Trigonometría UNI 5º

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Índice

Capítulo 1

Ángulo trigonométrico y sistemas de medición angular ... 4

Capítulo 2

Fórmula general de conversión entre sistemas ... 9

Capítulo 3

Longitud de arco - Área de sector circular ... 15

Capítulo 4

Número de vueltas y relaciones entre ruedas ... 21

Capítulo 5

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I ... 28

Capítulo 6

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II ... 34

Capítulo 7

Repaso ... 41

Capítulo 8

Ángulos verticales - Ángulos horizontales ... 43

Capítulo 9

Sistema de coordenadas rectangulares ... 50

Capítulo 10

Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud ... 54

Capítulo 11

Reducción al primer cuadrante ... 60

Capítulo 12

Circunferencia trigonométrica I ... 66

Capítulo 13

Circunferencia trigonométrica II ... 74

Capítulo 14

Identidades trigonométricas de un ángulo I y II ... 78

Capítulo 15

Identidades trigonométricas para la suma o resta de dos ángulos

y tres ángulos ... 84

Capítulo 16

Repaso ... 91

Capítulo 17

(3)

Trigonometría

Capítulo 18

Identidades trigonométricas para el ángulo mitad - triple ... 98

Capítulo 19

Trasformaciones trigonométricas I ... 105

Capítulo 20

Trasformaciones trigonométricas II ... 111

Capítulo 21

Funciones trigonométricas I ... 116

Capítulo 22

Funciones trigonométricas II ... 122

Capítulo 23

Teoría de períodos ... 127

Capítulo 24

Funciones trigonométricas inversas I ... 132

Capítulo 25

Funciones trigonométricas inversas II ... 138

Capítulo 26

Ecuaciones trigonométricas ... 143

Capítulo 27

Inecuaciones trigonométricas ... 148

Capítulo 28

Resolución de triángulos oblicuángulos ... 154

Capítulo 29

Vectores I y II ... 160

Capítulo 30

Repaso ... 165

Capítulo 31

Rectas I y II ... 167

Capítulo 32

Circunferencia y parábola ... 176

Capítulo 33

Elipse - Hipérbola ... 182

Capítulo 34

Transformación de coordenadas ... 188

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TRILCE

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TRILCE

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1. Si se sabe que 25 grados de un sistema "N" equivalen a 30º, determine una fórmula de conversión entre el sistema "N" y el sistema ra-dial. a) N₁₅₀ = R_π b) N₁₈₀ = _25πR c) N R 30 = π d) N150 = Rπ e) N R 180 = 2π Resolviendo Sea:

25N_{:25 grados del sistema "N"} Por condición: 25N_=30º ⇒ 25N₌ 6 π rad 14243 150N_=πrad

luego, para un ángulo no nulo "θ" tenemos:

NN_{=Rrad ⇒ N} rad Rrad 150N N π = ∴ N₁₅₀ = Fórmula de conversiónR_π Clave: A

2. Si 27º27'<> A3 g B5 m, halle el valor de: 2A+B a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolviendo Por condición: 27º27'= A3 g B5 m Observación Conocemos que: 9º=10g ⇒ 9×60'=10×100m _⇒27'=50m

Problemas resueltos

Entonces: 27º27'=30g₅₀m_{= A}₃ g_B₅ m luego: A=0 ∧ B=0 ∴ 2A+B=0 Clave: C 3. Si un ángulo mide ' º ' " ' " a a a a a a ' '' c mc m y se puede expresar como xº y' z", entonces al transformar a radianes (x+2y+z)º se obtiene.

a)

30π rad b) 60π rad c) 352π rad d) 41 2_{π rad} _e) 35π rad Resolviendo ' º ' " ' " a a a a a a ' '' c mc m = xº y' z" Reducimos separadamente ' º ' ' º ' ₍ ' ' _') '' a a a a a a a a a aa 60 61 = + = + = c m c m ⇒ ( ' º ') a a a ₌₆₁ Análogamente: ( '' ' '') 61 a a a ₌ ⇒ 61'61"= xºy'z" 61'60"+1" = 62'1"= 60'+2'+1" luego: 1º 2' 1"=xº y 'z" (x+2y+z)º=6º<>₃₀π rad Clave: A 14243 1º

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4. ¿Para qué valor de "x" se verifica la igualdad: (x )º 5 3 g -; Eº= (; 4 18x₁₅- g )ºE g ? a) 12 b) 17 c) 24 d) 20 e) 10 Resolviendo Por condición: (x )º 5 3 g -; Eº= (; 4 18x₁₅- g )ºE g Conocemos que: 9º=10g (x )º 5 3 g -; Eº= (; 4 18x₁₅- g )ºE g × º 10 9 g (x )º ( x )º 5 3 150 9 4 18 g g - ₌ -→ (x-3)= (9 4 18₃₀x- ) → 30(x-3)=9(4x-18) → 30x - 90=36x-162 → 72= 6x ∴ x=12 Clave: A 5. Sabiendo que: α=2º+4º+6º+8º+...+20º β=_{c m}10₉ g+_c20₉ _mg+_{c m}30₉ g+...+_c200₉ _mg Halle la media de "α - β" en el sistema radial a) - 9π b) - 59π c) 3π d) ₉π e) 5π₉ Resolviendo α=2º+4º+6º+8º+...+20º α= [10×11]º → α=110º β= 9 10 c mg+ 9 20 c mg+ 9 30 c mg+...+ 9 200 c mg Como: 10g_{= 9º}_→ 9 10 ; Eg= 1º Asi: β= º1₁₄₄₄₄₄₄+2º+3₂º+₄₄₄₄₄₄...+20º₃ β= × 2 20 21 ; Eº → β=210º ∴α - β= - 100º × º rad 180π α - β= rad 9 5≠ -Clave: B BLOQUE I

1. A partir del gráfico, señale lo correcto:

α θ

a) α+θ=180º d) α+θ=450º b) α - θ=270º e) α - θ=450º c) α+θ=270º

2. Del gráfico, hallar "x", si: L₁//L₂. α β L₁ L₂ x a) α - β d) α - β +180º b) α+β +180º e) α+β +360º c) α - β +360º

(6)

TRILCE

Colegios

3. Del gráfico, calcular: x/y.

(x+y)º (y - 2x)g

a) 8/3 b) 9/8 c) 17/3 d) 17/16 e) 19/8

4. En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángu-los agudos miden (2xx _{- 4)}g_{y (4x}2_+n)°. Calcu-lar (nx)° en el sistema circuCalcu-lar.

a) ₁₅π rad b) ₁₂π rad c) 3₂₀π rad d)

10π rad e) 5π rad

5. Si la medida centesimal de un ángulo es (x2_-6x+17)g_{, siendo esta última la menor} posi-ble, exprese (x3_{+6x)° en el sistema circular.} a) 3 π rad b) 2 π rad c) 5 π rad d) 6π rad e) 8π rad 6. Sabiendo que: 37π rad=aº ' "5 5 ; calcular: b c b a_{+ .}c a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

7. La suma de medidas de dos ángulos es 20° y su diferencia es 8g_{. ¿Cuál es la medida sexagesimal} del mayor?

a) 12°24' b) 14°36' c) 13°36' d) 15°48' e) 16°36'

8. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden

1087π rad y 144g. ¿Cuál es la medida sexa-gesimal del tercer ángulo?

a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'

9. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240 ava. parte del ángulo de una vuelta. Señale el equi-valente de 6,6* en el sistema sexagesimal. a) 8°36' b) 9°36' c) 8°54' d) 9°54' e) 10°24' 10. Calcular: ' º ' K 1n n n_n ₁1 n 2 7 = - _- -= ^ ^ ^ h = _hh G ) 3

/

a) 23 b) 33 c) 27 d) 37 e) 47 BLOQUE II

11. Del gráfico, señale lo correcto:

αº θg

a) 10α - 9θ=4500 b) 10α - 9θ=2700 c) 10α+9θ=2700 d) 10α+9θ=4500 e) 10α - 9θ=1800

12. Si en el gráfico OC y OD trisecan al BOEt ; se-ñale el valor de:

J=_θ_-α₆₀ A 0 E D C 5θg αº B a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3 13. Del gráfico, calcular : x/y.

(x - y)' (x - 5y)g a) 55 261 b) 55 271 c) 55 281 d) 65 261 e) 65 271

14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-tes miden: (x2+18_x x+1)g cada uno. Si dicha medida es mínima (x∈ +_{), ¿cuál es la medida} circular del ángulo desigual?

(7)

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TRILCE

Colegios Central: 619-8100 www.trilce.edu.pe a) 5 2_{π rad} _b) 5 3_{π rad} _c) 5 4_{π rad} d) ₂₀7π rad e) 2₃π rad

15. Sabiendo que: 1rad= a5 ºb7' c4 " (π=3,1416). Calcular :

c a_{+ .}b

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16. Señale un valor de "K" que verifique la siguiente desigualdad: " " ' ' K 1 1 1 1 1 1 1 1 < < s s m m -+ -+ a) 1,7 b) 3,72 c) 3,46 d) 1,86 e) 2,07

17. Se crea un nuevo sistema de medición angular cuya unidad (1*) resulta ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser la cuarta parte del radio de dicha circunferencia. Señale el equivalente de 12g₅₀m_{en el nuevo sistema.} a) π* b) 2π* c) * 2 π d) * 4 π e) * 8 π

18. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a 2, las sumas de medidas de cada pareja resultan iguales a 21'; 50m_y

900

11_{π rad. ¿Cuál es} la media aritmética de las medidas de los tres ángulos?

a) ₆₀π rad b) ₁₂₀π rad c) ₁₈₀π rad d)

360π rad e) 720π rad

19. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores

mide: ( )º a b a 28ab b 2 2 2 2 +

+ + _{, siendo esta medida la} máxima posible. Señale la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interio-res de los otros dos ángulos del triángulo. a) 24 7_{π rad} _b) 24 11_{π rad c)} 24 13_{π rad} d) 8 5_{π rad} _e) 6 5_{π rad}

20. Sabiendo que: a=1'; b=1m_{; c=1}s_{; d=1".} Calcular: J ad ab cd 30 3 10 5 = -a) 1,2 b) 1,3 c) 1,25 d) 1,45 e) 1,5

Tarea domiciliaria

1. Señale el equivalente de: θ=₄π rad+18º en el sistema centesimal. a) 60g _{b) 70}g _{c) 80}g d) 54g _{e) 72}g 2. Calcular: º J rad rad 12 30 5 40g π π = + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 20g_{. ¿Cuál es la medida circular} del otro ángulo agudo?

a) 5 π rad b) 3 π rad c) 3 2_{π rad} d) 5 2_{π rad} _e) 9 π rad

4. La suma de las medidas de dos ángulos es 40g_y su diferencia es π/30rad. ¿Cuánto mide el ángu-lo mayor?

a) 18º b) 20º c) 21º d) 32º e) 36º

5. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide ₁₅π rad. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos congruentes?

a) 82º b) 84º c) 74º d) 76º e) 78º

6. Un ángulo mide (7n+3)º y también (8n+2)g_. ¿Cuál es la medida radial de dicho ángulo? a) 3 π rad b) 4 π c) 5 π d) 6π e) 9π

(8)

TRILCE

Colegios 7. Si: 9 π rad=(3n+2º), calcular "n". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8. Un ángulo mide (x +1)° y también (x +2)g_. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

a) 3 π rad b) 9π c) 18π d) 20π e) 36π

9. En un triángulo ABC: A=120g_{, B=} 4 π rad ¿Cuál es la medida sexagesimal de "C"? a) 24° b) 27° c) 54° d) 36° e) 37°

10. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a dos, la suma de medidas de dichas parejas resultan ser iguales a

3

π rad; 70g_{y 17°.}

¿Cuál es la suma de medidas de los tres ángulos? a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100° 11. Si: 37π rad=a g_b0m_c₅ s_. Calcular: c a+ -b 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Siendo: ' º ' ' º( )' ' º( )' _{º ' "} n n n n n n n n n _{a b c} 2 3 º ' '' = c m c mc m Calcular : "a + b + c". a) 61 b) 62 c) 63 d) 68 e) 186

13. Del gráfico, calcular "x".

(8x - 2)º (3 - 9x)g a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 14. Si : xº y’ z" = 3º 42' 48" + 5º 29' 34" Calcular : J x z y 1 = -a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. En el gráfico OX y OY son bisectrices del BCOB y B AOB, respectivamente. Señale lo correcto: A 0 C X Y α β B a) α - 2β =90º b) α - β =270º c) α - 2β =180º d) α - 2β =360º e) α + 2β =180º

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Quinto UNI

TRILCE

ción angular convencional, tal que se cumple la siguiente ecuación: S C R 3 100 400 3 ₊3 ₊3 π2 _{= 26+0,1π ,} halle: S+C a) 144 b) 148 c) 152 d) 156 e) 160 Resolviendo

Tenemos para el ángulo "θ"

Sº Cg Rrad S=9k C=10k R= k 20π donde θ 123 123 En la condición k k k 3 9 100 10 _{400 20} 3 _# ₊3 _# ₊3 π2 _#π ₌₂₆₊ 10π 3 k 10 k k ( ) 20 26010 3 ₊ 3 ₊ π 3 ₌ +π 13 k k ( ) 20 26010 3 ₊ π 3 ₌ +π → k k 2 20 260 10 260 3 _; +π_E₌_; +π_E_&3 ₌ ∴ k=8 Luego: i) S=9k ⇒ S=72 ii) C=10k ⇒ C=80 ∴ C+S=152 Clave: B

la medida de un ángulo en los sistemas sexage-simal, centesimal y radial, respectivamente, si se cumple: ( ) ( ) S C C S+ 2= S C S- 2, halle E= 10 R₉ a) 384π b) 3840π c) 3420π d) ₃₂₂₀π e) ₃₁₁₀π Resolviendo ( ) ( ) C C S S C S S ₊ 2₌ _- 2 . .( ) ( ) S C C+S = S C S- ...(oc) Sea el ángulo Sº Cg Rrad θ 123 Donde: S=9k C=10k R= 20π k Reemplazamos en oc: 9k. k10 .(19k) = 9 . (k)k 19×9 10 =3 ⇒ K= 57 10 1 Se pide: E= 10 .R₉ E= 9 10 . 20π k ⇒ E= 1060π k E= 60 10_{π .} 57 10 1 ; _{E ∴ E= 3420}π Clave: C

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Colegios

3. Si "S", "C" y "R" son los números que repre-sentan las medidas de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, res-pectivamente, halle la medida del ángulo en radianes, si se cumple: S CS C C CS S R 2 2 19 2 2 2 2 π - -- - ₌ a) 7π b) 27π c) 211π d) 4₇π e) 5π₇ Resolviendo Condición: S CS C C CS S R 2 2 19 2 2 2 2 π - -- - ₌ Sea: S=9k C=10k R= k 20π Reemplazamos: × k k k k k k k 162 90 100 100 90 162 19 20 2 2 2 2 2 2 π π - -- - ₌ k k k _k 28 152 20 19 7 40 2 2 & -- ₌ ₌ = G

Finalmente, la medida del ángulo en radianes será:

R= × R

20π ; E407 & = 27π

Clave: B

4. Si "S", "C" y "R" representan la medida de un mismo ángulo en los 3 sistemas de medición angular, y se cumple que:

3Cº - 2Sg_{= πrad}

Calcule la medida de dicho ángulo en radianes. a) 15₄₆π b) 15₂₃π c) 7₉π d) 9 8_{π e)} 18 17_π Resolviendo Tenemos: 3Cº - 2Sg_{= πrad} 3Cº - 2Sg_× º 10 9 g ; E=180º 3Cº - 9 = 180º₅Sº 3C - S 5 9 = 180 Conocemos que: S=9k C=10k R= k 20 π Reemplazamos 30k - 5 9 ×9k=180 → k 5 69 =180 Luego: R=₂₀πk = ₂₀π ×900₆₉ ∴ R=15π₂₃ Clave: B

5. La suma del número de minutos centesimales y el número de segundos sexagesimales de la me-dida de un ángulo es 33 400. Halle la meme-dida de dicho ángulo en radianes.

a) ₁₀π b) ₂₀π c) ₃₀π d) 40π e) 252π Resolviendo Condición: utos _{33 400} min centesimales segundos sexagesimales D ₊ D ₌ ; E = G → 100C+3600S = 33 400 → C+36S = 334 Conocemos que: S=9k C=10k R= k 20π Reemplazamos 10k+36×9k = 334 123 334k = 334 → k=1 luego: R= k 20π ∴ R= 20 π Clave: B

(11)

Quinto UNI

TRILCE

Quinto UNI

TRILCE

BLOQUE I

1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar : J₌ 3S_{C S}C 1₊3 S_{C S}+2C 2 3 2_{C S}S C + -- - + - -a) 3 b) 4 c) 5 d) 4 2 e) 5 2

2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo, tales que: S = 3n+1 y 2C = 5n+2

¿Cuál es el valor de "n"?

a) 1/15 b) -1/15 c) 2/15 d) -2/15 e) -1/5

3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 4.

a) 18° b) 27° c) 36° d) 72° e) 63°

4. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: S2 _{- C = S; siendo "S" y "C" lo conocido} para dicho ángulo.

a) ₁₆₂₀19π rad b) ₁₆₂₀17π rad c) ₁₄₄₀19π rad d)

810

19_{π rad e)} 810 17_{π rad}

5. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nuángu-lo, simplificar: J= S R C R 4020 π π - -a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 8/7 e) 9/7

6. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: 3S - C + 20R=20,1416; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

a)

10π rad b) 20π rad c) 40π rad d) ₁₈π rad e) ₁₇π rad

7. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: S C R _S _C _R 9 10 20 2 2 2 π + + = + + ; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo no nulo. a) 4 π rad b) 5 π rad c) 10π rad d) 20π rad e) 40π rad

8. Sabiendo que la diferencia entre el triple del nú-mero de grados sexagesimales de un ángulo con el doble de su número de grados centesimales, es igual al cuadrado de su número de grados cen-tesimales, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? a) 40m _{b) 50}m _{c) 70}m d) 90m _{e) 1}g

9. La diferencia entre los números de grados cen-tesimales y sexagesimales de un ángulo es igual a: K2_{- 2K + 5. ¿Cuál es el mínimo valor de la} medida circular de dicho ángulo?

a) 4 π rad b) 5 π rad c) 6 π rad d) ₈π rad e) ₉π rad

10. La suma de los números de minutos sexagesi-males y centesisexagesi-males que contiene un ángulo, es igual a 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? a) 4 π rad b) 5 π rad c) 6 π rad d) ₂₀π rad e) ₁₈π rad BLOQUE II

11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda; si "S", "C" y "R" son lo conocido para un ángulo generado en sentido horario:

I. S > C II. 9S < 8C III. R > S a) VFV b) VVV c) FVV d) FVF e) VFF

12. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nuángu-lo, reducir: J = 1 - ( ) ( ) ( ) ( ) C R C R S R S R 2 2 2 2 2 2 2 2 + + -+ + -a) 400 76 2 π + b) 400 3800 2 π + c) 40 000 3800 2 π + d) 40 000 760 2 π + e) 40 000 7600 2 π +

Problemas para clase

(12)

TRILCE

Colegios

13. Señale la medida circular de un ángulo si sus números de grados sexagesimales y centesima-les son múltiplos consecutivos de 6.

a) ₅π rad b) ₁₀3π rad c) 2₅π rad d)

5

3_{π rad} _e) 10 7_{π rad}

14. Señale la medida circular de un ángulo si el nú-mero que representa su suplemento en el siste-ma centesisiste-mal excede al número que represen-ta su complemento en el sistema sexagesimal, en 106.

a) ₅π rad b) ₆π rad c) ₇π rad d)

9

π rad e)

10π rad

15. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:

(S RC2 )-1+C RS2( )-1=1729₃_R ;

siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) 2 π rad b) πrad c) 4 3_{π rad} d) 2 3_{π rad} _e) 3 2_{π rad}

16. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:

2Log_SC+Log_SR2_=3;

siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) 4 729 π rad b) 7298π rad c) 7 1458 π rad d) 14585π rad e) 5 729 π rad

17. Se tienen dos ángulos complementarios, tales que el número de grados centesimales del ma-yor excede al número de grados sexagesimales del menor en 24. ¿Cuál es la medida circular del menor?

a)

5π rad b) 6π rad c) 9π rad d)

18. Señale la medida circular del ángulo para el cual "S" y "C" son lo conocido, verificándose:

9º - 3Cg Sº - 10g a) 9 π rad b) 9 2_{π rad} _c) 20π rad d) 10π rad e) 203π rad

19. Señale la medida centesimal de un ángulo que verifica: R_{" ,+S=109; siendo "S" y "R" lo} cono-cido para dicho ángulo.

a) 80g _{b) 90}g _{c) 100}g d) 120g _{e) 140}g

20. La décima parte de la diferencia del número de segundos sexagesimales de un ángulo con 8 ve-ces su número de minutos centesimales es igual a: a b ab a b ab 4 16 2 2 2 2 + + + + _{; a, b ∈} +

¿Cuál es el máximo valor de la medida circular del ángulo? a) 48803π rad d) 48 800π rad b) 48 8003π rad e) 48807π rad c) ₄₈₈₀π rad

(13)

Quinto UNI

TRILCE

Quinto UNI

TRILCE

Tarea domiciliaria

1. Señale la medida radial de un ángulo que cum-ple: _CRSR+₊C_S = ₃₉37.

a) 1 rad b) 2 rad c) 3 rad d) 1,5 rad _{e) 3π rad}

2. Determine la medida en el sistema sexagesimal del ángulo, si se cumple 3S - 2C = 42 .

a) 50º b) 52º c) 53º d) 54º e) 55º

3. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido para cierto ángulo no nulo, reducir :

K= C SC S 2 ₅ -- + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido tal que: C = n + 2 ; S = n - 2

Señale la medida circular del ángulo. a) ₃π rad b) ₄π rad c) ₅π rad d)

5. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a su nú-mero de grados sexagesimales en 2.

a) 4 π rad b) 6 π rad c) 10π rad d) 8 π rad e) 20π rad

6. Si la medida de un ángulo se expresa como abº y también como (a+1 0) g, señale el mayor valor que toma su medida circular.

a) 5 π rad b) 20 9_{π rad} _c) 4 π rad d) 2 π rad e) 20 7_{π rad}

7. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido, calcule : x y- +z S C C S 2 2 - -; Eº =xºy'z" a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 6 e) 2 5

8. En un hexágono, los ángulos internos están en progresión aritmética y:

α₁>α₂>α₃>α₄>α₅> α₆

¿Cuánto medirá el cuarto ángulo dado en radia-nes, si el mayor es igual a 125º?

a) 750π b) 115₁₈₀π c) 119₁₈₀π d) 2π e)

180 121π

9. Si el complemento del arco "x" es 143π - radia-nes, hallar el valor de "x" en grados centesima-les. a) 282g₈₅m₇₁s b) 272g₈₅m₇₁s c) 262g₈₅m₇₁s d) 25g₁₀₈m e) 142g₈₅m₇₁s

10. La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por 2π. Hallar la medida de dicho arco. a) ₁₅π rad b) 6º

c) ₁₂π rad d) 7ºcentesimales. e) 10º centesimales.

11. El número que representa el valor de un ángulo en el sistema centesimal es mayor en 11 unida-des al número que representa al mismo ángulo en el sistema sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes, es:

(π=3,14 )

a) 0,172 b) 0,727 c) 2,750 d) 1,727 e) 3,172

12. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesi-males son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en ra-dianes, es : a) 10π b) 5π c) 203π d) 40 7_π _e) 5 2π

(14)

TRILCE

Colegios

13. Hallar el ángulo en radianes que satisface la si-guiente condición :

La media geométrica de los números que re-presentan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual a 19/100 veces la semidiferencia de esos núme-ros.

a) 10₃ π b) 10_π c) 10 π d) 10π e) 11π

14. Las medidas de un ángulo, en el sistema sexage-simal y en el sistema centesexage-simal, son:

S=n2_-

191 y C=n2 + 191 El valor del ángulo en radianes es : a)

119π b) 109π c) 10π d)

190π e) 1090π

15. Sean dos ángulos. El primero mide "p" grados sexagesimales y el segundo "q" grados centesi-males. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como esta-ban medidos originalmente, son:

a) 30 y 15 b) 45 y 30 c) 60 y 45 d) 75 y 60 e) 90 y 75

(15)

Quinto UNI

TRILCE

sexagesimales, grados centesimales y radianes) del ángulo central del sector circular AOB y COD donde L_AB =C, L_CD =S, y AC = BD=2R, entonces la medida de "θ", en radianes, es:

A B C D O θ a) 5π b) 10π c) 5π d) 10π e) 1 Resolviendo 123 123 A C S 2R 2R B C D O θ Para el problema: θ=C S₂_R- ... (1) Pero: ₂₀₀C =₁₈₀S = R_π 14444244443 C S R R C S 20- = π & 2- =10π ∴ en (1) : θ= 10_π Clave: B

2. En la figura mostrada OC=OD=r, OA=OB=R, m+COD=1 radián, halle

Perímetro del trapecio circular Perímetro del sector circular COD K= A S S C O a) ₃2 b) 1 c) ₃4 d) ( ) 3 3 2 1_{- e) 2} Resolviendo 1442443 14243 A B S 1rad r R S C D O

Como el ángulo central es de 1 rad ⇒ CD! =r ∧ AB! = R

Luego:

Perímetro del trapecio circular Perímetro del sector circular COD K=

K=R+ +r ₃_r2(R r- )

k=3R r₃_r- = - ... (1)R_r ₃1

De acuerdo a la relación de áreas, tenemos: S _COD= S = ×r1 ₂ 2 S _AOB= 2S = ×R 2 1 2 ⇒ R_r = 2 Reemplazamos en (1): K= 2 k 31& 3 2 13 - = -Clave: D 123 R r 21 2 2 =

(16)

TRILCE

Colegios

3. De la figura mostrada, determine el valor de: M= ax bz ay by + + a b y z x a) ₂1 b) 1 c) 2 d) 3 1 e) 3 Resolviendo a a b b y z θrad _x 123 123 123 123 θ= a y z b x y = - -144424443 ⇒ yb - bz=ax - ay Luego: ay+by=ax+bz ay by_{ax bz} 1 M + + ₌ 1 2 344 4 ∴ M=1 Clave: B

4. Se tiene el sector circular AOC, donde OA=OC=r y m

B

AOC= θ. Si "r" crece 10% y el ángulo central crece 20%, ¿en qué porcentaje crece el área del sector círcular?

a) 15% b) 20% c) 30% d) 40% e) 45,2%

Resolviendo

Sector circular inicial 100R 100R 100S 100θ Nuevo sector 110R 110R xs 120θ Tenemos i) 100s= (100 100θ)(₂ R)2 ... (1) ii) xs= (120 110θ)(₂ R)2 ... (R) (1) (r) : ( ) × × x 100 120 110 100 100 2 2 = 145,2=x ∴ El área aumento en 45,2% Clave: E

5. Las áreas de un sector circular y la región ence-rrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radia-nes del ángulo central de dicho sector.

a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 1,5 e) 2 Resolviendo R R S S L _l _l l l i) Son isoperímetros: → 2R+L=4

l

... (1) ii) Áreas iguales:

→ RL 2 =

l

2 ... (2) Reemplazamos (1) en (2) R L 4 2 + =

_l

→ RL 2 = 2R L4 2 + ; E RL 2 = 2R L4 2 + ; E SRL=[2R+L]2 8RL=4R2_+4RL+L2 0 = R4₁₄₄₄2-₂4R₄₄₄+L2₃ 0= [2R - L]2_{→ 2R=L} ∴ 2= RL =θ → θ=2 Clave: E

(17)

Quinto UNI

TRILCE

Quinto UNI

TRILCE

Problemas para clase

BLOQUE I

1. En un sector circular, el ángulo central mide 3 rad. y el radio 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

a) 15 cm b) 20 cm c) 25 cm d) 30 cm e) 35 cm

2. En un sector circular donde el radio mide 10 cm, el número de radianes de su ángulo central es el mayor entero posible. ¿Cuál es el perímetro del sector?

3. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el radio se incrementa en su doble y el ángulo central se reduce en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 27 cm b) 54 cm c) 36 cm d) 72 cm e) 48 cm

4. Del gráfico, calcular : _LL 2 1_. A 0 B L₁ O₁ r L₂ r 3 a) 3 2 3 b) 2 3 3 c) 4 2 3 d) 5 3 ₂ e) 6 3₅

5. En un sector circular, el ángulo central mide (

' º) x

x g_{y el radio mide 2 5 cm. ¿Cuál es el área} del sector circular?

a) π cm2 _{b) 2π cm}2 _{c) 4π cm}2 d) 3π cm2 _{e) 6π cm}2

6. Del gráfico, calcular: x= L_L PSQ PO Q1 ! Si : O₁P=O₁Q A M O O₁ N B Q P a) 2 ArcCos 41 π _- _d) ₃ ArcCos 41 2π -b) 1 ArcCos₄1 π _- _e) ₄ ArcCos₄1 2π -c) 2 ArcCos 41 2π

-7. En un sector circular el área es igual a 100m2_{. Si el} arco se reduce en 20% y el radio se duplica se obtie-ne un nuevo sector circular cuya área es igual a: a) 120 m2 _{b) 130 m}2 _{c) 140 m}2 d) 150 m2 _{e) 160 m}2

8. El área de un sector circular es igual al cuádru-ple del área de un cuadrado cuyo lado es igual al arco del sector. ¿Cuánto mide el ángulo cen-tral del sector circular?

(π=3,1416)

a) 7°9'43" b) 7°17'6" c) 8°16'32" d) 6°17'34" e) 6°24'43"

9. Del gráfico, calcular: θS.

A B S C D n O θrad _m a) m2_+n2 _{b) m} n 2 2₊ 2 c) n2_{- m}2 d) n m 2 2_- 2 e) n m 4 2_- 2 S

(18)

TRILCE

Colegios

10. Del gráfico, calcular: "S".

A E B S C D 4u2 18u2 6u2 O a) 2 u2 _{b) 3 u}2 _{c) 1 u}2 d) 2/3 u2 _{e) 4/3 u}2 BLOQUE II

11. Del gráfico, calcular: J=

L L L L3 2L L1 2 3 2 1 2 -O E C A B L₃ L₂ L₁ D F a) 2 b) 4 c) 6 d) 4/3 e) 2 2

12. Del gráfico, calcular : J=(θ - 1)(θ2_{- 2)}

O E C A B D F θrad a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 1/4 e) 4

13. Del gráfico, hallar: K= LL2 1_. O C A B L₂ L₁ 2θ D a) ( ) 2π - Cotθ d) θ 1 (2π - Cosθθ 1) b) ( ) 2π - Tanθ e) θ 1 (θπ - Tanθ1) c) ( ) 2π - Senθθ 1

14. En un sector circular, el ángulo central mide xrad y el radio (x+4x-1 _{- 2)cm. ¿Para qué valor} de "x" la longitud del arco es mínima?

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 3/2

15. Del gráfico mostrado, hallar: J= x y z 2π - -Si: BM = BP y AN = AP. A B M O N P z x y a) 0,25 - ( ) ArcCos ArcCos 4 3 3 2 4 3 b) 0,25 - ( ) ArcCos ArcCos 4 3 4 3 32 c) 0,75 - ( ) ArcCos ArcCos 4 3 3 2 4 3 d) 0,75 - ( ) ArcCos ArcCos 4 3 4 3 3 2 e) 0,75 - ( ) ArcCos ArcCos 8 3 4 3 3 2

16. En un sector circular se sabe que su perímetro es igual a "2p". Si su área es máxima, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector?

a) 1 rad b) 2 rad c) 1/2 rad d) 4 rad e) 1/4 rad

17. En el gráfico mostrado, tomando a AB , BC y AC como diámetros, se dibujan tres semicir-cunferencias. Si el área del triángulo ABC es "S", calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas.

(19)

Quinto UNI

TRILCE

Quinto UNI

TRILCE

A C B a) S b) 2 S c) 3 2 S d) ₂1 S e) ₃1 S

18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm, donde tomando AB y BC como diámetros se han dibujado semicircunferencias; además AC! , tiene su centro en "B". Calcular el área de la región sombreada. (π= 3+ 2) C B A a) ( 3+2 2) cm2 _{b) (}_{2 3}₊ ₂₎_cm2 c) 2 cm2 _{d) 2 3 cm}2 e) 2 2 cm2

19. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada. C B A M O 24º 3 5cm 3 5cm a) 2π cm2 _{b) 3π cm}2 _{c) 4π cm}2 d) 6π cm2 _{e) 8π cm}2

20. En un tronco de cono circular recto, los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm. ¿Cuál es el máximo valor del área lateral del tronco de cono?

a) 8π cm2 _{b) 16π cm}2 _{c) 24π cm}2 d) 32π cm2 _{e) 64π cm}2

Tarea domiciliaria

1. En un sector circular el arco mide "L₁", pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo cen-tral en 20% se genera un nuevo sector circular cuyo arco es "L₂". Calcular :

LL2 1 a) 9 5 b) 125 c) 136 d) 52 e) 43

2. En un sector circular donde el radio mide 8cm, ¿cuál es el mayor valor entero que toma el arco? a) 60 b) 40 c) 48

d) 64 e) 50

3. El minutero de un reloj mide 35cm. Si conta-mos 12 minutos a partir de ahora, la punta del minutero barre un arco que mide:

a) 5π cm b) 15π c) 7π d) 14π e) 2π

4. En un sector circular, el ángulo central mide 30g y el radio mide 40cm. ¿Cuánto mide el arco co-rrespondiente?

a) 2π cm b) 4π c) 6π d) 9π e) 12π

5. En un sector circular, se sabe que el arco es la quinta parte del radio y que su perímetro es igual a 55cm. Calcular el producto del arco con el número de radianes del ángulo central. a) 25 b) 15 c) 5 d) 1 e) 10

6. El tramo de una carretera está compuesta por dos arcos correspondientes a ángulos centrales de 108º y 120º con radios de 10Km y 12Km, respectivamente.

¿Cuál es la longitud total del tramo? a) 6π km b) 8π c) 10π d) 12π e) 14π

(20)

TRILCE

Colegios

7. En un sector circular, el ángulo central mide "xg_{" y el radio (4 - x)cm. ¿Cuál es el máximo} valor que podría tomar el arco?

a) ₂₀π cm b) ₁₀π cm c) ₃₀π cm d)

50π cm e) 25π cm

8. En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD. Si : AB=10µ y CD=7µ O D A B C 60g a) 64_π µ2 _{b) 68} π µ2 c) 251πµ2 d) 85_π µ2_e) 3 58_{π µ}2

9. Un abanico tiene una longitud de 12cm y al ser abierto (extendido) barre un ángulo de 120º. Calcular el área de la superficie circular deter-minada.

a) 12π cm2 _{b) 24π cm}2_{c) 36π cm}2 d) 48π cm2 _{e) 96π cm}2

10. En el gráfico mostrado, calcular el área de la re-gión sombreada. (π = 3+ 2) O A H 2 6 B 30º a) 2 2- 3 b) 2 2+ 3 c) 2 3- 2 d) 2 3+ 2 e) 3- 2

11. De acuerdo al gráfico, calcular : S S 1 2 O D 1 3 S₁ S₂ A B C a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

12. Del gráfico, calcular : Sθ

O D 6 6 3π 2π θrad S A B C a) 30 b) 15 c) 60 d) 90 e) 180

13. Dos postulantes a la UNI observan un reloj electrónico cuyas agujas están detenidas. Uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio de 6 pulgadas, ¿cuál será el arco entre las agujas? Tomar:

7 22 π = a) 5 12 pulg b) 5 11 c) 125 d) 115 e) 12 7

14. Se tiene un sector circular de radio "r" y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al án-gulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

a) 64º b) 36º c) 28º d) 100º e) 20º

15. Siendo "θ" el ángulo central de un sector circu-lar cuya longitud de arco es 2π metros. Calcular su radio en metros, si :

10 3 _πθ + 7 _θπ =

a) 1 b) 2 c) 3

(21)

Quinto UNI

TRILCE

pectivamente, en un mismo plano cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además, dichas poleas se encuentran co-nectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas.

a) 18πrad b) 9πrad c) 12πrad d) 24πrad e) 27πrad Resolviendo 2 3 1 A B C gira:3vueltas Para C gira: 3 vueltas ⇒ θ_C =3(2π)=6π

Como están conectados por una faja de trasmi-sión, se tiene que:

θ_A×r_A= θ_B×r_B= θ_C×r_C ⇒ θ_A= θ_C× × 18 TrA 6 1 3 C ₌ π ₌ _π ⇒ θ_B= θ_C× × 9 T r 2 6 3 B C ₌ π ₌ _π ∴ θ_A+ θ_B= 27πrad Clave: E

la misma longitud "L". La diferencia del número de vueltas de la menor y la menor es "L/8r". Calcule: M= Rr r Rr 4 1 2₊_`π_- _j a) -1 b) - ₄π c) 0 d) 2 1 e) 2 Resolviendo r R L 14444244443 Sea: n : # de vueltas ⇒ n_r= r L 2π nR=_2πL_R Por condición: n_r - n_R = r L 8 ⇒ r L R L r L Rr R r r 2π = 2π = 8 & 2π- = 81 ∴ R - r= R₄π

Pero, la expresión pedida es:

M=r _Rr4 1Rr 2₊_`π_- _j = _Rr +₈₄π -1_B ∴ M=1 0 4 4 1 π π - + - = 8 B 8 B Clave: C

(22)

TRILCE

Colegios

3. En la figura mostrada, m

B

ABC=80º. Halle aproximadamente la distancia (en metros) re-corrida por el centro de la rueda en ir desde el punto "A" hasta el punto "C". El radio de la rueda mide 15_π cm, y en el tramo AB la rueda da seis vueltas y en el tramo BC da cuatro vueltas.

A B C a) 3,08 b) 3,24 c) 3,66 d) 3,98 e) 4,02 Resolviendo A B 80º C r=15_≠ Conocemos que: n=_2πL_r Donde: n : # de vueltas

L : longitud recorrida por el centro de la rueda r : radio de la rueda

⇒ Como: de "A" a "B" da 6 vueltas de "B" a "C" da 4 vueltas 123 ⇒ 10= × L 2π _{c m}15_π ⇒ L = 300 cm ó L=3m Analizaremos lo que ocurre en el vértice "B"

l 80º r r l= × 9 5π 15 π ; E ; E l=25₃ cm ó l=0,08 m

Finalmente, la longitud total será: [1+l]=3,08 m

Clave: A

4. De la figura mostrada, la rueda de radio "r" gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r. ¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto "B" esté en contacto con la superficie curva?

B 5r O O₁ r r B O₁ a) 18º b) 80º c) 84º d) 90º e) 108º Resolviendo A B' 5r O O₁ r B θrad Condición: l!_AB = l ' AB ! → 2 π 8 B×r= θ×5r → = θ ∴ \central = 10π rad \central = 18º Clave: A

5. En el sistema mostrado, si la rueda "A" da 4 3 de vuelta, entonces la longitud recorrida por la rueda "C" es: B C A 8 2 6 a) 3,6π b) 36π c) 1,8π d) 18π e) 4 9π

(23)

Quinto UNI

TRILCE

Quinto UNI

TRILCE

Resolviendo B C A gira: 4 3_vuelta 8 2 6 Entre A ∧ C 4 3 V×6=Vc×8 ∴ V_C = 169 vueltas Entre C ∧ B (concéntricas) V_C= V_C →V_B=₁₆9 vueltas

Ahora: (por regla de 3 simple) Para la rueda "C". 1 vuelta 2π(R) 169 vueltas L → ₁₆9 vueltas×(4π) = L(vueltas) ∴ L= 4 9π Clave: E

Problemas para clase

BLOQUE I

1. Una rueda de radio 2 cm da 14 vueltas al reco-rrer una distancia rectilínea igual a:

(π = 22/7).

2. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "C"; si : AB = 12 y BC = 23 ( π = 22/7). A B 60º C 3 a) 5 3 ₂ b) 5 3 ₄ c) 7 3 ₂ d) 4 7 3 e) 4 3 3

3. Un aro recorre el borde de una pista circular de radio "R", en un plano perpendicular al de la pista. Si da "n" vueltas al barrer en el centro de la pista un ángulo "θ°", hallar R/r, siendo "r" el radio del aro.

a) 180 nθ b) 360 nθ c) 2n θπ d) n θπ e) 90 nθ

4. Una rueda de radio "r" recorre el perímetro de otra de radio "R", dando 7 vueltas. Si las dos ruedas están ubicadas en el mismo plano, cal-cular r/R.

a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 2/3 e) 1/3

5. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la ruedita de radio "r" al ir desde "A" hasta "B". A 7r r r B C O a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4

6. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio "r" al recorrer la superficie mostrada desde "A" hasta "B"? r r r r r B A a) 2/3 b) 3/2 c) 4/3 d) 3/4 e) 5/3

(24)

TRILCE

Colegios

7. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 20°, ¿cuánto gira "B"? (A) _(B) 4r 3r a) 15° b) 16° c) 18° d) 12° e) 9°

8. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 60°, ¿cuánto gira "D"? (A) (B) (C) (D) 5 ₂ 3 ₂ a) 100° b) 120° c) 150° d) 180° e) 210°

9. Si en el sistema mostrado, el bloque "P" des-ciende "L", ¿cuánto sube el bloque "Q"?

R Q P r a) R Lr b) r LR c) ( ) R L R r_- d) ( ) R L R_{+ e) ( )}r r L R r

-10. Si en el sistema mostrado, "A" gira "θ°", ¿cuán-to se desplaza el bloque "P"? 2 3 5 P a) θ 30π b) θ50π c) θ120π d) θ 150π e) θ 300π BLOQUE II

11. Dos ruedas de radios "r" y "R" dan "n₁" y "n₂" vueltas, respectivamente, al recorrer ambas una misma distancia. Una tercera rueda de radio "R+r" da "n₃" vueltas al recorrer el doble de la distancia anterior. Calcular el mínimo valor de:

N n n n 3 1 2 = + a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

12. Dos ruedas de radios "R" y "r" dan cierto núme-ro de vueltas al recorrer una misma distancia. Una tercera rueda, al recorrer el doble de esa distancia, da un número de vueltas igual a la diferencia de los números de vueltas que dieron las dos primeras. ¿Cuál es el radio de la tercera rueda? (R > r) a) _{R r}2R_- b) _{R r}Rr_- c) _{2 -}₍Rr_{R r}₎ d) ( ) R rR r 2 2 -- e) (2 RR rr) 2 -+

13. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 3 a 5. Después de recorrer una cierta distancia, el número de vueltas que dio la menor excede en "n" a las que dio la mayor. Calcular la suma de los números de vueltas que dieron las dos ruedas.

a) 2n b) 3n c) 6n d) 4n e) 8n

14. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 1 al des-plazarse desde "A" hasta "C"?

(AB = 9π). 1 A B C O 7 45º a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

15. En una bicicleta, sus ruedas tienen radios igua-les a 50 cm y 40 cm. Si la mayor da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas daría la menor, después de re-correr una cierta distancia?

a) 40 b) 32 c) 36 d) 30 e) 25

(25)

Quinto UNI

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20. Si en el gráfico mostrado la rueda de radio 1u recorre todo el perímetro interior del cuadrante de radio 4u, ¿cuántas vueltas daría?

A 1 4 B O

a)

_π1(₂3ArcSen₉7+ 2-1)

b)

_π1(₂3ArcSen₉7 +2 2-2)

c)

_π1(₃2ArcSen₉7+2 2-1)

d)

_π1(3ArcSen7₉+2 2-1)

e)

1_π(₂3ArcSen7₉+2 2-1) 16. Las ruedas de una locomotora tienen radios en

progresión aritmética de razón r/3, siendo "r" el radio de la rueda intermedia. Después de avanzar una cierta distancia, el número de vuel-tas que da la intermedia es igual a "K" veces la suma de los números de vueltas que dieron las otras dos. ¿Cuál es el valor de "K"?

a) 2/3 b) 2/9 c) 4/3 d) 4/9 e) N.A.

17. Dos poleas de radios "R" y "r" son tangentes ex-teriores. Si la primera gira 2θº, la segunda 3θg_. Calcular: R/r.

a) 2,25 b) 2,35 c) 1,35 d) 1,65 e) 3,35

18. En la figura mostrada, las ruedas se desplazan en los sentidos indicados dando "n" vueltas cada una, después de lo cual la distancia que los separa es igual a 444 cm. ¿Cuál es el valor de "n"?

1cm

4cm

a) 7 b) 14 c) 8 d) 16 e) 28

19. Si el bloque "P" desciende 4 cm, ¿cuánto se des-plaza el bloque "Q"? 1 3 6 2 3 5 P Q a) 2,4 cm b) 1,2cm c) 4,8cm d) 2 cm e) 3 cm

(26)

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Tarea domiciliaria

1. Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 3 a 1. En hacer un cierto recorrido, la rueda ma-yor dio 25 vueltas menos que la menor. Hallar la suma de los ángulos girados por cada rueda. a) 80πrad b) 100πrad c) 120πrad d) 150πrad e) 90πrad

2. La distancia entre los centros de dos circunfe-rencias de radio "R" es "R". Entonces, la longi-tud del menor arco que se forma con la intersec-ción de las dos circunferencias es :

a) 3 2_{π R b)} 3 π R c) 6 π R d) ₄π R e) ₂π R

3. La figura representa una transmisión dentada de radios "r₁" y "r₂" como se indica. Si el punto "P" sobre la rueda de mayor radio "r₁" gira un ángu-lo "θ", entonces el punto "Q" correspondiente sobre la otra rueda girará un ángulo igual a :

P Q r₁ r₂ a) θ b) rr2 1 ` jθ c) r r 1 2 ` jθ d) (r₁r₂)θ e) QP θ

4. Un molinete de riego tiene un alcance de 12m y un ángulo de giro de 135º. Calcular el área (en m2_{) del sector circular mojado por el molinete.} (Usar π=3,14).

a) 161,56 b) 163,56 c) 165,56 d) 167,56 e) 169,56

5. La figura muestra un montacarga con un tam-bor de 60 cm de diámetro. Si el montacarga gira 7₄π radianes, entonces la carga se eleva, aproximadamente, a una altura de:

(Tomar: π=3,1416 ).

a) 1,68 m b) 1,67 m c) 1,66 m d) 1,65 m e) 1,63 m

6. ¿Cuál es el arco, expresado en metros, de la cir-cunferencia de 2m de radio que subtiende un ángulo central, tal que si sumamos su comple-mento y suplecomple-mento, expresados en grados se-xagesimales, nos da 13 veces el valor del ángulo? a) ₅π b) 40 c) ₅₀9π

d)

101 e) 10π

7. Una faja de 60 π cm de longitud es colocada al-rededor de dos líneas circulares cuyo diámetro es 10cm. ¿Cuál es la distancia entre los centros de las dos ruedas (OO')?

a) 27,5 πcm b) 25 πcm c) 22,5 πcm d) 20 πcm e) 17,5 πcm

8. Calcular el número de vueltas que da la rueda, de radio "a", para que las esferas se encuentren a la misma altura. c b a m 123 a) (cmb c) 2π + b) 4πmba c) ( ) a bbm c 2π + d) 2πc bbm( +c) e) (amb c) 2π +

9. En un sector circular, el arco mide: x2_{- 6x+16 ; y} el radio mide : (x - 1). Calcular el área del sector, si el arco tiene longitud mínima.

a) 7µ2 _{b) 14µ}2 _{c) 21µ}2 d) 5µ2 _{e) 10µ}2

10. Se tienen 3 ruedas de radio "r", "R" y " Rr " las cuales recorren espacios rectilíneos "e", "ke" y "2e", respectivamente. Calcular "k" de modo que el número de vueltas que da la tercera, sea la media geométrica de los números de vueltas que dieron las dos primeras.

a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 2 1

(27)

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11. En el gráfico, determine el número de vueltas que da la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "D". Si: AB=24 y BC=CD=45 .

60º A B D C 60º 60º 3 3 a) 3 107 31 π + b) 2 3 107 31 π + c) 2 3 207 31 π + d) 2 3 105 31 π + e) 2 5 105 31 π +

12. En el gráfico, la rueda de radio "r" al ir desde "A" hasta "B" da los

2

5 del número de vueltas que da al ir desde "C" hasta "D".

Calcule : R ._r A C D B R r r r r a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

13. En el gráfico se muestran las catalinas de una motocicleta. Si la cadena mide 1 metro y las catalinas tienen radios de 10cm y 5cm, calcule la suma de los ángulos girados por ambas cata-linas para que el nudo esté en la posición "P" por primera vez cuando giran las catalinas.

P A

B Nudo

a) 10 rad b) 20 rad c) 30 rad d) 40 rad e) 50 rad

14. Los radios de tres ruedas de una locomotora es-tán en la relación 1 ; 3 ; 5. Cuando la menor gira 4320º, ¿cuál es la suma de los números de vueltas que dan las otras ruedas?

a) 5,6 b) 3,2 c) 7,8 d) 6,4 e) 8,4

15. De acuerdo al gráfico, se sabe que : O₁O₂= 37 . Cuando "A" se ubique en la posición de "B", ¿cuál será la suma de los números de vueltas que darán las dos poleas?

A B 3 2 D C O₁ O₂ a) 3π b) 23π c) 25π d) 4π e) 27π

(28)

TRILCE

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Problemas resueltos

1. Con ayuda de la figura mostrada calcule: Q= csc sec ctgxx-+tgxx 2n+1 x n - 1 2n a) 2 15 b) 103 c) 6 d) -6 e) - 15 ₂ Resolviendo 2n+1 x n - 1 2n

Aplicamos el teorema de Pitágoras [2n+1]2_{=(n - 1)}2_+(2n)2

→ _4n2_+4n+1=n2_{- 2n+14n}2 → _6n=n2 _∴_n=6

Luego, el triángulo será:

13 x

5

12 La expresión pedida será:

Q= Cotx Cscx Secx Tanx+ Q= 5 12 5 13 12 13 125 51 12 18 -+ = - ∴ Q= -15 2 Clave: E 2. Si cos(x+20º)=sen(3x+10º); x∈<0º;26º] entonces al calcular el valor de

F=sec4x + 4sen2_{2x - tg3x, se obtiene:}

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

Resolviendo

De: cos(x+20º)=sen(3x+10º)

→ (x+20º)+ (3x+10º)=90º ∴ x = 15º La expresión pedida será:

F=sec60º+4sen2_{30º - tan45º} F= (2)+4×_{; E - 1}₂1 2 ∴ F= 2

Clave : C

3. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se trazan las alturas AD y CF cortándose en el punto "H", de modo que AH=3HD, halle tgB.tgC.

a) 1 b) 2 c) 3

(29)

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Resolviendo B F 3a H a A C D 12 θ θ α 123

H: Ortocentro del ABC BPHF : (inscriptible) ⇒ \DHC = θ En HDC : tanθ = a n ... (1) En HDC : tanα = na 4 ... (2) De (1) ∧ (2) tanθ . tanα = ( )( ) a n na 4 =4 Clave : D

4. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Calcule: k= 10 sec(θ)+tan(θ) A D 37º θ B C a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 Resolviendo θ 9a 37º 53º 9a 16a 25a 25a 144424443 144424443 14243 123 13a 12a 510a θ Sombreado secθ = 5 10₉ ' ∧ tan_' θ =13₉ Se pide: k= 10 secθ+tanθ → k= 10× 9 5 10 9 13 9 63 + = ∴ k = 7 Clave : B

5. En la figura mostrada, AB=AD=BC, mABC=90º, mBAD=32º, mBCD=θ Calcule cot(θ) B C D A a) 0,75 b) 1,25 c) 2,95 d) 3,45 e) 4,35 Resolviendo B 16º 16º 16º C D 25 25 25 θ 7 7 A Separamos el BCD 16º D C B 14 14cos16º 14sen16º 1444442444443 θ 25 Gráfico: Cotθ = º º SenCos 14 16 25 14- 16 Cotθ= ( ) × 14 ₂₅7 25 14 25 24 25 9825 289 -= ∴ Cotθ = 2,95 Clave : C

(30)

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Problemas para clase

BLOQUE I

1. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º), se sabe que : AB = 3BC.

Calcular : R=5Sen A2 +₂1TanC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. En un triángulo rectángulo, la diferencia de la hipotenusa con uno de los catetos es la cuarta parte del otro cateto. Calcular el seno del menor ángulo agudo del triángulo.

a) 8/15 b) 15/17 c) 8/17 d) 3/5 e) 4/5

3. En un triángulo rectángulo ABC (Bt=90º), sim-plificar :

R

CscC SenACotC SenC

= +

a) Sen2_A _{b) Cos}2_A _{c) TanA} d) CotA e) 1

4. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,3t. Si el comple-mento de dicho ángulo es "θ".

Calcular : R=9Sen2_{θ+ 2 Tanθ.} a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

5. De acuerdo al gráfico, calcular : R=2Cos2_{θ -} 21 Sen2θ B A C H 2 3 θ a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 2/3 e) 1/5

6. Del gráfico, calcular PQ.

A D Q P O 10 10 7º 9º B C123 123 a) 5 b) 6 c) 3 d) 10 e) 12 7. Del gráfico, calcular : Tanθ.

A θ D 16º 37º B C a) 2/9 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 2/3

8. Del gráfico, calcular Tanφ. Si : AO = AC y OM = 3MB. A B φ C O M a) 0,2 3 b) 0,3 3 c) 0,4 3 d) 0,5 3 e) 0,6 3 9. Siendo :

Sen2x Tanx Csc(x+10°)Cotx = 1 "x" es agudo.

Calcular : R={Sen3x+Cos2_(4x+5º)}Tan2_6x a) 1 b) 2 c) 1/3 d) 3 e) 6

10. Sabiendo que "θ" es agudo; además, verifica que :

2Tanθ=₍(₅3_SenSen_{20 2}10_ºº_-+_CosCos₇₀80_º)º)Sec_Csc80₂₀_ºº Calcular el valor de :

N=4Tan(52Cos2_{θ +1)º+Tan}2_(135Tan2_θ)º

a) 3 b) 4 c) 5

d 8 e) 6

BLOQUE II

11. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º) su área se expresa así :

61 b2TanA. Calcular : R=Csc2_A+4Tan2_C.

a) 5 b) 7 c) 9

(31)

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Quinto UNI

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12. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : R=2Tanα+3Tanθ. A B C P D α θ M N a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Si en el gráfico "I" es el incentro del triángulo ABC. Calcular: R=Cotα+Cotβ.

8 _I 15 A B C α β a) 17/2 b) 17/3 c) 17/4 d) 17/5 e) 17/6

14. Si "α" es un ángulo agudo, tal que : Cosα = 71 . Calcular : R= Tan Cot Tan Tan 2 2 2 6 α α α α -+ . a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 8 15. Si ABCD es un cuadrado.

Calcular : N=2Cotβ - Cotα

A B 53º C M E D α β a) 3/4 b) 3/2 c) 4/3 d) 2 e) 5/3

16. Del gráfico, calcular: R=tgα+ctgβ ; si: "M" y "N" son puntos medios de AE y ED, respectiva-mente. E N 4 9 A B C M D α β a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 17. Del gráfico, calcular : N=Tan30º(2Cotθ+3); si : 2BH = 3HO A B C H 53º θ O D a) 5 b) 6 c) 7 d) 2 2 e) 3 18. Sabiendo que :

a=Sen1º - Cos1º+Sen2º - Cos2º+Sen3º - Cos3º+ ... Sen89º - Cos89º

b=Sen2_1º+Sen2_{2º+ Sen}2_{3º+...+ Sen}2_88º+ Sen2_89º

c=Tan1ºTan2ºTan3ºTan4º...Tan88ºTan89º Calcular: a+b+c

a) 44,5 b) 46,5 c) 48,5 d) 45,5 e) 43,5

19. Del gráfico, calcular "Senθ"; si : OD = 2DB = 2AC y AD = AE. A B C E θ O D a) 5/8 b) 5/12 c) 5/18 d) 5/24 e) 5/28

(32)

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Colegios

20. Del gráfico, calcular : Sen 2 θ . A B C E 37º θ O D a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,55 e) 0,65

21. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláte-ros, calcular: Tany Tanx , si: AC= CE EG 3 = 2 A M N G F x y B C E D a) 35/66 b) 65/77 c) 55/72 d) 13/11 e) 5/7 22. Siendo : Sec3a+Cos3a=Sen3b+Csc3b Calcular: K=Tan(a+b)Tan(2a+2b)Tan3aTan3b a) 1 b) 3 c) 3 3 d) 33 e) 9

Tarea domiciliaria

1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3cm y 5cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "θ", halle el valor de: W=17Sen2θ- .1

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5

2. En un triángulo ABC, recto en "C", se sabe: SecB SecA 32 = Calcular: 13(senA+senB) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50m, hallar el perímetro de dicho triángu-lo.

a) 112 m b) 224 m c) 96 m d) 52 m e) 412 m

4. Del gráfico, calcule : Tanβ . Si: BN = 2AN B 45º β C A M N a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,75 5. Calcular: E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º) a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16 6. Si : Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determine "y - x" a) 12º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º 7. Si : Tgx . Tgy = 1 Determinar:

E=Sen x y Tan x y Sec x y. .

2 3 2 3 + + + c m c m c m a) 36 b) 66 c) 1 d) ₃5 e) ₆2

(33)

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8. Si en el gráfico : AB = BC. Calcule: Tanθ B 53º θ C A M a) ₉2 b) ₉4 c) ₃2 d) 31 e) 52

9. Calcule el área de la región triangular ABC Donde: AC = 36m ; si, además:

CscA= 17 ∧ CscC= 26

a) 72m2 _{b) 144m}2_{c) 108m}2 d) 18m2 _{e) 360m}2

10. Calcule el valor de la expresión: W=

ºº+ ºº+ º+...º ... ºº CscSec1010+CscSec2020 +SecCsc3030 + ++SecCsc8080

a) 1 b) 2 c) 2

d) 3 e) 3- 2

11. Hallar los ángulos agudos, tales que: Tan(3α - 35º) = Ctg(90º - β)

2β - α= 15º

a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º e) 17º y 16º

12. Se tiene dos circunferencias tangentes exterior-mente con radios "R" y "r". Calcular el cuadra-do de la cotangente del ángulo formacuadra-do por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.

a) (R r) Rr 4 2 - b) (R r) Rr 4 2 + c) (R r) Rr 2 2 - d) (R r) Rr 2 2 + e) (R r) Rr 2

-13. Del gráfico, obtener tanθ :

B 37º θ A O M a) ₃4 b) ₄3 c) ₄5 d) ₃2 e) ₅4

14. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos "a" y "b". Hallar su área en términos de "m" si: a=t2_+tSec 3 π +2Sen 6π b=t2_{- tCsc} 6 π +2Cos₃π t2_{=2mt Tan} 4 π ` j - m2 a) m2_{- 1} _{b) m} 2 1 2_- 2 c m c) m 2 1 2₊ 2 c m d) (m ) 21 2_- 2 e) m2_{+ 1}

15. En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual tiene el doble de longitud que la altura relativa a dicho lado. Calcular : T=Sen 2 α + Tg 2 α + Senβ - Ctgβ

Donde "α" es el ángulo desigual y "β" el ángulo igual.

a) ₂2 b) 2 c) ₄2 d) 2 2 e) 0

(34)

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Problemas resueltos

1. De la figura mostrada m∠ABC=90º, m∠ABD=α , AB=x, BC=p; BD=q. Calcule "x" C A B D a) cos

p qsenpq- αα b) q ppqsen- cosαα c) cos

q psenpq- αα d) qpq+cospsenαα e) cos psenαpq-q α Resolviendo C p q x α 90º-α A B D S _ABC=S _CBD+S _ABD → . . a p x a p q = sen(90º - α)+ . a q x senα px=pqcosα+qxsenα xcp - qsenα = pqcosα ⇒ x=_{p qsen}pq_- cosα_α Clave: A

2. De la figura BD= DC, halle ctgy

A B C D x y z a) 2ctgz - ctgx b) 2ctgz+2tgx c) 2tgz - tgx d) 2tgz+tgx e) 2tgz+3tgx Resolviendo Del gráfico: h hcotx h 2hcotz x x y z 1444244431442443hcoty 2hcotz = hcoty+hcotz ∴ coty=2cotz - cotx Clave: A

3. Los triángulos ABC y ADC tienen un lado común (AC). Si se sabe que BE=DE= AC₂ , DC=m, m∠DAC=α y m∠BCA=β; se le pide determinar la distancia entre los puntos "B" y "D".

A E

D B

C

a) m₂cscα sen(α+β) b) m₂cscα sen(α - β) c) m cscα cos(α+β) d) m secα cos(α+β) e) m cscα sen(α+β) Resolviendo A R E R m β α α α β β x _D B C

(35)

Quinto UNI

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Colegios Central: 619-8100 www.trilce.edu.pe ADC: csc mR 2 ₌ _α 2R=mcscα Separamos el BEP E R R α+β α+β D B x/2 x x/2 Tenemos: R x 2 =cos(α+β) x=2Rcos(α+β) x=m cscα cos(α+β) Clave: C 4. En la figura mostrada BD=DC, m\BCD=α, m\BMD=β, determine tan(β) en términos de "α". C A M β α B E D

a) 2cot(α) - tan(α) b) 2tan(α)+cot(α) c) tan(α)+cot(α) d) 2tan(α) - cot(α) e) 2cot(α)+tan(α)

Resolviendo

C A H

M

2htanα hcotα hcotα Sea:BE=2h 2h_β _β α α B E h D 123 12314243

ADH : tanβ= 2htanα_h+hcotα ∴ tanβ=2tanα+cotα

Clave : B

5. En la figura mostrada, "O" es el centro de la cir-cunferencia, m\BAC=2φ , m\DGF=θ , deter-mine: E=1+cot(45º - φ) en función de "θ". C A B E D O G F

a) tan(θ) b) 2tan(θ) c) cotθ d) 2cot θ e) 4tan(θ) Resolviendo C A B F r E r θ 2θ r r r O (45º- φ) rcot (45 º- φ) (45º- φ) tanθ= cot( º ) r r+r 45 φ -∴ tan=1+cot(45º - φ) Clave : A

(36)

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Problemas para clase

BLOQUE I

1. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-tes miden "α" cada uno y el lado desigual mide "L". Hallar el área del triángulo.

a) L2_Tanα _{b) L} 2 2 Tanα c) L₄2Tanα d) L 2 2 Cotα e) L 4 2 Cotα

2. En un cuadrado ABCD se trazaAE ("E" en CD ), tal que : ED = L ; EADt =θ_{. Hallar el perímetro} del trapecio ABCE.

a) L(2Cotα+Cscα - 1) b) L(3Cotα+Cscα - 1) c) L(3Cotα - Cscα+1) d) L(2Cotα+Cscα+1) e) L(3Cotα+Cscα+1)

3. En un triángulo rectángulo isósceles ABC(Bt =90°), se traza la ceviana CD ("D" en AB ), tal que : CD=m y DCBt = θ.

Halle el perímetro del triángulo ADC. a) m{( 2 +1)Cosθ - Senθ+1} b) m{( 2 - 1)Cosθ - Senθ+1} c) m{( 2 +1)Senθ - Cosθ+1} d) m{( 2 +1)Senθ+Cosθ - 1} e) m{( 2 - 1)Senθ - Cosθ+1} 4. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : Senθ. B E C θ A D 2 1 a) 1309 b) 1307 c) 130 3 d) 1305 e) 130 11

5. Del gráfico, hallar "x".

B C A D 2 5 45º x a) 12 72 b) 5 72 c) 20 72 d) 10 72 e) 15 72

6. En el gráfico, MNPQ es un cuadrado de lado 2. ¿Cuál es el radio del sector circular?

B 2θ A N M P Q a) Cot2θ+4Cotθ+5 b) Cot2θ+ 2Cotθ+ 3 c) Cot2θ+ 2Cotθ+ 5 d) Cot2θ+ 4Cotθ+ 6 e) Cot2θ+ 3Cotθ+ 6

7. Del gráfico, hallar ED en función de "R" y "θ". B θ A D C E R O R

a) 2R Senθ Tanθ b) 2R Cosθ Cotθ c) R Senθ Tanθ d) R Cosθ Cotθ e) 2R Senθ Cosθ

8. Del gráfico, calcular el mínimo valor de : P=Tanα + Tanθ B θ α A C M N 1 3 2 a) 0 1 , b) 0 2 , c) 0 3 , d) 0 4 , e) 0 5,