EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 8 y 9 1

Texto completo

(1)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 8 y 9

1. (1,2 puntos) Indica el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) ( ) 2 3 3

= + f x x

x x b) f x( )= 2x28 c) f x( )=3 x1 d) f x( )=log 4( x )

2. (2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) 2 3 1 f x x

x

=

+ . ¿En qué puntos corta a los ejes e coordenadas? Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

3. (1,5 puntos) Expresa como una función definida a trozos ( )f x = 2x− . Haz su representación 5 gráfica.

4. La cantidad de madera de un bosque aumenta un 4% cada año. Si en el año 2000 había una cantidad M de madera:

a) (0,5 puntos) Determina la función que expresa la cantidad de madera que habrá al cabo de t años (desde el año 2000).

b) (1 punto) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la cantidad de madera sea doble que la del año 2000?

c) (1 punto) Haz la gráfica que representa la masa de madera a lo largo del tiempo. (Puede tomarse M = 1 y t = 0 el año 2000).

5. (1,3 puntos) A partir de la gráfica de la función ( )f x =sinx, representa la función ( ) 2 sin

f x = − x.

6. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) cos 1

x= −2 b) sin 2 3

x= 2 c) 2 tanx=3

Alcalá de Henares, 4 de marzo de 2016.

(2)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 2

Soluciones

1. (1,2 puntos) Indica el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) ( ) 2 3 3

= + f x x

x x b) g x( )= 2x28 c) h x( )=3 x1 d) j x( )=log 4( x )

Solución a)

:

2

( ) 3

3

= + f x x

x x → Está definida siempre que x2+3x0. Dom(f) = R – {–3, 0}

b) g x( )= 2x28 → Está definida siempre que 2x2− ≥ ⇒8 0 x2− ≥4 0. Dom(g) = (–∞, –2] ∪ [2, +∞).

c) h x( )= 3 x1 → La raíz cúbica siempre está definida. Dom(h) = R.

d) j x( )=log 4( x)→ Está definida siempre que 4− > ⇒ <x 0 x 4. Dom(j) = (–∞, 4) 2. (2 puntos) Indica las características fundamentales de la función ( ) 2 3

1 f x x

x

=

+ . ¿En qué puntos corta a los ejes e coordenadas? Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

Solución

Es una función racional; asociada a una hipérbola equilátera.

:

Dom(f) = R – {–1}

En x = –1 tiene una asintota vertical.

Por la izquierda de x = –1 la rama de la asíntota se va hacia +∞.

Por la derecha de x = –1 la rama de la asíntota se va hacia –∞.

También tiene una asíntota horizontal, la recta y = 2.

Hacia +∞ la función toma valores menores que 2.

Hacía –∞ toma valores mayores que 2.

Corta al eje OX cuando y = 0 ⇒ 2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2. Punto (3/2, 0) Corta al eje OY cuando x = 0 ⇒ y = –3. Punto (0, –3).

Algunos de sus puntos son:

(–10, 23/9); (–4, 11/3); (–3, 9/2); (–2, 7); (0, –3); (3/2, 0); (2, 1/3); (5, 7/6); (10, 17/11)

(3)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 3

3. (1,5 puntos) Expresa como una función definida a trozos f x( )= 2x− . Haz su representación 5 gráfica.

Solución

Como 2x – 5 = 0 si x = 5/2 ⇒ :

2 2, 5 / 2

( ) 2 5

2 5, 5 / 2

− + <

= − = 

x x

f x x

x x .

Para representarla, como son dos semirrectas basta con dar un par de puntos en cada caso:

(0, 5), (5/2, 0), (5, 5)

4. La cantidad de madera de un bosque aumenta un 4% cada año. Si en el año 2000 había una cantidad M de madera:

a) (0,5 puntos) Determina la función que expresa la cantidad de madera que habrá al cabo de t años (desde el año 2000).

b) (1 punto) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la cantidad de madera sea doble que la del año 2000?

c) (1 punto) Haz la gráfica que representa la masa de madera a lo largo del tiempo. (Puede tomarse M = 1 y t = 0 el año 2000).

Solución

a) Cada año la cantidad de madera se multiplica por 1,04. Por tanto:

:

( )

( )= · 1, 04 t

C t M

b) Hay que resolver la ecuación:

( ) ( )

2M =M· 1, 04 t ⇒ =2 1, 04t ln 2=ln 1, 04t

ln 2

ln 2 ln1, 04 17, 67

ln1, 04

=t ⇒ =t = años.

c) Pueden darse algunos valores:

(0, 1); (5, 1,22); (10, 1,48); (15, 1,8);

(17,67, 2), (20, 2,19); (25, 2,67)

Observación: También puede utilizarse (y es más real) la función C t( )=Me0,04t. Con esto los resultados difieren ligeramente. Así, el tiempo que tarda en duplicarse la cantidad de madera es la solución de 2=e0,04t ln 2=0, 04t⇒ =t 17, 33 años. La gráfica también crece un poco más.

5. (1,3 puntos) A partir de la gráfica de la función f x( )=sinx, representa la función ( ) 2 sin

f x = − x. Solución:

(4)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 4

6. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 1

cosx= − b) 2 3 sin 2

x= 2 c) 2 tanx=3 Solución

a)

: cos 1

x= − ⇒ 2

2 2

120º ·360º

1 3

arccos

240º ·360º 4

2 2

3

π+ π +

=  = + π+ π



k k

x k

k

b) 3

sin 2

x= 2 3 60º ·360º 30º ·180º 6

2 arcsin

120º ·360º 60º ·180º

2

3

 + ππ

+ +

=  = + ⇒ = +  + ππ



k k k

x x

k k

k c) 2 tanx=3tan 3 arctan 3 56, 31º ·180º

2 2

= ⇒ =    = +

x x k

Figure

Actualización...

Related subjects :