Apuntes en Proceso Bovedas Cilindricas

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 1

BÓVEDAS CILÍNDRICAS

DEFINICIÓN: Los cascarones cilíndricos se construyen a partir de una superficie de

translación que se forma cuando la generatriz se desplaza apoyada en la directriz.

La generatriz regularmente es una línea recta, mientras que la directriz puede tomar diferentes formas, como son:









Creando en cada caso a los cascarones cilíndricos siguientes.  Cascarón cilíndrico circular de medio punto.

 Cascarón cilíndrico circular rebajado.  Cascarón cilíndrico parabólico.  Cascarón cilíndrico elíptico.

GENERATRIZ

DIRECTRIZ

DIRECTRIZ

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 2 La directriz circular, de medio punto o la rebajada, es la de uso más generalizado, debido a las ventajas que presenta, entre las que destaca su facilidad de diseño, facilidad constructiva y por su eficiente respuesta a las solicitaciones de cargas más comunes. Los cascarones cilíndricos pueden apoyarse en distintas formas. Cuando se apoyan sobre columnas se dice que son autoportantes, pero también pueden apoyarse directamente sobre el terreno. Ya sea uno u otro tipo de apoyo que adopten los cascarones cilíndricos, pueden lograrse disposiciones bastante prácticas y originales. Estos pueden ser.

Cascarones cilíndricos en batería Cascarones cilíndricos en cañón.

Cascarones cilíndricos tipo Sheds o diente de sierra. Cascarones cilíndricos Alas de Mariposa.

Cascarones cilíndricos para cimentación. Parabólico

Elíptico

En batería

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 3 Cimentación

Tipo sheds o diente de sierra

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 4 Las directrices de los cascarones cilíndricos también pueden ser diferentes, como se observa a continuación

En función de su relación de longitud a ancho se clasifican en.

1. Si L/C < 2.5 se trata de un cascarón corto.

2. Si L/C > 2.5 se trata de un cascarón largo.

L C

C ó n i c o

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 5 ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

En el análisis de los cascarones cortos se emplea la teoría de la membrana, debido a que su principal trabajo es transversalmente. Mientras que para los cascarones largos se utiliza el método de la viga, debido a que estructuralmente trabajan en el sentido longitudinal.

La práctica profesional ha tendido al uso de los cascarones cilíndricos cortos, debido a su facilidad de diseño y por su gran economía. Además de que las corrientes arquitectónicas son compatibles con estos elementos estructurales.

ELEMENTOS QUE COMPONEN LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

Los cascarones cilíndricos se componen de los elementos básicos que se describen a continuación.

Lámina o cáscara Tímpano

Elemento de borde

Estas tres piezas existirán siempre en un cascarón cilíndrico; sin embargo, en el caso del tímpano, puede presentar las formas siguientes.

Tímpano en celosía Tímpano macizo Lámina o cáscara tímpano Elemento de borde Elemento de borde

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 6

FUERZAS Y ESFUERZOS EN LOS CASCARONES

CILÍNDRICOS CORTOS

Como mencionamos anteriormente, este tipo de cascarones se analiza con el método de la membrana para conocer las fuerzas internas que le producen las fuerzas o cargas externas que gravitan sobre ella.

El método consiste en estudiar un elemento diferencial del cascaron cargado, para analizarlo y determinar los esfuerzos internos actuantes en cada cara, estableciendo el estado de equilibrio respectivo.

Este proceso arroja como resultado un sistema de tres ecuaciones, llamado sistema general de ecuaciones diferenciales de equilibrio. En el cual basta con sustituir las condiciones geométricas del cascarón en estudio para deducir las ecuaciones de aplicación directa que permiten calcular los valores de los esfuerzos en sus diferentes direcciones que definen el estado de esfuerzos en el punto o partícula en análisis.

En el caso particular de los cascarones cilíndricos circulares, los esfuerzos internos y las expresiones para evaluarlas son las siguientes.

En cada punto material de la cascara se producen dos fuerzas normales de compresión, una en la dirección transversal (NØ) y otro en la longitudinal (Nx) y también dos fuerzas cortantes (V) de igual valor para estas mismas direcciones.

cos

r

w

N

)

4

(

4

cos

x

L

r

w

N

sen

x

w

V

2

Tímpano de arco peraltado

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 7

Donde:

NØ: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal.

Nx: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal.

V: Fuerza cortante.

W: Carga unitaria de diseño del cascarón, en kg/m2.

r: Radio de la directriz.

Ø: Ángulo que forma el punto en estudio con la vertical.

L: Longitud total del cascarón.

X: Distancia del punto en estudio a un eje que divide en dos partes iguales el cascaron.

Nota: El signo menos que aparece en las fórmulas, únicamente indica que los esfuerzos resultantes en la cáscara son de compresión. Esto se explica al establecerse la suposición de que mientras que la cáscara trabaja a compresión, el elemento de borde toma la tracción correspondiente.

r Ø NØ _V Nx NØ Nx V X

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 8 Conocido el estado de esfuerzos (NØ, Nx y V) en cada uno de los puntos seleccionados de la cáscara, a continuación se calculan las fuerzas principales y las direcciones

principales de los planos en que actúan, con la finalidad de conocer los puntos y las

direcciones en que se presentan tracciones y colocar el acero de refuerzo requerido que le proporcione la resistencia necesaria. Este procedimiento puede ser analítico o bien gráfico mediante los círculos de Mohr.

SOLUCIÓN GRÁFICA (CÍRCULOS DE MOHR) θ N2 V NØ V NØ N2 N1 N1 V Nx V Nx Plano de fuerzas principales

Estado de fuerzas en el punto P (NØ, Nx y V). Fuerzas

y direcciones principales en el punto P (N1, N2 y Ø).

SOLUCIÓN ANALÍTICA

N1: Esfuerzo principal de tracción.

N2: Esfuerzo principal de compresión.

θ: Dirección principal.

v

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 9 Conocidos los puntos o partículas en que se presentan las fuerzas de tracción (N1), ahora

calcularemos sus componentes longitudinales, valores que se utilizarán para el cálculo del acero de refuerzo.

Finalmente se calcula el área de acero requerida para los puntos en que se presentan estas tracciones (Th).

ACERO DE REFUERZO EN EL CASCARÓN

1. REFUERZO EN LOS PUNTOS DE TRACCIÓN

Como se describió anteriormente, se calcula el área de acero requerida para los puntos en que se presentan tracciones.

s h s

f

T

A

Cantidad que se compara con el área de acero mínimo requerida por temperatura.

Ac

*

003

.

0

A

Se elige el valor mayor que resulte del área de acero. Determinándose a continuación la separación del refuerzo.

)

100

(

A

a

S

e

S

3

Tomándose el valor menor que arrojen estas dos operaciones. Tv=N1 sen θ

Th= N1 cos θ θ

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 10

2. REFUERZO EN LAS ZONAS DE COMPRESIÓN.

Como se desprende de este análisis, los puntos restantes del cascarón están sometidos a fuerzas internas de compresión. El refuerzo correspondiente que se agregará en estas zonas es el área de acero por temperatura.

Ac

*

003

.

0

A

La separación de este refuerzo será el menor valor que resulte de las expresiones ya conocidas, que aquí repetimos con el fin de disipar toda posible duda en la aplicación del procedimiento.

)

100

(

A

a

S

e

S

3

ELEMENTO DE BORDE

Como explicamos en su momento, el elemento de borde esta sometido a tracción. Esta tracción presenta su mayor magnitud en la parte media del cascarón que en los extremos del mismo.

La magnitud de la fuerza de tracción en cualquier punto del borde, se calcula con la expresión siguiente:

sen

x

L

w

)

4

(

2

T

El área de acero necesaria en cada punto del elemento de borde, se obtiene así:

s t s

f

T

A

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 11

TIMPANO

 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL.

Se determina la reacción total del cascarón sobre el tímpano por metro.

C

w

L

S

q

2

Donde S es el desarrollo del cascarón.

Posteriormente se le suponen dimensiones al tímpano (le corresponden las mismas dimensiones transversales del cascarón), dejando unas cartelas para absorber el cortante.

A continuación se estima el peso propio del tímpano por metro.

C

W

q

2

Wt: Peso total del tímpano.

Carga total por metro: q = q1 + q2 Análisis por flexión.

Se calcula el momento flexionante máximo.

8

C

q

M

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 12 Seguidamente se calcula el área de acero requerida por flexión.

f

j

b

'

M

A

Análisis por cortante.

Cálculo de la fuerza cortante máxima actuante.

2

C

q

V

Esfuerzo cortante actuante.

C

'

d

'

V

máx

v

El valor de este esfuerzo cortante se compara con el esfuerzo cortante admisible.

v

0

.

29

f

kg

/

cm

Esto es: Si vmáx. < vadm. No se requieren estribos. Si vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.

Vmáximo

1 2

q

C

Mmáximo

MODELO ESTRUCTURAL DEL TÍMPANO

b’ = b – r r: recubrimiento

fs: fatiga del acero = 1400 kg/cm2

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 13 En caso de requerirse estribos, la separación entre ellos se calcula con la expresión:

v

' c

'

f

A

S

 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL.

Se calcula la componente horizontal de las fuerzas cortantes V en el borde.

V

V

cos

V

V

cos

Estas componentes de las fuerzas cortantes están valuadas en kg por metro de ancho de franja de cascarón. Por tanto se multiplicarán por el ancho de su área de influencia (obtenida grafica o analíticamente) para obtener las fuerzas totales. 1 1 1

V

e

F

e

V

F

e

V

F

Área de acero del estribo propuesto: Av

Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs

Esfuerzo cortante para estribos: v ’ = vmáximo – vadmisible Vhi Vh2 Vh1 Fh1 Fhi Fh2 e1 ei e2 i=1,…, n

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 14 CALCULO DEL ÁREA DE ACERO EN CADA ÁREA DE INFLUENCIA.

 _{Área de acero requerida por tracción.} s h s

f F A

 _{Área de acero por temperatura.}

A

0

.

002

A

Deberá cumplirse que: As ≥ Ast

Finalmente se diseñan las columnas y la cimentación del proyecto, conforme a los procedimientos establecidos por las normas.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 15

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE CASCARONES CILÍNDRICOS CIRCULARES

I. DATOS DE DISEÑO

Este primer paso consiste en proponer la geometría (dimensiones) de la estructura, como son:

Longitud total del cascarón: L, en metros. Ancho del cascarón: C, en metros Flecha del cascarón: b, en metros Carga uniforme de diseño: w, en kg/m2

II. DISEÑO DE LA LÁMINA O CÁSCARA.

II.1 Se calcula el radio de la directriz de la bóveda.

b c b r 8 4 2 2

II.2 Se precisan los n puntos de estudio del cascarón.

Considerando la natural simetría del cascarón, se delimita la zona a estudiar.

Luego se fijan, en planta, los n puntos a estudiar.

r, en metros L/2 C/2 L/2 C/2 A2 A1 D1 D2 D3 Di B1 Bi C1 C2 Ci n1 n2 n3 n4 n5 ni C/2 L/2 x

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 16 Finalmente se calculan, en elevación, los ángulos de estos puntos en estudio.

II.3 Se propone el espesor, e, de la cáscara. El espesor mínimo debe ser de 6 cm.

II.4 Seguidamente se investiga la resistencia de la cáscara de la bóveda cilíndrica. Esto implica probar que el espesor propuesto es suficiente para resistir el esfuerzo máximo de compresión generado por la carga. Para esto se sigue el proceso siguiente.

Calculamos la fuerza de compresión máxima en el cascarón, la que se presenta en el punto A2, de coordenadas (r, 0°) y x=0.

2 2 2

4

)

4

(

4

cos

L

r

w

x

L

r

w

N

Estimamos el esfuerzo de compresión máximo actuante en el cascarón (punto A2).

A N

f_c x

Se valúa el esfuerzo permisible (fcx permisible)) de compresión.

e

r

e

L

f

1100

60

Posición angular de los n puntos definidos (r, Ø). Línea de 0o 1 2 3 4 n Ø1 Ø2 Ø3 Øi r fcx per, en kg/cm2

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 17 Finalmente se compara el esfuerzo de compresión máximo (fc) en el cascarón inducido por la carga externa, contra el esfuerzo permisible (fcx

permisible)) de compresión.

Si fc fcxpermse ratifica la geometría propuesta del cascarón.

Si fc > fcxpermse modifica la geometría propuesta del cascarón

II.5 Se calculan las fuerzas internas en cada punto definido en la bóveda (fuerzas de compresión y fuerzas cortantes).

4 ( 4 ) cos 2 2 x L r w N_x

N

w

r

cos

V

2

w

x

sen

II.6 Calculamos los esfuerzos principales en cada uno de los puntos materiales del cascarón, definidos anteriormente, con la finalidad de detectar la presencia de los esfuerzos de tensión (tracción), su magnitud y dirección. Este calculo puede realizarse en forma gráfica mediante los círculos de Mohr, o bien analíticamente.

II.7 Se valúan las magnitudes de las componentes horizontales de las fuerzas de tracción, derivadas de los esfuerzos principales de tracción.

T

N

cos

II.8 Se calcula el acero de refuerzo requerido por tracción en cada punto definido en la cáscara. s h s

f

T

A

A

0

.

003

A

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 18

III. DISEÑO DEL ELEMENTO DE BORDE.

Calculo de la fuerza de tracción a lo largo del borde. Esto corresponde a los puntos n1, n2,…, ni.

sen

x

L

w

)

4

(

2

T

2

T

T

Acero de refuerzo requerido en cada punto del borde y su dimensionamiento. s borde s

f

T

A

Por último se proponen las dimensiones apropiadas de la sección transversal del elemento de borde que aloje adecuadamente el acero de refuerzo determinado.

IV. DISEÑO DEL TÍMPANO.

TT, en kg. As, en cm 2 As1 As2 As3 As4 As5 Asi n1 n2 n3 n4 n5 ni C’ C d’ b

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 19  ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL.

1. Se proponen las dimensiones del tímpano.

2. Cálculo de la reacción total sobre el tímpano y peso propio del tímpano.

)

)

180

(

*

*

*

*

*

2

90

φ

(

*

r

*

π

d

d

r

S

3. Análisis por flexión.

3.1 Refuerzo longitudinal (zona de tracción).  Momento flector máximo.

8

C

q

M

 Acero de refuerzo por flexión.

f

j

b

'

M

A

a

A

N

DATOS: C y b VALORES PROPUESTOS: C’ y d’

Reacción total sobre el tímpano (F/L): Peso propio del tímpano (F/L):

Carga total (F/L): Ø Ø r S

S: Desarrollo del cascarón. Ø: en grados.

At: área del tímpano.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 20 3.2 Refuerzo transversal (estribos).

 Fuerza cortante máxima.

2

C

q

V

 Esfuerzo cortante máximo.

C

'

d

'

V

máx

v

 Esfuerzo cortante admisible

'

29

.

0

f

v

 Si vmáx. < vadm. No se requieren estribos. Si vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.

 Si fuera necesario colocar refuerzo transversal (estribos), el esfuerzo cortante que toman los estribos es:

adm máx

v

v

v'

v

'

' c

v

f

A

S

 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL.

1. Calculo de las componentes horizontales de las fuerzas cortantes V en el borde del tímpano.

V

V

cos

V

V

cos

Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs

V

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 21

2. Determinación de las fuerzas totales (tracción), por área de influencia (Fh_i). i i h i h

V

e

F

3. Calculo del acero de refuerzo requerido por área de influencia en el tímpano.

 _{Área de acero requerida por tracción.} s h s

f F A

 _{Área de acero por temperatura.}

A

0

.

002

A

 Número de barras necesarias. _s

s barras

a

A

N

 Separación de las barras. _barras

i

N

e

S

En todo momento deberá prevalecer que: As ≥ Ast

Vhi Vh2 Vh1 Fh1 Fhi Fh2 e1 ei e2