SlideDoc.es-riart Fisica 1 y 2.PDF

(1)

TrabajoyEnergía 149

P

PA

AR

RA

A P

PE

EN

NS

SA

AR

R

P

PA

AR

RA

A P

PE

EN

NS

SA

AR

R

CI

CIEN

ENCI

CIAS

AS FI

FISI

SICA

CAS

S

CI

CIEN

ENCI

CIAS

AS FI

FISI

SICA

CAS

S

TR

TRAB

ABAJ

AJO

O Y

Y

TR

TRAB

ABAJ

AJO

O Y

Y

ENERGIA MECANICA

Física para Estudiantes de

Ciencias e Ingeniería

Pr

Prof

of.. In

Ing.

g. Gu

Gust

stav

avo

o Ri

Riar

artt O.

O. Pr

(2)

(3)

DINAM

DINAMICA DEL

ICA DEL PUNT

PUNTO

O

DINAM

DINAMICA DEL

ICA DEL PUNT

PUNTO

O

TRAB

TRABAJO Y

AJO Y ENE

ENERGIAS

RGIAS MECA

MECANICAS

NICAS

TRAB

TRABAJO Y

AJO Y ENER

ENERGIAS

GIAS MECA

MECANICAS

NICAS

Después de estudiar las Leyes de Newton, conocemos la interacción entre dos cuerpos. Observando la figura afirmamos que el hombre realiza una fuerza sob re el cuerpo, que se transmite por medio de la cuerda. También podemos deci r que al hacer esta fuerza, el hombre hace un trabajo. Este trabajo que hace el hombre es uno de los

“mecanismos de interacción” “mecanismos de interacción” “mecanismos de interacción”

“mecanismos de interacción”de los cuerpos. En mecánica el trabajo no es un concepto tan amplio como se utiliza diariamente. (Trabajo muscular, trabajo mental, etc). El concepto de trabajo mecánico requiere de un movimiento de l cuerpo. El cuerpo de be t ener un desplazamiento para que se hagaTrabajo Mecánico.Trabajo Mecánico.Trabajo Mecánico.Trabajo Mecánico.

Es decir el trabajo es el producto del modulo del vector desplazamiento por el modulo del vector fuerza por el coseno del ángulo que forman ambos vectores entre sí.

Es importante considerar cual es el"sistema""sistema""sistema""sistema"que se está estudiando y cual elmediomediomediomedio ambiente

ambiente ambiente

ambienteque lo rodea. De esta forma se puedediferenciadiferdiferenciadiferenciar elenciar elr el trabar el trabajtrabajo realitrabajo realjo realizado po realizado poizado por elzado por elor el medir el mediomediomedioo ambie

ambiente sobnte sobre elre el sistesistema,ma, deldel trabajtrabajo que hace elo que hace el sistsistema sobrema sobre ele el medio amedio ambienmbiente.te. ambi

ambiente sobente sobre elre el sistesistema,ma, deldel trabatrabajo que hacjo que hace ele el sistesistema sobrma sobre ele el medio amedio ambienmbiente.te.

Si la fuerza que realiza el trabajo forma con la direc ción del desplazamiento un ángulo

< < <

< // / / 2222, el trabajo espositivopositivopositivopositivo; en este caso se considera que es elmedio medio ambiemedimedio ambio ambiente eambiente elente ell quente el quequeque realiza trabajo

realiza trabajo sobre elsobre el sistemasistema realiza trabajo

realiza trabajo sobre elsobre el sistemasistema. De esta formaelel sistema "recibe" elel sistema "recibe" sistema "recibe" o "absorbe" tsistema "recibe" o "absorbe" trabajo "absorbe" trabajo.o "absorbe" trabajo.rabajo.o.

Para ==== // 2// 222, el trabajo es nulo, la fuerza no realiza trabajo; es decir ni el medio ambiente, ni el sistema realizan trabajo.

Y si >>>> // 2 / / 222,,,, el trabajo es negativo, es elsistesistema elsistema elsistema el que realima el que realique reali za trabajque realiza trabajza trabajo sobre elza trabaj o sobre elo sobre el medioo sobre el medimediomedioo ambiente.

ambiente. ambiente.

ambiente.El sistema"entrega""entrega""entrega""entrega"trabajo.

Hay mecanismos de interacción que pueden hacer que el sistema en tregue o reciba trabajo, indistintamente; o sea realizar trabajo positivo o negativo . Pero también hay meca nismos de interacción que solo pueden hacer que el sistema entregue trabajo. Las fuerzas provenientes de estos mecanismos se denominan“Fuerzas Disipativas”.“Fuerzas Disipativas”.“Fuerzas Disipativas”.“Fuerzas Disipativas”.Un ejemplo es la fuerza de rozamiento.

En rigor, si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas cada una de ellas efectúa un trabajo, así, para las fuerzas de la figura los trabajos de cada una de ellas cuando el cuerpo se desplaza“r”“r”“r”“r”son:

W

1

= r F

1

coseno

1

W

2

= r F

2

coseno

2

W

3

= r F

3

coseno

3 F1 F2 F3 F4 r El

El trabaEltrabajo mecánijo mecánico es elco es el produproducto escalcto escal ar delar del El trabajtrabajo mecánico mecánico es elo es el produproducto escalcto escal ar delar del vector desplazamient

vector desplazamiento por elo por el vector fuerza.vector fuerza. vector desplazamiento

vector desplazamiento por elpor el vector fuerza.vector fuerza.

W

W =

=

= r r rr F

F

W

W =

=

W

W =

= r r rr

F

F c

co

coseno

os

se

en

no

o

(4)

W

4

= r F

4

coseno

4

El trabajo total que se realiza sobre el cuerpo es la suma algebraica de todos estos trabajos

W = Wi = ( r Fico senoi)= r ( Fi cosenoi ) Si llamamosFFFFa la suma de todas las fuerzas (Resultante),

( Fi coseno i ) = F cosenoy por lo tanto W = Wi = r F coseno

El trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la suma de los tr abajos que realiza cada fuerza sobre el cuerpo y es igual al trabajo de la fuerza resultante (suma vectorial de todas las fuerzas).

TRABA

TRABAJO D

JO D

JO

DE

E F

E

E FU

F

FUER

UERZAS

ERZA

ZA

S

S O

O

DESPLA

DESPLAZAMIE

ZAMIENTOS

NTO

NTOS

S VAR

VARIA

VARIABLES

IA

BLES

Consideremos tres casos de trab ajo realizados por fuerzas aplicadas al cuerpo que se mueve sobre la superficie de la figura. En el primer caso el vector fuerza es constante, en el segundo caso el modulo de la fuerza es constante y su dirección paralela a la trayectoria y en el tercero la dirección de la fuerza es constante y su modulo varia.

1 11

1erererer_{Caso: Vecto}_Caso:_{Caso: Vecto}_Caso:_{Vector F}_{Vector F}_{r F const}_{r F const}_constante_constante_ante_ante

Los trabajos que realiza la fuerza F para cada trayectoria son:

W1 = F r W1 = F r W1 = F r

W1 = F r1111cosenocosenocosenocoseno 1111 W2 = F rW2 = F rW2 = F rW2 = F r2222cosenocosenocosenocoseno 2222 W3 = F rW3 = F rW3 = F rW3 = F r3333cosenocosenocosenocoseno 3333 El trabajo total es

W W W

W

=

F (rF (rF (rF (r1111cosenocosenocosenocoseno 1111+ + rr+ + rr2222cosenocosenocosenocoseno 2222+ + rr+ rr+ 3333cosenocosenocosenocoseno 3333)))) rrrr1111cosenocosenocosenocoseno 1111+ rr+ + + rr2222cosenocosenocosenocoseno 2222+ + rr+ + rr3333cosenocosenocosenocoseno 3333

=

r cosenor cosenor cosenor coseno

En e ste ca so el trabajo es i gual al producto es calar del vector fuerza por el vector desplazamiento total.

W W W

W

=

F r cosenoF r cosenoF r cosenoF r coseno 2º Caso:

2º Caso: Modulo de F Modulo de F constante y diconstante y dirección paralela alrección paralela al desplazamientodesplazamiento 2º Caso:

2º Caso: Modulo de F Modulo de F constante y dconstante y dirección paralela alirección paralela al desplazamientodesplazamiento W1

W1 W1

W1

=

F F rrF F rr1111cccocoososseseenennonooo00º0ººº0 W2W2WW22

=

F F rrF rrF 2222cccocoososseseenennonooo000º0ººº W3W3WW33

=

F rrF F rrF 3333coseno 0ºcoseno 0ºcoseno 0ºcoseno 0º

El trabajo total es

W W W

W

=

FFF(rF(r((rr1111+ rr+ rr+ + 2222+ + rr+ + rr3333))))

Es decir el trabajo es, en cada tramo, el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento, resultando una suma total igual a la fuerza por el trayecto.

rrrr1111 rrrr2222 rrrr3333 rrrr1111 rrrr2222 rrrr3333 rrrr1111 rrrr2222 rrrr3333

r r r r

(5)

3 33

3erererer_Caso:_{Caso: Modulo de F varia y l}_Caso:_{Caso: Modulo de F varia y la}_{Modulo de F varia y la dirección permanece constant}_{Modulo de F varia y la dirección permanece consta}_{a dirección permanece constante.}_{dirección permanece constante.}_nte._e. W1

W1 W1

W1

₌

FFFF1111rrrr1111cosenocosenocosenocoseno 1111 W2W2W2W2

₌

FFFF2222rrrr2222cosenocosenocosenocoseno 2222 W3W3W3W3

₌

FFFF3333rrrr3333cosenocosenocosenocoseno 3333 El trabajo total es

W W W

W

=

FFFF1111rrrr1111cosenocosenocosenocoseno1111+ + F+ + FFF2222rrrr2222cosenocosenocosenocoseno 2222+ F+ + F+ FF3333rrrr3333cosenocosenocosenocoseno 3333 Resultando en este caso que se debe calc ular el trabajo en cada tramo y sumar todos ellos.

Supongamos ahora que deseamos conocer el trabajo realizado a lo largo de una trayectoria curva en cada uno de los tres casos de las fuerzas. Para el efecto se puede suponer la curva formada por pequeños segmentos de recta r.r.r.r.Los pequeños trabajos realizados en cada tramo serán el producto escalar del vector fuerza por los vectores desplazamientos rrrr

W W W

W

₌

F F cF cosenoF cosenocoosseennoo rrrr

El trabajo total es la integral (suma de cantidades muy pequeñas) deWWWW W

W W

W

=

F F cF cosenoF cosenocoosseennoo rrrr

Los resultados de este calculo para cada uno de los casos estudiados serán

1 11

1erererer_{Caso: Vecto}_Caso:_{Caso: Vecto}_Caso:_{Vector F}_{Vector F}_{r F const}_{r F const}_constante_constante_ante_ante W

W W

W

₌

FF cFF coccoososseseenennonooo rrrr donde coseno es función de r ....

En este caso resulta WWWW

=

FFFF

r r r r

cosenocosenocosenocoseno

El trabajo es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento total, al ser la integral, igual que en el 1

er

Caso anterior, el desplazamiento total por el coseno del ángulo que forma con la fuerza.

2º Caso:

2º Caso: Modulo de F Modulo de F constante y diconstante y dirección paralela alrección paralela al desplazamientodesplazamiento 2º Caso:

2º Caso: Modulo de F Modulo de F constante y dconstante y dirección paralela alirección paralela al desplazamientodesplazamiento

=

0000

ºººº

cococosecosesenosenono 0ºno0º0º0º

₌

1111 W

WW

W

=

F cosenoF cosenoF F ccoosseennoo rrrr

=

FFFF SSSS

En este caso el ángulo es co nstante, y el resultado de la integral es la lon gitudSSSSde la curva (el trayecto). Por lo tanto el trabajo es igual a la componente tangencial de la fuerza por la longitud de la trayectoria.

Este es el caso de la fuerza de rozamiento que es siempre tangente a la trayectoria. Como el vector fuerza es contrario al desplazamientoFFFFy rrrrsiempre forman un ángulo de 180º, el trabajo es negativo.

3 33

3erererer_Caso:_{Caso: Modulo de F varia y l}_Caso:_{Caso: Modulo de F varia y la}_{Modulo de F varia y la dirección permanece constant}_{Modulo de F varia y la dirección permanece consta}_{a dirección permanece constante.}_{dirección permanece constante.}_nte._e. W

W W

W ==== F F cF F ccocoososseseenennonooo rrrr

El módulo de la fuerza y el ángulo que forma con el desplazamiento varían permanentemente, por lo tanto, solo se puede obtener el trabajo a partir de resolver la integral.

(6)

ENERGIA CINETICA

Si la fuerza “F”, resultante es paralela al desplazamiento, el trabajo es W=Fr

F

=m a =(Vr 2 – Vo2) /2 a entonces W = m a (v2– vo2) resultando 2 a W WW= W=== mm(m((( VmVVV2222_–_–_–_{– Vo}_Vo_Vo_Vo2222₎₎₎₎ 2 22 2 Si Vo = 0

_W

_{W =}

_W

₌

_{= m}

₌

_{m V}

_m

_V

2222 y si V = 0

_{W =}

_W

₌

_{= –}

_–

_{– m}

_{m Vo}

_m

_Vo

2222

2

De forma tal que conocida la velocidad de un cuerpo podemas determinar el trabajo que se hizo sobre el mismo; o el trabajo que se necesita hacer para frenarlo (trabajo negativo en este caso).

Siempre que se puede determinar el trabajo por alguna caracteristica, propiedad, interacción, etc. del cuerpo, tenemos una Energía.

Esta canti dad es e scalar, pues para elevar un vector (la velocidad ) al cuadrado se debe realizar un producto escalar.

El trabajo de las fuerzas es en consec uencia igual a

W

W =

=

W

W =

=

W

iiii

₌

_{= m}

m

m V

V

2222

_–

_{– m}

_–

_{m Vo}

_m

_Vo

2222

=

= K-Ko

K-Ko

2

22

2

22

2

Donde K es la energia cinetica final para la velocidad final V y Ko es la energia cinetica inicial para la veloci dad Vo

El

El trabajo mecánico trabajo mecánico es pues iguales pues igual a la variación a la variación de la energía de la energía cinética.cinética. El

El trabajo mecánico trabajo mecánico es pues iguales pues igual a la variación a la variación de la energía de la energía cinética.cinética.

F

r

W

W ==== W

W

iiii

₌

_{= m}

m

m (V

(V

2222

_–

_{– Vo}

_Vo

2222

₎₎₎₎

2

22

2 E

E

EN

NE

ER

RG

G

G A

A

A C

CIIN

CI

C

IN

N

N T

T

TI

TIIC

IC

CA

A

es la energ es la energ es la energía debida

es la energía debidaía debiía debidada a la velocia la velocidada la velocidada la veloci dadadd que

que que tiene que tienetitienenee elelel cueel cucuerpocuerpoerporpo

K

K =

=

= m

m

m V

V

2222

2

22

2 W

W

W =

= K

=

K

K –

–

– K

Ko

K

o

o =

=

K

(7)

ENERGIA

ENERGIA POTENCIALPOTENCIAL GRAVITATORGRAVITATORIAIA ENERGIA

ENERGIA POTENCIALPOTENCIAL GRAVITATOGRAVITATORIARIA

Un cuerpo de peso “P” se traslada de “A” a “C”, pudiendo hacerlo por la trayectoria “ABC” o directamente de “A” a “C”.

El trabajo realizado por el peso en la trayectoria “ABC” es: Trabajo de A aB W BA= P dBAcos

Trabajo de B aC W CB= P dCBcos 0º = 0

Totalt rabajo ABC W = P d BAcos donde dBAcos= dCA.

Por lo tanto WWWW == = P=P dP PdddCACACACA

El trabajo en la trayectoria AC esWW = P WW = P = P d= P dddCACACACA_{cos 90}_{cos 90}_co_co_{s 90º =}_{s 90º =}_{º =}_{º = P}_P_{P d}_{P d}_d_dCACACACA

El trabajo en ambos ca sos es el mismo y cualquier otra trayectoria que se utilice para llevar el cuerpo de “A ” a “C” el trabajo será si empre el mismo.

Si llevamos nuevamente el cuerpo al punto"A","A","A","A",por cualquier trayectoria, el trabajo hecho por el peso será – – – P–P P dPdddCACACACA. Una vez en el punto"A""A""A""A"dejamos al cuerpo bajo la acción del peso solamente y el peso realiza un trabajo de tal forma a volver al punto"C""C""C""C"y de ser posible mas abajo del punto"C"."C"."C"."C".Las fuerzas que cumplen con esta característica son fuerzas debidas a alguna propiedad inherente a los cuerpos. En este caso es la propiedad gravitatoria de los cuerpos. Igual fenómeno ocurre con otras propiedades, como la elástica, por ejemplo; que analizaremos mas adelante. Cuando se cumplen estas condiciones, la fuerza se denomina"Fuerza Conservativa""Fuerza Conservativa""Fuerza Conservativa""Fuerza Conservativa"

Si el cuerpo se mu eve sobre una tr ayectoria cualquiera, el mismo interactúa con el medio ambiente, entregando y reci biendo trabajo, de tal forma que si vuelve a su po sición inicial la cantidad de trabajo entregado es igual a la cantidad de trabajo recibido resultando un trabajo total nulo. Esta es la acción de las fuerzas conservativas.

Si el trabajo de todas las fu erzas que actúan sobre el cuerpo es, Ti= K f – Ko, Wi= W1+ W2+ W3+ ...+ WP, dondeW1, W2, W3,son los trabajos de las fue rzas y WP

es el trabajo del peso.

Esdecir W 1+ W2+ W3+ ...+ WP= Kf – Ko,

En el caso del peso podemos predecir el trabajo que va realizar al trasladarse el cuerpo de la posición “A” a “C”, por lo tanto

W1+ W2+ W3+ ...= K f – Ko – WP

En la figura se observa que ddddCACACACA=(h=(hh f =(=(h f ff ——— h—h h oho)o)))o,

P A B C  h f h o h

LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: 1.

1. 1.

1. EL EL TRABEL TRABAJOEL TRTRABABAAJO QUE REAAJOJO QUE REALQUE REALIZA DEPEQUE REALIZA DEPENDE DEL DELIZA DEPENDE DEL DEIZA DEPENDE DEL DESPLAZANDE DEL DESPLAZASPLAZSPLAZAMIAMIENTOMIEMIENTOENTO YNTO YYY ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA. ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA. ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA. ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA. 2. 2. 2

2.. LLA FUERZALA FUERZALA A FFUUERZA SE DEERZA SE DESE DEBE A UNASE DEBE A UNABE A UNA PROPBE A UNA PROPPROPIEDAPROPIEDAIEDAD DEIEDAD DED DD DEE LOLOS CUERLOS CUERLOS CS CUERPOS.UERPOS.POS.POS. 3.

3. 3.

3. CUCUCUANCUANANDOANDODO SODOSOBRE EL CUESOBRE EL CUESOBRBREEEL EL CUCUEERPRPRRPOPOO AO AACACCTCTUA SOLAMENTETUA SOLAMENTETUUA SA SOLAMENTE ESTAOLAMENTE ESTAESTAESTA FUE

FUERZARZA,, LA MILA MISMA RSMA REALEALIZA TOIZA TODODO EL TREL TRABAABAJOJO QUE LQUE LE ESE ES FUE

FUERZARZA,, LA MILA MISMA RSMA REALEALIZA TIZA TODOODO EL TRAEL TRA BAJBAJOO QUE LQUE LE ESE ES POSIBLE,

POSIBLE, HASTA QUE AHASTA QUE ALGUNA OTRA FULGUNA OTRA FUERZA EQUILIBRE ERZA EQUILIBRE ELEL POSIBLE,

POSIBLE, HASTA QUE HASTA QUE ALGUNA OTRA ALGUNA OTRA FUERZA EQUILIBRE FUERZA EQUILIBRE ELEL CUERPO

CUERPO CUERPO CUERPO

(8)

y porlo tanto – WP=– - P....dCA = – P....(hf – ho), todos productos escalares, donde P y

los vectores h f (altura final) y ho (altura inicial) forman un ángulo de 18 0º con el Peso. Elpro ducto escalar – P hf = – P hf cos 180º = P hf y

el producto escalar P ho = P ho cos 180º = – P ho

ENERGIA

ENERGIA POTENCIAL

POTENCIAL ELASTICA

ELASTICA

ENERGIA

ENERGIA POTENCIAL

POTENCIAL ELASTICA

ELASTICA

En el Capitulo de la 2ª Ley de Newton se analizó la fuerza del resorte que responde a la Ley

F

F =

=

= –

–

– k

k

k x

xx

x

La fuerza del resorte es una fuerza var iable por lo tanto el trabajo que realiz a el resorte es

T T T

TRESRESRESRES====

F

F co

F

F c

cos

co

os

s

x

x =

x

x =

=

= –

– k

–

k x

k

k x

x

x x

xx

x

Siguiendo el mismo procedimiento realizado para determinar la Energía Potencial, tenemos que

Ti =

Ti i =

T

Ti

=

K

K +

K

K +

+

U –

U

–

– T

T

RESRESRESRES

El trabajo que hace el resorte puede predeterminarse conociendo el alargamiento final e inicial del resorte, por lo tanto es una fuerza conservativa.

Definimos comoENERGIA PÒTENCIAL ELASTICAENERGIA PÒTENCIAL ELASTICAENERGIA PÒTENCIAL ELASTICAENERGIA PÒTENCIAL ELASTICA

U

EEEE

... =

. ==

= –

–

– T

T

RESRESRESRES

=

= –

– k

–

k

k x

x

x x

x =

x

x =

=

= –

– k

–

k x

k

k x

x

x x

x

Al resolver una integral obtenemos el área bajo la curva. En el gráfico tenemos en el eje de abscisas el alargamiento del resorte y en el eje de ordenadas la fuerza F. La recta es la representación gráfica de la ecuación F = k x Xo _Xf Fo Ff

ENE

ENERG

RG

RG A

A

A P

POT

POTENC

OT

ENCIAL

ENCIA

IAL

IAL GRAVITA

L GRA

GRA

GRAVITA

VITATOR

TORIA

IA

es es es

es elelel produel prproducto escprododucuccto escalar dto escalto escalar delalar delar del vector Peso por elel vecvector Peso por elvector Peso por eltor Peso por el vecto

vector de r de posicposición verticaión verticall (altu(altura)ra) medidmedida desdea desde vecto

vector de r de posicposición vertición vertic alal (alt(altura)ura) medidmedida desdea desde el

el cuerpcuerpo haso hasta elta el nivelnivel de refde referencierencia.a. el

el cuerpo cuerpo hasta hasta elel nivelnivel de rede referencferencia.ia.

U

U =

U ==

= P

P

P h

h

LA ENERGIA POTENCIAL LA ENERGIA POTENCIAL LA ENERGIA POTENCIAL LA ENERGIA POTENCIAL TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: 1.

1. 1.

1. LLA ENERGIA POLA ENERGIA POLA A ENENEERGIA POTENCIALRGIA POTENCIALTENCIAL SOLAMENTENCIAL SOLAMENSOLAMENTE PUESOLAMENTE PUETE PUEDE CONSTE PUEDE CONSDE CONSERVARSEDE CONSERVARSEERVARSEERVARSE SI

SI SE APLISE APLICA AL CUECA AL CUERPORPO OTRA FUOTRA FUERZA QUERZA QUE MANTEE MANTENGA ALNGA AL SI

SI SE APLICSE APLICA AL CUERPA AL CUERPOO OTRA FUOTRA FUERZA QUERZA QUE MANTEE MANTENGA ALNGA AL CUER

CUERPOPO EN EN EQUIEQUILIBRILIBRIO.O. CUERP

CUERPOO EN EN EQUIEQUILIBRILIBRIO.O. 2.

2. 2

2.. CCUANDOCUANDOCUUAANDNDOO ELEL CUEEL CUEELCUERPOCUERPORRPPOO SSSESEE EEENCUENENCUENENNCCUENTRAUENTRATRA BAJTRA BAJBABAJOJO LAO LOLA ALAA ACACCIÓNACCIÓNCCCIÓN DEIÓN DEDEDE FUERZA

FUERZA

FUERZAS CONSERVA

FUERZAS CONSERVAS CONSERVATIVASS CONSERVATIVASTIVTIVASAS SOLSOLAMENTE,SOLAMSOLAMEAMENENTE, EL MISNTE,TE, EL EL MISMOEL MISMOMISMO SE MO SE MUESE MUEVSE MUEVEMUEVEVEE HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL POSIBLE.

POSIBLE. POSIBLE. POSIBLE.

(9)

TrabajoyEnergía 157 Si Xfindica el alargamiento final del resorte, la energía potencial final es el área triangular

U

ffff

=

= F

F

ffff

X

ffff

=

= k

k X

k

k X

X

ffff2222

....

2

Y si Xoindica el alargamiento inicial del resorte, la energía potencial inicial es el área

triangular

U

oooo

=

= F

F

oooo

X

oooo

=

= k

k

k X

X

oooo2222

....

2

22

2

2 U

U

EEEE

=

k

k X

k

k X

X

ffff2222

.... –

–

– k

kk

kX

X

oooo2222

....

2

22

2

22

2 TRABAJO

TRABAJO Y

Y ENERGIA

ENERGIA MECANICA

MECANICA

TRABAJO

TRABAJO Y

Y ENERGIA

ENERGIA MECANICA

MECANICA

De esta forma – TP= U f – Uo, porlo t anto Ti = Kf – Ko + Uf – Uo o lo que es igual

T

T =

=

T

T =

=

T

Ti i =

T

Ti i =

=

K +

K

K +

+

U

Donde T es la suma del trabajo de todas las fuerzas no conservativa, K es la variación de la energía cinética entre la posi ción final y la posición inicial y U es la variación de la energía potencial gravitatoria entre ambas posiciones.

Finalmente

Ti

Ti =

=

K

K +

+

U

GGGG

+

U

E,E,E,E,

El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía cinética mas la variación de la energía potencial gravitatoria mas la variación de la energía potencial elástica. En forma más general.

Ti

Ti =

T

=

Ti i =

=

K

K +

K

K +

+

U

CONSE

CONSERVACI

RVACION DE

RVAC

ION DE LA

ON

ON DE

DE LA

LA

LA ENE

ENERGIA MECANIC

ENERGI

ENERGIA MECANIC

RGIA M

A M

ECANICA

A

Si el cuerpo esta sujeto a l a acción de fuerzas conservativas solamente o las fuerzas que actúan sobre el mismo no realizan trabajo.

De acuerdo a esta expresión la suma de las energías mecánicas se conserva en todo instante. Esta conservación es conocida como PRINCIPIOPRINCPRINPRINCIPIOCIPIO DE COIPIO DE CODE CONSERVDE CONSERVNSERVACIÓNSERVACIÓACIÓN DE ACIÓN DE N DE LAN DE LALALA ENERGIA.

ENERGIA. ENERGIA.

ENERGIA.Este principio, avanzando en el análisis de la física se hace más extensivo pudiendo afirmarse que laENERGÍA SIEMPRE SE CONSENERGÍA SIEMPRE SE CONSERVA,ENERGÍA SIEMPRE SE CONENERGÍA SIEMPRE SE CONSERVA,SERVA, NUNCA SE PIERDE.ERVA, NUNCA SE PIERDE.NUNCA SE PIERDE.NUNCA SE PIERDE.

Esto se debe a que si un sistema absorbe trabajo que le entrega el medio, en algún otro lugar hay otro sistema que entrega trabajo al medio.

Ti = 0

K

K +

+

K

K +

+ U

U

U =

= 0

=

= 0

0

0 K

K

ffff

–

– Ko

Ko +

K

Ko

o + U

+ U

U

ffff

–

– Uo

Uo =

U

Uo

o =

= 0

0

0 K

K

ffff

+

+ U

+

+ U

U

ffff

= K

= Ko

= K

= Ko

o + U

+ Uo

o

Ef

E

Eff =

=

= Eo

Eo

(10)

EQUILIBRIO

EQUILIBRIO ESTABLE,

ESTABLE, INESTABLE

INESTABLE E

E INDIFERENTE

INDIFERENTE

EQUILIBRIO

EQUILIBRIO ESTABLE,

ESTABLE, INESTABLE

INESTABLE E

E INDIFERENTE

INDIFERENTE

Analizando,un cuerpo rígido sometido a la acción del peso y de otra fuerza que mantienen en equilibrio al cuerpo, como en las tres figuras de abajo.

Figura1 Figura2 Figura3

En el caso de la figura 1, al mover el cuerpo de la posición de equilibrio, el centro de gravedad del mismo aumenta su altura, aumentando su energía potencial. Si se suelta el cuerpo desde esta posición, como no está en equilibrio, el mismo buscará la posición de menor energía potencial, volviendo a su posición inicial. En realidad el cuerpo al llegar a la posición inicial tiene velocidad razón por la cual el cuerpo no se detiene, volviendo a subir hasta una altura igual a la que tenía anteriormente, oscilando permanentemente.

Se denominaequilibrio estableequilibrio estableequilibrio estableequilibrio establecuando al mover el cuerpo de la posición de equilibrio,

aumenta la energía potencial aumenta la energía potencial aumenta la energía potencial

aumenta la energía potencial, como en la figura 1,

En la figura 2, al mover el cuerpo de su p osición inicial el cuerpo vuelve a estar en equilibrio y suenergíenergía potencienergíenergía potencia potenciala potenci alal se mantieal se mantiese mantiene constase mantiene constane constantene constante. En este caso, el cuerpo está enntente equilibrio indiferente

equilibrio indiferente equilibrio indiferente equilibrio indiferente.

En cambio en la figura 3, al mover el cuerpo de su posición de equilibrio la energía potencial disminuye y, como, no está en equilibrio se mueve buscando la posición de menor energía potencial, alejándose de su posición inicial. En los cas os en que al mover el cuerpo de la posición de equilibriola energía potla energía pot enciala energía potla energía pot enciaenciall dismienciall dismdisminuye,disminuyeinuye,, elnuye, elel equilel equilequilibrio es inestequilibrio es inestibrio es inest ableibrio es inest able. ableable

POTENCIA

Alaplicar una fuerza a un cuerpo y desplazarlo, se realiza un trabajo y se puede realizar el mismo trabajo con cualquier fuerza que logre de splazar al cuerpo. Sin embargo, dependiendo de la Fuerza, la forma de aplicación ( el ángulo con respecto al desplazamiento ) el trabajo a ser realizado requerirá de mas o menos desplazamiento y tiempo para realizarlo, con efectos finales diferentes. Sobre tod o de un mayo r o menor tiempo para hacer el trabajo. De aquí la importancia de considerar también el tiempo en que se reali za el trabajo.

El mecanismo de interacción que considera el tiempo en que se realiza un trabajo es la

POTENCIA POTENCIA POTENCIA POTENCIA.

La potencia es la medida de la rapidez con que se realiza un trabajo, y la podemos definir como

POTENCIA

Es el

Es el trabajo realizado en la unitrabajo realizado en la unidad de tiempo.dad de tiempo. Es el

Es el trabajo realizado en la utrabajo realizado en la unidad de tiempo.nidad de tiempo.

P

P =

=

= . W

. W ..

. . W

W ..

(11)

Mediante la acción de una fuerza es posible mover un objeto. Esta fuerza realiza un trabajo igual aF F rrF F rr, si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección.

Definimos como potencia media a

P=

P

=

= ... . W

W .... =

W

=

= F

F

F r r r r

F

tttt

Donde

rr / / tt

es la velocidad media,

Por lo tanto la potencia med ia es el producto escalar

P

P =

= F

=

= F

F

F .... V

V

Si determinamos el límite de la expresión anterior obtenemos la potencia instantánea como el producto escalar de la fuerza por la velocidad instantánea

RENDIMIENTO

En la realidad, cuando el medio ambiente entrega trabajo a un sistema, este sistema no puede utilizar la totalidad del trabajo que le es entr egado. Esto se debe, a que las maqu inas en el proceso de transformación del trabajo o la energía recibida, generan energías que son entregadas nuevamente al medio ambiente, utilizando pa ra realizar el trabajo solamente un a parte de la energía recibida.

Por ejemplo, un montacargas es utilizado para alzar materiales en una obra en construcción. El montacargas fun ciona med iante un mot or eléctrico. Si calculamos la ener gía eléctrica entregada al motor (la electricidad que consumió) y la comparamos con el trabajo realizado para alzar los pesos, encontramos que la primera es mayo r que esta ultima. Esto se debe a que en el proceso que realiza nuestro montacargas fuerzas de rozamiento, entre otras, transforman parte de la energía en calor que es devuelto al medio ambiente.

Es importante entender del trabajo realizado sobre el sistema, una parte es utilizada por el sistema para realizar un trabajo sob re el medio ambiente. La otra parte no se pierde, sino que es devuelto al sistema en distintas formas de energía antes de realizar el trabajo.

En rendimiento es entonces, la relación entre el trabajo que efectivamente realizó el montacargas y el trabajo (en ergía en este caso) que le suministro la corri ente eléctrica. Como estos trabajos se realizan al mismo tiempo, el rendimiento es la relación entre la potencia utilizada para realizar trabajo por el sistema y la potencia entregada al sistema.

POTENCIA:

Es elEs el produEs elEs el producproducto escaproducto escalcto escalar delto escalar dellar del vectoar del vectovector fuerza por elvector fuerza por elr fuerza por elr fuerza por el vector

vector vecto

vectorr velocvelocidad.velocidad.velocididad.ad.

POTENCIA MEDIA:

es el produes eles eles el producto esproducproducto es calar deto escalto escalar delc calar dear del vectoll vecvectorvector r tor fuefuerzafuerzafuerzarza por el

por el vector velocvector velocidad mediaidad media por el

por el vector velocidad vector velocidad mediamedia

POTEN

POTENCIA

CIA INS

CIA

INSTA

INSTANTANEA

TA

NTANEA:

NTANEA:::

es eles el produes eles el producproducto escalaproducto escalcto escal ar delto escalar delar delr del vector fuer

vector fuer vector fuerza por el

vector fuerza por el vector velocidadza poza por elr el vectovector velovector velocidadr velocidadcidad instainstantáneainstantáneainstantáneaneantá

RENDIMIENTO RENDIMIENTO RENDIMIENTO RENDIMIENTO

=

= W

W

realizadorealizadorealizadorealizado

= P

=

P

utilizadautilizadautilizadautilizada

W

(12)

UNI

UNIDAD

DADES

ES DE

DE MED

MEDIDA DE

IDA DE

UNI

UNIDAD

DADES

ES DE

DE MED

MEDIDA DE

IDA DE

TRABAJO, E

TRABAJO, ENERGIA Y

NERGIA Y POTENCIA

POTENCIA

TRABAJO, E

TRABAJO, ENERGIA Y

NERGIA Y POTENCIA

POTENCIA

T

TR

RA

AB

BA

AJ

JO

O y

yE

EN

NE

ER

RG

GI

GIIA

IA

A

P

PO

OT

TE

EN

NC

CIIA

CI

IA

A

C C Cl

Cllalaasasseseee UnUnUUniidniiddadaadaddd ClCllaCClaasasseseee UnUnUUniniididdadaadaddd Sistema Sistema Sistema Sistema Internacional Internacional Internacional

Internacional DDeDDeer er ririivivvavaadaddadaaa 11 1 N1N xN Nxx x 11 m1 m1mm == 1= =1 1 jj jo1 joououululleleee DeDeDDer rier riivivvavaadaddadaaa 111 1 jj jo joououulullelee e 11 1 s1sss –1 –1 –1–1= 1 watt= 1 watt= 1 watt= 1 watt S

S Si

Siisisstestetema Ttema Tma Téma Téécéccncnniniiciccocooo DeDDeDer er rivrivivaivaadaddadaaa _{1 kilográmetro}_{1 kilográmetro}_{1 kilográmetro}_{1 kilográmetro}1 k1 kgfx 1 m1 kgf1 kgfx 1 m =gf x 1 x 1 mm === DeDeDDer er ririivivvavaadaddadaaa 1k111kkgkggfmgfmffmm 11 s1 s1ss –1 –1 –1–1 Sistema Sistema Sistema Sistema C C.. GG.. SS.. C

C.. GG.. SS.. DerivadaDerivadaDerivadaDerivada 1 dina x1 1 di1 dina xdina x 1 cmna x 1 cm1 ergio1 ergio1 ergio1 ergio1 cm1 cm ==== DDeDeDer er ririivivvavaadaddadaaa 1 e111 eer rger rggigiioioo 1o 11 s1 sss –1 –1 –1–1 O

O Ot

Ottr tr raraasasssUUUnUnniniididdadaadaddedeesesss 1111kkkwkwwwhhohohor or raraaa 76767766kkkgkggmgmmm111s1sss –1 –1 –1–1_{= 1 HP}_{= 1 HP}_{= 1 HP}_{= 1 HP}

FACT

FACTORES

ORES DE

DE CONV

CONVERSI

ERSION

ON

FACT

FACTORES

ORES DE

DE CONV

CONVERS

ERSION

ION

Sistema Sistema Sistema Sistema Internacional Internacional Internacional

Internacional SistemaSistemaSistemaTécnicoTécnicoTécnicoTécnicoSistema SistemaSistemaSistemaSistemaCC.. GCC.. GG.. SG.. SS..S.. Otras UnidadesOtras UnidadesOtras UnidadesOtras Unidades TRA TRABAJBAJOO YY TRA TRABAJBAJOO YY ENERGIA ENERGIA ENERGIA

ENERGIA 1111JJoJJoououululleleee==== 1 / / / /91119,9,,89,888 kkgkgkgf gf fmfmmm 10101100 7777eeer er rgrggigiioioososss 1 /1 / /311 /33,3,,6 ,6 16 6 11 01000 –6–6 –6 –6kwkw hkwkw hhh P

P PO

POOTOTTETEENENNCNCCICIIAIAAA 1111wwawawatatttttt=t=== 11 / / /911 /99,9,,8,888kkgkkggf gf fmfmmsmsss –1–1 –1 –1 ₁₀₁₀₁₀₁₀7777_{ergios s}_{ergios s}_{ergios s}_{ergios s} –1 –1 –1–1 _{1 /}_{1 / 745}_{1 /}_{1 / 745}_{745.7 HP}_{745.7 HP}_{.7 HP}_{.7 HP}

PROBLEMAS

1 11

1 Calcular el trabajo de una fuerz a constante desi el ángulo entre las dire cciones de la fuerza y del desplazamiento son12 N12 N12 12 NN, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m,0º0º,, 600º,, 600º60º,60º,º, 90º, 9090º,90º,º, 13º, 13135º135º5º,, 185º,, 18180º180º0º0º 2

22

2 Calcular el trabajo realizado por la fuerza FFFF

constante de100 N100 N100 N100 N, al trasladar el cuerpo de masammmmdel puntoAAAAalBBBB a lo largo de la trayectoria curva de la figura.

3 33

3 Un cuerpo de444 4 kgkgkgkgde masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado20º20º20º20ºcon respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de80808080 N

N N

N, una fuerza paralela al plano de 100 N100 N100 N100 N

favoreciendo el movimiento, una fuerza de fricción de101010 10 NNNNque se opone al movimiento. El cuerpo se traslada20 20 m20 20 mmma lo largo del plano inclinado. Calcular:

a) Elvalo r de las otras fuerzas q ue actúan sobre el cuerpo. b) El trabajo de cada fuerza y el trabajo total.

c) La resultante y el trabajo de la res ultante.

F F F F BBBB 37º 37º 37º 37º 6m 6m 6m 6m A A A A 8 8 mm 8 8 mm 100 N 100 N 100 N 100 N 80 80 NN 80 80 NN 1 1 10 10NNNN00 2020220ººº0º

(13)

4 44

4 El coeficiente de rozamiento con el piso de un cuerpo de masa5555 kgkgkgkgque se mueve sobre una circunferencia horizontal de radios5555 mmmm, es0,40,40,40,4. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento al concluir una vuelta.

5 55

5 En el movimiento de un pénd ulo simpl e actúan tres fuerzas sobre la masa suspendida (la cuerda se considera sin masa): fuerza de la gravedad (peso), tensión de la cuerda y resistencia del aire.

a) Dibujar las fuerzas y la trayect oria del péndulo. b) ¿Todas las fuerzas realizan trabajo?

c) ¿Cuál de ellas realiza un trabajo negativo durante todo el tiempo que dura el movimiento? d) Escribir el principio del trabajo y la energía para el péndulo para cualquier posición.

6 66

6 Un cuerpo de masa1 1 kg1 1 kgkgkgdesciende por la superficie sin rozamiento indicada en lafigufifigufiguragurarara 1111. La velocidad del cuerpo en el puntoAAAAes de3 m/s3 m/s3 m/s3 m/s, la altura de este punto es20 m2020 20mmmel puntoBBBB

tiene una altura de10 10 m10 10 mmmDeterminar la velocidad en el puntoBBBB.

7 77

7 Determinar la alturaHHHHmínima desde la cual se debe soltar un cuerpo de masa para que describa la circunferencia vertical de radioR,R,R,R,de lafigura 2figura 2figura 2figura 2.

8 88

8 Un cuerpo se suelta sobre una superficie semicilíndrica sin rozamiento de radi o R, como muestra la fig ura. Determinar la altura H para la cual el cuerpo se des pega por primera vez de la superficie.

9 99

9 En la figura se muestra la gráfica de la fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función del desplazamiento. Si la velocidad in icial del móvil (en x=0) es de 5 m/s.

Calcular su velocidad en las posiciones x = 4, 10, 14, 18, 22 utilizando los conceptos de este Capitulo.. Resp.: a)6,08 m / s b) 8,54 m /s c) 9,22 m /s d)8,54 m /s e)7,00 m /s 10 10 10

10 Se deja caer sobre un resorte en posición vertical una masa de 0. 5 kg desde 1 m de altura . El muelle tiene una longi tud de 0.5 m y una const a nte de 100 N/m.

Calcular la longitud h del resorte cuando est á comprimido al máximo Resp.: h = 13,4 cm. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 12 1416 18 20 22 Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento uFFFFuuu e r reeerr zz zz aa aa 1 1 m1 1 mmm h h h h 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m A AA A H H H HAAAA B B B B H H H HBBBB Figura 1 Figura 1 Figura 1 Figura 1 R R R R H HH H Figura 2 Figura 2 Figura 2 Figura 2 H H H H R R R R

(14)

11 11 11

11 Una bola de 5 kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s, alcanza una altura de 15 m.

Calcular la pérdida de energía debida a la resistencia del aire. Resp.: 265 j

12 12 12

12 Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0.16. Determinar:

a) La longitud que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para. b) La velocidad que tendrá el bloque al regresar a la base del plano. Resp.: X = 11,5 m V = 9 m /s.

13 13 13

13 Un resorte horizontal tienen una constant e recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

a) La velocidad cuando el resorte esta estirado la mitad.

b) La velocidad cuando el resorte vuelve a estar en su posición de equilibrio.

c) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial. d) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial.

14 14 14

14 Un resorte de constante 1 kgf/cm se encuentra en equilibrio sosteniendo un cuerpo de masa 5 kg. Desde esta posición se estira 10 cm el resorte con el cuerpo y se suelta. Determin ar: a) La velocidad cuando el cuerpo vuelve a pasar por su posición de equilibrio inicial. b) La velocidad cuando el resorte tiene su longitud inicial, y

c) La elongación delresorte c uando el cuerpo se det eine.

15 15 15

15 Determinar cuanto debe compri mirse un resorte de constante igual a49 N/cm49 N/cm49 N/cm49 N/cm,que se encuentra en la base de un plano inclinado30º30º30º30º, para que un cu erpo de masa

500 g, 500 g, 500 g,

500 g,que se comprime contra el resorte, alcance la parte superior del plano inclinado con una velocidad igual a la cuarta parte de la velocidad con que se desprende del resorte. El borde superior del plano

inclinado se encuentra a una altura de111 1 mmmmmedida desde el borde del resorte en su longitud natural. El coeficiente de rozamient o cinetico ent re la superfic ie y el cuerpo es0,40,40,40,4.

16 16 16

16 Un pilote de masa 1000 kg. y longitud L = 3 m, se deja caer desde una altura h = 2 m y penetra en el suelo una distancia d = 50 cm. Calcular la velocidad con que la pun ta del pilote llega al suelo y el valor de la fuerza de resistencia del suelo, suponiendo que es constante. Resp.: V= 6,26m = 49NF h h h h d d d d H 30º

(15)

ImpulsoyCantidaddeMov. 141

P

PA

AR

RA

A P

PE

EN

NS

SA

AR

R

P

PA

AR

RA

A P

PE

EN

NS

SA

AR

R

CI

CIEN

ENCI

CIAS

AS FI

FISI

SICA

CAS

S

CI

CIEN

ENCI

CIAS

AS FI

FISI

SICA

CAS

S

IM

IMPU

PULS

LSO

O Y

Y

IM

IMPU

PULS

LSO

O Y

Y

CANTIDA

CANTIDAD

D DE

DE MOVIM

MOVIMIENTO

IENTO

CANTID

CANTIDAD

AD DE

DE MOVIM

MOVIMIENTO

IENTO

Física para Estudiantes de

Ciencias e

Ciencias e Ingeniería

Ingeniería

Pr

Prof

of.. In

Ing.

g. Gu

Gust

stav

avo

o Ri

Riar

artt O.

O. Pr

(16)

(17)

DINAMICA DE

DINAMICA DE LA MASA

LA MASA PUNTUAL

PUNTUAL

DINAMICA DE

DINAMICA DE LA MASA

LA MASA PUNTUAL

PUNTUAL

IMPUL

IMPULSO Y

SO Y CANT

CANTIDAD DE

IDAD DE MOVI

MOVIMIENT

MIENTO

O

IMPU

IMPULSO Y

LSO Y CANT

CANTIDAD DE

IDAD DE MOVIM

MOVIMIENT

IENTO

O

Newton en laDEFINICIÓN II,DEFINICIÓN II,DEFINICIÓN II,DEFINICIÓN II,previas al enunciado de las Leyes en su libro,“La cantidad“La cantidad“La cantidad“La cantidad de movimiento es la m

de movimiento es la medida deledida del mismo surgida de la velmismo surgida de la velocidad y la cantidad de mocidad y la cantidad de materiaateria de movimiento es la

de movimiento es la medida delmedida del mismo surgida de la velocimismo surgida de la velocidad y la cantidad de matdad y la cantidad de materiaeria conjuntamente”.

conjuntamente”. conjuntamente”. conjuntamente”.

El enunciado de Newton es:"LEY II:"LE"LEY "LEY II:Y IIII:: ElElEl cambio El cacambio de movicambmbiio de movimiento es propoo de movimiento es propode movimientmiento es proporcionao es proporcionarcircionaonall a lll a a llaa laaa fuerza motriz impresa,

fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en que se imprimy se hace en la dirección de la línea recta en que se imprime esae esa fuerza motriz impresa,

fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en que se imprime esay se hace en la dirección de la línea recta en que se imprime esa fuerza”.

fuerza”. fuerza”.

fuerza”.En las primeras interpre taciones de esta Ley, se entendió que el cambio del movimien to es el cambio de v elocid ad, y este e s producido por la aceleración, de alli que la 2ª Ley de N ewton quedo establecida como:

F

F =

= m

m a

a

F

F = m

= m a

a

y por cinemática

a

a =V

a

=V

=

=V

V –

–V

V

0000

,

tttt

F

F=

F== mV

= mV

mV

m

V –

–V

V

0000

=m V

=m

V

V –

–

– m

m

m V

V

0000

tttt

De donde

F

F tttt =

=

= m

=

m

m V

V –

V

–

– m

m

m V

V

0000

Al producto de la fuer za por el tiempo, se denominaIMPULSOIMPULSOIMPULSOIMPULSOy al producto de la masa por la velocidadCANCANTIDCANCANTITIDADTIDADDAD DEAD DEDE MOVDE MOVMOVIMMOVIMIIMIENIMIENTIENTOENTOTOO. Estas dos magnitudes son sumamente útiles cuando las condiciones de interacc ión de los cuerpos no permiten medir la fuerza, ya sea porque la misma es variable y no se puede determinar la Ley que la rige, o porque el tiempo en que actúa es demasiado pequeño y no se puede medir. Esto ocurre por ejemplo en los choques de cuerpos o en las particiones de los átomos en las reacciones en cadena.

Representando el Impulso por

IIII

y la cantidad de movimiento por

P

, la ecuación es

Ecuación que nos indica que para que exista una variación de la cantidad de movimiento, es necesario un impulso , y que este es igua l a la variación de la canti dad de movimiento. Estas magnitudes son vectoriales.

EL

EL IMP

IMPULS

ULSO

O

EL

EL IMP

IMPULS

ULSO

O

El concepto de Impulso como interacción es muy útil cuando las variables fuerza y tiempo, no se pueden determinar experimentalmente. Por ejemplo cuando se golpea un cuerpo, cambia el vector velocidad, que si se puede medir antes y después del golpe. En este caso la fuerza varía desde cero en el instante en que empieza el golpe a un valor máximo, para luego volver a cero cuando termina el golpe. Y el tiempo en que ocurre todo esto es muy pequeño y por lo tanto muy difícil de medir. El gráfico muestra como varia la fu erza en el tiempo en este caso. El área bajo la curva es el Impulso. Si se conoce el impulso y el tiempo se puede calcular una fuerza media (( F(( FFmFmm ))m )), tal que el impulso que produzca en el mismo tiempo sea igual al que produjo el golpe. Esto es que el área bajo la curva sea igual al área del rectángulo formado por Fm y t .

F F F F tttt Fm Fm Fm Fm

III I =

=

= P

P

P –

–

– P

P

0000

III I =

=

= F

=

F

F tttt

F

P

P =

P

=

= m

m

m V

V

Fm = I

// / /

tttt

(18)

CONS

CONSERVA

ERVACION DE

CION DE LA

LA

CONS

CONSERV

ERVACION DE

ACION DE LA

LA

CANTIDAD

CANTIDAD DE

DE MOVIMIENTO

MOVIMIENTO

CANTIDAD

CANTIDAD DE

DE MOVIMIENTO

MOVIMIENTO

ElCOCOROCOCOROROLAROLALARILARIRIORIOO IIO IIIII,III,I,I,de Newton dice"La cantidad de movimiento que se obtiene"La cantidad de movimiento que se obtiene"La cantidad de movimiento que se obtiene"La cantidad de movimiento que se obtiene tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes,

tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes, y la diferenciay la diferencia tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes,

tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes, y la diferenciay la diferencia de aquello

de aquello de aquellos dirigido

de aquellos dirigidos dirigidos hacia partes cons dirigidos hacia partes cons hacia partes contrarias hacia partes contrariatrarias no sufre alteractrarias no sufre alteracs no sufre alteración por la accións no sufre alteración por la acciónión ión por por la ala accicciónón de lde losde losde losos cuerpos entre sí",

cuerpos entre sí", cuerpos entre sí",

cuerpos entre sí",y es muy interesante su explicación de este corolario.

Cuando no hay impulso, no se produce una variación de la cantidad de movimiento. Es decir

P

P –

–

– P

–

P

0000

=

= 0

=

= 0

0

y resulta que

P

P =

P

= P

=

= P

P

0000

El hecho de que la cantidad del movimiento no cambie es conocido como

PRINCIPIO

DE

DE CON

CONSE

SERVA

RVACIO

CION D

N DE

E LA

LA CAN

CANTID

TIDAD

AD DE

DE MOV

MOVIMIE

IMIENTO

NTO,,

DE

DE CON

CONSE

SERV

RVACI

ACION

ON DE

DE LA

LA CAN

CANTID

TIDAD

AD DE

DE MOV

MOVIMI

IMIENT

ENTO,

O,

que es una de las conservaciones que estudia la mecánica.

Si un cuerpo de masammmmtiene una velocidadVo,Vo,Vo,Vo,el cuerpo tienen una cantidad de movimiento

P

0000

=

= m

=

= m

m V

V

0000

Por alguna causa interna, sin que actúe un impulso externo; una partemmmm1111de la masa adquiere una velocidadVVVV1111, y con ello tiene una cantidad de movimientoPPPP1111=== = mmmm1111VVVV1111; la masammmm2222 restante adquirirá una velocidadVVVV2222, y tiene una cantidad de movimientoPPPP2222= m== =mmm2222VVVV2222de forma tal que la cantidad de movimie nto antes de partirse el cuerpo

P

0 es igual a la cantidad de movimiento000 después

P

.

P

1111

+

+ P

P

2222

= P

=

P

P =

=

= P

P

0000

....

Es muy importante entender que el impulso es provocado por una fuerza externa al sistema en estudio. En ningún caso se puede considerar al impulso como consecuencia de fuerzas internas. Si se quiere cons iderar el impulso srcin ado por una fuerza interna, se debe sep arar las partes de forma tal a considerar cada parte como independiente de la otra y que la fuerza que provoca el impulso de una part e es igual y contraria a la que pro voca el impulso de la otra (p or acción y reacción). Esto es que los Impulsos son iguales y de sentido contrario sobre cada parte

P P P P1111+ + P+ P+ PP2222= P = Po= P = Po= P = Po= P = Po P P P P1111 PPPP 2 2 2 2 P P P P2222 Po Po Po Po P P P P1111 Figura 1 Figura 1 Figura 1 Figura 1 El sistema es el cuerpo completo y sobre el no actúa

ningún impulso.

Figura 2 Figura 2 Figura 2 Figura 2

Los sistemas en estudios son dos partes del mismo cuerpo, y los Impulsos son iguales y contrarios

IIII IIII

(19)

De hecho estos son los conceptos desarrollados por Newton, que en la explicación de su

LEY II LEY II LEY II

LEY IIdice,"..".... tan".... tan".. tanto sitanto sito si la futo si la fula fuerzla fuerzerza es imerza es ima es im prea es im prepresa enpresa ensa en tersa entertera y a la vetera y a la vea y a la ve z coma y a la ve z comz como siz como sio si lo es go si lo es glo es gradlo es gradradualradualual yual yyy sucesivamente."

sucesivamente." sucesivamente."

sucesivamente."Es decir o un impulso o una fuerza.

CENT

CENTRO DE

RO DE MASA

MASA

CENT

CENTRO DE

RO DE MASA

MASA

La pregunta es ¿Si cada parte tiene una velocidad distinta y por lo tanto una cantidad de movimiento distinta, que significado tiene la suma de estas cantidades de movimiento?

Si

P

P =

= P

=

= P

P

1111

+

+ P

+

+ P

P

2222

m V

m V = m

= m

m V

m V = m

= m

1111

V

1111

+

+ m

+

m

2222

V

2222 Donde cada velocidad es el desplazamiento en la unidad de tiempo.

Δ

V

V =

=

Δ

r r rr / / tt

/ / tt

Entonces

m

m Δr

Δr

Δr ==== m

m

1111

Δr

1111

+

+ m

m

2222

Δr

2222

tttt

Y como

m

m ==== m

m

1111

+

+ m

+

+ m

m

2222 y

tttt

es el mismo, resulta

(((( m

m

1111

+

+ m

m

2222

)))) Δr

Δr

Δr ==== m

m

1111

Δr

1111

+ m

+

+ m

+

m

2222

Δr

2222

Δr

Δr ==== r r rr –– – – r r r r

0000

y

si

r r r r

0000

_{= 0}

₌

0

0 Δr

Δr

Δr ==== r r r r

Entonces

(((( m

m

1111

+ m

+

m

2222))))

_{r r r r ==== m}

m

1111

r r r r

1111

+

+ m

+

m

2222

r r r r

2222

El vector de pos iciónrrrrindica la posición de la masa total del cuerpo(m(m(m(m1111+ m+ ++mmm2222).).).).Este punto, en el cual debería encontrarse una masa puntual igual a la suma de las masas de las partes del cuerpo es el Centro de Masa.Centro de Masa.Centro de Masa.Centro de Masa.De esta forma lacancancantidacantidatidadtidadd ded ddedee momovimienmovimienmovviimientomientototo, suma de las cantidades de movimiento de las dos masas consideradas, es lacantidad de movimiento delcantidad de movimiento delcantidad de movimiento delcantidad de movimiento del centro de masa

centro de masa centro de masa centro de masa.

Que la cantidad de movimiento se conserve, significa que la cantidad de movimiento del centro de masa, antes de que el cuerpo se parta en dos pedazos y después de partirse es la misma. Consecuentemente la velocid ad del centro masa antes y después de que oc urra el fenómeno es la misma.

Consecuencia de esto es que, si el cuerpo tiene uno de los movimientos estudiados anteriormente en cinemática, el centro de masa seguirá con el mismo movimiento después de que por algún fenómeno las partes del cuerpo cambien su movimiento, siempre que el mismo no se deba a una causa externa.

Hasta esta parte, el estudio de la mecánica realiz ado se refiere a masas puntuales, es decir, a masas conce ntradas en un punto. En realidad el estudio de la mecánica de tras lación, es el estudio del comportamiento del centro de masa de los cuerpos. Esta es la mecánic a considerada hasta acá, excepto cuando en estát ica se consid era el momento, pues, en este caso se consi deran las dimensiones del cuerpo. En Capítulos siguientes estudiaremos las masas no puntuales.