantear y resolver problemas de optimización, en especial los relacionados con la geometría. 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 2 , 1 3 R e s o lv e r p ro b le m a s