EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 8 y 9 1

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 8 y 9

1. (2 puntos) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) (0,7 p) ( )

2 f x x

x

b) (0,4 p) 32 2

( ) 3

g x x

x x

c) (0,3 p) h x( )log 3x

d) (0,6 puntos) Indica el valor de x en el que cada una de las funciones anteriores vale 0.

2. (1,5 puntos) Dada la función ( ) 4 4

2 4

f x x x

, se pide:

a) (0,3 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

c) (0,9 puntos) Un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

3. (2 puntos) Representa gráficamente la función

2

3, si 2 4

( ) 1, si 2 2

2

2x 4 si 2

x x

f x x x

x

 

     

.

(Puedes dar valores entre –6 y 4. El dibujo debe estar bien hecho).

4. (1,5 puntos) La función que da la cantidad de un determinado fármaco presente en sangre, en mg, respecto al tiempo, en horas, desde el momento en que este es inyectado viene dada por

( ) 10·0,80t

C t .

a) (0,3 puntos) ¿Qué dosis inicial se ha inyectado al enfermo?

b) (0,2 puntos) ¿Qué cantidad queda al cabo de 4 horas?

c) (1 punto) ¿Si se supone que cuando queda en sangre menos de un 2 % de la dosis inicial el fármaco deja de hacer efecto, ¿en qué momento dejará de hacer efecto el fármaco inyectado?

5. a) (0,6 puntos) Indica las características fundamentales (dominio, recorrido, periodicidad, signo…) de la función ( ) sinf x x. Traza sus gráfica en el intervalo [–2, 2π].

b) (0,6 puntos) A partir de la gráfica de f x( )sinx dibuja, en el mismo intervalo [–2, 2], la gráfica de las funciones g x( )sin 2 x y la de h x( )3·sinx.

6. (1 punto) Cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 78º la torre Eiffel proyecta una sombra de 69,5 m. Calcula su altura aproximada.

7. (0,8 puntos) Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) 3cosx 3 b) sin 2  1

x  2

Alcalá de Henares, 26 de febrero de 2018.

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Soluciones

1. (2 puntos) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) (0,7 p) ( )

2 f x x

x

b) (0,4 p)

2

3 2

( ) 3

g x x

x x

c) (0,3 p) h x( )log 3x

d) (0,6 puntos) Indica el valor de x en el que cada una de las funciones anteriores vale 0.

Solución:

a) ( )

2 f x x

x

 El radicando debe ser no negativo positivo con x ≠ 2: 0 2 x

x

. Dom(f) = , 02,  .

Debe ser x ≤ 0 o x > 2 (en el primer caso, tanto el numerador como el denominador son negativos;

en el segundo caso, el numerador y el denominador son positivos).

b) ( ) 32 32 323

x x

g x x x x x

 Dom(g) = R – {–3, 0}.

El denominador se anula cuando x = –3 o x = 0.

c) h x( )log 3x  Dom(h) = , 3. Es necesario que 3 – x > 0  x < 3.

d) ( ) 0 0

2

f x x x

x   

; ( ) 32 2 0 3 2 0 2 3 3

g x x x x

x x

     

;

 

( ) log 3 0 3 1 2

h x x      x x .

2. (1,5 puntos) Dada la función ( ) 4 4

2 4

f x x x

, se pide:

a) (0,3 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

c) (0,9 puntos) Un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

Solución:

a) Es una función racional.

Dom(f) = R – {2}.

La función nunca toma el valor –2; se deduce al observar que y = –2 es una asíntota horizontal.

b) Para x = 0, y = –1  punto (0, –1).

Para y = 0, x = 1  Punto (1, 0). (El numerador debe ser 0: 4 4 x  0 x 1) c) En x = 2 tiene una asíntota vertical.

Por la izquierda de x = 2 la rama de la función se va hacia +.

Por la derecha de x = 2 la rama de la función se va hacia –.

(Puede verse estudiando el signo de la función para valores próximos a 2, tanto por la izquierda como por la derecha).

También tiene una asíntota horizontal: la recta y = –2.

Hacia – la función toma valores mayores que –2.

Hacía + toma valores menores que 2.

Algunos de sus puntos son:

(–4, –2,5); (–2, –1,5); (0, –1); (1, 0); (3, –4); (4, –3); (6, –2,5).

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3. (2 puntos) Representa gráficamente la función

2

3, si 2 4

( ) 1, si 2 2

2

2x 4 si 2

x x

f x x x

x

 

     

.

(Puedes dar valores entre –6 y 4. El dibujo debe estar bien hecho).

Solución:

La primera función es una parábola. Puntos: (–6, –6); (–4, –1); (–2, 2).

La segunda función es una recta. Puntos: (0, 1); (2, 0).

La tercera función es una exponencial. Puntos: (2+, 0); (3, 4); (4, 12).

4. (1,5 puntos) La función que da la cantidad de un determinado fármaco presente en sangre, en mg, respecto al tiempo, en horas, desde el momento en que este es inyectado viene dada por

( ) 10·0,80t

C t .

a) (0,3 puntos) ¿Qué dosis inicial se ha inyectado al enfermo?

b) (0,2 puntos) ¿Qué cantidad queda al cabo de 4 horas?

c) (1 punto) ¿Si se supone que cuando queda en sangre menos de un 2 % de la dosis inicial el fármaco deja de hacer efecto, ¿en qué momento dejará de hacer efecto el fármaco inyectado?

Solución:

a) Valor correspondiente a t = 0: C(0) 10·0,80 0 10·1 10 mg.

b) Para t = 4: C(4) 10·0,80 4 10·0, 40964, 096 mg.

c) El 2 % de 10 mg es 0,2 mg.

Hay que resolver la ecuación: 0, 2 10·0,80 t.

0, 2 10·0,80 t0, 020,80tlog 0, 02t·log 0,80 log 0, 02

17,53 log 0,80

t

5. a) (0,6 puntos) Indica las características fundamentales (dominio, recorrido, periodicidad, signo…) de la función f x( )sinx. Traza sus gráfica en el intervalo [–2, 2π].

b) (0,6 puntos) A partir de la gráfica de f x( )sinx dibuja, en el mismo intervalo [–2, 2], la gráfica de las funciones g x( )sin 2 x y la de h x( )3·sinx.

Solución:

a) Está definida en todo R; es periódica de periodo 2π; toma valores entre –1 y 1.

La función seno es positiva entre 0 y π; es negativa entre π y 2π.

(4)

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b) g x( )sin 2 x es periódica de periodo π.

( ) 3·sin

h x x es periódica de periodo 2π; toma valores entre –3 y 3.

6. (1 punto) Cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 78º la torre Eiffel proyecta una sombra de 69,5 m. Calcula su altura aproximada.

Solución:

Esquemáticamente, la situación es la del triángulo adjunto.

Hay que calcular el cateto vertical del triángulo adjunto.

Como tan 78º 69,5·tan 78º 327

69,5

h h

  m.

7. (0,8 puntos) Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) 3cosx 3 b) sin 2  1

x  2 Solución:

a) 3cosx 3cos 3

x 3 arccos 3 54, 74º ·360º 305, 26º ·360º 3

x k

k

  .

b) sin 2  1

x  22 arcsin 1 210º ·360º 330º ·360º 2

x k

k

   105º ·180º 165º ·180º x k

k

  .

Alcalá de Henares, 26 de febrero de 2018.

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