EJERCICIOS FIUNA (5)

(1)

EJERCITARIO PRÁCTICO

DE

MATEMÁTICA II

2012

(2)

EJERCITARIO PRÁCTICO DE MATEMÁTICA II

1.

1. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, están situados a un mismo lado del ladoDos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, están situados a un mismo lado del lado común y se diferencian en 60º,

común y se diferencian en 60º, hallar el ángulo formado por hallar el ángulo formado por sus bisectrices.sus bisectrices.

GEOMETRIA PLANA

ÁNGULOS

Respuesta: 30º Respuesta: 30º 2.

2. Se tienen dos ángulos consecutivos cuya suma es 120º. Si la relación entre sus suplementos es 2, hallarSe tienen dos ángulos consecutivos cuya suma es 120º. Si la relación entre sus suplementos es 2, hallar el menor de dichos ángulos.

el menor de dichos ángulos.

Respuesta: 20º Respuesta: 20º

3.

3. Si el complemento de A es al suplemento de Si el complemento de A es al suplemento de B como el suplemento de A es al complemento de B, hallarB como el suplemento de A es al complemento de B, hallar el menor de los ángulos si A – B = 50º.

el menor de los ángulos si A – B = 50º.

4.

4. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC y se traza la bisectriz ON del ángulo BOC. Hallar elSe tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC y se traza la bisectriz ON del ángulo BOC. Hallar el ángulo AOC, sabiendo que la suma de los ángulos AOC y AOB es igual a 140º y la diferencia de los ángulo AOC, sabiendo que la suma de los ángulos AOC y AOB es igual a 140º y la diferencia de los ángulos AOB y BON es 20º.

ángulos AOB y BON es 20º.

5.

5. Calcular el valor de un ángulo si el Calcular el valor de un ángulo si el suplemento del complemento del suplemento de 4 veces el suplemento del complemento del suplemento de 4 veces el ángulo esángulo es igual al suplemento del complemento

igual al suplemento del complemento del complemento del ángulo.del complemento del ángulo.

6.

6. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo ad-Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo ad-yacente a un ángulo B y el lado no común es de 140º, hallar el ángulo B.

yacente a un ángulo B y el lado no común es de 140º, hallar el ángulo B.

TRIÁNGULOS

7.

7. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA, ARB. De-Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA, ARB. De-muéstrese que los segmentos AP, BQ, CR son iguales.

muéstrese que los segmentos AP, BQ, CR son iguales. 8.

8. Las bisectrices Las bisectrices de dos de dos ángulos exteriores ángulos exteriores B y B y C de C de un un triángulo triángulo cualquiera ABcualquiera ABC se C se encuentran en encuentran en P.P. Demuestre que la suma del ángulo P y la mitad del A es igual a un recto

Demuestre que la suma del ángulo P y la mitad del A es igual a un recto 9.

9. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3,57 cm y la hipotenusa 7,14 cm. Hallar el ánguloUno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3,57 cm y la hipotenusa 7,14 cm. Hallar el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos agudos

formado por las bisectrices de los ángulos agudos del triángulo.del triángulo.

10.

10. En el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB yEn el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular BC cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular el ángulo ABC sabiendo que el

el ángulo ABC sabiendo que el ángulo MBN mide 20º.ángulo MBN mide 20º.

Respuesta: 80º Respuesta: 80º A A B B C C M M N N

(3)

CN 2012 – Ejercitario Práctico de

CN 2012 – Ejercitario Práctico de Matemática II. Geometría Plana.Matemática II. Geometría Plana. Página 255Página 255

11.

11. Demuéstrese queDemuéstrese que AB AB BC + + BC DC >> DC

12.

12. Demostrar que en todo triángulo la suma de las alturas es menor que el perímetro del triánguloDemostrar que en todo triángulo la suma de las alturas es menor que el perímetro del triángulo 13.

13. En un triángulo BAC, rectángulo en A, AP es la bisectriz del ángulo A y P En un triángulo BAC, rectángulo en A, AP es la bisectriz del ángulo A y P el punto de intersección de lael punto de intersección de la misma con la hipotenusa BC. Sea PR perpendicular a BC, donde R es la intersección de la recta PR y misma con la hipotenusa BC. Sea PR perpendicular a BC, donde R es la intersección de la recta PR y AC. Demostrar que

AC. Demostrar que PPR R B== BPP_..

14.

14. Si por el punto de intersección de la bisectriz de un ángulo de un triángulo con el lado opuesto se trazanSi por el punto de intersección de la bisectriz de un ángulo de un triángulo con el lado opuesto se trazan rectas paralelas a las que contienen los otros dos lados, demostrar que los segmentos de estas paralelas, rectas paralelas a las que contienen los otros dos lados, demostrar que los segmentos de estas paralelas, de extremos en dicho punto y

de extremos en dicho punto y la intersección, son iguales.la intersección, son iguales. 15.

15. Dado dos triángulos ABC y ABD. Los vértices C y D están en un mismo semiplano determinado por laDado dos triángulos ABC y ABD. Los vértices C y D están en un mismo semiplano determinado por la recta del lado común AB

recta del lado común AB y C está fuera del y C está fuera del triángulo ABD. Demostrar que sitriángulo ABD. Demostrar que si AC AC AD== AD,, BC BC BD≠≠ BD..

16.

16. Si uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles esSi uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es

55

99

de un recto, demostrar que el triángulo no de un recto, demostrar que el triángulo no

puede ser rectángulo. puede ser rectángulo.

POLÍGONOS

17.

17. Un polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular y los ángulos de aquel tienen 27ºUn polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular y los ángulos de aquel tienen 27º más que los de éste. Determinar

más que los de éste. Determinar dichos polígonos.dichos polígonos.

Respuesta:

Respuesta: pentágono regulpentágono regular; octógono ar; octógono regularregular

18.

18. De cuántos lados es un polígono que De cuántos lados es un polígono que tiene 35 diagonales.tiene 35 diagonales.

Respuesta: n=10 Respuesta: n=10

LUGAR GEOMÉTRICO

19.

19. En los lados del ángulo XOY, se tomanEn los lados del ángulo XOY, se toman OOA A O==OBB. Sobre AB se construye un triángulo APB en que. Sobre AB se construye un triángulo APB en que AP

AP BP>>BP, demostrar que OP no es la bisectriz del ángulo., demostrar que OP no es la bisectriz del ángulo. 20.

20. Si por el punto medio Si por el punto medio M del segmentoM del segmento AB AB se traza CM oblicua se traza CM oblicua a AB, demostrar quea AB, demostrar que CCA A C≠≠CBB..

CUADRILÁTEROS

21.

21. Hallar los valores de los dos ángulos desiguales de un trapecio isósceles, sabiendo que los lados no pa-Hallar los valores de los dos ángulos desiguales de un trapecio isósceles, sabiendo que los lados no pa-ralelos forman un ángulo de

ralelos forman un ángulo de 57 34 1257 34 12°° ' ' " " ..

Respuesta:

Respuesta: 61 12 5461 12 54°° ' ' " " y y11118 8 47 06°°47 06' ' " "

A

B

C

(4)

22.

22. MNPQ es un cuadrado inscripto en un triángulo equilátero ABC. M y N se encuentran sobre el lado MNPQ es un cuadrado inscripto en un triángulo equilátero ABC. M y N se encuentran sobre el lado BC.BC. AA’ es la altura relativa al lado a. Demostrar que AM es la bisectriz del ángulo BAA’

AA’ es la altura relativa al lado a. Demostrar que AM es la bisectriz del ángulo BAA’ 23.

23. Demostrar que la suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una recta exte-Demostrar que la suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una recta exte-rior al mismo, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices a la misma recta.

rior al mismo, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices a la misma recta. 24.

24. En un paralelogramo ABCD, Q es el punto medio deEn un paralelogramo ABCD, Q es el punto medio de AD AD, y P punto, y P punto medio de

medio de BC BC . Demuéstrese que BQ y DP trisectan al . Demuéstrese que BQ y DP trisectan al segmentosegmento AC AC .. 25.

25. Se tiene un triángulo ABC en el cual por el vértice C se traza CN perpendicular a la bisectriz exteriorSe tiene un triángulo ABC en el cual por el vértice C se traza CN perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo B. Hallar la distancia de N al punto medio del lado AC, siendo

del ángulo B. Hallar la distancia de N al punto medio del lado AC, siendo AB AB ==

44

mm y y BC BC ==88mm..

Respuesta: Respuesta: 6 6 mm

CIRCUNFERENCIA

26.

26. Hallar el valor del Hallar el valor del ángulo ABC siendoángulo ABC siendo BD BD OA==OA..

Respuesta:

2211 2200

°° ' '

27.

27. Tres Tres circunferencias circunferencias son son tangentes tangentes exteriormente exteriormente en A, en A, B y B y C. Las C. Las rectas Arectas AB y B y AC cAC cortan en ortan en D D y E y E aa la circunferencia BC. Demostrar que

la circunferencia BC. Demostrar que DE DE es un diámetro de esta circunferencia. es un diámetro de esta circunferencia.

28.

28. Por el centro de una circunferencia dada se trazan dos rectas perpendiculares entre sí. Una tangente aPor el centro de una circunferencia dada se trazan dos rectas perpendiculares entre sí. Una tangente a dicha circunferencia corta a dichas rectas en los puntos A y B. Demostrar que las tangentes a la dicha circunferencia corta a dichas rectas en los puntos A y B. Demostrar que las tangentes a la circun-ferencia trazadas por A y B

ferencia trazadas por A y B son paralelas entre sí.son paralelas entre sí. 29.

29. Demostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de una circunferencia inscripta enDemostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de una circunferencia inscripta en un triángulo con la recta que contiene a los lados del mismo, es acutángulo.

un triángulo con la recta que contiene a los lados del mismo, es acutángulo. 30.

30. En una circunferencia de centro O se toma un arcoEn una circunferencia de centro O se toma un arco BC BC  = =

120

°° . Se traza la cuerda. Se traza la cuerda BC BC y las tangentes y las tangentes en B y C, las cuales se cortan en un punto exterior A. Sobre el referido arco

en B y C, las cuales se cortan en un punto exterior A. Sobre el referido arco BC BC  se toma un punto M y se toma un punto M y

se trazan la secante BM la cual corta a AC en D y la secante CM que corta a AB en E. Demostrar que se trazan la secante BM la cual corta a AC en D y la secante CM que corta a AB en E. Demostrar que cualquiera sea la posición del punto M sobre el arco

cualquiera sea la posición del punto M sobre el arco BC BC  la suma la suma AD AD AE + + AE cte.==cte.

31.

31. En un triángulo ABC sobre los lados BC y AC se toman los puntos P y Q de tal manera que el ánguloEn un triángulo ABC sobre los lados BC y AC se toman los puntos P y Q de tal manera que el ángulo PAQ = 32º. Calcular el ángulo

PAQ = 32º. Calcular el ángulo ABQ siendo ABP = PQC = 70º.ABQ siendo ABP = PQC = 70º.

32.

32. Si por los puntos de intersección de dos circunferencias que se cortan, se trazan secantes a las circunfe-Si por los puntos de intersección de dos circunferencias que se cortan, se trazan secantes a las circunfe-rencias, demostrar que las rectas determinadas por los extremos de las secantes en cada circunferencia rencias, demostrar que las rectas determinadas por los extremos de las secantes en cada circunferencia son paralelas. son paralelas. A A _B_B Q Q PP D D CC 64° 64° O O D D C C B B A A

(5)

PROPORCIONALID

PROPORCIONALIDAD –

AD – SEMEJANZAS

SEMEJANZAS

33.

33. Calcular la longitud de la tangente AB, sabiendo queCalcular la longitud de la tangente AB, sabiendo que

20

AC

AC == mm,, AE AE ==

17

mm,, BE BE ==66 mm y y ED ED == 44mm..

Respuesta:

Respuesta: AB AB ==13 41613 416, , mm

34.

34. Calcular el valor del Calcular el valor del ángulo ACB.ángulo ACB.

35.

35. Si la recta DA es perpendicular a FE;Si la recta DA es perpendicular a FE; BD BD ==1010mm y y AB AB ==33mm, calcular la, calcular la

longitud de AC. longitud de AC.

Respuesta:

Respuesta: AC AC ==

66 224455

, , mm

36.

36. SiendoSiendo FAFA y y DE DE perpendiculares perpendiculares aa AC AC ;; AF AF ==1010mm ;; 4

4 BD

BD BE = = BE == mm , calcular la longitud del radio de la semicircunferencia, calcular la longitud del radio de la semicircunferencia

ABC ABC ..

Respuesta: Respuesta: 5 5 mm

37.

37. En un triángulo se verifica queEn un triángulo se verifica que BD BD:: DA DA:::: AE AE :: EC EC y además y además M M y y N N son los puntos medios deson los puntos medios de AB AB y y AC

AC . Demostrar que. Demostrar que MN MN bisecta a bisecta a DE DE . El punto. El punto D D se encuentra en se encuentra en AB AB y y E E en en AC AC ..

38.

38. Dos circunferencia de radiosDos circunferencia de radios R R y y r r son tangentes exteriormente y son tangentes exteriormente y d d es la distancia del punto de tan- es la distancia del punto de

tan-gencia a una recta t

gencia a una recta tangente externa común a dichas circunferencias, demostrar queangente externa común a dichas circunferencias, demostrar que

r r R R Rr Rr d d + + = =

22

_..

ÁREAS

39.

39. Siendo el triánguloSiendo el triángulo ABC ABC rectángulo en rectángulo en B B;; BD BD BE == BE y y AB AB ==66 mm, calcu-,

calcu-lar su área. lar su área.

Respuesta:

Respuesta: 10,3923 10,3923 mm22

40.

40. SiendoSiendo BC BC , tangente a la circunferencia;, tangente a la circunferencia; CB CB == 2 502 , m, m50 ;; CD CD , ==1 701 70, mm y y

4

4 4040

AB

AB == , , mm, calcular el área del triangulo ABC,, calcular el área del triangulo ABC,

Respuesta: Respuesta: 3,5926 3,5926 mm22

A

E

D

C

B

O

90° 90° 20° 20° 20° 20° D D C C B B F F E E D D C C B B A A E E D D C C B B A A 18° 18° 12° 12° D D C C B B A A O O F F EE D D C C B B A A

(6)

41.

41. SiendoSiendo CB CB ==77 mm;; AP AP ==

55

mm y y PPQ Q ==

22 22

, , mm, calcular el área del triangu-, calcular el área del

triangu-lo isósceles

lo isósceles ABC ABC AB

((

AB AC == AC

))

, indicado en la figura., indicado en la figura.

Respuesta:

Respuesta: 17,0569 17,0569 mm22

42.

42. Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente de 6 m y 2 m de radios. Calcular el área del triángu-Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente de 6 m y 2 m de radios. Calcular el área del triángu-lo que se forma con

lo que se forma con las tangentes comunes que se pueden trazar las tangentes comunes que se pueden trazar a las dos circunferencias.a las dos circunferencias.

Respuesta:

Respuesta: 20,7846 20,7846 mm22

43.

43. Calcular el área de un rectángulo de 32 m de diagonal, sabiendo que es semejante a otro rectángulo deCalcular el área de un rectángulo de 32 m de diagonal, sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 6 m y 4 m.

lados 6 m y 4 m.

Respuesta:

Respuesta: 472,6154 472,6154 mm22

44.

44. Si la diagonal de un cuadrado mide 8 cm, calcular, en centímetros cuadrados, el área del segundo cua-Si la diagonal de un cuadrado mide 8 cm, calcular, en centímetros cuadrados, el área del segundo cua-drado, cuyo lado está con el del primero en la relación 3:4.

drado, cuyo lado está con el del primero en la relación 3:4.

Respuesta:

Respuesta: 18 18 cmcm22

45.

45. Calcular el área de Calcular el área de un rombo de lado un rombo de lado igual a 8 migual a 8 m, siendo el radio d, siendo el radio del círculo inscripto de el círculo inscripto de 3 m.3 m.

Respuesta: 48 m Respuesta: 48 m22

46.

46. Las rectas que unen el punto medio de un lado con los vértices opuestos de un rombo miden 13 m y 9Las rectas que unen el punto medio de un lado con los vértices opuestos de un rombo miden 13 m y 9 m. Calcular el área de dicha figura.

m. Calcular el área de dicha figura.

Respuesta:

Respuesta: 89,80 89,80 mm22

47.

47. Calcular el área del cuadriláteroCalcular el área del cuadrilátero ABCD ABCD , siendo, siendo ADE ADE y y ECB ECB

triángulos equiláteros;

triángulos equiláteros; AE AE ==22mm y y EB EB ==11mm..

Respuesta:

Respuesta: 3,0311 3,0311 mm22

48.

48. Se dan dos circunferencias tangentes exteriores, de 3 m y 5 m de radios. Calcular el área del trapecioSe dan dos circunferencias tangentes exteriores, de 3 m y 5 m de radios. Calcular el área del trapecio que se forma con las tangentes exteriores comunes a

que se forma con las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias y a las cuerdas que las dos circunferencias y a las cuerdas que unen losunen los puntos de contacto.

puntos de contacto.

Respuesta:

Respuesta: 58,0948 58,0948 mm22

49.

49. Calcular el área del trapecio rectánguloCalcular el área del trapecio rectángulo ABCD ABCD, indicada en la figura,, indicada en la figura,

siendo:

siendo: AB AB ==3030mm;; DE DE ==1010mm;; EA EA ==2828mm y y BEC BEC semicircunfe-

semicircunfe-rencia. rencia.

Respuesta:

Respuesta: 747,33 747,33 mm22

50.

50. Calcular el área del trapecio isóscelesCalcular el área del trapecio isósceles ABCD ABCD, cuyos lados, cuyos lados AD AD,, DC DC y y CB

CB son tangentes a la circunferencia son tangentes a la circunferencia OO de 5 m de radio; de 5 m de radio; BC BC ==3 603 60, , mm..

Respuesta: Respuesta: 28,48 28,48 mm22 E E D D C C B B A A O O D D CC B B A A P P C C BB A A E E D D CC B B A A

(7)

51.

51. Calcular el área del círculoCalcular el área del círculo O' O' , siendo el círculo, siendo el círculo O' O' tangente al círcu- tangente al

círcu-lo

loOO y tangente a los catetos y tangente a los catetos AB AB y y AC AC del triangulo rectángulo isósce-del triangulo rectángulo

isósce-les

les ABC ABC yy OA OA ==

55

mm. (adoptar. (adoptar ππ = 3,1416) = 3,1416)

Respuesta:

52.

52. Calcular el área del círculoCalcular el área del círculo OO, donde AC es tangente a la circunferencia y BC, donde AC es tangente a la circunferencia y BC

perpendicular a AC, y siendo

perpendicular a AC, y siendo queque AB AB ==66 mm y y BC BC == 55mm. (adoptar. (adoptarππ = 3,14) = 3,14)

Respuesta:

Respuesta: 40,6944 40,6944 mm22

53.

53. Calcular el área del pentágonoCalcular el área del pentágono ABCDE ABCDE , siendo, siendo AE AE parale-

parale-la a

la a BC BC ;; DC DC paralela a paralela a AB AB;; AB AB ==4040mm; E, D y B perte-; E, D y B perte-necen a una misma recta;

necen a una misma recta; BC BC ==1919mm ;; CD CD ==2020mm y y

13

DB DB == mm.. Respuesta: Respuesta: 595,73 595,73 mm22 54.

54. Hallar el área de un triangulo rectángulo inscripto en un círculo de 40 m de radio, siendo uno de losHallar el área de un triangulo rectángulo inscripto en un círculo de 40 m de radio, siendo uno de los catetos igual al lado de un triangulo equilátero inscripto en dicho círculo.

catetos igual al lado de un triangulo equilátero inscripto en dicho círculo.

Respuesta:

Respuesta: 1.385,64 1.385,64 mm22

55.

55. Calcular el área de un triángulo equilátero inscripto en un cuadrado de 8 m de lado, de manera que unoCalcular el área de un triángulo equilátero inscripto en un cuadrado de 8 m de lado, de manera que uno de los vértices del cuadrado lo sea también del triángulo.

de los vértices del cuadrado lo sea también del triángulo.

Respuesta:

56.

56. Un lado de un triángulo, la altura y la bisectriz que parten de uno de los extremos de aquel, miden 20 m,Un lado de un triángulo, la altura y la bisectriz que parten de uno de los extremos de aquel, miden 20 m, 12 m y 15 m, respectivamente. Calcular el área del triángulo.

12 m y 15 m, respectivamente. Calcular el área del triángulo.

Respuesta:

Respuesta: 68,9231 68,9231 mm22

57.

57. El perímetro de un triangulo es el El perímetro de un triangulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscripta en doble del desarrollo de la circunferencia inscripta en el. Siendo el áreael. Siendo el área del círculo 12 m

del círculo 12 m22_{, calcular la del triángulo.}_{, calcular la del triángulo.}

Respuesta:

Respuesta: 24 24 mm22

58.

58. Si la diferencia entre las áreas de dos triángulos equiláteros, uno inscripto y el otro circunscripto a unSi la diferencia entre las áreas de dos triángulos equiláteros, uno inscripto y el otro circunscripto a un círculo, es de 12 m

círculo, es de 12 m22, calcular la longitud del lado del triangulo inscripto., calcular la longitud del lado del triangulo inscripto.

Respuesta:

Respuesta: 1,75476 1,75476 mm

59.

59. El perímetro de un cuadrado, aumentado en la diagonal, es igual al perímetro de un segundo cuadrado,El perímetro de un cuadrado, aumentado en la diagonal, es igual al perímetro de un segundo cuadrado, cuya superficie es de 49 m

cuya superficie es de 49 m22_{. Calcular el área del primer cuadrado.}_{. Calcular el área del primer cuadrado.}

Respuesta: Respuesta: 26,7452 26,7452 mm22 O' O' O O D D C C B B

E

A

D

_C

B

O O C C B B A A

(8)

60.

60. La superficie de un rombo es de 96 mLa superficie de un rombo es de 96 m22 y su lado es de 10 m. Calcular el área de otro rombo, semejante y su lado es de 10 m. Calcular el área de otro rombo, semejante al anterior, cuya diagonal menor es de 15 m.

al anterior, cuya diagonal menor es de 15 m.

Respuesta:

61.

61. Calcular el área de un trapecio rectángulo circunscripto a un círculo de 3 m de radio, sabiendo que elCalcular el área de un trapecio rectángulo circunscripto a un círculo de 3 m de radio, sabiendo que el lado oblicuo forma con la

lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo de 60°.base mayor un ángulo de 60°.

Respuesta:

Respuesta: 38,7846 38,7846 mm22

62.

62. Un punto dista de una circunferencia 49 m, y el segmento de la recta tangente a ella, trazada desde elUn punto dista de una circunferencia 49 m, y el segmento de la recta tangente a ella, trazada desde el punto, mide 63 m. Calcular el área d

punto, mide 63 m. Calcular el área del círculo. (adoptarel círculo. (adoptarππ_{= 3,14)}_{= 3,14)}

Respuesta:

Respuesta: 803,84 803,84 mm22

63.

63. Demostrar que en todo triángulo rectánguloDemostrar que en todo triángulo rectángulo BAC BAC , se verifica:, se verifica:

11

₂₂

11

₂₂

11

₂₂

cc b b h h_a_a + + =

= _{, siendo}_{, siendo} _b_b_y_y _cc_{los cate-}_los cate-tos y

tos y hh_a_a la altura relativa a la hipotenusa. la altura relativa a la hipotenusa.

64.

64. El triángulo BAC, rectángulo en A y el triángulo isósceles ABDEl triángulo BAC, rectángulo en A y el triángulo isósceles ABD AD AD = = DB DB

))

, son equivalentes entre sí., son equivalentes entre sí. Las rectas AD y BC se interceptan en el punto P. Calcular el área del triángulo ABP, sabiendo que Las rectas AD y BC se interceptan en el punto P. Calcular el área del triángulo ABP, sabiendo que

3 3

AC

AC == mm y y BC BC ==55mm..

65.

65. Calcular el área de un cuadrilátero, sabiendo que sus diagonales miden 7m y 16 m, respectivamente, yCalcular el área de un cuadrilátero, sabiendo que sus diagonales miden 7m y 16 m, respectivamente, y forman entre sí un ángulo de

forman entre sí un ángulo de 150°.150°.

Respuesta: Respuesta: 28 28 mm22

66.

66. Si el radio exterior de una corona circular es de 7 m, y una cuerda de aquella, de 9 m, es dividida en tresSi el radio exterior de una corona circular es de 7 m, y una cuerda de aquella, de 9 m, es dividida en tres partes iguales por la circunferenc

partes iguales por la circunferencia interior, calcular el área de la corona.ia interior, calcular el área de la corona.

Respuesta: 96,55 m Respuesta: 96,55 m22

67.

67. La base de un triángulo isósceles es de 36 m. Hallar el área de una corona determinada por la circunfe-La base de un triángulo isósceles es de 36 m. Hallar el área de una corona determinada por la circunfe-rencia que tenga como centro el vértice opuesto a la base, y pase por el vértice de la base, y otra rencia que tenga como centro el vértice opuesto a la base, y pase por el vértice de la base, y otra circun-ferencia del mismo centro que el anterior y tangente a la base.

ferencia del mismo centro que el anterior y tangente a la base.

Respuesta: 1.017,88 m Respuesta: 1.017,88 m22

68.

68. Si la diferencia entre la superficie de un cuadrado y un rectángulo de 2 m de base, inscriptos en unaSi la diferencia entre la superficie de un cuadrado y un rectángulo de 2 m de base, inscriptos en una circunferencia, es de 10 m

circunferencia, es de 10 m22, calcular el área del círculo., calcular el área del círculo.

Respuesta: 39,20 m

Respuesta: 39,20 m22 y 4,78 m y 4,78 m22

69.

69. En un triángulo cuyos lados miden 91 m, 125 m y 204 m, respectivamente, se forma otro triángulo alEn un triángulo cuyos lados miden 91 m, 125 m y 204 m, respectivamente, se forma otro triángulo al considerar la recta paralela a la que contiene al lado mayor a una distancia de 7 m del vértice opuesto a considerar la recta paralela a la que contiene al lado mayor a una distancia de 7 m del vértice opuesto a dicho lado. Hallar el área del triángulo mencionado.

dicho lado. Hallar el área del triángulo mencionado.

70.

70. Calcular el radio (R ) de un círculo equivalente a la superficie de tres círculos dados (r Calcular el radio (R ) de un círculo equivalente a la superficie de tres círculos dados (r 11, r , r 22, r , r 33))

Respuesta: R Respuesta: R22 = r = r11 2 2 + r + r22 2 2 + r + r33 2 2

(9)

71.

71. Si la diferencia entre la diagonal de un cuadrado y su lado es 6 m, hallar la superficie del cuadrado.Si la diferencia entre la diagonal de un cuadrado y su lado es 6 m, hallar la superficie del cuadrado.

72.

72. Un trapecio tiene por bases 80 m y 60 m, y por altura 24 m. A 6 Un trapecio tiene por bases 80 m y 60 m, y por altura 24 m. A 6 m de la base mayor, se traza una parale-m de la base mayor, se traza una parale-la que determina dos trapecios, determinar parale-la superficie de cada uno.

la que determina dos trapecios, determinar la superficie de cada uno.

Respuesta: 1 215 m

Respuesta: 1 215 m22 y y 465 m465 m22

73.

73. El segmento de recta perpendicular a una recta secante que pasa por el centro de una circunferencia, deEl segmento de recta perpendicular a una recta secante que pasa por el centro de una circunferencia, de extremos en la circunferencia y el pie de la perpendicular es 6 m y su pie divide al diámetro en dos extremos en la circunferencia y el pie de la perpendicular es 6 m y su pie divide al diámetro en dos seg-mentos que están en la relación

mentos que están en la relación

22

33

. Calcular la longitud de la circunferencia.. Calcular la longitud de la circunferencia.

Respuesta: 38,4765 m Respuesta: 38,4765 m

74.

74. Siendo ABC un triángulo equilátero inscripto en una circunferencia deSiendo ABC un triángulo equilátero inscripto en una circunferencia de radio

radio R R ==

88

cmcm; D punto medio del arco ADC y E punto medio del lado; D punto medio del arco ADC y E punto medio del lado

BC , calcular las longitudes

BC , calcular las longitudes DE DE y y EF EF

Respuesta:

Respuesta: DE DE = =

1100 558833

, , m; EF m; EF ==

44 553366

, , mm

75.

75. A dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 5 m y 3 m, se traza una secante tA dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 5 m y 3 m, se traza una secante t al, que la parteal, que la parte interceptada por la primera es de 6 m y la interceptada por la segunda, de 3,60 m. Calcular la longitud interceptada por la primera es de 6 m y la interceptada por la segunda, de 3,60 m. Calcular la longitud de la parte de secante exterior a las dos circunferencias.

de la parte de secante exterior a las dos circunferencias.

Respuesta:

Respuesta: 3,038 3,038 mm

76.

76. A dos circunferencias concéntricas de 3 m y 5 m de radio, se traza una secante tal, que la cuerda inter-A dos circunferencias concéntricas de 3 m y 5 m de radio, se traza una secante tal, que la cuerda inter-ceptada por la circunferencia mayor resulta dividida en tres partes iguales por la otra circunferencia. ceptada por la circunferencia mayor resulta dividida en tres partes iguales por la otra circunferencia. Calcular la longitud de dicha cuerda.

Calcular la longitud de dicha cuerda.

Respuesta:

77.

77. Hallar el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la distancia de un vértice al punto situado en laHallar el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la distancia de un vértice al punto situado en la tercera parte del lado opuesto es de 3m.

tercera parte del lado opuesto es de 3m.

78.

78. Una cuerda dista del centro de la circunferencia 4 m y es dividida por un diámetro en dos segmentos deUna cuerda dista del centro de la circunferencia 4 m y es dividida por un diámetro en dos segmentos de 6 m y 12 m. Calcular el radio de la circunferencia.

6 m y 12 m. Calcular el radio de la circunferencia.

Respuesta: R = 9,85 m Respuesta: R = 9,85 m

79.

79. Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 2 m y 3 m. Calcular la longitud de la Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente, de radios 2 m y 3 m. Calcular la longitud de la parteparte de la tangente interior comprendida entre la recta que une los centros de aquellos y una de las tangentes de la tangente interior comprendida entre la recta que une los centros de aquellos y una de las tangentes exteriores comunes.

exteriores comunes.

Respuesta:

80.

80. Calcular la longitud del segmento BC, siendo la recta BC tangente a laCalcular la longitud del segmento BC, siendo la recta BC tangente a la circunferencia; B punto de tangencia;

circunferencia; B punto de tangencia; AB AB ==44 mm y y AO AO ==2 2 5, , m5m..

Respuesta: Respuesta: 8,571 8,571 mm F F E E D D C C B B A A O O C C B B A A

(10)

81.

81. Calcular la longitud deCalcular la longitud de ODOD, siendo, siendo AB AB tangente a la circunferencia tangente a la circunferencia O

O e igual a su diámetro; e igual a su diámetro; E E el punto medio de el punto medio de CDCD y y AB AB ==

44

mm (ver (ver

figura) figura)

Respuesta: Respuesta: 1,2 1,2 mm

82.

82. Las tangentesLas tangentes AP AP y y CRCR a una circunferencia dada son paralelas entre sí y la a una circunferencia dada son paralelas entre sí y la PRPR, también tangente a, también tangente a

la circunferencia, les corta en

la circunferencia, les corta en PP y y R R, respectivamente. Demostrar que variando la posición de PR se, respectivamente. Demostrar que variando la posición de PR se

verifica que el producto

verifica que el producto PPQ Q QQRR es ues una constante, na constante, siendosiendo QQ el punto de tangencia. el punto de tangencia. 83.

83. En un círculo de radioEn un círculo de radio R R ==

25

cmcm, considérese una cuerda, considérese una cuerda AB AB ==

30

cmcm y trácese la cuerda y trácese la cuerda BC BC per- per- pendicular al diámetro que pasa por

pendicular al diámetro que pasa por A A. Calcular la longitud de la cuerda. Calcular la longitud de la cuerda BC BC ..

Respuesta:

Respuesta: 24 24 cmcm

POLIGONOS REGULARES

84.

84. Calcular el área del hexágono regular, cuya apotema es igual al triple del lado de otro hexágono regularCalcular el área del hexágono regular, cuya apotema es igual al triple del lado de otro hexágono regular de 32 m

de 32 m22 de superficie. de superficie.

Respuesta:

85.

85. En la figura de abajoEn la figura de abajo ABCDEF ABCDEF es un hexágono regular. Calcular el área deles un hexágono regular. Calcular el área del

trapecio

trapecio DEGH DEGH , siendo, siendo OP OP ==33mm y y OOQ Q ==0 80 , , m8m..

Respuesta: Respuesta: 10,42 10,42 mm22 O O E E D D C C B B A A P P Q Q O O H H G G F F E E DD C C B B A A

(11)

CN 2012 – Ejercitario Práctico de Matemática II. Trigonometría.Matemática II. Trigonometría. Página 263Página 263

TRIGONOMETRÍA

R

EDUCIR A SU FORMA MÁS SIMPLEEDUCIR A SU FORMA MÁS SIMPLE

,,

LAS SIGUIENTES EXPRESIONES LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

::

86. 86.

( ) ( )

( ( ))

          + + + + − − − − − − + + α α π π α α α α π π α α π π 2 2 cos cos cos cos sec sec sen sen Respuesta: Respuesta: tgtg α α 2 2 1 1 87. 87.

(

)

) ( )

( ) ( )

( )

( (

))

2 2 22 2 2 2 2

cc oottg g sseec c ccooss sseen n ccooss

π π α α π π α α π π α α π π π π α α α α + +   __ −− −− ++ _    − − − − __ −− _    Respuesta: 1 Respuesta: 1 88. 88.

(

( )

) (

( )

)

(

( ))

22

sseen n ccoos s sseec c ccooss eecc ttg g sseecc π π α α ππ α α ππ αα αα π π π π α α α α   ₋₋  ₋₋ ₊₊ ₋₋         ₊₊     ₋₋                Respuesta:

Respuesta: sensenα α

89. 89.

(

( )

) (

(

))

( (

))

33

22

sseen n sseec c ttgg ccooss eec c ccoos s ttgg

π π π π α α ππ α α αα π π π π π π αα αα αα    + + − − __ −− _           − − __− − __{ }_++ _        Respuesta: Respuesta: tgtgα α 90. 90.

(

)

(

)

(

))

( (

))

33

22

55

22

44

sseen n sseen n sseenn cos cos π π α α ππ α α ππ α α π π α α + + −− −− −− −− − − Respuesta: Respuesta: 77tgtgα α 91. 91.

₍

₎

₍

₎

₍

₎

2 2 22

₍

₎₎

2 2 11 33 55 22 44 2 2

sseen n k __  k ++ ππ ++αα_ −− sseen n ππ −−αα −− sseen n ππ −−αα ++ccoos s  _ _π π ++αα _ ++ccooss ππ −−αα



 

Respuesta:

(12)

R

ESOLVERESOLVER

::

92.

92. El arcoEl arco aa es del 2º cuadrante y es del 2º cuadrante y bb del 4º cuadrante, si del 4º cuadrante, si

22

33

sen

senα α == y y

33

44

cosb

cosb = = . Calcular. Calcular sseen n a

( (

a b++b

))

,,

utilizando las correspondientes fórmulas trigonométricas. utilizando las correspondientes fórmulas trigonométricas.

Respuesta:

11

35

22

−−

12

93.

93. El arcoEl arco x x es del 4º cuadrante y es del 4º cuadrante y 11 2 2

sseenn xx = = ; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas,; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas,

calcular

calcular tg tg xx22 ..

Respuesta: Respuesta: −− 33

94.

94. El arcoEl arco mm es del 1º cuadrante y es del 1º cuadrante y

22

24

77

tg

tg mm = = ; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas,; utilizando las correspondientes formulas trigonométricas, calcular calcular

22

m m tg tg .. Respuesta: Respuesta:

11

33

95.

95. El arcoEl arco aa es del 1 es del 1er er cuadrante y cuadrante y

88

17

sena

sena = = ; el arco ; el arco bb es del 3 es del 3er er cuadrante y cuadrante y

55

12

tg

tg bb = = . Utilizando las. Utilizando las

correspondientes formulas trigonométricas, calcular

correspondientes formulas trigonométricas, calcular ttg a g a b

_{( (}

−−b

₎₎

y y sseec a c a b

( (

++b

))

..

Respuesta: Respuesta:

21

220

;; 221 221 140 140 − − 96.

96. El arcoEl arco aa es del 2º cuadrante y es del 2º cuadrante y 1212 13 13 co

coss aa = = −− ; el arco; el arco bbes del 1es del 1er er cuadrante y cuadrante y 2424

7 7 co

cotgtg bb = = . Utilizando . Utilizando

las correspondientes formulas trigonométricas, calcular

las correspondientes formulas trigonométricas, calcular sseen a n a b

_{( (}

−−b

₎₎

..

Respuesta: Respuesta: 204204

325 325

97.

97. Se sabe queSe sabe que ccoos s 770 0 °° + + ccoos s 36 36 1° =° =1 1,,15511 y y ccoos s

5533

° =° =

0 60022

0 6

,, . Con estos datos, calcular. Con estos datos, calcular coscos1717°° .. Respuesta: 0,956

Respuesta: 0,956

98.

98. Calcular el productoCalcular el producto aa por por bb, siendo, siendo aa y y bb los los valores valores máximo máximo y y mínimo mínimo que que puede puede alcanzaralcanzar y y,,

sabiendo que

sabiendo que y y = = −5 5 3−3cos cos xx..

Respuesta: 16 Respuesta: 16

(13)

SS

IMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONESIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

::

99. 99. a a 2sen 2sen 2 2 cosa-1 cosa-1 Respuesta: Respuesta: 2 2 cos cosececα α − − 100. 100.

33

99

22

33

22

ccoos s ccooss sseen n sseenn α α α α α α α α − − Respuesta: 2 Respuesta: 2 101. 101. 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 sen sen

ttg g ( s( seen n ccoos ) ss ) seec c ( s( seen n ccoos )s ) cos cos α α α α αα αα αα αα αα α α − − + + −− − − Respuesta: -2 Respuesta: -2 102. 102.

11

22

((ccoos es ec c α α ++ccoot t α α )) Respuesta: Respuesta:

11

22

cotgcotgα α 103. 103. sseenn( a ( a b ) b ) sseenn( a ( a b )b )

ccooss( a ( a b ) b ) ccooss( a ( a b )b )

+ + + + −− − − − − ++ Respuesta. Respuesta. cocotgtg bb 104. 104. ((ccoot a t a ttg− − ga ) a ) ttg

_{[ [}

g( ( 45 45 °° + + − a ) a ) ttg− g( ( 4455°° −−a )a )

_]]

Respuesta: 4 Respuesta: 4 105. 105.

33

77

99

33

77

99

ccoos s ccoos s ccoos s ccooss sseen n sseen n sseen n sseenn

α α αα αα αα α α αα αα αα + + + + ++ + + + + ++ Respuesta:

Respuesta: cotgcotg55α α

106.

106. 22

1

1 22

ttg g a a sseenn( a b )( a b ) sseec a c a ccooss acoacosbsb

− − − − + + Respuesta: Respuesta: tgtg bb

(14)

107.

107. sesen(2n(2aa -- 3b)+3b)+sensen3b3b

co

cos(2s(2aa -- 3b)+cos33b)+cos3bb

Respuesta: Respuesta:

tg a

T

RANSFORMAR EN PRODUCTORANSFORMAR EN PRODUCTO

108.

108. 1+tga1+tga

Respuesta:

Respuesta: 22sensen((4545°°++ aa))secsecaa

109.

109. 1-cosa1-cosa

Respuesta:

Respuesta: 2sen2sen22 a a

2 2 110. 110. 1+sena1+sena Respuesta: Respuesta:           − −           + +

22 ºº

45

45 cos

cos

22 ºº

45

22

sensen aa aa

E

FECTUANDO TRANSFORMACIONESFECTUANDO TRANSFORMACIONES EXCLUSIVA EXCLUSIVAMENTEMENTE

111. 111.

EN EL PRIMER MIEMBRO VERIFICAR LAS EN EL PRIMER MIEMBRO VERIFICAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES SIGUIENTES IDENTIDADES

::

cotga+coseca cotga+coseca +seca=0 +seca=0 se

senana -- cocotgtgaa -- cocosesecaca

112.

112. sena+tgasena+tga = senatga= senatga cotga+coseca

cotga+coseca

113.

113. ccoos s ccoottg g sseen tn tgg

₁₁

sen sen ccooss ccoosseec c sseecc

α α α α α α α α α α α α α α α α − − = = ++ − − 114. 114. 2 2 22

ccooss( ( αα ++ ββ ))ccooss( ( αα −− ββ ) cco) == os s αα −−sseenn ββ

115. 115. 2 2 22 22 2 2 2 2 22 sseen n sseenn tg tg sseen n sseenn α α α α α α α α α α − − = = + + 116. 116. 22 22

11

22

11

22

tg tg cos cos tg tg α α α α α α − − = = + +

(15)

117.

117. sseen n

33

ccooss

33

22

sseen n ccooss α α α α α α − − α α == 118. 118.

22

44 ₃₃

22

44

sseen n sseenn tg tg ccoos s ccooss

α α α α α α α α α α + + = = + + 119. 119. 2 2 22 22 2 2 22 ccoottg g ttgg ccoosseec c ccoottgg

α α α α α α α α − − = = + + 120. 120. 2 2 22 22 2 2 2 2 22 sseen n sseenn cot g cot g sseen n sseenn α α α α α α α α α α + + = = − − 121. 121. 22 3 3 4 4 33

sseen n ( α α ( − − sseen n ) sα α ) seen== n α α

122.

122. 4 4 22

8

8ccoos s α α − − 88ccoos s α α + =+ 11= ccooss 44α α

123.

123. Demostrar que siDemostrar que si

_{( (}

a a b + + + b cc+ = = °° , se verifica:180180

₎₎

, se verifica:ttg g a a ttg+ + g b b ttg+ + g c c ttg == g a .a .ttgg bb..ttgg cc..

124.

_{( (}

a a b + + + b cc+ = = °° , se verifica:180180

₎₎

, se verifica: ccoos a s a cco2 2 ++ os s b 2 2 +b cco+ os c s c 22 ++2 2 ccoos as a ccoos b cs b coos cs c==11

125.

_{( (}

a a b + + + b cc+ = = °° , se verifica:

180

180 ₎₎

, se verifica:

44

22

a

a b b cc sseen a n a sseen b + + n b sseen c + + n c == ccoos s ccoos s ccooss ..

126.

_{( (}

a ba + + = b = °° , se verifica:9090

₎₎

, se verifica:

(

sseen a sn a seen b c++ n b co

))(

(

os a cs a co++ os b s b

))

==1 1 ++sseen n a22a..

R

ESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONESESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

,,

PARA EL MENOR ARCO POSITIVO PARA EL MENOR ARCO POSITIVO

::

127. 127. sseecc x cx coosseecc x x ==44ttg g xx Respuesta: Respuesta: x x = =

30

°° 128. 128. 3 3 ttggx x − − 115 5 7= −= −7sseecc xx Respuesta: Respuesta: x x = =

5511 4466

,, °° 129. 129. ttg g x x + + 3 3 ccoottg g xx = = +1 1 + 33 Respuesta: Respuesta: x x = =

45

°° 130. 130.

22 11 22

11 11

22 11 22

11

33

ttg g x x ttg g xx ttg g x x ttg g xx + + −− + + == − − ++ Respuesta: Respuesta: x x = =

45

°°

(16)

131. 131. sseen n x

22

x cco+ + os s xx ==

00

Respuesta: Respuesta: x x = = °°

90

132. 132. ccoos s x 2 2 x = = −3 3 5−5sseen xn x Respuesta: Respuesta: x x = = °°3030 133. 133. ttg g

_{( (}

445 5 + + x x

₎₎

− − 3 3 ttg g xx ==22 Respuesta: Respuesta: x x = = °°

30

134.

134. sseenn( ( x x − ° − 1122° = ) ) sseen x = n x sseen− − n1212°°

Respuesta: Respuesta: x x = = °°00 135. 135. sseen x n x sseen3 3 − − nxx==00 Respuesta: Respuesta: x x = = °°00 136. 136.

₍

2 2

₎

4 4

₍

₎₎

44 11 3 3 33

sseen n x x −− π π ccoos s __−− π π _ +_+ccoos s π π −− x x sseenn__−− π π _ == −−

     Respuesta: Respuesta: x x = = °°

30

137. 137. 3 3 44 2 2 x x ccoos s x x − − ccooss ==

Respuesta: Respuesta: x x = =

360

°° 138. 138. sseenn x x cco+ + os s xx= −= −11 Respuesta: Respuesta: x x = =

180

°° 139. 139. 44 44

77

88

sseen n x x cco+ + os s xx == Respuesta: Respuesta: ₁₁

12

x x == π π ;; ₂₂

55

12

x x == π π ;; ₃₃

77

12

x x == π π ;; ₄₄ 1111 12 12 x x == π π 140. 140.

₇₇

₃₃

₂₂

22

₁₁

sseen x n x sseen x + + n x + + sseen n xx ==

Respuesta: Respuesta: ₁₁ 4 4 x x == π π ;; ₂₂ 33 4 4 x x == π π ;; ₃₃ 30 30 x x == π π ;; ₄₄ 6 6 x x == π π

R

ESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONESESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

,,

PARA PARA

00

OO≤≤ X X ≤≤

180

OO

::

141.

₆₆

22

₁₁

22

x x ccoos s x x + + ccooss ==

Respuesta:

(17)

142.

142. sesen n xx cco

22

osesecc xx cocotg tg xx sesecc xx

11

tg x

tg x − − ==

Respuesta:

Respuesta: x x₁₁ = = °°

30

;; x x₂₂ = =

150

°°

R

ESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONESESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

,,

PARA EL MENOR ARCO POSITIVO PARA EL MENOR ARCO POSITIVO

::

143. 143.

22

11

22

ttg g x x ttg g yy cos

cos xx cos ycos y

+ + ==    = =  Respuesta:

Respuesta: x x = = 4545°°;; y y = =

45

°°

144. 144. 5 5 7 7 3 3 sseecc x x ttg g yy sseecc x x ccoottg g yy

+ + ==    + + ==  Respuesta:

Respuesta: x x == 60º 60º ;; y y == 71º 3371º 33' 54,18'' ' 54,18''

145. 145.

11

33

sseenn x x sseen n yy co cos s x x cocos s yy − − ==   + + ==  Respuesta:

Respuesta: x x = = 30º30º ;; y y = = −−

30º

146. 146.

_{( (}

₎₎

3 3 tg x tg x ttg g y y ttg x g x yy = = − − = = ++ Respuesta:

Respuesta: x x = =

60º

;; y y = = −−30º30º

147. 147. 300300 1 1 x x yy sseenn x x sseen n yy + + ==   + + ==  Respuesta:

Respuesta: x x = =150º150º;; y y = =150º150º

148. 148. 66 3 3 2 2 x x yy se senn xx sesen yn y π π  + + ==    _{= −}_{= −}  Respuesta:

(18)

E

LIMINAR EL PARÁMETROLIMINAR EL PARÁMETRO TT

,,

EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

::

149.

149. x x aa cos cos t 22t

y

y aa sensent t

= =   = =  Respuesta: Respuesta: a x + 2 y - a = 0a x + 2 y - a = 02 2 22 150. 150. 2 2 x x aa sensen t t t t y

y bb coscos

= =    = =  Respuesta: Respuesta: 2 2 2 2 22 2 2 22 y y b b xx = = 1 1--b b 4a4a 151. 151. x x secsect t aa y

y cotgcotg t t bb

= =   = =  Respuesta: Respuesta: 2 2 22 2 2 2 2 22 x x bb = = a a b b + + yy 152. 152. x x aa tgtg t t y

y bb secsec t t

= =   = =  Respuesta: Respuesta: 2 2 22 2 2 2 2 22 a a bb = = x x ++ a a yy

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

153.

153. Calcular el ángulo B de un triángulo rectángulo, siendo:Calcular el ángulo B de un triángulo rectángulo, siendo: aa = 24= 245252,1,15757 mm;; b+b+ cc == 3434665,5,1109m09m..

Respuesta:

Respuesta: B B == 42º 42' 42,5'' 42º 42' 42,5'' ;; B B == 47º 17' 147º 17' 17,5'' 7,5''

154.

154. ConociendoConociendo aa = 2= 22255 mm y y b b 4== 4 c

c 33 , calcular los elementos del triángulo rectángulo., calcular los elementos del triángulo rectángulo.

Respuesta:

Respuesta: b = 1 8 0 mb = 1 8 0 m;; c=135mc=135m;; B B == 53º53º 7' 48,4'' 7' 48,4'' ;; CC == 3636º º 5252' 1' 11,1,6'6'' '

155.

155. Calcular los elementos de un triángulo Calcular los elementos de un triángulo rectángulo de perímetro 72 m, sabiendo rectángulo de perímetro 72 m, sabiendo queque b b == 22 c c 33 .. Respuesta: Respuesta: aa == 3300,,116677 mm;; bb == 1616,,737333 mm;; cc = 2= 25,5,101000 mm;; B B = 33º 41' 24,= 33º 41' 24, 2'' 2'' ;; C C == 5656º 18º 18' 35' 35,8',8'' ' 156.

156. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifican las siguientes igualdades:Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifican las siguientes igualdades:

b

b = se= secC cC ;; cc == cocosesecC cC ..

Respuesta:

(19)

157.

157. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verificaCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifica b b == 33 c

c 44 , y que la distancia, y que la distancia

del vértice del ángulo recto a la hipotenusa es de 240 m. del vértice del ángulo recto a la hipotenusa es de 240 m.

Respuesta:

Respuesta: a = 5 0 0 ma = 5 0 0 m;; b = 3 0 0 mb = 3 0 0 m;; c = 4 0 0 mc = 4 0 0 m;; B = B= 36º 52' 11,6'' 36º 52' 11,6'' ;; CC == 5353º 7' 48º 7' 48,4,4'' ''

158.

158. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la bisectriz de A divide al ladoCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la bisectriz de A divide al lado aa en en dos segmentos, que miden 182 m y

dos segmentos, que miden 182 m y 410 m.410 m.

Respuesta:

Respuesta: a = 5 9 2 ma = 5 9 2 m;; bb = 5= 541,41,085m085m;; cc = 24= 240,0,181899 mm;; B B == 66º 3' 48,4'' 66º 3' 48,4'' ;;

C

C = 23º 56' 11= 23º 56' 11,6',6'' '

159.

159. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo el radio del círculo inscriptoCalcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo el radio del círculo inscripto

rr = 23= 23,458,458mm y la relación de los catetos y la relación de los catetos b b == 11 c c 33.. Respuesta: Respuesta: aa == 17177,7,10101 m1 m;; bb == 556,6,000044 mm;; cc == 16168,8,010133 mm;; B B == 18º 26' 5,8'' 18º 26' 5,8'' ;; C C == 7171º 33' 54º 33' 54,2'' ,2'' 160.

160. El perímetro El perímetro de un triángulo rectángulo es de un triángulo rectángulo es de 10219,56 m y el rde 10219,56 m y el radio del círculo inscripto mide adio del círculo inscripto mide 789.36789.36 m. Calcular los elementos del

m. Calcular los elementos del triángulo rectángulo.triángulo rectángulo.

Respuesta:

Respuesta: aa == 43432020,4,422 mm;; bb == 37374545,2,222 mm;; cc = 21= 215353,92m,92m;; B B == 60º 5' 46,3'' 60º 5' 46,3'' ;;

C

C = 29º 54' 1= 29º 54' 13,3,7'' 7''

161.

161. Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo los radios de los círculos inscrito y cir-Calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo los radios de los círculos inscrito y cir-cunscrito, cunscrito, r = 3 mr = 3 m;; R R == 99 mm.. Respuesta: Respuesta: a = 1 8 ma = 1 8 m;; b=16,243mb=16,243m;; cc =7,=7,775757 mm;; B B == 64º 28' 16,5'' 64º 28' 16,5'' ;; C C = 25= 25º º 31' 431' 43,5'3,5'' ' 162.

162. El triángulo de la figura es El triángulo de la figura es rectángulo en A. Calcular el área del rectángulo en A. Calcular el área del triángulo ABC.triángulo ABC.

AD

AD == 33 mm..

Respuesta:

163.

163. En el triángulo ABC, indicado en la figura, hallarEn el triángulo ABC, indicado en la figura, hallar cc, siendo:, siendo:

25 25 41 41 0505 DBC DBC ˆ ˆ ˆ ˆ B B ADB ADB DBC DBC ′ ′ ′′′′ = = °°   = = ++  Respuesta: Respuesta: cc₁₁ = =

6688 11885533443311

,, mm o o c c₂₂ ==

112 9

2 9005599999944

,, mm

B

cc

aa

D

C

A

16

39

16° 16° 37° 37° D D C C B B A A

(20)

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

164.

164. El El perímetro perímetro de de un un triángulo triángulo es es de de 3456 3456 m m y y sus sus tres tres lados lados están están en en la la misma misma relación relación que que 2, 2, 3 3 y y 4.4. Hallar los elementos del triángulo.

Hallar los elementos del triángulo.

Respuesta: Respuesta: "" 39 39 '' 28 28 ºº 104 104 ;; "" 9 9 ,, 2 2 '' 34 34 ºº 46 46 ;; "" 1 1 ,, 18 18 '' 57 57 ºº 28 28 ;; 1536 1536 ;; 1152 1152 ;; 768 768 == == == == == = = mm bb mm cc mm A A B B C C a a 165.

165. Hallar los tres ángulos de un Hallar los tres ángulos de un triángulo, dadas las siguientes relacionestriángulo, dadas las siguientes relaciones

5 5 3 3 ;; 3 3 4 4 ₌₌ = = cc b b b b a a .. Respuesta:

Respuesta: A A == 53º 7' 48,4'' 53º 7' 48,4'' ;; B B = = º 36 52 1136 52 11º ' ' '' '' ,, C C == 9090º º

166.

166. Calcular los elementos restantes de un Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:triángulo, sabiendo que: aa mm C C B B B B A A

24

24 ,,

2826

;;

26

27

27 ;;

27

11

₌₌ ₌₌ = = _.. Respuesta: Respuesta:

55333322 6677

55226600 7711

330 5

0 566 1155

775 5

5 566 1155

773 0

3 077 3300

b b == , , mm;; c c == , m, m; ; A A == º ' ""; º ' ; B B == º ' "";; C º ' C == º ' " º ' " 167.

167. Calcular el lado c Calcular el lado c de un triángulo, sabiendo que los de un triángulo, sabiendo que los otros dos lados midenotros dos lados miden aa ==

75

mm yy bb ==

40

mm, y que, y que

la suma de los ángulos

la suma de los ángulos opuestos es 112°.opuestos es 112°.

Respuesta:

Respuesta: c c ==70 5570 55, , mm

168.

168. Hallar los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Hallar los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: a a == 45064506mm ; ; .. A A ==

5522 2266 1144

º º ' ' " " yy 453 453 b b c − − =c = mm.. Respuesta: Respuesta: bb == 53055305,,3434mm;; cc == 48524852,,3434mm;; B B == 6868ºº5757''2121,,22"";;C C == 5858ºº3636''2424,,88"".. 169.

169. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: A A ==

4433 2288 1166

º º ' ' " " ; ; B B ==

5577 3333 2288

º º ' ' " " yy 167 167 a a b + + =b = mm.. Respuesta: Respuesta: aa == 7575mm;;bb == 9292mm;;cc ==107107mm;;C C == 7878ºº5858''1616"" 170.

170. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: cc == 264264mm y se verifican las relaciones y se verifican las relaciones

siguientes: siguientes: 5 5 3 3 ;; 3 3 2 2 ₌₌ = = senC senC senA senA b b a a .. Respuesta: Respuesta: "" 8 8 ,, 36 36 '' 56 56 ºº 80 80 ;; "" 4 4 ,, 13 13 '' 43 43 ºº 62 62 ;; "" 8 8 ,, 9 9 '' 20 20 ºº 36 36 ;; 6 6 ,, 237 237 ;; 4 4 ,, 158 158 == == == == = = _m_m _b_b _m_m_A_A _B_B _C_C a a 171.

171. En un triángulo se daEn un triángulo se da aa ==8484mm;;bb == 7070mm y se sabe que y se sabe quesseen n A A tg ==tg BB, calcular los demás elementos del, calcular los demás elementos del

triángulo. triángulo.

Respuesta:

Respuesta: cc ==122122,,384384mm;; A A==4141ºº3333''1414"";; B B==3333ºº3333''2626,,44"";;C C ==104104ºº5353''1919,,33""

"" 9 9 ,, 47 47 '' 59 59 ºº 7 7 ;; "" 4 4 ,, 26 26 '' 33 33 ºº 33 33 ;; "" 7 7 ,, 45 45 '' 26 26 ºº 138 138 ;; 617 617 ,, 17 17 == == == = = _m_m _A_A _B_B _C_C cc 172.

172. Calcular los elementos restantes de un Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo quetriángulo, sabiendo que aa == 275275mm;;bb ==196196 mmyy A A==22 B B..

Respuesta:

(21)

A A B B 56º 56º 12,8 m 12,8 m 1,3 m 1,3 m 173.

173. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: B B == 77º 7' 77º 7' 7'' 7'' ;; h =77mh =77m_a_a ;; b+c=177m b+c=177m Respuesta: Respuesta:

""

33 ,,

40

40 ''

46

46 ºº

51

51 ;;

""

77 ,,

12

12 ''

06

06 ºº

51

51 ;;

988

988 ,,

78

78 ;;

012

012 ,,

98

98 ;;

250

250 ,,

78

== == == == = = _m_m _b_b _m_m _cc _m_m _A_A _C_C a a 174.

174. Calcular los elementos restantes de un triángulo con los datos siguientes:Calcular los elementos restantes de un triángulo con los datos siguientes: a a == 7878mm ; ; B B ==

54

º º y y

60 60

R

R == mm..

Respuesta:

Respuesta: bb ==

97

97 ,,

082

mm

;;

cc ==

119

119 ,,

623

mm

;;

A A==

40

40 ºº

32

32 ''

29

29 ,,

88 ""

;;

C C ==

85

85 ºº

27

27 ''

30

30 ,,

22 ""

175.

175. Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que:Calcular los elementos restantes de un triángulo, sabiendo que: 2 2 p p ==33887744mm;; A A ==74 14 7 274 14 7 2º º ' ' , , " " y y

870 870 R R == mm Respuesta: Respuesta:

""

45

45 ''

18

18 ºº

15

15 ;;

""

88 ,,

77 ''

27

27 ºº

90

90 ;;

505

505 ,,

459

459 ;;

945

945 ,,

1739

;;

550

550 ,,

1674

== == == == = = _m_m _b_b _m_m _cc _m_m_B_B _C_C a a 176.

176. Hallar Hallar B B A A

ˆˆ

C C siendosiendo

;;

104

104 ;;''

27

27 ºº

78

78 ˆˆ

;;

""

12

12 ''

39

39 ºº

53

53 ˆˆ

_E_E _B_B_D_D_E_E _AC_AC _m_m

D D C C == == == m m AB AB m m AD AD ==5555 ;; ==6969 Respuesta: Respuesta: 55 55 32 3°°32 36 56′ ′ 6 56 , , ′′′′ 177.

177. Hallar la altura AB con los datos de la figuraHallar la altura AB con los datos de la figura

Respuesta: 16,663m Respuesta: 16,663m

C

B

A

D

FF

(22)

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

PLANOS Y RECTAS

178.

178. Por un punto exterior a un plano se trazan una perpendicular al plano y otra recta perpendicular a otraPor un punto exterior a un plano se trazan una perpendicular al plano y otra recta perpendicular a otra recta R del plano. Demostrar que la recta determinada por los dos pies de las perpendiculares, es recta R del plano. Demostrar que la recta determinada por los dos pies de las perpendiculares, es perpendicular a la recta R.

pendicular a la recta R. 179.

179. Si se trazan a un plano tres oblicuas iguales y una perpendicular por un punto exterior, demostrar que elSi se trazan a un plano tres oblicuas iguales y una perpendicular por un punto exterior, demostrar que el pie de la perpendicular es el centro de la circ

pie de la perpendicular es el centro de la circunferencia determinada por los pies de las unferencia determinada por los pies de las oblicuas.oblicuas. 180.

180. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistante de un punto exterior al plano? De-¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistante de un punto exterior al plano? De-mostrar.

mostrar.

POLIEDROS

181.

181. El área total de un paralelepípedo rectángulo es igual a 144 mEl área total de un paralelepípedo rectángulo es igual a 144 m22. Las tres dimensiones son. Las tres dimensiones son

m m h h y y a a a

a;; 22 ==66 . Hallar la diagonal del paralelepípedo.. Hallar la diagonal del paralelepípedo. Respuesta:

Respuesta: 9 9 mm

182.

182. En el triedroEn el triedro OO − − ABC ABC ,, A A==

11

Rt Rt y y bb == c c ==4545ºº. Calcular la cara. Calcular la caraaa..

183.

183. En un tetraedro ABCD de volumen 24 mEn un tetraedro ABCD de volumen 24 m33, El segmento, El segmento CPCP ==

11 ,,

55

mm y y PDPD==

44 ,,

55

mm. Calcular el volu-. Calcular el

volu-men del tetraedro ABCP. men del tetraedro ABCP.

Respuesta: Respuesta: 6 6 mm33

184.

184. Calcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mideCalcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mide

62

62 ,,

28

cmcm22..

Respuesta:

Respuesta: 4,90 4,90 cmcm

185.

185. Las aristas de un cubo suman 24 m. Determine el valor de la diagonal y el área total del cubo.Las aristas de un cubo suman 24 m. Determine el valor de la diagonal y el área total del cubo.

Respuesta:

Respuesta: 3,46 m; 3,46 m; 24 m24 m22

186.

186. SeaSea ABCD ABCD − − A A'' B B''C C ''DD'' un un paralelepípedo cualquiera. paralelepípedo cualquiera. Demostrar que Demostrar que el planoel plano ACB ACB

''

corta a la diago-corta a la

diago-nal

nal BD BD'' en un punto situado en la tercera parte de la misma. en un punto situado en la tercera parte de la misma.

187.

187. Demostrar que en todo tetraedro las tres rectas que unen los puntos medios de las aristas opuestas sonDemostrar que en todo tetraedro las tres rectas que unen los puntos medios de las aristas opuestas son concurrentes.

concurrentes. 188.

188. Dos caras de un triedro miden 60° y 100°, ¿qué valor/es debe tener la tercera cara?Dos caras de un triedro miden 60° y 100°, ¿qué valor/es debe tener la tercera cara?

Respuesta: