Ejercitario Matemática II Ingeniería UNA

(1)

GEOMETRIA PLANA

ÁNGULOS

1.

1. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, están situados a un mismo lado del ladoDos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, están situados a un mismo lado del lado común y se diferencian en 60º, hallar el ángulo formado por sus bisectrices.

común y se diferencian en 60º, hallar el ángulo formado por sus bisectrices. Respuesta: 30º

Respuesta: 30º 2.

2. Se tienen dos ángulos consecutivos cuya suma es 120º. Si la relación entre sus suplementos es 2,Se tienen dos ángulos consecutivos cuya suma es 120º. Si la relación entre sus suplementos es 2, hallar el menor de dichos ángulos.

hallar el menor de dichos ángulos. Respuesta: 20º

Respuesta: 20º 3.

3. Si el complemento de A es al suplemento de B como el suplemento de A es al suplemento de B,Si el complemento de A es al suplemento de B como el suplemento de A es al suplemento de B, hallar el menor de los ángulos si A – B = 50º.

hallar el menor de los ángulos si A – B = 50º. Respuesta: 110º

Respuesta: 110º 4.

4. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC y se traza la bisectriz ON del ángulo BOC. Hallar elSe tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC y se traza la bisectriz ON del ángulo BOC. Hallar el ángulo AOC, sabiendo que la suma de los ángulos AOC y AOB es igual a 140º y la diferencia de los ángulo AOC, sabiendo que la suma de los ángulos AOC y AOB es igual a 140º y la diferencia de los ángulos AOB y BON es 20º.

ángulos AOB y BON es 20º. Respuesta: 95º

Respuesta: 95º 5.

5. Calcular el valor de un ángulo si el suplemento del complemento del suplemento de 4 veces el ánguloCalcular el valor de un ángulo si el suplemento del complemento del suplemento de 4 veces el ángulo es igual al suplemento del complemento del complemento del ángulo.

es igual al suplemento del complemento del complemento del ángulo. Respuesta: 100º

Respuesta: 100º 6.

6. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ánguloSi el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo B y el lado no común es de 140º, hallar el ángulo B.

adyacente a un ángulo B y el lado no común es de 140º, hallar el ángulo B. Respuesta: 20º

Respuesta: 20º

TRIÁNGULOS

7.

7. En el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB y BCEn el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular el cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular el ángulo ABC sabiendo que el á

ángulo ABC sabiendo que el ángulo MBN mide 20º.ngulo MBN mide 20º. Respuesta: 80º Respuesta: 80º A A B B C C M M N N

(2)

9.

9. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3,57 cm y la hipotenusa 7,14 cm. Hallar el ánguloUno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3,57 cm y la hipotenusa 7,14 cm. Hallar el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos agudos del triángulo.

formado por las bisectrices de los ángulos agudos del triángulo. Respuesta: 135º

Respuesta: 135º 10.

10. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA, ARB. De-Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA, ARB. De-muéstrese que los segmentos AP, BQ, CR

muéstrese que los segmentos AP, BQ, CR son iguales.son iguales. 11.

11. En un triángulo BAC, rectángulo en A, AP es la bisectriz del ángulo A y P el punto de intersecciónEn un triángulo BAC, rectángulo en A, AP es la bisectriz del ángulo A y P el punto de intersección de la misma con la hipotenusa BC. Sea PR perpendicular a BC, donde R es la intersección de la recta de la misma con la hipotenusa BC. Sea PR perpendicular a BC, donde R es la intersección de la recta PR y AC. Demostrar que

PR y AC. Demostrar que PPRR

=

BBPP..

12.

12. Demuéstrese queDemuéstrese que AAB B B

+

BC C D

>

DC C

13.

13. Si por el punto de intersección de la bisectriz de un ángulo de un triángulo con el lado opuesto seSi por el punto de intersección de la bisectriz de un ángulo de un triángulo con el lado opuesto se trazan rectas paralelas a las que contienen los otros dos lados, demostrar que los segmentos de estas trazan rectas paralelas a las que contienen los otros dos lados, demostrar que los segmentos de estas paralelas, de extremos en dicho punto y la intersección, son iguales.

paralelas, de extremos en dicho punto y la intersección, son iguales. 14.

14. Demostrar que en todo triángulo la suma de las alturas es menor que el perímetro del triángulo.Demostrar que en todo triángulo la suma de las alturas es menor que el perímetro del triángulo.

15.

15. Dado dos triángulos ABC y ABD. Los vértices C y D están en un mismo semiplano determinado por Dado dos triángulos ABC y ABD. Los vértices C y D están en un mismo semiplano determinado por la recta del lado común AB y C está fuera del triángulo ABD. Demostrar que si

la recta del lado común AB y C está fuera del triángulo ABD. Demostrar que si AAC C A

=

ADD,, BBC C B

≠

BDD..

16.

16. Si uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles esSi uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es 55 9

9 de un recto, demostrar que el triángulode un recto, demostrar que el triángulo no puede ser rectángulo.

no puede ser rectángulo.

POLÍGONOS

17.

17. Un polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular y los ángulos de aquel tienen 27ºUn polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular y los ángulos de aquel tienen 27º más que los de éste. Determinar dichos polígonos.

más que los de éste. Determinar dichos polígonos. Respuesta: pentágono regular; octógono regular Respuesta: pentágono regular; octógono regular 18.

18. De cuantos lados es un polígono que De cuantos lados es un polígono que tiene 35 diagonales.tiene 35 diagonales. Respuesta: n=10 Respuesta: n=10 A A C C B B C C

(3)

LUGAR GEOMÉTRICO

19.

19. En los lados del ángulo XOY, se tomanEn los lados del ángulo XOY, se toman OOA A O

=

OBB. Sobre AB se construye un triángulo APB en que. Sobre AB se construye un triángulo APB en que A

AP P B

>

BPP, demostrar que OP no es la bisectriz del ángulo., demostrar que OP no es la bisectriz del ángulo.

20.

20. Si por el punto medio M del segmentoSi por el punto medio M del segmento AB AB se traza CM oblicua a AB, demostrar quese traza CM oblicua a AB, demostrar que CCA A C

≠

CBB..

CUADRILÁTEROS

21.

21. Hallar los valores de los dos ángulos desiguales de un trapecio isósceles, sabiendo que los lados noHallar los valores de los dos ángulos desiguales de un trapecio isósceles, sabiendo que los lados no pa

paraleralelos los forforman man un un ángángulo ulo de 57de 57 34

°°

34 12' ' ""12 .. Re

Respspueueststa: a: 6161 12

°°

12 5' ' 544"" y y 111188 4

°°

477 0' ' 066"" 22.

22. MNPQ es un cuadrado inscripto en un triángulo equilátero ABC. M y N se encuentran sobre el ladoMNPQ es un cuadrado inscripto en un triángulo equilátero ABC. M y N se encuentran sobre el lado BC. AA’ es la altura relativa al lado a. Demostrar que AM es la bisectriz del ángulo BAA’

BC. AA’ es la altura relativa al lado a. Demostrar que AM es la bisectriz del ángulo BAA’ 23.

23. Demostrar que la suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una rectaDemostrar que la suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una recta exterior al mismo, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices a la misma recta.

exterior al mismo, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices a la misma recta.

24.

24. En un paralelogramo ABCD, Q es el punto medio deEn un paralelogramo ABCD, Q es el punto medio de AD AD, y P punto, y P punto medio de

medio de BC BC . Demuéstrese que BQ y DP trisectan al segmento. Demuéstrese que BQ y DP trisectan al segmento AC AC ..

25.

25. Se tiene un triángulo ABC en el cual por el vértice C se traza CNSe tiene un triángulo ABC en el cual por el vértice C se traza CN

perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo B. Hallar la distancia de N al punto medio del lado AC, perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo B. Hallar la distancia de N al punto medio del lado AC,

siendo siendo AAB B

=

44 mmyy BBC C

=

88 mm.. Respuesta: 6 m Respuesta: 6 m

CIRCUNFERENCIA

26.

26. Hallar el valor del ángulo ABC siendoHallar el valor del ángulo ABC siendo BBD D O

=

OAA..

64° 64° O O D D C C B B A A

°°

Q Q P P D D C C B B A A

(4)

28.

28. Por el centro de una circunferencia dada se trazan dos rectas perpendiculares entre sí. Una tangente aPor el centro de una circunferencia dada se trazan dos rectas perpendiculares entre sí. Una tangente a dicha circunferencia corta a dichas rectas en los puntos A y B. Demostrar que las tangentes a la dicha circunferencia corta a dichas rectas en los puntos A y B. Demostrar que las tangentes a la circun-ferencia trazadas por A y B son paralelas entre sí.

ferencia trazadas por A y B son paralelas entre sí. 29.

29. Demostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de una circunferencia inscriptaDemostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de una circunferencia inscripta en un triángulo con la recta que contiene a los lados del mismo, es acutángulo.

en un triángulo con la recta que contiene a los lados del mismo, es acutángulo.

30.

30. En una circunferencia de centro O se toma un arcoEn una circunferencia de centro O se toma un arco BC BC  

=

120120

°°

. Se traza la cuerda. Se traza la cuerda BC BC y las tangentesy las tangentes

en B y C, las cuales se cortan en un punto exterior A. Sobre el referido arco

en B y C, las cuales se cortan en un punto exterior A. Sobre el referido arco BC BC   se toma un punto M yse toma un punto M y

se trazan la secante BM la cual corta a AC en D y la secante CM que corta a AB en E. Demostrar que se trazan la secante BM la cual corta a AC en D y la secante CM que corta a AB en E. Demostrar que cualquiera que sea la posición del punto M sobre el arco

cualquiera que sea la posición del punto M sobre el arco BC BC   la sumala suma AAD D A

+

AE E ccttee..

=

31.

31. En un triángulo ABC sobre los lados BC y AC se toman los puntos P y Q de tal manera que el ánguloEn un triángulo ABC sobre los lados BC y AC se toman los puntos P y Q de tal manera que el ángulo PAQ = 32º. Calcular el ángulo ABQ siendo ABP = PQC = 70º.

PAQ = 32º. Calcular el ángulo ABQ siendo ABP = PQC = 70º. Respuesta: 38º

Respuesta: 38º 32.

32. Siendo ABC un triángulo equilátero inscripto en una circunfe-Siendo ABC un triángulo equilátero inscripto en una circunfe-rencia

rencia de de radio radio R R

=

88 ccmm; D punto medio del arco ADC y E pun-; D punto medio del arco ADC y E pun-to medio del lado BC , calcular las longitudes

to medio del lado BC , calcular las longitudes DE DE yy EF EF R

Reessppuueessttaa: : DDE E

=

10 510 58, , 833 mm; ; EEF F

=

4 534 5, , 366 mm 33.

33. Si por los puntos de intersección de dos circunferencias que se cortan, se trazan secantes a las circun-Si por los puntos de intersección de dos circunferencias que se cortan, se trazan secantes a las circun-ferencias, demostrar que las rectas determinadas por los extremos de las secantes en cada ferencias, demostrar que las rectas determinadas por los extremos de las secantes en cada circunferen-cia son paralelas.

cia son paralelas. 34.

34. Calcular la longitud de la tangente AB, sabiendo queCalcular la longitud de la tangente AB, sabiendo que 20

20 A

AC C

=

mm, , AAE E

=

1717 mm, , BBE E

=

66 mmy y EED D

=

44 mm..

Res

Respuepuestasta: : AAB B

=

1313 416416, , mm

F F E E D D C C B B A A A A E E D D C C B B O O

(5)

PROPORCIONALIDAD – SEMEJANZAS

35.

35. Calcular el valor del ángulo ACB.Calcular el valor del ángulo ACB.

90° 90° 20° 20° 20° 20° D D C C B B A A Respuesta: 90º Respuesta: 90º 36.

36. Si Si la la recta recta DA DA es es perpendicular perpendicular a a FE; FE; BBD D

=

1010 mmyy AAB B

=

33 mm, calcular la longitud de AC., calcular la longitud de AC.

O O F F EE D D C C B B A A Res

Respuepuestasta: : AC AC

=

6 246 245, , 5 mm 37.

37. Siendo FASiendo FA yy DE DE perpendiculares aperpendiculares a AC AC ; ; AAF F

=

1010 mm; ; BBD BD BE

=

E

=

44 mm, calcular la longitud del radio, calcular la longitud del radio de la semicircunferencia

de la semicircunferencia ABC ABC ..

F F E E D D C C B B A A Respuesta: 5 m Respuesta: 5 m 38.

38. En un triángulo se verifica queEn un triángulo se verifica que BD BD:: DA DA:::: AE AE :: EC EC y ademásy además M M yy N N son los puntos medios deson los puntos medios de AB AB y

y AC AC . Demostrar que. Demostrar que MN MN bisecta abisecta a DE DE . El punto. El punto D D se encuentra en ABse encuentra en AB yy E E enen AC AC .. 39.

39. Dos circunferencia de radiosDos circunferencia de radios R R yy r r son tangentes exteriormente yson tangentes exteriormente y d d es la distancia del punto dees la distancia del punto de tangencia a una recta tangente externa común a dichas circunferencias, demostrar que

tangencia a una recta tangente externa común a dichas circunferencias, demostrar que

r r R R Rr Rr d d

+

=

22 _.. 40.

40. El segmento de recta perpendicular a una recta secante que pasa por el centro de una circunferencia,El segmento de recta perpendicular a una recta secante que pasa por el centro de una circunferencia, de extremos en la circunferencia y el pie de la perpendicular es 6 m y su pie divide al diámetro en dos de extremos en la circunferencia y el pie de la perpendicular es 6 m y su pie divide al diámetro en dos

2 2

(6)

ÁREAS

41.

41. Siendo el triángulo ABC Siendo el triángulo ABC rectángulo enrectángulo en B B;; BBD D B

=

BE E y y AAB B

=

66 mm, calcular su área., calcular su área. E E D D C C B B A A 18° 18° 12° 12° Respuesta: 10,3923 m Respuesta: 10,3923 m22 42.

42. Siendo BC Siendo BC , , tangentangente te a a la la circunfcircunferencia; erencia; CCB B

=

2 502, m, m50 ; ; CCD D ,

=

11 7, m700m y y AAB B

=

4 44 40, , m0 m, calcular el, calcular el área del triangulo ABC,

área del triangulo ABC,

D D C C B B A A Respuesta: 3,5926 m Respuesta: 3,5926 m22 43.

43. Siendo Siendo CB CB

=

77mm ; ; AAP P

=

55 mm y y PPQ Q

=

22 2, , m2 m , calcular el área del triangulo isósceles, calcular el área del triangulo isósceles

((

))

A

ABBC AC AB B A

=

AC C , indicado en la figura., indicado en la figura.

Q Q P P C C BB A A Respuesta: 17,0569 m Respuesta: 17,0569 m22 44.

44. Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente de 6 m y 2 m de radios. Calcular el área delSe dan dos circunferencias tangentes exteriormente de 6 m y 2 m de radios. Calcular el área del triángulo que se forma con las tangentes comunes que se pueden trazar a las dos circunferencias.

triángulo que se forma con las tangentes comunes que se pueden trazar a las dos circunferencias. Respuesta: 20,7846 m

Respuesta: 20,7846 m22 45.

45. Calcular el área de un rectángulo de 32 m de diagonal, sabiendo que es semejante a otro rectánguloCalcular el área de un rectángulo de 32 m de diagonal, sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 6 m y 4 m.

de lados 6 m y 4 m.

Respuesta: 472,6154 m Respuesta: 472,6154 m22

(7)

46.

46. Si la diagonal de un cuadrado mide 8 cm, calcular, en centímetros cuadrados, el área del segundoSi la diagonal de un cuadrado mide 8 cm, calcular, en centímetros cuadrados, el área del segundo cuadrado, cuyo lado está con el del primero en la relación 3:4.

cuadrado, cuyo lado está con el del primero en la relación 3:4. Respuesta: 18 cm

Respuesta: 18 cm22 47.

47. Calcular el área de un rombo Calcular el área de un rombo de lado igual a 8 de lado igual a 8 m, siendo el m, siendo el radio del círculo inscripto de radio del círculo inscripto de 3 m.3 m. Respuesta: 48 m

Respuesta: 48 m22 48.

48. Las rectas que unen el punto medio de un Las rectas que unen el punto medio de un lado con los vértices opuestos de un rombo miden 13 m y 9lado con los vértices opuestos de un rombo miden 13 m y 9 m. Calcular el área de dicha figura.

m. Calcular el área de dicha figura. Respuesta: 89,80 m

Respuesta: 89,80 m22 49.

49. Calcular el área del cuadriláteroCalcular el área del cuadrilátero ABCD ABCD , siendo, siendo ADE ADE yy ECB

ECB triángulos triángulos equiláteros; equiláteros; AAE E

=

22 mmy y EEB B

=

11 mm.. Respuesta: 3,0311 m

Respuesta: 3,0311 m22

50.

50. Se dan dos circunferencias tangentes exteriores, de 3 m y 5 m de radios. Calcular el área del trapecioSe dan dos circunferencias tangentes exteriores, de 3 m y 5 m de radios. Calcular el área del trapecio que se forma con las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias y a las cuerdas que unen que se forma con las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias y a las cuerdas que unen los puntos de contacto.

los puntos de contacto. Respuesta: 58,0948 m Respuesta: 58,0948 m22

51.

51. Calcular el área del trapecio rectánguloCalcular el área del trapecio rectángulo ABCD ABCD , , indicada indicada en en la la figura, figura, siendo: siendo: AAB B

=

3030 mm;; 10

10 D

DE E

=

mm; ; EEA A

=

2828 mmyy BEC BEC semicircunferencia.semicircunferencia.

Respuesta: Respuesta: 747,33 747,33 mm22 E E D D CC B B A A 52.

52. Calcular el área del trapecio isóscelesCalcular el área del trapecio isósceles ABCD ABCD, cuyos lados, cuyos lados AD

AD,, DC DC yy CBCB son tangentes a la circunferenciason tangentes a la circunferencia OO de 5 m dede 5 m de rad radioio; ; BBC C

=

3 60360, , mm.. Respuesta: Respuesta: 28,48 28,48 mm22 E E D D C C B B A A O O D D CC B B A A

(8)

53.

53. Calcular el área del círculoCalcular el área del círculo O' O' , siendo el círculo, siendo el círculo O' O' tangentetangente al círculo

al círculo OO y tangente a los catetosy tangente a los catetos AB AB yy AC AC del triangulodel triangulo rectángulo isósceles

rectángulo isósceles ABC ABC y y OA OA

=

55 mm. (adoptar . (adoptar

π

= 3,1416)= 3,1416) Respuesta:

Respuesta: 53,90 53,90 mm22

54.

54. Calcular el área del círculoCalcular el área del círculo OO, , siendo siendo AAB B

=

66 mmy y BBC C

=

55 mm. (adoptar . (adoptar

π

= 3,14)= 3,14)

O O C C B B A A Respuesta: Respuesta: 40,6944 40,6944 mm22 55.

55. Calcular el área del pentágonoCalcular el área del pentágono ABCDE ABCDE , siendo, siendo AE AE paralela a paralela a BC BC ;; DC DC paralela a paralela a AB AB ; ; AAB B

=

4040 mm;; 19 19 B BC C

=

mm;; CD CD

=

2020mm yy DDB B

=

1313 mm.. Respuesta: Respuesta: 595,73 595,73 mm22 56.

56. Hallar el área de un triangulo rectángulo inscripto en un círculo de 40 m de radio, siendo uno de losHallar el área de un triangulo rectángulo inscripto en un círculo de 40 m de radio, siendo uno de los catetos igual al lado de un triangulo equilátero inscripto en dicho círculo.

catetos igual al lado de un triangulo equilátero inscripto en dicho círculo. Respuesta:

Respuesta: 1385,64 1385,64 mm22 57.

57. Calcular el área de un triángulo equilátero inscripto en un cuadrado de 8 m de lado, de manera queCalcular el área de un triángulo equilátero inscripto en un cuadrado de 8 m de lado, de manera que uno de los vértices del cuadrado lo sea también del triángulo.

uno de los vértices del cuadrado lo sea también del triángulo. Respuesta: 29,70 m

58. Un lado de un triángulo, la altura y la bisectriz que parten de uno de los extremos de aquel, miden 20Un lado de un triángulo, la altura y la bisectriz que parten de uno de los extremos de aquel, miden 20 m, 12 m y 15 m, respectivamente. Calcular el área del triángulo.

m, 12 m y 15 m, respectivamente. Calcular el área del triángulo. Respuesta: 68,9231 m

Respuesta: 68,9231 m22 59.

59. El perímetro de un triangulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscripta en el. Siendo elEl perímetro de un triangulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscripta en el. Siendo el área del círculo 12 m

área del círculo 12 m22, calcular la del triángulo., calcular la del triángulo. Respuesta: Respuesta: 24 24 mm22 O' O' O O D D C C B B A A E E A A D D _C_C B B

(9)

60.

60. Si la diferencia entre las áreas de dos triángulos equiláteros, uno inscripto y el otro circunscripto a unSi la diferencia entre las áreas de dos triángulos equiláteros, uno inscripto y el otro circunscripto a un círculo, es de 12 m

círculo, es de 12 m22, calcular la longitud del lado del triangulo inscripto., calcular la longitud del lado del triangulo inscripto. Respuesta: 1,75476 m

Respuesta: 1,75476 m 61.

61. El perímetro de un cuadrado, aumentado en la diagonal, es igual al perímetro de un segundo cuadra-El perímetro de un cuadrado, aumentado en la diagonal, es igual al perímetro de un segundo cuadra-do, cuya superficie es de 49 m

do, cuya superficie es de 49 m22. Calcular el área del primer cuadrado.. Calcular el área del primer cuadrado. Respuesta: 26,7452 m

Respuesta: 26,7452 m22 62.

62. La superficie de un rombo es de 96 mLa superficie de un rombo es de 96 m22 y su lado es de 10 m. Calcular el área de otro rombo, semejan-y su lado es de 10 m. Calcular el área de otro rombo, semejan-te al ansemejan-terior, cuya diagonal menor es de 15 m.

te al anterior, cuya diagonal menor es de 15 m. Respuesta: 150 m

63. Calcular el área de un trapecio rectángulo circunscripto a un círculo de 3 m de radio, sabiendo que elCalcular el área de un trapecio rectángulo circunscripto a un círculo de 3 m de radio, sabiendo que el lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo de 60°.

lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo de 60°. Respuesta: 38,7846 m

Respuesta: 38,7846 m22 64.

64. Un punto dista de una circunferencia 49 m, y el segmento de la recta tangente a ella, trazada desde elUn punto dista de una circunferencia 49 m, y el segmento de la recta tangente a ella, trazada desde el punto, mide 63 m. Calcular el área del círculo. (adoptar

punto, mide 63 m. Calcular el área del círculo. (adoptar

π

= 3,14)= 3,14) Respuesta:

Respuesta: 803,84 803,84 mm22

65.

65. Demostrar que en todo triángulo rectánguloDemostrar que en todo triángulo rectángulo BAC BAC , se verifica:, se verifica: 11₂₂ 11₂₂ 11₂₂ cc b b h h_a_a

+

=

_{, siendo b}_{, siendo} _b _y_{y cc los cate-}_los

cate-tos y

tos y hh_a_a la altura relativa a la hipotenusa.la altura relativa a la hipotenusa.

66.

66. El triángulo BAC, rectángulo en A y el triángulo isósceles ABDEl triángulo BAC, rectángulo en A y el triángulo isósceles ABD

( (

AD AD

=

DB DB

))

, son equivalentes entre, son equivalentes entre sí. Las rectas AD y BC se interceptan en el punto P. Calcular el área del triángulo ABP, sabiendo que sí. Las rectas AD y BC se interceptan en el punto P. Calcular el área del triángulo ABP, sabiendo que

3 3 A AC C

=

mmy y BBC C

=

55 mm.. Respuesta: 4 m Respuesta: 4 m22 67.

67. Calcular el área de un cuadrilátero, sabiendo que sus diagonales miden 7m y 16 m, respectivamente,Calcular el área de un cuadrilátero, sabiendo que sus diagonales miden 7m y 16 m, respectivamente, y forman entre sí un ángulo de 150°.

y forman entre sí un ángulo de 150°. Respuesta: 28 m

68. Si el radio exterior de una corona circular es de 7 m, y una cuerda de aquella, de 9 m, es dividida enSi el radio exterior de una corona circular es de 7 m, y una cuerda de aquella, de 9 m, es dividida en tres partes iguales por la circunferencia interior, calcular el área de la corona.

tres partes iguales por la circunferencia interior, calcular el área de la corona. Respuesta: 96,55 m

(10)

69.

69. La base de un triángulo isósceles es de 36 m. Hallar el área de una corona determinada por la circun-La base de un triángulo isósceles es de 36 m. Hallar el área de una corona determinada por la circun-ferencia que tenga como centro el vértice opuesto a la base, y pase por el vértice de la base, y otra ferencia que tenga como centro el vértice opuesto a la base, y pase por el vértice de la base, y otra cir-cunferencia del mismo centro que el anterior y tangente a la base.

cunferencia del mismo centro que el anterior y tangente a la base. Respuesta: 1 017,88 m

Respuesta: 1 017,88 m22 70.

70. Si la diferencia entre la superficie de un cuadrado y un rectángulo de 2 m de base, inscriptos en unaSi la diferencia entre la superficie de un cuadrado y un rectángulo de 2 m de base, inscriptos en una circunferencia, es de 10 m

circunferencia, es de 10 m22, calcular el área del círculo., calcular el área del círculo. Respuesta: 39,20 m

Respuesta: 39,20 m22y 4,78 my 4,78 m22 71.

71. En un triángulo cuyos lados miden 91 m, 125 m y 204 m, respectivamente, se forma otro triángulo alEn un triángulo cuyos lados miden 91 m, 125 m y 204 m, respectivamente, se forma otro triángulo al considerar la recta paralela a la que contiene al lado mayor a una distancia de 7 m del vértice opuesto a considerar la recta paralela a la que contiene al lado mayor a una distancia de 7 m del vértice opuesto a dicho lado. Hallar el área del triángulo mencionado.

dicho lado. Hallar el área del triángulo mencionado. Respuesta: 142,80 m

72. Calcular el radio (R ) de un círculo equivalente a la superficie de tres círculos dados (r Calcular el radio (R ) de un círculo equivalente a la superficie de tres círculos dados (r 11, r , r 22, r , r 33)) Respuesta: R

Respuesta: R 22 = r = r 1122+ r + r 2222+ r + r 3322 73.

73. Si la diferencia entre la diagonal de un cuadrado y su lado es de 6 m, hallar la superficie del cuadra-Si la diferencia entre la diagonal de un cuadrado y su lado es de 6 m, hallar la superficie del cuadra-do.

do.

Respuesta: 209 m Respuesta: 209 m22 74.

74. Un trapecio tiene por bases 80 m y 60 m, y por altura 24 m. A 6 m de la base mayor, se traza unaUn trapecio tiene por bases 80 m y 60 m, y por altura 24 m. A 6 m de la base mayor, se traza una paralela que determina dos trapecios, determinar la superficie de cada uno.

paralela que determina dos trapecios, determinar la superficie de cada uno. Respuesta: 1 215 m

Respuesta: 1 215 m22 y 465 my 465 m22

PITÁGORAS

75.

75. A dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 5 m y 3 m, se traza una secante tal, que laA dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 5 m y 3 m, se traza una secante tal, que la parte interceptada por la primera es de 6 m y la interceptada por la segunda, de 3,60 m. Calcular la parte interceptada por la primera es de 6 m y la interceptada por la segunda, de 3,60 m. Calcular la

longitud de la parte de secante exterior a las dos circunferencias. longitud de la parte de secante exterior a las dos circunferencias.

Respuesta: 3,038 m Respuesta: 3,038 m 76.

76. A dos circunferencias concéntricas de 3 m y 5 m de radio, se traza una secante tal, que la cuerda in-A dos circunferencias concéntricas de 3 m y 5 m de radio, se traza una secante tal, que la cuerda in-terceptada por la circunferencia mayor resulta dividida en tres partes iguales por la otra circunferencia. terceptada por la circunferencia mayor resulta dividida en tres partes iguales por la otra circunferencia. Calcular la longitud de dicha cuerda.

Calcular la longitud de dicha cuerda. Respuesta: 8,485 m

Respuesta: 8,485 m 77.

77. Hallar el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la distancia de un vértice al punto situado en laHallar el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la distancia de un vértice al punto situado en la tercera parte del lado opuesto es de 3m.

tercera parte del lado opuesto es de 3m. Respuesta: 5,0106 m

(11)

78.

78. Una cuerda dista del centro de la circunferencia 4 m y es dividida por un diámetro en dos segmentosUna cuerda dista del centro de la circunferencia 4 m y es dividida por un diámetro en dos segmentos de 6 m y 12 m. Calcular el radio de

de 6 m y 12 m. Calcular el radio de la circunferencia.la circunferencia. Respuesta: R = 9,85 m

Respuesta: R = 9,85 m 79.

79. Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 2 m y 3 m. Calcular la longitud de laSe dan dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 2 m y 3 m. Calcular la longitud de la parte de la tangente interior comprendida entre la recta que une los centros de aquellos y una de las parte de la tangente interior comprendida entre la recta que une los centros de aquellos y una de las

tangentes exteriores comunes. tangentes exteriores comunes.

Respuesta:

Respuesta: 2,45 2,45 mm 80.

80. Calcular la longitud del segmento BC, siendo la recta BC tangente a la circunferencia; B punto deCalcular la longitud del segmento BC, siendo la recta BC tangente a la circunferencia; B punto de tangencia; 4 tangencia; AAB B

=

4 mmy y AAO O

=

2 52 , m, 5 m.. O O C C B B A A Respuesta: 8,571 m Respuesta: 8,571 m 81.

81. En la figura de abajo, calcular la longitud deEn la figura de abajo, calcular la longitud de ODOD, siendo, siendo AB AB tangente a la circunferenciatangente a la circunferencia OO e iguale igual a su diámetro;

a su diámetro; E E el punto medio deel punto medio de CDCD y y AAB B

=

44 mm..

O O E E D D C C B B A A Respuesta: 1,2 m Respuesta: 1,2 m 82.

82. Las tangentesLas tangentes AP AP yy CRCR a una circunferencia dada son paralelas entre sí y laa una circunferencia dada son paralelas entre sí y la PRPR, también tangente a, también tangente a la circunferencia, les corta en

la circunferencia, les corta en PP yy R R, respectivamente. Demostrar que variando la posición de PR se, respectivamente. Demostrar que variando la posición de PR se verifica que el producto

verifica que el producto PPQ Q Qii QRR es una constante, siendoes una constante, siendo QQ el punto de tangencia.el punto de tangencia.

83.

83. En un En un círculo círculo de de radio radio R R

=

2525 ccmm, , considérese considérese una una cuerda cuerda AAB B

=

3030 ccmmy trácese la cuerday trácese la cuerda BC BC per- per- pendicular al diámetro que pasa por

pendicular al diámetro que pasa por A A. Calcular la longitud de la cuerda. Calcular la longitud de la cuerda BC BC .. Respuesta: 24 cm

(12)

POLIGONOS REGULARES

84.

84. Calcular el área del hexágono regular, cuya apotema es igual al triple del lado de otro hexágono regu-Calcular el área del hexágono regular, cuya apotema es igual al triple del lado de otro hexágono regu-lar de 32 m

lar de 32 m22de superficie.de superficie. Respuesta: 384 m Respuesta: 384 m22 85.

85. En la figura de abajoEn la figura de abajo ABCDEF ABCDEF es un hexágono regular. Calcular el área del trapecioes un hexágono regular. Calcular el área del trapecio DEGH DEGH , siendo, siendo 3 3 OP OP

=

mm y y OOQ Q

=

00 8, , m8m.. P P Q Q O O H H G G F F E E DD C C B B A A Respuesta: 10,42 m Respuesta: 10,42 m22

(13)

TRIGONOMETRIA

Reducir a su forma más simple, las siguientes expresiones: Reducir a su forma más simple, las siguientes expresiones:

86. 86.

( ) ( )

( ( ))

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

₊

+

−

+

α α π π α α α α π π α α π π 2 2 cos cos cos cos sec sec sen sen Respuesta: Respuesta: tgtg α α 2 2 1 1 87. 87.

(

)

) ( )

( ) ( )

( )

( (

))

2 2 22 2 2 2 2 cc oottg g sseec c ccooss

sseen n ccooss π π α α π π α α π π α α π π π π α α α α

+

⎡

_⎣

−

+

⎤⎤

_⎦⎦

⎛

⎞⎞

−

_⎜

−

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

Respuesta: 1 Respuesta: 1 88. 88.

(

( )

) (

( )

)

(

( ))

2 2 2 2 22

sseen n ccoos s sseec c ccooss eecc ttg g sseecc π π α α ππ α α ππ α α αα π π π π α α α α

⎛

₋

⎞⎞

₋

₊

₋

⎜

⎟⎟

⎝

⎠⎠

⎛

₊

⎞

⎞ ⎛

⎛

₋

⎞⎞

⎜

⎟

⎟ ⎜

⎜

⎟⎟

⎝

⎠

⎠ ⎝

⎝

⎠⎠

Respuesta:

Respuesta: sensenα α

89. 89.

(

( )

) (

(

))

( (

))

3 3 2 2 2 2 2 2 22 sseen n sseec c ttgg ccooss eec c ccoos s ttgg

π π π π α α ππ α α αα π π π π π π αα αα αα

⎛

⎞⎞

+

−

_⎜

−

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

⎛

⎞

⎞ ⎛

⎛

⎞⎞

−

_⎜

−

_⎟

_{⎟ ⎜}

_⎜

+

_⎟⎟

⎝

⎠

⎠ ⎝

⎝

⎠⎠

Respuesta: Respuesta: tgtgα α 90. 90.

(

)

(

)

(

))

( (

))

3 3 22 55 22 4 4

sseen n sseen n sseenn cos cos π π α α ππ α α ππ α α π π α α

+

−

Respuesta: Respuesta: 77 tgtgα α 91. 91.

(

22

)

11

)

33

(

)

55

(

22

)

22 22

(

44

))

2 2

sseen n k

_⎣

⎡

k

+

ππ

+

αα

⎤⎤

_⎦⎦

−

sseen n ππ

−

αα

−

sseen n ππ

−

αα

+

ccoos s

⎛

_⎜

⎛

_⎜

π π

+

αα

⎞⎞

_⎟⎟

+

ccooss ππ

−

αα

⎝

⎠⎠

Respuesta: 1 Respuesta: sensenα α

+

1

(14)

92.

92. El arcoEl arco aa es del 2º cuadrante y bes del 2º cuadrante y b del 4º cuadrante, sidel 4º cuadrante, si 22 3 3 sen senα α

=

yy 33 4 4 cosb

cosb

=

. Calcular . Calcular sseen n a

( (

a b

+

b

))

,, utilizando las correspondientes fórmulas trigonométricas.

utilizando las correspondientes fórmulas trigonométricas. Respuesta:

Respuesta: 11 3535 2

2

−

1212 93.

93. El arcoEl arco x x es del 4º cuadrante yes del 4º cuadrante y 11 2 2 se

senn xx

=

; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas,; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas, calcular 2

calcular tg tg xx2 .. Respuesta: 3 Respuesta:

−

3 94.

94. El arcoEl arco mm es del 1º cuadrante yes del 1º cuadrante y 22 2424 7 7 tg

tg mm

=

; utilizando las correspondientes formulas trigonométri-; utilizando las correspondientes formulas trigonométri-cas, calcular cas, calcular 2 2 m m tg tg .. Respuesta: Respuesta: 11 3 3 95.

95. El arcoEl arco aa es del 1es del 1er er cuadrante ycuadrante y 88 17 17 sena

sena

=

; el arco b; el arco b es del 3es del 3er er cuadrante ycuadrante y 55 12 12 tg

tg bb

=

. Utilizando. Utilizando las correspondientes formulas trigonométricas, calcular

las correspondientes formulas trigonométricas, calcular ttg a g a b

( (

−

b

))

yy sseec c a

( (

a b

+

b

))

.. Respuesta: Respuesta: 2121 220 220 ;; 221 221 140 140

−

96.

96. El arcoEl arco aa es del 2º cuadrante yes del 2º cuadrante y 1212 13 13 co

coss aa

= −

; el arco b; el arco bes del 1es del 1er er cuadrante ycuadrante y 2424 7 7 co

cotgtg bb

=

. Utilizando. Utilizando las correspondientes formulas trigonométricas, calcular

las correspondientes formulas trigonométricas, calcular sseen a n a b

( (

−

b

))

.. Respuesta:

Respuesta: 204204 325 325 97.

97. Se Se ssaabbe e qquue e ccoos s 7700

°° +

+

ccoos s 3636

° =

°

=

1 11,,15511 y y ccoos s 5353

° =

0 600 6,, 022. Con estos datos, calcular . Con estos datos, calcular coscos1717

°°

.. Respuesta: 0,956

Respuesta: 0,956 98.

98. Calcular el productoCalcular el producto aa por por bb , siendo, siendo aa yy bb los los valores valores máximo máximo y y mínimo mínimo que que puede puede alcanzar alcanzar y

y , , ssababieiendndo o qque ue y y

=

= −

55 3

−

3 ccoos s xx.. Respuesta: 16

(15)

Simplificar las siguientes expresiones: Simplificar las siguientes expresiones:

99. 99. a a 2sen 2sen 2 2 cosa-1 cosa-1 Respuesta: Respuesta: 2 2 cos cosececα α

−

100. 100. 3 3 99 2 2 22 3 3 3 3 2 2 ccoos s ccooss

sseen n sseenn α α α α α α α α

−

Respuesta: 2 Respuesta: 2 101. 101. 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 sen sen

ttg g ( s( seen n ccoos ) ss ) seec c ( s( seen n ccoos )s ) cos cos α α α α αα αα αα αα αα α α

−

+

−

Respuesta: -2 Respuesta: -2 102. 102. 11 22 22 2 2((ccoos es ec c α α

+

ccoot t α α )) Respuesta: Respuesta: 11 2 2cotgcotgα α 103. 103. sseenn( a ( a bb ) ) sseenn( a ( a b )b ) ccooss( a ( a b ) b ) ccooss( a ( a b )b )

+

−

+

Respuesta. Respuesta. cocotgtg bb 104. 104. ((ccoot a t a ttg

−

ga ) a ) ttg

[ [

g( ( 4545

°° +

+ −

a ) a ) ttg

−

g( ( 4455

°° −

−

a )a )

]]

Respuesta: 4 Respuesta: 4 105. 105. 33 77 99 3 3 77 99

ccoos s ccoos s ccoos s ccooss sseen n sseen n sseen n sseenn

α α αα αα αα α α αα αα αα

+

(16)

106.

106. 22 1

1 22

ttg g a a sseenn( a b )( a b ) sseec a c a ccoosasa ccoosbsb

−

+

Respuesta: Respuesta: tgtg bb 107.

107. sensen(2a(2a -- 3b)+3b)+sensen3b3b cos

cos(2(2aa -- 3b)+cos33b)+cos3bb Respuesta: tg a Respuesta: tg a Transformar en producto Transformar en producto 108. 108. 1+tga1+tga Respuesta:

Respuesta: 22sensen((4545

°°

+

aa))secsecaa 109.

109. 1-cosa1-cosa Respuesta:

Respuesta: 2sen2sen22 aa 2 2 110.

110. 1+sena1+sena Respuesta:

Respuesta: 22sesen n ((422 45°+ 5°+ ))aa 2 2 Efectuando transformaciones

Efectuando transformaciones

exclusivamente

en el primer miembro verificar las siguientes identi-en el primer miembro verificar las siguientes identi-dades:

dades:

111.

111. cotga+cosecacotga+coseca +seca=0+seca=0 se

senana -- cocotgtgaa -- cocosesecaca

112.

112. sena+tgasena+tga = senatga= senatga cotga+coseca

cotga+coseca

113.

113. ccoos s ccoottg g sseen tn tgg 11 sseen n ccooss ccoosseec c sseecc

α α α α α α α α α α α α α α α α

−

=

= +

+

−

114.

114. ccooss( ( αα

+

ββ ))ccooss( ( αα

−

ββ ) cco)

=

os s 22αα

−

sseenn22ββ

115. 115. 22 22 22 2 2 22 22 sseen n sseenn tg tg sseen n sseenn α α α α α α α α α α

−

=

+

(17)

116. 116. 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 tg tg cos cos tg tg α α α α α α

−

=

+

117.

117. sseen n 33 ccooss33 22 sseen n ccooss

α α α α α α

−

α α

=

118. 118. 22 44 33 2 2 44 sseen n sseenn tg tg ccoos s ccooss

α α α α α α α α α α

+

=

+

119. 119. 22 22 22 2 2 22 ccoottg g ttgg ccoosseec c ccoottgg

α α α α α α α α

−

=

+

120. 120. 22 22 22 2 2 22 22 sseen n sseenn cot g cot g sseen n sseenn α α α α α α α α α α

+

=

−

121.

121. sseen n ( α α ( 33 4

−

4sseen n ) s22α α ) seen

=

n33α α

122.

122. 88ccoos s 44α α

−

88ccoos s 22α α

+ =

+

11

=

ccooss44α α

123.

123. Demostrar que siDemostrar que si

( (

a a b

+

+ +

b cc

+ =

= °°

180180

))

, se verifica:, se verifica: ttg g a a ttg

+

g b b ttg

+

g c c ttg

=

g aa..ttgg bb..ttgg cc..

124.

( (

a b a

+ +

+

b cc

+ =

= °°

180180

))

, se verifica:, se verifica: ccoos a s a cco22

+

os s b 22

+

b cco

+

os c s c 22

+

22ccoos as a ccoos b cs b coos cs c

=

11

125.

( (

a a b

+ +

+

b cc

+ =

= °°

180180

))

, , sse e vveerriiffiiccaa:: 44

2

2 22 22 a

a b b cc sseen a n a sseen b

+

n b sseen c

+

n c

=

ccoos s ccoos s ccooss ..

126.

( (

a a b

+ =

+

b

= °°

9090

))

, se verifica:, se verifica:

(

sseen a sn a seen b c

+

n b co

))(

(

os a cs a co

+

os b s b

))

=

11

+

sseen n a22a..

Resolver las siguientes ecuaciones, para el menor arco positivo: Resolver las siguientes ecuaciones, para el menor arco positivo: 127.

127. sseecc x cx coosseecc x x

=

44ttg g xx Respuesta: 30 Respuesta: x x

=

= °°

30

(18)

129. 129. ttg g x x

+

33ccoottg g xx

=

= +

11

+

33 Respuesta: Respuesta: x x

=

4545

°°

130. 130. 22 11 22 11 1100 2 2 11 22 11 33 ttg g x x ttg g xx ttg g x x ttg g xx

+

−

+

=

−

+

Respuesta: Respuesta: x x

=

4545

°°

131.

131. sseen n x 22x cco

+

oss xx

=

00 Respuesta: Respuesta: x x

=

= °°

9090 132. 132. ccoos s x 22x

=

= −

33 5

−

5sseenn xx Respuesta: 30 Respuesta: x x

=

= °°

30 133. 133. ttg g

( (

4455

+

x x

))

−

33ttg g xx

=

22 Respuesta: 30 Respuesta: x x

=

= °°

30 134.

134. sseenn( ( x x

− °

−

1122

° =

) ) sseen x

=

n x sseen

−

n1212

°°

Respuesta: 0 Respuesta: x x

=

= °°

0 135. 135. sseen x n x sseen33

−

nxx

=

= °°

0 136. 136.

(

22

)

44

(

))

44 11 3 3 33

sseen n x x

−

π π ccoos s

⎛

_⎜

−

π π

+

⎞

_⎟

⎞

+

ccoos s π π

−

x x sseenn

_⎜

⎛

−

π π

=

⎞⎞

_⎟⎟

=

−

⎝

⎠

⎝

⎠⎠

Respuesta: Respuesta: x x

=

= °°

3030 137. 137. 33 44 2 2 x x ccoos s x x

−

ccooss

=

360

°°

138. 138. sseenn x x cco

+

os s xx

= −

=

180

°°

139. 139. 44 44 77 8 8 sseen n x x cco

+

os s xx

=

Respuesta: Respuesta: ₁₁ 12 12 x x

=

π π ;; ₂₂ 55 12 12 x x

=

π π ;; ₃₃ 77 12 12 x x

=

π π ;; ₄₄ 1111 12 12 x x

=

π π

(19)

140.

140. sseen x n x sseen x 77

+

n x 33

+

22sseen n xx22

=

11 Respuesta: Respuesta: ₁₁ 4 4 x x

=

π π ;; ₂₂ 33 4 4 x x

=

π π ;; ₃₃ 30 30 x x

=

π π ;; ₄₄ 6 6 x x

=

π π

Resolver las siguientes ecuaciones, para 0

Resolver las siguientes ecuaciones, para 0oo ≤≤ x x ≤≤ 180180oo::

141. 141. 66 22 11 2 2 x x ccoos s x x

+

ccooss

=

120

°°

142.

142. ssen en xx ccos22 oseecc xx cocotg tg xx sesecc xx 11 tg x

tg x

−

=

Respuesta:

Respuesta: x x₁₁

=

= °°

3030 ;; x x₂₂

=

150150

°°

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, para el menor arco positivo: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, para el menor arco positivo:

143. 143. 2 2 1 1 2 2 ttg g x x ttg g yy cos

cos xx cos ycos y

+

=

⎧⎧

⎪⎪

⎨⎨

=

⎪⎪⎩⎩

Respuesta:

Respuesta: x x

=

4545

°°

;; y y

=

4545

°°

144. 144. 5 5 7 7 3 3 se sec c x x ttg g yy se sec c x x cocotg tg yy

+

=

⎧⎧

⎪⎪

⎨⎨

+

=

⎪⎪⎩⎩

Respuesta:

Respuesta: x=60º x=60º ;; y y == 71º 33' 571º 33' 54,14,18'' 8''

145. 145. 11 3 3 sseenn x x sseen n yy co cos s x x cocos s yy

−

=

⎧⎧⎪⎪

⎨⎨

+

=

⎪⎪⎩⎩

Respuesta:

Respuesta: x x

=

30º30º;; y y

=

= −

−

30º30º

146. 146.

( (

))

3 3 tg x tg x ttg g y y ttg x g x yy

=

−

=

+

Respuesta:

Respuesta: x x

=

60º60º;; y y

=

= −

−

30º30º

147. 147. x x yy 300300

+

+ =

=

⎧⎧

⎨⎨

+

=

(20)

148. 148. 66 3 3 2 2 x x yy se senn xx sesen yn y π π

⎧⎧

₊

_{+ =}

₌

⎪⎪⎪⎪

⎨⎨

⎪⎪

_{= −}

⎪⎪⎩⎩

Respuesta:

Respuesta: x x

=

90º90º;; y y

=

= −

−

60º60º

Eliminar el parámetro

tt

, en las siguientes expresiones:, en las siguientes expresiones:

149. 149. x x a ca coos t s t 22 y y a sa seen t n t

=

⎧⎧

⎨⎨

=

⎩⎩

Respuesta: Respuesta: a x + 2 y - a = 0a x + 2 y - a = 02 2 22 150. 150. 2 2 x x a s ea s en t n t t t y y b cb cooss

=

⎧⎧

⎪⎪

⎨⎨

=

⎪⎪⎩⎩

Respuesta: Respuesta: 2 2 2 2 22 2 2 22 y y b b xx = = 11 --b b 4a4a 151. 151. x sx seec t c t aa y c y coottgg t t bb

=

⎧⎧

⎨⎨

=

⎩⎩

Respuesta: Respuesta: 2 2 22 2 2 2 2 22 x x bb = = a a b b + + yy 152. 152. x x a ta tg t g t y y b sb seec t c t

=

⎧⎧

⎨⎨

=

⎩⎩

Respuesta: Respuesta: 2 2 22 2 2 2 2 22 a a bb = = x x ++ a a yy

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

153.

153. Calcular el ángulo B de un triángulo rectángulo, siendo:Calcular el ángulo B de un triángulo rectángulo, siendo: aa = 24= 245252,1,15757 mm ;; b+b+ cc == 3346465,5,101099 mm .. Respuesta:

Respuesta: B B = 42= 42º º 42' 4242' 42,5'' ,5'' ;; B B = 47º 17' 17,5= 47º 17' 17,5'' ''

154.

154. ConociendoConociendo aa = 2= 22255 mm yy b b 4== 4 c

c 33 , calcular los elementos del triángulo rectángulo., calcular los elementos del triángulo rectángulo. Respuesta:

(21)

155.

155. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo de perímetro 72 m, sabiendo queCalcular los elementos de un triángulo rectángulo de perímetro 72 m, sabiendo que b b == 22 c c 33 .. Respuesta:

Respuesta: aa = 30= 30,1,16767 mm;; bb == 1616,,737333 mm;; cc = 2= 25,5,101000 mm;; B B = 33= 33º º 41' 2441' 24,2'' ,2'' ;; CC = 56= 56º 18' 35,8'º 18' 35,8'' ' 156.

156. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifican las siguientes igualda-Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifican las siguientes igualda-des:

des: bb = se= secC cC ;; cc = co= cosecsecC C .. Respuesta:

Respuesta: aa = = 2m2m ;; b=1,414mb=1,414m;; c=1,414mc=1,414m;; BB == 4455º º ;; CC = 4= 45º 5º

157.

157. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verificaCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifica b b == 33 c

c 44 , y que la distancia, y que la distancia del vértice del ángulo recto a la hipotenusa es de 240 m.

del vértice del ángulo recto a la hipotenusa es de 240 m. Respuesta:

Respuesta: aa = = 505000 mm;; bb = = 303000 mm;; c = 4 0 0 mc = 4 0 0 m;; B B = 36= 36º º 52' 152' 11,6'' 1,6'' ;; CC = 53= 53º 7' 48,4'º 7' 48,4'' '

158.

158. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la bisectriz de A divide al ladoCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la bisectriz de A divide al lado aa enen dos segmentos, que miden 182 m y 410 m.

dos segmentos, que miden 182 m y 410 m. Respuesta:

Respuesta: aa = = 595922 mm;; bb = = 541541,08,0855 mm;; cc = = 240240,18,1899 mm;; B B == 6666º º 3' 43' 48,48,4'' '' ;; CC = 23º 56' 11= 23º 56' 11,6',6'' '

159.

159. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo el radio del círculo inscriptoCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo el radio del círculo inscripto rr = 2= 23,453,458m8m y la relación de los catetosy la relación de los catetos b b == 11

c c 33 .. Respuesta:

Respuesta: aa == 17177,7,10101 m1 m;; bb = 56= 56,0,00404 mm;; cc == 16168,8,010133 mm;; B B == 1818º º 2626' 5,8' 5,8'' '' ;; CC == 7171º 33' 54º 33' 54,2',2'' ' 160.

160. El perímetro de un triángulo rectáEl perímetro de un triángulo rectángulo es de 10219,56 m y el radio del círcngulo es de 10219,56 m y el radio del círculo inscripto mide 789.36ulo inscripto mide 789.36 m. Calcular los elementos del triángulo rectángulo.

m. Calcular los elementos del triángulo rectángulo. Respuesta:

Respuesta: aa == 43432020,4,422 mm ;; bb == 37374545,2,222 mm ;; cc = 21= 215353,92,92 mm ;; B B == 6060º º 5' 45' 46,36,3'' '' ;; CC = 29º 54' 13= 29º 54' 13,7,7'' '' 161.

161. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo los radios de los círculos inscripto yCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo los radios de los círculos inscripto y circunscripto,

circunscripto, rr = = 3 m3 m;; RR = = 99 mm .. Respuesta:

Respuesta: a = 1 8 ma = 1 8 m ;; b=16,243mb=16,243m ;; cc == 77,,757577 mm ;; B B == 6464º º 2828' 16' 16,5',5'' ' ;; CC = 25= 25º º 31' 431' 43,5'3,5'' '

162.

162. El triángulo de la figura es rectángulo en A. Calcular el área del triángulo ABC.El triángulo de la figura es rectángulo en A. Calcular el área del triángulo ABC. A ADD = 3m= 3m ..

16° 16° 37° 37° D D C C

(22)

Hallar

cc

. Siendo. Siendo DBC DBC 2255 4411 0055 ˆ ˆ ˆ ˆ B B AADDB B DDBBC C

′ ′ ′′′′

=

°°

⎧⎧

⎨⎨

=

+

⎩⎩

Respuesta: Respuesta: cc₁₁

=

6688 1,,1885533443311mm o o c c₂₂

=

12 912 90,, 05599999944mm

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

163.

163. El perímeEl perímetro de un triángtro de un triángulo es de 345ulo es de 3456 m6 m y sus tres lady sus tres lados están en la mios están en la misma relaciósma relación quen que 2, 3 y 4. Hallar los elementos del triángulo.

2, 3 y 4. Hallar los elementos del triángulo. Respuesta:

Respuesta: aa

=

768768mm;;bb

=

11521152mm;;cc

=

15361536mm;; A A

=

2828ºº5757''1818,,11"";; B B

=

4646ºº3434''22,,99"";;C C

=

104104ºº2828''3939""

164.

164. Hallar los tres ángulos de un triángulo, dadas las siguientes relacionesHallar los tres ángulos de un triángulo, dadas las siguientes relaciones

5 5 3 3 ;; 3 3 4 4

₌

=

cc b b b b a a .. Respuesta:

Respuesta: A A= 53º 7' 48,4'' = 53º 7' 48,4'' ; ; BB = = º 3366 5º ' 522 1' ''' 111 ' , , C C

=

9090º º

165.

165. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: aa mm C C B B B B A A 24 24 ,, 2826 2826 ;; 26 26 27 27 ;; 27 27 11 11

₌

=

_.. R Reessppuueessttaa: : b b

=

55333322 6, m, 677m;; c c

=

5522660 70 71, m; , m1 ; A A

=

3030 5º ' ""; º ' 56 16 155 ; B B

=

7575 5º ' º ' "";; C 56 16 155 C

=

7733 0º ' ""º ' 07 37 300 166.

166. Calcular el lado c de un triángulo, sabiendo que los otros dos lados midenCalcular el lado c de un triángulo, sabiendo que los otros dos lados miden aa

=

7575mm yy bb

=

4040mm,, y que la suma

y que la suma de los ángulos opuestos es 112°.de los ángulos opuestos es 112°. Respuesta:

Respuesta: c c

=

7700 5, , 555 mm 167.

167. Hallar los Hallar los elementos elementos restantes restantes de de un un triángulo, triángulo, sabiendo sabiendo que: que: a a

=

45064506mm; ; . . A A

=

5252 2º ' ""º ' 266 1144 yy 453 453 b b c

−

− =

c

=

mm.. Respuesta: Respuesta: bb

=

53055305,,3434mm;;cc

=

48524852,,3434mm;; B B

=

6868ºº5757''2121,,22"";;C C

=

5858ºº3636''2424,,88"".. 168.

168. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: A A

=

4433 2º ' º ' ""288 1166 ;; B B

=

5577 3º º ' 333 2' ""288

y 167 y a a b

+

+ =

b

=

167mm.. Respuesta: " Respuesta: aa

=

7575mm;;bb

=

9292mm;; cc

=

107107mm;;C C

=

7878ºº5858''1616" B B cc aa D D CC A A 16 16 3939

(23)

169.

169. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: cc

=

264264mm y se verifican las rela-y se verifican las rela-ciones siguientes: ciones siguientes: 5 5 3 3 ;; 3 3 2 2

₌

=

senC senC senA senA b b a a .. Respuesta: "

Respuesta: aa

=

158158,,44mm;;bb

=

237237,,66mm;; A A

=

3636ºº2020''99,,88"";; B B

=

6262ºº4343''1313,,44"";;C C

=

8080ºº5656''3636,,88"

170.

170. En un triángulo se daEn un triángulo se da aa

=

8484mm;;bb

=

7070mm y se sabe quey se sabe que sesen n A A ttg

=

g BB, calcular los demás elementos, calcular los demás elementos del triángulo.

del triángulo.

Respuesta: "

Respuesta: cc

=

122122,,384384mm;; A A

=

4141ºº3333''1414"";; B B

=

3333ºº3333''2626,,44"";;C C

=

104104ºº5353''1919,,33" "" 9 9 ,, 47 47 '' 59 59 ºº 7 7 ;; "" 4 4 ,, 26 26 '' 33 33 ºº 33 33 ;; "" 7 7 ,, 45 45 '' 26 26 ºº 138 138 ;; 617 617 ,, 17 17

=

mm A A B B C C cc 171.

171. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo queCalcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que aa

=

275275mm;;bb

=

196196 mmyy A A

=

22 B B..

Respuesta: "

Respuesta: cc

=

189189,,842842mm;; A A

=

9090ºº5454''00,,44"";; B B

=

4545ºº2727''00,,22"";;C C

=

4343ºº3838''5959,,44"

172.

172. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: B B == 7777º 7' 7'º 7' 7'' ' ;; h =77mh =77m_a_a ;; b+c=177m

b+c=177m Respuesta:

Respuesta: aa

=

7878,,250250mm;;bb

=

9898,,012012mm;;cc

=

7878,,988988mm;; A A

=

5151ºº0606''1212,,77"";;C C

=

5151ºº4646''4040,,33"" 173.

173. Calcular los elementos restantes de un triángulo con los datos siguientes:Calcular los elementos restantes de un triángulo con los datos siguientes: a a

=

7878mm ; ; B B

=

5454º º yy 60

60 R

R

=

mm..

Respuesta: "

Respuesta: bb

=

9797,,082082mm;;cc

=

119119,,623623mm;; A A

=

4040ºº3232''2929,,88"";;C C

=

8585ºº2727''3030,,22"

174.

174. CalcCalculaular lr los os elemelemententos os resrestantantes tes de de un un triátriángungulo, lo, sabsabieniendo do queque: 2: 2 p p

=

38743874mm; ; A A

=

7744 1º ' º 144 7' , 7 2, ""2 yy 870 870 R R

=

mm Respuesta: " Respuesta: aa

=

16741674,,550550mm;;bb

=

17391739,,945945mm;;cc

=

459459,,505505mm;; B B

=

9090ºº2727''77,,88"";;C C

=

1515ºº1818''4545" 175.

175. Hallar Hallar B B ˆˆ A AC C siendosiendo C C D Dˆˆ E E

=

5353ºº3939''1212"";; B B D Dˆˆ E E

=

7878ºº2727'';; AC AC

=

104104mm;; AD AD

=

5555mm;; AB AB

=

6969mm C

C

A

(24)

176.

176. Hallar la altura AB con los datos de la figuraHallar la altura AB con los datos de la figura

Respuesta: 16,663m Respuesta: 16,663m AA B B 12,8m 12,8m 1,3m 1,3m 56° 56°

(25)

GEOMETRIA DEL ESPACIO

PLANOS Y RECTAS

177.

177. Por un punto exterior a un plano se trazan una perpendicular al plano y otra recta perpendicular aPor un punto exterior a un plano se trazan una perpendicular al plano y otra recta perpendicular a otra recta R del plano. Demostrar que la recta determinada por los dos pies de las perpendiculares, otra recta R del plano. Demostrar que la recta determinada por los dos pies de las perpendiculares, es perpendicular a la recta R.

es perpendicular a la recta R. 178.

178. Si se trazan a un plano tres oblicuas iguales y una perpendicular por un punto exterior, demostrar Si se trazan a un plano tres oblicuas iguales y una perpendicular por un punto exterior, demostrar que el pie de la perpendicular es el centro de la circunferencia determinada por los pies de las que el pie de la perpendicular es el centro de la circunferencia determinada por los pies de las obli-cuas.

cuas. 179.

179. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistante de un punto exterior al plano?¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistante de un punto exterior al plano? Demostrar.

Demostrar.

POLIEDROS

180.

180. El área total de un paralelepípedo rectángulo es igual a 144 mEl área total de un paralelepípedo rectángulo es igual a 144 m22. Las tres dimensiones son. Las tres dimensiones son m m h h y y a a a

a;; 22

=

66 . Hallar la diagonal del paralelepípedo.. Hallar la diagonal del paralelepípedo. Respuesta: 9 m

Respuesta: 9 m 181.

181. En el triedroEn el triedro OO

−

ABC ABC ,, A A

=

11 Rt Rt y y bb

=

cc

=

4545ºº. Calcular la cara. Calcular la cara aa.. Respuesta: 60º

Respuesta: 60º

182.

182. En un tetraedro ABCD de volumen 24 mEn un tetraedro ABCD de volumen 24 m33, El segmento, El segmento CPCP

=

11,,55mm yy PDPD

=

44,,55mm. Calcular el. Calcular el volumen del tetraedro ABCP.

volumen del tetraedro ABCP. Respuesta: 6 m

183. Calcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mideCalcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mide 6262,,2828cmcm ..22 Respuesta: 4,90 cm

Respuesta: 4,90 cm 184.

184. Las aristas de un cubo suman 24 m. Determine el valor de la diagonal y el área total del cubo.Las aristas de un cubo suman 24 m. Determine el valor de la diagonal y el área total del cubo. Respuesta: 3,46 m; 24 m

Respuesta: 3,46 m; 24 m22 185.

185. Sea Sea ABCD ABCD

−

A A'' B B''C C ''DD'' un paraleun paralelepípedo lepípedo cualquiera. cualquiera. Demostrar Demostrar que que el el plano plano ACB ACB''corta a lacorta a la diagonal '

(26)

187.

187. Dos caras de un triedro miden 60° y 100°, ¿qué valor/es debe tener la tercera cara?Dos caras de un triedro miden 60° y 100°, ¿qué valor/es debe tener la tercera cara?

Respuesta: º

Respuesta: 4040ºº

<

α α

<

200200º 188.

188. Probar que en todo cubo las diagonales forman ángulos iguales en cada una de las caras que pa-Probar que en todo cubo las diagonales forman ángulos iguales en cada una de las caras que pa-san por uno de sus extremos.

san por uno de sus extremos. 189.

189. Dado un cubo de aristaDado un cubo de arista

aa

, calcular el volumen del poliedro que tiene por vértices a los centros de, calcular el volumen del poliedro que tiene por vértices a los centros de las caras del cubo.

las caras del cubo. Respuesta: Respuesta: 33 6 6 1 1 a a V V

=

190.

190. Dado un cubo de aristaDado un cubo de arista

aa

, calcular el volumen del poliedro cuyos vértices son los cuatro vértices, calcular el volumen del poliedro cuyos vértices son los cuatro vértices del cubo tales que tres cualquiera de ellos no pertenezcan a la misma cara.

del cubo tales que tres cualquiera de ellos no pertenezcan a la misma cara. Respuesta: Respuesta: 33 6 6 1 1 a a V V

=

191.

191. Hallar el área total de un tetraedro regular, cuya arista mide la longitud de un arco de 45°, corres-Hallar el área total de un tetraedro regular, cuya arista mide la longitud de un arco de 45°, corres- pondiente a una circunferencia de radio igual al lado de un cuadrado de 2 m

pondiente a una circunferencia de radio igual al lado de un cuadrado de 2 m22de superficie.de superficie. Respuesta:

Respuesta: A A_t_t

=

22,,13471347mm22

PRISMAS

192.

192. Calcular el área lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo de lados 4 m, 6 m y 8 m yCalcular el área lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo de lados 4 m, 6 m y 8 m y cuya altura mide 2 m.

cuya altura mide 2 m. Respuesta: 36 m Respuesta: 36 m22 193.

193. Calcular el área lateral y total de un prisma recto que tiene 6 cm de altura y cuya base es un hexá-Calcular el área lateral y total de un prisma recto que tiene 6 cm de altura y cuya base es un hexá-gono regular que tiene 2 cm de lado.

gono regular que tiene 2 cm de lado. Respuesta:

Respuesta: 7272 cmcm22;; 1122 6

( (

6

+

33 cm

))

cm22

194.

194. Un prisma tiene por bases y caras laterales a rombos iguales entre si, siendo el lado de cada rom-Un prisma tiene por bases y caras laterales a rombos iguales entre si, siendo el lado de cada rombo igual a su diagonal menor que mide 1 cm. Calcular el volumen del prisma.

bo igual a su diagonal menor que mide 1 cm. Calcular el volumen del prisma. Respuesta:

Respuesta: 22 33 2 2 cmcm 195.

195. Determinar el área total de un prisma regular hexagonal, cuya altura es igual al lado de la base,Determinar el área total de un prisma regular hexagonal, cuya altura es igual al lado de la base, siendo el perímetro de ésta de 12,96 m.

siendo el perímetro de ésta de 12,96 m. Respuesta: 52,23 m