0.1 Ecuaciones de Lax y Par de Lax

Daniel Ju´arez Robles Ecuaciones Diferenciales Parciales

0.1 Ecuaciones de Lax y Par de Lax

En 1895, Korteweg y de Vries estudiaron el movimiento de fluidos en canales longitudinales con poca profundidad obteniendo una ecuaci´on no lineal que propusieron como modelo matem´atico para la propagaci´on de ondas no lineales

ut− 6uux+ uxxx= 0 donde u es la amplitud de onda.

Esta ecuaci´on permaneci´o confinada en los libros de mec´anica de fluidos durante bastantes a˜nos hasta que primero Zabusky y Kruskal en 1965 y luego Gardner et al. en 1967 la redescubrieron y probaron que ten´ıa soluciones con comportamiento altamente regular que denominaron ondas solitarias o solitones. Esto llevo a considerar la ecuaci´on de KdV como la ecuaci´on de un sistema Hamiltoniano integrable con infinitos grados de libertad y a considerar que las propiedades peculiares de las soluciones eran consecuencia de la existencia de infinitas leyes de conservaci´on. Lax extudi´o este problema en 1968 y prob´o que la ecuaci´on de KdV (y otras ecuaciones similares) se pod´ıa obtener como la condici´on de integrabilidad entre ciertos pares de operadores diferenciales y que adem´as implicaba que el espectro de ciertos operadores se manten´ıa constante.

Por consiguiente, tanto lo que luego se llamar´ıan pares de Lax como las evoluciones que preservan el espectro de un operador, fueron obtenidas primeramente en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales asociadas a sistemas no lineales con infinitos grados de libertad. Posteriormente estas dos ideas fueron utilizadas para el estudio de la integrabilidad de sistemas Hamiltonianos con un n´umero finito n de grados de libertad.

Relevancia del par de Lax. El descubrimiento de la dispersi´on el´astica de solitones de la ecuaci´on KdV se convirtio a la larga en un gran progreso te´orico ya que provey´o de un m´etodo para resolver anal´ıticamente sistemas no lineales. El descubrimiento te´orico original fue hecho en la Universidad de Princeton, en los Estados Unidos por Gardner, Greene, Kruskal y Miura. Posteriormente otros investigadores clarificaron y simplificaron la teor´ıa y, en ´ultima instancia, construyeron muchos m´as ejemplos de estos sistemas especiales. Uno de los primeros art´ıculos de investigaci´on que tuvo una enorme influencia en el desarrollo del tema fue precisamente el art´ıculo de 1968 de Peter Lax. Anteriormente Gardner, Greenem Kruskal y Miura hab´ıan hallado que los valores propios del operador de Schr¨odinger eran constantes de tiempo si u(t) evolucionaba de acuerdo con la ecuaci´on KdV. Los primeros art´ıculos de investigaci´on en el ´area eran complicados dados los extensos c´alculos que acompa˜naron los descubrimientos originales. Lax simplific´o y clarific´o conceptualmente la situaci´on introduciendo el esquema de Heisenberg o de operadores que ahora se conoce como par de Lax.

0.2 Pares de Lax

Consideremos una matriz A cuyos elementos Aij son funciones definidas en el espacio de fases (ver secci´on 0.4.1). Supongamos que existe una matriz B tal que la evoluci´on temporal de la matriz A viene dada por:

d

dtA = BA − AB = [B, A] donde [B, A] denota al conmutador de las matrices B y A.

En este caso se dice que estas dos matrices forman un par de Lax y la ecuaci´on de evoluci´on de la matriz A se denomina ecuaci´on de Lax.

Por otra parte, si la traza de un conmutador es nula, esto es,

tr[B, A] = tr(BA − AB) = tr(BA) − tr(AB) = 0 ,

de lo que se deduce que si un sistema admite una representaci´on de Lax entonces la traza de la matriz A es constante del movimiento

I₁= trA, ^d dt^{I1= 0}

Si las matrices (A, B) son un par de Lax entonces (A², B) tambi´en es un par de Lax, como se mostrar´a a continuaci´on:

d dt^A

2_{= ˙AA + A ˙A =} [B, A]A + A[B, A]

= (BA − AB)A + A(BA − AB)

= BA²− A²B

= [B, A²]

Esta propiedad se puede generalizar f´acilmente para potencias de orden superior de la matriz A. En efecto, supongamos que (A^m−1, B), m > 1, es un par de Lax. Entonces se cumple que:

d dt^A

m_{= ˙AA}m−1_{+ A}^d

dt^A

m−1 _{= [B, A]A}m−1_{+ A[B, A}m−1_]

= (BA − AB)A^m−1+ A(BA^m−1− A^m−1B)

= BA^m− A^mB

= [B, A^m]

 Por consiguiente (A^m, B) tambi´en es un par de Lax. Como consecuencia de esto se puede afirmar la siguiente propiedad.

Proposici´on 1 Si un sistema din´amico admite un par de Lax (A, B) entonces las funciones definidas de la forma

I1= trA, I2= trA², ..., In= trAⁿ, son constantes del movimiento

d

dt^{Ik= 0,} k = 1, 2, ..., n

0.3 Ecuaciones de Lax y evoluciones espectrales

0.3.1 Evoluciones isoespectrales

Supongamos que la evoluci´on temporal de la matriz A viene dada por d

dtA = BA − AB Consideremos una matriz P definida de la forma

d

dt^{P = BP, P (0) = I}

se trata de una ecuaci´on diferencial lineal con condiciones iniciales; por consiguiente la soluci´on P (t) est´a bien definida y es ´unica. Por otra parte, esto significa que la matriz B se puede expresar de la forma

B =^{ d} dt^P



P⁻¹= ˙P P⁻¹ .

Consideremos que la matriz AP definida de la siguiente forma A_P = P⁻¹AP y calculemos su evoluci´on temporal

d dt ^P

−1_{AP
= ˙P}−1_{AP + P}−1_{AP + P˙} −1_{A ˙P}

teniendo en cuenta que

d dt ^P

−1_{P
= ˙P}−1_{P + P}−1_{P = 0˙}

o bien

P˙⁻¹P + P⁻¹P = 0^˙ ⇒ P^˙−1= −P⁻¹P P^{˙ −1} sustituyendo la expresi´on anterior se obtiene

d dt ^P

−1_AP
=^_−P−1_{P P˙} −1^_{AP + P}−1(BA − AB) P + P⁻¹A ˙P d

dt ^P

−1_{AP
= −P}−1_{P P˙} −1_{AP + P}−1_{BAP − P}−1_{ABP + P}−1_ABP

d dt ^P

−1_{AP
= P}−1^_{− ˙P P}−1_{A + BA}^_P

d dt ^P

−1_{AP
= P}−1(−BA + BA) P = 0

Esto significa que la matriz AP = P⁻¹AP se mantiene constante a lo largo del tiempo. Consecu´entemente, su valor en un instante arbitrario t ser´a el mismo que ten´ıa en el instante inicial

P⁻¹AP (t) = P⁻¹AP (0) = A(0) Esto significa que la evoluci´on temporal de la matriz A es de la forma

A(t) = P A(0)P⁻¹ ,

lo que significa que las matrices A(t) y A(0) son similares. Recordemos que las matrices similares tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Por consiguiente, la matriz A(t) y la matriz A(0) tienen los mismos valores propios, o lo que es lo mismo, los valores propios λi, i = 1, 2, ..., n, se mantienen constantes a lo largo de la evoluci´on temporal

d

dt^{λi= 0,} i = 1, 2, ..., n

En este caso decimos que la evoluci´on temporal de la matriz A gobernada por una ecuaci´on de Lax es isoespectral, lo que significa que el espectro es preservado por la evoluci´on temporal.

0.3.2 Propiedades y observaciones

1. Un par de Lax no es ´unico. M´as concretamente, dado un par de Lax (A, B) siempre se puede construir una familia de pares de Lax.

Consideremos la ecuaci´on

d

dtA = BA − AB y denotemos Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma

Ag= gAg⁻¹, Bg= gBg⁻¹+ ˙gg⁻¹ (1) donde g es una matriz regular (invertible) definida en el espacio de fases. Entonces la siguiente ecuaci´on de Lax tambi´en es cierta

d

dt^{Ag= BgAg− AgBg} Demostraci´on

Sustituyendo las expresiones para Ag y Bg en la expresi´on anterior se tiene:

BgAg− AgBg = gBg⁻¹+ ˙gg⁻¹
gAg⁻¹
− gAg⁻¹
gBg⁻¹+ ˙gg⁻¹

= gBg⁻¹gAg⁻¹+ ˙gg⁻¹gAg⁻¹− gAg⁻¹gBg⁻¹+ gAg⁻¹˙gg⁻¹

= gBAg⁻¹+ ˙gAg⁻¹− gABg⁻¹+ gAg⁻¹˙gg⁻¹

= g (BA − AB) g⁻¹+ ˙gAg⁻¹+ gAg⁻¹˙gg⁻¹

= ˙gAg⁻¹+ g ˙Ag⁻¹+ gAg⁻¹˙gg⁻¹

Analizando el ´ultimo t´ermino se observa que ´este corresponde a la derivada de g⁻¹, ya que: d

dt^g

−1₌ ^d

dt

 1 g



= ^˙g gg ^{= g}

−1_˙gg−1

Sustituyendo se obtiene

B_gA_g− Ag^Bg ^{= ˙gAg−1+ g ˙Ag−1+ gA ˙g−1}

BgAg− AgBg = ^d dt ^gAg

−1
BgAg− AgBg = ^d

dt^Ag

 Las matrices A y Ag son similares y poseen los mismos valores propios.

La transformaci´on (A, B) → (Ag, Bg), definida por las Ecs. 1, se denomina transformaci´on gauge de la ecuaci´on de Lax.

2. Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido de Arnold-Liouville admite una representaci´on de Lax.

En la mec´anica cl´asica el estado de un sistema queda determinado por un punto en su espacio fase. Este es generalmente un espacio de dimensi´on par con coordenadas de posici´on qi y momentum pi. El Hamiltoniano es una funci´on en el espacio fase, denotado por H (pi, qi). Las ecuaciones de movimiento es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que toma la forma del Hamiltoniano:

˙ q_i =^∂H

∂pi

˙

p_i= −^∂H

∂qi

donde el punto representa la derivada temporal. Para una funci´on F (p, q) en el espacio fase, esto implica que F (p(t), q(t)) cumple:

dF

dt ^{= {H, F }}

donde para cualesquiera dos funciones F y G, el bracket de Poisson, {, }, esta definido como:

{F, G} ≡^X

i

∂F

∂pi

∂G

∂qi

−^∂G

∂pi

∂F

∂qi

Para las coordenas pi y qi mismas tenemos

{q_i, q_j} = 0, {p_i, p_j} = 0, {p_i, q_j} = δij

La cantidad H(p, q) se conserva autom´aticamente bajo la evoluci´on del tiempo, _dt^dH(p, q) = 0, por lo tanto, es una constante de movimiento.

Una vez definido lo anterior, supongamos que un sistema posee n constantes de movimiento en involuci´on

F1, F2, . . . , Fn donde ^d

dt^{Fj = 0 y {Fi, Fj} = 0}

entonces existe, al menos localmente, un sistema de coordenadas conjugadas, tambien conocidas como variables de acci´on - ´angulo (ver secci´on 0.4.5),

(q_i, p_i) → (θ_i, I_i)

donde las funciones Ii dependen ´unicamente de las funciones constantes Fj. En este nuevo sistema las ecuaciones del movimiento son

d dt^θj=

∂H

∂Ij

, ^d

dt^{Ij= 0} Pues bien en este caso se puede construir una ecuaci´on matricial del tipo

d

dtL = M L − LM

de tal forma que ambas ecuaciones sean equivalentes. Esto significa que (L, M ) forman un par de Lax para el Hamiltoniano H. A continuaci´on se indica como hacer esta construcci´on de manera tautol´ogica. Consideremos un sistema Hamiltoniano de dimensi´on finita, con n grados de libertad, un bracket de Poisson {, } y un Hamiltoniano H. Suponga que este sistema es integrable en el sentido de Liouville, lo cual significa que este posee n integrales independientes de movimiento F_i, i = 1, . . . , n, en involuci´on. El teorema de Liouville establece que existe, al menos localmente, un sistema de coordenadas conjugadas I_i, θ_i, i = 1, . . . , n, donde I_j son funciones solo de F_i. En estas coordenadas, las ecuaciones de movimiento toman una forma muy simple:

I˙j = 0 θ^˙j =^∂H

∂Ij

(2) Introduciendo el algebra de Lie generado por {Hi, Ei, i = 1, . . . , n} con las relaciones

[H_i, H_j] = 0, [H_i, E_j] = 2δ_ijE_j, [E_i, E_j] = 0

Esta algebra de Lie tiene una representaci´on natural en las matrices de 2n × 2n. Si definimos:

L =

n

X

j=1

IjHj+ 2HjθjEj, M = −

n

X

j=1

∂H

∂I_j^Ej

entonces la ecuaci´on ˙L = [M, L] es equivalente a la Ec. 2. As´ı L y M forma un par de Lax. Si bien, esta construcci´on es formal, carece de utilidad ya que requiere el conocimiento previo de las variables acci´on -

´

angulo para poder construir el par de Lax, pero si estas son conocidas, el par de Lax deja de ser necesario. 3. La utilizacion de pares de Lax es particularmente ´util en el estudio de sistemas integrables no separa- bles; esto es, sistemas cuya ecuaci´on de Hamilton-Jacobi es complicada pero que poseen constantes del movimiento de orden superior.

0.3.3 Ejemplos

Oscilador arm´onico [ 4 ] Sean

A =

 p ωq

ωq −p

 y B =

 0 −ω/2

ω/2 0



Este par de Lax es equivalente a las ecuaciones de movimiento de un oscilador arm´onico:

˙ q = p

˙

p = −ω²p cuyo Hamiltoniano esta dado por:

H(p, q) = ^p

2

2 ⁺ ω²q²

2

A continuaci´on se mostrara que el Hamiltoniano H se puede escribir como T r A²
/4. Primeramente, calculamos A²:

A²=

 p ωq

ωq −p

  p ωq ωq −p



A²=

 p²+ ω²q² 0 0 p²+ ω²q²



Por lo tanto:

tr(A²) = 2 p²+ 2ω²q²
obteniendo finalmente que:

H(p, q) = ¹ 4^tr(A

2_{) =} ^p2

2 ⁺ ω²q²

2 Por otra parte,

A³= A ∗ A²

A³=

 p ωq

ωq −p

  p²+ ω²q² 0 0 p²+ ω²q²



A³=

 p³+ pω²q² ωqp²+ ω³q³ ωqp²+ ω³q³ −p³− pω²q²



Por lo tanto:

tr(A³) = p³+ pω²q²
+ −p³− pω²q²

tr(A³) = 0

De tal forma que para este ejemplo las cantidades que se conservan son H(p, q) = (1/4)]tr(A²) y tr(A³) = 0

Este ejemplo se puede generalizar a un n´umero de n osciladores arm´onicos independientes escribiendo L y M en forma diagonal por bloques. Cada bloque es una matriz de 2 × 2 como las mostradas anteriormente. En este caso las cantidades que se conservan son:

T r L^2p
= 2^X p²_i + ω²q²_i
^p y T r L^2p+1
= 0

Este mismo problema puede ser abordado desde el punto de vista de las variables de acci´on - ´angulo como sigue. El espacio fase para un solo oscilador arm´onico es de dimension 2 y, como ya se indic´o antes, el Hamil- toniano esta dado por

H = ¹ 2 ^p

2_{+ ω}2_q2

con el bracket de Poisson definido por {p, q} = 1. El espacio fase, definido por la ecuaci´on del Hamiltoniano esta formado por elipses H = E excepto en el punto (0, 0). Un sistema coordenado adaptado ρ, θ esta dado por:

p = ρcosθ, q = ^ρ ω^sinθ

con un bracket de Poisson, que nunca se anula, definido por {ρ, θ} = ^ρ_ω. En estas coordenadas, las variables ρ y θ quedan definidas como:

H = E = ¹ 2 ^p

2_{+ ω}2_q2
₌ ¹

2



ρ²cos²θ + ω^2ρ

2

ω^2sin

2_θ



= ^ρ

2

2 ^{=⇒ ρ =}

√ 2E Mientras que θ queda definido por:

θ = ωt + θ₀ es decir, el flujo tiene lugar por fuera de las elipses.

Esto puede ser generalizado de manera directa a una suma directa de n osciladores arm´onicos con

H =

n

X

i=1

1 2 ^p

2 i ^{+ ω}

2 i^q

2 i

Tenemos n cantidades conservadas en involuci´on, Fi = ¹₂ p²_i + ω_i²q_i²
, y un nivel de variedad Mf, i.e., el conjunto de los puntos del espacio fase tales que Fi= fi, es un toro real n-dimensional, el cual es expl´ıcitamente un producto cartesiano de n c´ırculos topol´ogicos.

Ecuaci´on de Korteweg-de Vries (KdV)

La formulaci´on en t´erminos del par de Lax, de la evoluci´on temporal de un sistema din´amico, fue desarrollada por Peter Lax en el contexto de la propagaci´on de ondas no lineales en medios continuos. En el m´etodo de la dispersi´on inversa se hace uso del par de Lax para resolver una gran variedad de sistemas no lineales que aparecen en la f´ısica. De particular importancia es la ecuaci´on KdV:

∂u

∂t ⁺

∂³u

∂x^{3 + u}

∂u

∂x ^{= 0}

La ecuaci´on KdV tiene soluciones suaves para todo tiempo (positivo o negativo) dada una condici´on inicial que tambi´en sea suficientemente suave, i.e. C³. La soluci´on de onda solitaria es una soluci´on especial dada por la siguiente expresi´on.

u (x, t) = 12c²sech²c x − 4c²t
^

estas ondas se mueven a la derecha con una velocidad 4c². Observese que la amplitud depende de la rapidez de la onda; es decir, entre mayor sea la amplitud de las ondas mayor sera la velocidad de la onda.

Para poder ver como es que la ecuaci´on de Lax y su par asociado est´an relacionados con la ecuaci´on KdV considere los siguientes operadores diferenciales:

B = −6 ^d

2

dx^{2 − u y A = −4}

d³ dx^{3 − u}

d dx ⁻

1 2^ux

Ecuaci´on de Schr¨odinger [2]

Existen ecuaciones no lineales que puedes ser escritas como la condici´on de compatibilidad de ecuaciones lineales. Tal clase de ecuaciones son llamadas integrables y la ecuaciones lineales asociadas se conocen como pares de Lax.

El prototipo de una ecuaci´on integrable es la celebre ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger:

iqt+ qxx+ 2λ|q|²q = 0, λ = ±1, _{x ∈ R,} t > 0, (3) donde q(x, t) ∈ C. El par de Lax asociado consiste de las siguientes dos ecuaciones lineales satisfechas por la funci´on M (x, t, k) evaluada en las matrices de 2 × 2:

( Mx+ ik [σ3, M ] = QM

Mt+ 2ik²[σ3, M ] = ˜QM, _{k ∈ C} ⁽⁴⁾

donde:

σ3=

 1 0 0 −1



Q =

 0 q

λ¯q 0



Q = 2kQ − iQ˜ xσ3− λi|q|²σ3

y k ∈ C es un par´ametro arbitrario. Para una funci´on dada q(x, t), la Ec. 4 constituye un sistema de dos ecuaciones para una ´unica funci´on M (x, t, k). As´ı, este sistema sobredeterminado no tiene soluci´on a menos que las Ecs. 4 sean compatibles. Resulta entonces que este es el caso de si y solo si la funci´on q(x, t) satisface la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger, Ec.3. Esto implica que la ecuaci´on no lineal, Ec. 3, es equivalente a las ecuaciones lineales 4. AS´ı, la ecuaci´on 3 ha sido linealizada y por lo tanto, la soluci´on de cualquier problema relacionado con la Ec. 3 puede ser reducido a la soluci´on de un problema asociado al par de Lax, Ec. 4.

Par de Lax para EDPs lineales de evoluci´on en el espacio de una variable

El m´etodo espectral o tambi´en conocido como transformada de dispersi´on inversa (IST, por sus siglas en ingl´es) parece ser muy diferente al m´etodo de la transformada de Fourier. De hecho, el m´etodo previo es una consecuencia de la aproximac´on referente al de la separaci´on de variables. Por ejemplo, la ecuacion linealizada correspondiente a la ecuaci´on 3 NLS es la ecuaci´on:

iut+ uxx= 0, _{x ∈ R,} t > 0, (5)

Haciendo que u(x, t) = X(x; k)T (t; k), encontramos que: d²X

dx^{2 − k}

2X = 0, ^dT dt ^{+ ik}

2T = 0, _{k ∈ C} (6)

La soluci´on u(x, t) puede ser construida de X y T por medio de superposici´on. Esto mismo puede ser logrado de una manera sistem´atica y rigurosa usando la teor´ıa espectral. En particular, el an´alisis espectral de las Ecs. 6 con x ∈ R y con condiciones de decaimiento como |x| → ∞ conduce al par de la transformada de Fourier.

Por otra parte, el m´etodo IST esta basado en el an´alisis espectral de la Ec. 3. Esto sugiere que el para de Lax representa un tipo de separabilidad m´as profundo. Gel’fand and Fokas han enfatizado que la evoluci´on lineal de la EDPs tambi´en poseen una formulaci´on en t´erminos de pares de Lax. A´un m´as, esta formulaci´on conduce a la soluci´on del problema de valor inicial de una manera que es conceptualmente identica al m´etodo IST. El par de Lax para la Ec.5 esta dado por las siguientes dos ecuaciones, satisfechas por la funcion escalar µ(x, t, k)

( µx+ ikµ = u

µ_t+ ik²µ = iu_x+ ku, _{k ∈ C} ⁽⁷⁾

Las Ecs. 7 son compatibles si y solo si u satisface la Ec. 5. De hecho, las Ecs. 7 pueden ser reescritas in la forma









µe^ikx+ik2t

x^{= ue}

ikx+ik²t_,

µe^ikx+ik2t

t

= (iu_x+ ku) e^ikx+ik2t

(8)

As´ı,



µe^ikx+ik2t

xt

−^µe^ikx+ik2t

tx

=^hue^ikx+ik2ti

t

−^h(iux+ ku) e^ikx+ik2ti

x



µe^ikx+ik2t

xt⁻



µe^ikx+ik2t

tx^{= (ut− iuxx) e} ikx+ik²t

(9)

Como se observa del lado derecho de la ecuaci´on, para que el sistema definido anteriormente tenga soluci´on

´

unica es necesario que la igualdad anterior se cumpla. Esto implica que la ecuaci´on diferencial siguiente se debe satisfacer.

ut− iuxx= 0

Por lo tanto, la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger surge como la condici´on de compatibilidad para que el sistema asociado al par de Lax tenga soluci´on ´unica.

0.4 Ap´ endice

0.4.1 Espacio fase [6]

En mec´anica cl´asica, el espacio f´asico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcci´on matem´atica que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de part´ıculas. M´as t´ecnicamente, el espacio de fases es una variedad diferenciable de dimensi´on par, tal que las coordenadas de cada punto representan tanto las posiciones generalizadas como sus momentos conjugados correspondientes. Es decir, cada punto del espacio f´asico representa un estado del sistema f´ısico. Ese estado f´ısico vendr´a caracterizado por la posici´on de cada una de las part´ıculas y sus respectivos momentos.

0.4.2 Grados de libertad y constantes de movimiento

Consideremos un sistema de n grados de libertad caracterizado por un Lagrangiano L. Es conocido que las soluciones de las ecuaciones de Lagrange

d dt

 ∂L

∂ ˙qi



− ^∂L

∂qi

= 0, i = 1, 2, ..., n

se pueden interpretar geom´etricamente como las ecuaciones param´etricas qi= qi(t) de una familia de curvas en el espacio de configuraci´on Q y an´alogamente el par qi= qi(t), pi= pi(t), como las ecuaciones de una familia de curvas en el espacio de fases TQ.

Digamos que una constante del movimiento es una funci´on que satisface cierta propiedad que puede ser caracterizada de forma anal´ıtica o de forma geom´etrica.

1. Anal´ıticamente: La funci´on F = F (q, v, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano L si se cumple d

dt^{F =} X

j

 ∂F

∂qj



pj+^{ ∂F}

∂pj

 dp_j dt ⁺

∂F

∂t ^{= 0}

donde ^dp_dt^j son las aceleraciones cuyo valor se deduce de las ecuaciones de Lagrange L.

2. Geom´etricamente: La funci´on F = F (q, p, t) es constante del movimiento para un Lagrangiano L si se mantiene invariante a lo largo de todas las curvas integrales que representan geom´etricamente las soluciones de las ecuaciones de Lagrange de L.

En el caso 1, la letra t representa el tiempo y en el caso (ii) tiene un significado geom´etrico y representa el par´ametro de las curvas.

Supongamos que las m funciones

F₁(q, p, t), F₂(q, p, t), . . . , F_m(q, p, t)

son m constantes del movimiento distintas entre s´ı para un Lagrangiano L. Entonces toda funci´on G = G(q, p, t) que se pueda reescribir como funci´on de las Fs, s = 1, 2, . . . , m,

G(F1, F2, . . . , Fm) tambi´en es constante del movimiento y

dG dt ⁼

X

s

 ∂G

∂F_s

 dFs

dt ^{= 0}

En este caso, en el que G es funcionalmente dependiente de las funciones F1, F2, ..., Fm, la constante del movimiento G no debe ser considerada realmente como una nueva constante simo como una consecuencia de las anteriores. Si consideramos que una constante del movimiento ofrece informaci´on sobre el sistema Lagrangiano, resulta que G no ofrece realmente nueva informaci´on.

Consecuencia: Es conveniente trabajar con funciones que sean funcionalmente independientes y prescindir de todas aquellas constantes que no ofrezcan nueva informaci´on.

Esta situaci´on plantea 3 problemas:

1. Caracterizar la independencia funcional de un conjunto de m constantes de movimiento.

2. Estudiar si el n´umero de cantidades conservadas independientes es un n´umero finito y estudiar si las propiedades de un sistema Lagrangiano dependen del n´umero m´aximo de constantes del movimiento que posee.

3. Obtener un m´etodo que permita obtener expl´ıcitamente las constantes de movimiento que posee un La- grangiano L.

Consideremos ahora la cuesti´on (i)

Consideremos en primer lugar, un conjunto de m funciones f₁, f₂, ..., f_m,definidas en Rⁿ; esto es, f_s = f_s(x₁, . . . , x_n), s = 1, 2, . . . , m. Diremos que estas m funciones son funcionalmente independientes cuando las diferenciales sean independientes; esto significa que el producto exterior de las m diferenciales df_s, s = 1, 2, . . . , m debe ser no nulo

df1∧ df2∧ . . . ∧ dfm6= 0

M´as concretamente, el n´umero de estas funciones que son funcionalmente independientes viene dado por el rango de r de la matriz diferencial [Df ] definida de la forma

[Df ] =^{ ∂fs}

∂x_i



, s = 1, 2, . . . , m i = 1, 2, . . . , n.

Consideremos ahora el caso de funciones constantes del movimiento como caso particular de la situaci´on general anterior. Sea L un Lagrangiano n-dimensional y supongamos conocidas m integrales de movimiento K₁, K₂, . . . , K_m. El n´umero de estas funciones que son funcionalmente independientes viene dado por el rango r de la matriz [DK] definida de la forma

[DK] =^{ ∂Ks}

∂qi

,^∂Ks

∂pi



, s = 1, 2, . . . , m i = 1, 2, . . . , n.

Si el rango r vale r = m entonces el rango es m´aximo y las m funciones Ks son independientes. Consideremos ahora la cuesti´on (ii)

Un sistema Lagrangiano con n grados de libertad posee a lo sumo 2n constantes de movimiento indepen- dientes entre s´ı. M´as concretamente, el n´umero m´aximo de constantes de movimiento independientes entre s´ı viene dado por la dimensi´on del espacio de fases menos uno. Si nos limitamos a considerar Lagrangianos L y cantidades conservadas K independientes del tiempo, como la dimensi´on de T Q es 2n, entonces el n´umero m´aximo m es m = 2n − 1; pero si el sistema depende del tiempo entonces el espacio de fases es T Q × R con coordenadas (qi, pi, t) y el n´umero m´aximo m ser´a m = 2n.

0.4.3 Matrices ortogonales y de rotaci´ on [7]

Toda rotaci´on mapea una base ortonormal de R³en otra base ortonormal. Como cualquier otra transformaci´on lineal en un espacio vectorial de dimensi´on infinita, una rotaci´on puede ser representada por una matriz. Sea R la rotaci´on dada. Con respecto a la base est´andar (e1, e2, e3) ∈ R, las columnas de R est´an dadas por (Re1, Re2, Re3). Dado que la base est´andar es ortonormal, las columnas de R forman otra base ortonormal. Esta condici´on de ortonormalidad puede ser expresada en la forma

R^TR = I

donde R^T denota la transpuesta de R e I3×3 es la matriz identidad. Las matrices para las cuales esta propiedad se cumple se llaman matrices ortogonales. El grupo de todas las matrices ortogonales de tama˜no 3 × 3 se denotan por o(3), y consiste de todas las rotaciones propias o impropias.

Adem´as de preservar la distancia, las rotaciones propias deben tambi´en preservar la orientaci´on. Una matriz preserva o invierte una orientaci´on de acuerdo a si su determinante es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R, observe que detR^T = detR lo cual implica que (detR)² = 1, as´ı que detR = ±1. El subgrupo de las matrices ortogonales con determinante +1 es llamado grupo ortogonal especial y se denota por so(3).

As´ı toda rotaci´on puede ser representada de manera ´unica por una matriz ortogonal con determinante igual a 1. A´un m´as, dado que una descomposici´on de rotaciones corresponde a una multiplicaci´on de matrices, el grupo rotaci´on es isomorfo al grupo ortogonal especial so(3).

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante -1, y ellas no forman un grupo debido a que el producto de dos rotaciones impropias da como resultado una rotaci´on propia.

0.4.4 Integrabilidad en el sentido de Arnold-Liouville [1]

Un sistema Hamiltoniano se denomina completamente integrable o integrable en el sentido de Arnold-Liouville si posee n constantes del movimiento o cantidades conservadas, F₁, F₂, . . . , F_n, que est´an globalmente definidas, son funcionalmente independientes

dF₁∧ dF₂∧ . . . ∧ dF_n−1∧ dF_n6= 0 y est´an en involuci´on

H, F s = 0 Fr, Fs= 0 r, s = 1, 2, . . . , n

0.4.5 Variables de acci´ on - ´ angulo [6]

En el teorema de Liouville se define la variedad de nivel M_f como F_i(p, q) = f_i. La 1-forma can´onica α =^P_ip_idq_i y ω = dα =^P_idp_i∧ dqi la 2-forma simpl´ectica en el espacio de fases de M .

Una cosa importante a destacar de la demostraci´on del Teorema de Liouville (la cual no viene incluida en este reporte) es que la variedad de nivel M_f no tiene ciclos triviales. Bajos las condiciones adecuadas de compacidad y conexidad, las M_f son toros T_n n-dimensionales. Esto conlleva a la introducci´on de variables angulares para describir el movimiento a lo largo de los ciclos. El toro Tn es isomorfo al producto de n circulos Ci. Escogeremos coordenadas angulares especiales en el dual Mf a los n ciclos fundamentales Ci.

Las variables de acci´on Ij estan definidas como las integrales de la 1-forma can´onica sobre los ciclos Cj, Ij= ¹

2π Z

C_j

α

Las Ij son funciones de las constantes de movimiento Fj y supondremos que ellas son independientes, as´que los valores de Ij (j = 1, . . . , n) son conocidas, por lo tanto Mf esta definido. Consideremos la transformaci´on can´onica generada por la misma funci´on anterior

S (I, q) = Z m

m₀

α = Z q

q₀

X

i

pi(f, q) dqi

pero expresado en terminos de las variables Ii en lugar de las Fi. Denotemos θj la variable conjugada a Ij, la transformaci´on can´onica generada por S esta definida por:

p_k = ^∂S

∂qk

, θ_k= ^∂S

∂Ik

Las variables θk son can´onicamente conjugadas a las variables de acci´on Ij

Se mostrar´a que estas nuevas variables pueden ser vistas como variables angulares normalizadas en los ciclos C_j, esto es:

1 2π ⁼

Z

Cj

dθ_k Por definici´on de θk

Z

C_j

dθk = ^∂

∂Ik

Z

C_j

dS, dS =^X

i

∂S

∂qi

dqi+^∂S

∂Ii

dIi

dado que estamos en la variedad, dI_i= 0, tenemos Z

C_j

dθ_k = ^∂

∂Ik

Z

C_j

∂S

∂qi

dq_i = ^∂

∂Ik

Z

C_j

p_idq_i= ^∂

∂Ik

Z

C_j

α = 2πδ_jk Esto prueba que las θk son variables de angulares.

Bibliography

[1] Diez lecciones sobre sistemas hamiltonianos. Integrabilidad y separabilidad. Curso impartido en la Facultad de Matem´aticas, Dep. de Matem´atica Aplicada, U.P.C., Barcelona, Noviembre 2008, Manuel F. Ra˜nada. [2] A. S. Fokas, Lax pairs: a novel type of separability, Topical review, Inverse problems, 25 (2009) 123007,

pp.44.

[3] Lax pairs and other integrable equations.

[4] Adam Howard Spiegler, Stability of generic equilibria of the 2N dimensional free rigid body using the energy- Casimir method. Doctoral degree dissertation, Faculty of Department of Mathematics, The University of Arizona.

[5] A. S. Fokas, On the integrability of linear and non linear partial differential equations, Journal of Mathe- matical Physics, Vol. 41, (6), 2000.

[6] Introduction to classical integrable systems, Olivier Babelon, Denis Bernard and Michael Talon, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press.

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation group SO(3)

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