EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 4 y 5 1

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 4 y 5

1. (1 punto) Resuelve la inecuación 2 ^{2 3 1}

5 2

x  x

   . Representa gráficamente el intervalo solución.

2. (1 punto) Resuelve la inecuación 2 3 1 1 x x

  

 . Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

3. a) (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema:

2 8

3 6

x y

x y

 

   



Indica el vértice de la región de soluciones.

b) (0,5 puntos) De los puntos P(1, 2), Q(4, 1), R(10, 6) y S(5, 12) indica los que no sean solución, explicando el porqué.

4. (2,4 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2

^x

 30 (0,4 puntos) b) log

₃

x

²

 2 (0,4 puntos)

c) 5·2

^x3

 13·2

^x1

 56  0 (0,8 puntos) c) ^{2·log 3}  ^{x   2}  ^log  ^{x  6}  ^{ 1} (0,8 puntos)

5. (1 punto) Calcula el capital acumulado por 12500 euros durante 6 años a una tasa anual del 4 % a interés compuesto:

a) Anual (0,3 puntos) b) Trimestral (0,3 puntos) c) Mensual (0,4 puntos)

6. (1,6 puntos) El 10 % de los lavavajillas que vende una determinada marca se estropea anualmente (esto es, de cada 100 lavavajillas que se venden, se estropean 10 el primer año; de los 90 restantes, se estropean 9 el segundo año; y así sucesivamente).

a) (0,6 puntos) ¿Cuántos lavavajillas funcionaran bien al cabo de 5 años?

b) (1 punto) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que queden en funcionamiento menos del 25 % de los lavavajillas vendidos?

7. (1 punto) (Ed. Editex, 1º Bach). ¿Qué anualidad habrá que colocar al 13 % de interés compuesto para reunir en 5 años 12000 euros?

Dato: ^a  ^{1 r}   ^{1 r} 

^t

¹

C r

 

    

 .

Alcalá de Henares, 29 de noviembre de 2018.

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Soluciones

1. (1 punto) 2 ^{2 3 1}

5 2

x    x  . Representa gráficamente el intervalo solución.

Solución:

2 3 1

2 5 2

x  x

    (10)  ^{10 x  20 2· 2 3 }  ^{ x}  ^{  5 10 x  6 x   5 20 4  }

 16 29 ²⁹ x    x 16 .

2. (1 punto) Resuelve la inecuación ^{2 3} 1 1 x x

  

 . Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

Solución:

2 3

1 1 x x

  

  ^{2 3} 1 0 ^{2 3 1} 0 ^{3 2} 0

1 1 1

x x x x

x x x

          

    hay que estudiar los signos del

numerador y del denominador.

El numerador se anula si x = 2/3; el denominador, si x = 1.

Con esto:

Intervalo (–∞, 1) (1, 2/3) (2/3, +∞)

Signo de 3x  2   +

Signo de x  1 – + +

Signo de ^{3 2} 1 x x



 +  +

Por tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo 1, ² 3

  

 

  . 3. a) (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema:

2 8

3 6

x y

x y

 

   

 .

Halla el vértice de la región de soluciones.

b) (0,5 puntos) De puntos P(1, 2), Q(4, 1), R(10, 6) y S(5, 12) indica los que no sean solución, explicando el porqué.

Solución:

a) Las inecuaciones x  2 y  8 y 3 x   y 6 , determinan la región del plano sombreada en la figura adjunta. Se obtiene representando las rectas:

2 8

x  y   puntos ((0, 4) y (8, 0).

3 x   y 6  puntos (0, 6) y (2, 0).

El vértice es la solución del sistema:

2 8 2 8

3 6 2 3 1 7 18

x y x y

x y E E y

   

 

        

   ¹⁸ ; ^{20 20} , ¹⁸

7 7 7 7

y  x    V      .

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b) El único punto que está en la región de soluciones es S(5, 12).

El punto P(1, 2) no la primera restricción; el punto Q(4, 1) no cumple ninguna de las dos. El punto R(10, 6) no cumple la segunda restricción.

4. (2,4 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2

^x

 30 (0,4 puntos) b) log

₃

x

²

 2 (0,4 puntos)

c) 5·2

^x3

 13·2

^x1

 56  0 (0,8 puntos) c) ^{2·log 3}  ^{x   2}  ^log  ^{x  6}  ^{ 1} (0,8 puntos) Solución:

a) 2

^x

 30  (Aplicando logaritmos) log 30

log 2 log 30 log 2 log 30 4,90689...

log 2

x

  x    x 

b) log

₃

x

²

 2  (Por definición) x

²

 3

²

  x 3 .

c) 5·2

^x3

 13·2

^x1

 56  0  5·2 ·2

^{3 x}

 13·2·2

^x

 56  40·2

^x

 26·2

^x

 56  14·2

^x

 56 

 56

2 2 4 2

14

x x

     x .

d) ^{2·log 3}  ^{x   2}  ^log  ^{x  6}  ^{ 1  log 3}  ^{x  2} 

²

^{ log}  ^{x  6}  ^{ 1 }

  

   

     

2 2

3 2 3 2

2

log 1 10 3 2 10 6

6 6

x x

x x

x x

 

      

  

 9 x

²

 12 x   4 10 x  60  9 x

²

 22 x  56  0 

 22 22

²

4·9·( 56) 22 50 4

14 / 9

18 18

x     

      .

La solución x = 14/9 no es válida.

5. (1 punto) Calcula el capital acumulado por 12500 euros durante 6 años a una tasa anual del 4 % a interés compuesto:

a) Anual (0,3 puntos) b) Trimestral (0,3 puntos) c) Mensual (0,4 puntos) Solución:

La fórmula adecuada es

₀

1 r

nt

C C

n

 

      , siendo: C

0

el capital inicial; ⁴ 0, 04

r  100  ; n = número de periodos anuales; t = número de años.

a) C  12500 1 0, 04   

⁶

 12500·1, 2653... 15816, 49  €.

b)

0, 04

4·6

12500 1 15871, 68 C     4   

  €.

c)

0, 04

12·6

12500 1 15884, 27

C      12     €.

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6. (1,6 puntos) El 10 % de los lavavajillas que vende una determinada marca se estropea anualmente (esto es, de cada 100 lavavajillas que se venden, se estropean 10 el primer año; de los 90 restantes, se estropean 9 el segundo año; y así sucesivamente).

a) (0,6 puntos) ¿Cuántos lavavajillas funcionaran bien al cabo de 5 años?

b) (1 punto) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que queden en funcionamiento menos del 25 % de los lavavajillas vendidos?

Solución:

Si cada año se estropea el 10 % de los lavavajillas, entonces, el 90 % de ellos sigue funcionando.

Por tanto, la expresión que da el porcentaje de lavavajillas en buen estado es:

 

( ) 100· 0,90

^t

P t  , t en años.

a) Para t = 5, P t ( ) 100· 0,90   

⁵

 59, 049  el 59,049 % de los lavavajillas sigue funcionando.

b) Se desea P t ( )  25  ^{100· 0,90}  

^t

^{ 25  0,90}

^t

^{ 0, 25 }

 log 0, 25

log 0,90 log 0, 25 log 0,90 log 0, 25 13,1576...

log 0,90

t

  t    t  años.

(13 años y 2 meses, aproximadamente).

Observación: En la inecuación t log 0,90  log 0, 25 , ambos números son negativos, aunque el que nos interesa es log 0,90; por tal motivo el símbolo < se da la vuelta.

7. (1 punto) (Ed. Editex, 1º Bach). ¿Qué anualidad habrá que colocar al 13 % de interés compuesto para reunir en 5 años 12000 euros?

Dato: ^a  ^{1 r}   ^{1 r} 

^t

¹

C r

 

    

 .

Solución:

Teniendo en cuenta la fórmula dada, sustituyendo C = 12000; ¹³ 0,13

r  100  ; t = 5 

 ^1,13   ^1,13  ¹

12000

0,13

a  

t

  

 

   

12000·013 1560

1638, 74 0,13·1,8424...

1,13 1,13

^t

1

a   

  

 

euros.