EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 8 y 9 1

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 8 y 9

1. (1 punto) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f x ( ) = e

⁻^x²

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − c) ¹ ) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x ⁺ ⁶ )

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) ² ³ 3 f x x

x

= +

− . ¿En qué puntos corta a los ejes de coordenadas?

b) (0,5 puntos) Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

c) (0,3 puntos) ¿Qué valor o valores de x se transforman en 10? Esto es, f

⁻¹

(10) .

3. (1,4 puntos) Representa gráficamente la función

2

1, si 0

( ) 2 ,

^x

si 0

x x

f x x

− + <

=   ≥ .

4. a) (0,6 puntos) Asocia las funciones: a) ( )

₂

1 f x x

= x

− ; b) ( ) x

g x = x ; c) h x ( ) =

³

x , con las siguientes gráficas.

(1) (2) (3)

b) (0,8 puntos) En cada caso, a partir de su gráfica, indica su dominio y recorrido.

5. (1,2 puntos) En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece ajustándose a la función f x ( ) = + 2 0, 5 e

^0,4^x

, donde f x ( ) es el número de mosquitos en miles y x el tiempo en días desde el momento presente. ¿Cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial?

6. (1,6 puntos) Indica las características fundamentales (dominio, recorrido, periodicidad, signo…) de las funciones f x ( ) = sin x y g x ( ) = cos x . Traza sus gráfica en el i ntervalo [0, 4π].

7. (1,4 puntos) Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) cos ³

x = − 2 b) sin 3 x = − 1

Alcalá de Henares, 10 de marzo de 2017.

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Soluciones

1. (1 punto) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f x ( ) = e

⁻^x²

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − c) ¹ ) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x ⁺ ⁶ )

Solución a)

: ( )

^x2

f x = e

⁻

→ Está definida siempre: Dom(f) = R.

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − → Está definida siempre: Dom(g) = R. ¹ )

c) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x + → Está definida siempre que ⁶ ) 2 x + > ⇒ < − 6 0 x 3 . Dom(h) = (–3, +∞).

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) ² ³ 3 f x x

x

= +

− . ¿En qué puntos corta a los ejes de coordenadas?

b) (0,5 puntos) Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

c) (0,3 puntos) ¿Qué valor o valores de x se transforman en 10? Esto es, f

⁻¹

(10) . Solución

a) Es una función racional; asociada a una hipérbola equilátera.

:

Dom(f) = R – {3}

En x = 3 tiene una asíntota vertical.

Por la izquierda de x = 3 la rama de la función se va hacia –∞.

Por la derecha de x = 3 la rama de la función se va hacia +∞.

(Puede verse estudiando el signo de la función para valores próximos a 3, tanto por la izquierda como por la derecha).

También tiene una asíntota horizontal: la recta y = 2.

Hacia –∞ la función toma valores menores que 2.

Hacía +∞ toma valores mayores que 2.

Corta al eje OX cuando y = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = –3/2.

Punto (–3/2, 0).

Corta al eje OY cuando x = 0 ⇒ y = –1. Punto (0, –1).

b) Se trazan las asíntotas y se indican las tendencias vistas más arriba.

Algunos de sus puntos son:

(–3/2, 0); (0, –1); (–6, 1); (2, –7); (5, 13/2); (9, 21/6).

c) Si f x ( ) = 10

⇒ 2 3 33

10 10 30 2 3 8 33

3 8

x x x x x

x

= + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =

− .

(3)

1º Bachillerato CS

3. (1,4 puntos) Representa gráficamente la función

2

1, si 0

( ) 2 ,

^x

si 0

x x

f x x

− + <

=   ≥ .

Solución

Se trata de una función definida a trozos.

:

Para x < 0, f x ( ) = − + . Su gráfica es un trozo de parábola. x

²

1 Algunos puntos: (–2, –3); (–1, 0); y se acerca a (0, 1).

Para x ≥ 0, ( ) 2 f x =

^x

. Es una exponencial.

Algunos puntos: (0, 1); (1, 2); (2, 4).

Se obtiene la figura adjunta.

4. a) (0,6 puntos) Asocia las funciones: a) ( )

₂

1 f x x

= x

− ; b) ( ) x

g x = x ; c) h x ( ) =

³

x , con las siguientes gráficas.

(1) (2) (3)

b) (0,8 puntos) En cada caso, a partir de su gráfica, indica su dominio y recorrido.

Solución a) La función

:

( )

2

1 f x x

= x

− no está definida en los puntos x = –1 y x = 1; en cada uno de eso puntos tiene una asíntota vertical.

La única función con esas características es la (3).

La función ( ) x

g x = x no está definida en los puntos x = 0. La única función con esas características es la (1).

Por consiguiente, la función h x ( ) =

³

x es la (2).

b) Gráfica (1), ( ) x

g x = x → Dominio: R – {0}. Recorrido: {–1, 1}.

Gráfica (2), h x ( ) =

³

x → Dominio: R. Recorrido: R.

Gráfica (3), ( )

₂

1 f x x

= x

− → Dominio: R – {–1, 1}. Recorrido: R.

(4)

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5. (1,2 puntos) En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece ajustándose a la función f x ( ) = + 2 0, 5 e

^0,4^x

, donde f x ( ) es el número de mosquitos en miles y x el tiempo en días desde el momento presente. ¿Cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial?

Solución

La población inicial es :

(0) 2 0, 5

0

2, 5

f = + e = .

Se duplicará cuando sean 5 (millares):

0,4 0,4 0,4

2 0, 5 + e

^x

= ⇒ 5 0, 5 e

^x

= ⇒ 3 e

^x

= 6 Tomando logaritmos neperianos:

( )

^0,4

^{ln 6}

ln ln 6 0, 4 ln 6 4, 48

0, 4

e

x

= ⇒ x = ⇒ = x ≈ días.

6. (1,6 puntos) Indica las características fundamentales (dominio, recorrido, periodicidad, signo…) de las funciones f x ( ) = sin x y g x ( ) = cos x . Traza sus gráfica en el intervalo [0, 4 π].

Solución

Ambas funciones están definidas en todo R, son periódicas de periodo 2 π y toman valores entre –1 y 1. Su dominio es R; su recorrido, el intervalo [–1, 1].

:

La función s eno es positiva entre 0 y π; es negativa entre π y 2π.

La función coseno es positiva si x ∈ (0, π/2) ∪ (3π/2, 2π); es negativa si x ∈ (π/2, 3π/2).

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 8 y 9

1. (1 punto) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f x ( ) = e

b) g x ( ) = − 2 cos ( x − c) 1 ) h x ( ) = log 2 ( x + 6 )

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) 2 3 3 f x x

x

= +

− . ¿En qué puntos corta a los ejes de coordenadas?

b) (0,5 puntos) Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

c) (0,3 puntos) ¿Qué valor o valores de x se transforman en 10? Esto es, f

(10) .

3. (1,4 puntos) Representa gráficamente la función

1, si 0

( ) 2 ,

si 0

x x

f x x

− + <

=   ≥ .

4. a) (0,6 puntos) Asocia las funciones: a) ( )

1 f x x

= x

− ; b) ( ) x

g x = x ; c) h x ( ) =

x , con las siguientes gráficas.

(1) (2) (3)

b) (0,8 puntos) En cada caso, a partir de su gráfica, indica su dominio y recorrido.

5. (1,2 puntos) En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece ajustándose a la función f x ( ) = + 2 0, 5 e

, donde f x ( ) es el número de mosquitos en miles y x el tiempo en días desde el momento presente. ¿Cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial?

6. (1,6 puntos) Indica las características fundamentales (dominio, recorrido, periodicidad, signo…) de las funciones f x ( ) = sin x y g x ( ) = cos x . Traza sus gráfica en el i ntervalo [0, 4π].

7. (1,4 puntos) Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) cos 3

x = − 2 b) sin 3 x = − 1

Alcalá de Henares, 10 de marzo de 2017.

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Soluciones

1. (1 punto) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f x ( ) = e

b) g x ( ) = − 2 cos ( x − c) 1 ) h x ( ) = log 2 ( x + 6 )

Solución a)

: ( )

f x = e

→ Está definida siempre: Dom(f) = R.

b) g x ( ) = − 2 cos ( x − → Está definida siempre: Dom(g) = R. 1 )

c) h x ( ) = log 2 ( x + → Está definida siempre que 6 ) 2 x + > ⇒ < − 6 0 x 3 . Dom(h) = (–3, +∞).

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) 2 3 3 f x x

x

= +

− . ¿En qué puntos corta a los ejes de coordenadas?

b) (0,5 puntos) Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

c) (0,3 puntos) ¿Qué valor o valores de x se transforman en 10? Esto es, f

(10) . Solución

a) Es una función racional; asociada a una hipérbola equilátera.

:

Dom(f) = R – {3}

En x = 3 tiene una asíntota vertical.

Por la izquierda de x = 3 la rama de la función se va hacia –∞.

Por la derecha de x = 3 la rama de la función se va hacia +∞.

(Puede verse estudiando el signo de la función para valores próximos a 3, tanto por la izquierda como por la derecha).

También tiene una asíntota horizontal: la recta y = 2.

Hacia –∞ la función toma valores menores que 2.

Hacía +∞ toma valores mayores que 2.

Corta al eje OX cuando y = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = –3/2.

Punto (–3/2, 0).

Corta al eje OY cuando x = 0 ⇒ y = –1. Punto (0, –1).

b) Se trazan las asíntotas y se indican las tendencias vistas más arriba.

Algunos de sus puntos son:

(–3/2, 0); (0, –1); (–6, 1); (2, –7); (5, 13/2); (9, 21/6).

c) Si f x ( ) = 10

⇒ 2 3 33

10 10 30 2 3 8 33

3 8

x x x x x

x

= + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =

− .

1º Bachillerato CS

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − c) ¹ ) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x ⁺ ⁶ )

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) ² ³ 3 f x x

a) cos ³

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − c) ¹ ) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x ⁺ ⁶ )

b) ^{g x} ^{( )} ^{= −} ^{2 cos} ( ^x − → Está definida siempre: Dom(g) = R. ¹ )

c) ^{h x} ^{( )} ⁼ ^{log 2} ( ^x + → Está definida siempre que ⁶ ) 2 x + > ⇒ < − 6 0 x 3 . Dom(h) = (–3, +∞).

2. a) (1,2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) ² ³ 3 f x x

^{ln 6}