Examen de Física Cuántica I

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS 9 de Junio de 2017

Examen de F´

ısica Cu´

antica I

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Los alumnos que se presentan a toda la asignaturatienen que hacer todo el examen. Son 300 puntos normalizables a 10.

Alumnos que se presentan s´olo al segundo parcial: Todo excepto C1, C2. Son 230 puntos nor-malizables a 10.

En algunas cuestiones s´olo hay que escribir en el recuadro dispuesto. Otras son de hacer las cuentas con pasos intermedios. Algunas ayudas est´an al final de los enunciados.

C1 [40 puntos] i) Calcular en el estado n-simo de un oscilador arm´onico unidimensional el valor esperado_hn_|P4

|n_i. utilizandoP en t´erminos de los operatoresa, a†_{,Ayuda: Simplifica mucho}

los c´alculos utilizar que_hn_|P4

|n_i=_hP2 n_|P2

n_i. ii) Calcular el valor esperado deP2 X2

+X2 P2

en el estado fundamemtal n= 0.

C2 [30 puntos] Sea un estado v combinaci´on lineal de tres vectores ortonormales u1, u2, u3 dado por |v_i= √1 15|u1i+ i √ 3|u2i+ 1 √ 5|u3i,

donde los un son propios de un operador B tal que B|uni = (3n2 −1)|uni con i = 1,2,3.

Encontrar el valor esperado deBen el estado_|v_i, el valor esperado deB2

y la indeterminaci´on. Escriba s´olo el resultado:

hB_i= _hB2

i= ∆VB =

C3 [30 puntos] Una part´ıcula de masamse mueve en un pozo infinito, vea pizarra, cuyo potencial es cero en el intervalo [a,3a] e infinito fuera. Su funci´on de onda en un instante inicialt= 0 es

ψ(t= 0) = _√1

2(ψ1−ψ2),

donde ψ1, ψ2 corresponden al estado fundamental y primer estado excitado del pozo. Escribir la densidad de probabilidad ρ(x, t) asociada al estado ψen un instante t >0.

C4 [30 puntos] Calcular los siguientes conmutadores. Escriba s´olo el resultado:

[Lx, z] = [Ly, z] = [Lz, z] =

C5 [30 puntos] Se lanza un haz de part´ıculas de masa m sobre el potencial que se indica en la pizarra. Las part´ıculas se lanzan de izquierda a derecha. Escribir a) la soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger con las amplitudes y n´umero de ondas k correspondientes en cada trozo del

potencial, b) la relaci´on de conservaci´on que cumplen los cuadrados de los n´umeros de ondas y c)los coeficientes de reflexi´on y de transmision en funcion de las amplitudes y las k′_{s. No}

hace falta unir con continuidad las distintas soluciones.

P1 [50 puntos] Una part´ıcula de masa m sometida a un potencial unidimensional V(x) tiene Hamiltoniano dado por

H= P

2

2m +V(x),

donde el primer t´ermino representa la energ´ıa cin´etica K =P2_/2m.

a) Sabiendo que [X, P] = i¯h, calcular el conmutador [H, XP]. Ayuda: Emplear la regla de Leibnitz que es muy r´apida.

b) Utilizar el resultado obtenido para probar que sobre estados estacionarios ψ del Hamiltoni-ano, es decir, estados tal que Hψ=Eψ se cumple que

h2K_i=_hf(x)_i

donde f(x) es una funci´on que depende de V(x). Averiguar f(x). Si usted lo ha hecho bien habr´a demostrado el teorema del virial_.

c) Aplicar dicho teorema al oscilador arm´onico y probar que sobre el estado n-´esimo del os-cilador se cumple _hK_in=_hV_in

d) Aplicar dicho teorema al problema del parcial cuyo potencial era

V(x) = ¯h 2 m 1 x2 − 2 ax

siendo auna constante dada. Encontrar la relaci´on entre _hK_i y_hV_ien ete caso. P2 [90 puntos] La funci´on de onda de una part´ıcula en un potencial central es

ψ=N xyz e−r2/a2,

donde N, ason constantes,atiene dimensiones de longitud y r2

=x2

+y2

+z2

. 1) Escribir el contenido de ψ en arm´onicos esf´ericos. 2) Escribir expl´ıcitamente en las variables x, y, z uno de los arm´onicos esf´ericos que resultan en el apartado anterior, el que usted quiera. No hace falta que lo normalice. Recuerde que aplicando los operadores L± a un Y_lm conocido se

pueden sacar otros. 3) ¿Qu´e valores deLzse pueden medir enψy con qu´e probabilidad? (Aqu´ı

s´ı que tiene que normalizar). 4) Calcular los valores esperados _hLz_i y_hL2

zi sobreψ. 5) Lea el siguiente razonamiento: “como el estado de partida, arriba del todo, no cambia al permutar las variables x, y, z, es de esperar que_hL_xi=_hL_yi=_hL_ziy que_hL2

xi=_hL2

yi=hL2zi”. ¿Es esto

cierto?. Calcule los cuatro valores medios restantes y responda. Usted puede necesitar (o no) alguno de los siguientes datos:

En la siguiente lista de arm´onicos esf´ericos, θ, ϕ son los ´angulos polar y azimutal, respectiva-mente, de las coordenadas esf´ericas.

Y_l−m(θ, ϕ) = (₋1)mY_lm(θ, ϕ)∗

Asterisco significa el complejo conjugado. Esta relaci´on viene a decir que la constante de normalizacion de Y_l−m es la misma que la de Ym

l si m es par y la opuesta si m es impar. Y

siempre se toman reales. Y0 0 = 1 √ 4π, Y 0 1 = r 3 4π cosθ, Y 1 1 =− r 3 8πsinθ e i ϕ_{, Y}−1 1 =−Y 1 1 ∗ , Y0 2 = r 5 4π 3 2cos 2 θ₋1 2 , Y21 =− r 15 8π sinθcosθ e i ϕ_{, Y}−1 2 =−Y 1 2 ∗ , Y2 2 = 1 4 r 15 2πsin 2 θ e2i ϕ_{, Y}−2 2 =Y 2 2 ∗ . L+Y_lm=pl(l+ 1)₋m(m+ 1) ¯h Ym+1 l , L−Ylm = p l(l+ 1)₋m(m₋1) ¯h Ym−1 l . P =₋i¯h d dx, [A, B]≡AB−BA, [X, P] =i¯h

Oscilador arm´onico

H= P 2 2m + 1 2mω 2 X2, l= r ¯ h mω H_|n_i=E_n|n_i, En= ¯hω(n+ 1 2), a= √iP 2m¯hω+ r mω 2¯h X, a †_{= √}−iP 2m¯hω + r mω 2¯h X, [a, a †_{] = 1.} 3