EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 4 y 5 1

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 4 y 5

1. (1 punto) Resuelve la inecuación ⁴ ⁷ ⁵ ³

4 2 4

x x

x  

   . Representa gráficamente el intervalo solución.

2. (1 punto) Resuelve la inecuación

2 9

2 0 x

x

 

 . Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

3. a) (2 puntos) Representa gráficamente la región del plano que cumple las siguientes

inecuaciones:

2 8 16

2 8

2 4

x y

 

  

   



Indica los vértices de la región de soluciones.

b) (0,5 puntos) ¿Cumple alguno de los puntos P(4, 4), Q(–6, –7) o R(6, –2), las tres desigualdades?

Justifica tu respuesta.

4. (2 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2^x 5 (0,4 puntos) b) log₃x5 (0,3 puntos) c) log 4_x  1 (0,3 puntos) d) 2^x^¹12·2¹^^x 13 (1 punto)

5. (1 punto) Calcula el capital acumulado por 1500 euros durante 6 años a una tasa anual del 4 % a interés compuesto:

a) Anual (0,3 puntos) b) Trimestral (0,3 puntos) c) Continuo (0,4 puntos)

6. (1,5 puntos) Una fábrica de motocicletas pasó de producir 100 motocicletas anuales a producir 3844 nueve años después. Supuesto que el crecimiento se dio de manera uniforme (con crecimiento porcentual igual año a año), ¿cuál fue su porcentaje de crecimiento anual?

7. (1,5 puntos) Para amortizar una deuda de 27000 €, a un tipo de interés nominal del 6%, sea abonan anualmente 4347,97 €. ¿Cuántos años son necesarios para ello?

Dato:  

 

1 ·

1 1

t t

D r r

a

r

 

  .

Alcalá de Henares, 4 de diciembre de 2017.

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1º Bachillerato CS

Soluciones 1. (1 punto) Resuelve la inecuación ⁴ ⁷ ⁵ ³

4 2 4

x x

x  

   . Representa gráficamente el intervalo solución.

Solución:

4 7 5 3

4 2 4

x x

x  

    (4)  ⁴^x^{ }⁴ ^x^^{2· 7} ^x^{ }⁵ ³^{ }⁴^x^{  }⁴ ^x ¹⁴^x^{ }^{10 3}^

 99x x 1.

2. (1 punto) Resuelve la inecuación

2 9

2 0 x

x

 

 . Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

Solución:

2 9

2 0 x

x

 

  Se estudian los signos del numerador y del denominador.

El numerador se anula si x = ±3; el denominador, si x = 2.

Con esto:

Intervalo (–∞, –3) (–3, 2) (2, 3) (3, +∞)

Signo de x²9 + – – +

Signo de x2 – – + +

Signo de

2 9

2 x

x



 – + – +

Por tanto, el conjunto de soluciones es: (–∞, –3]  (2, 3].

3. a) (2 puntos) Representa gráficamente la región del plano que cumple las siguientes

inecuaciones:

2 8 16

2 8

2 4

x y

 

  

   



Indica los vértices de la región de soluciones.

b) (0,5 puntos) ¿Cumple alguno de los puntos P(4, 4), Q(–6, –7) o R(6, –2), las tres desigualdades?

Justifica tu respuesta.

Solución:

a) Las inecuaciones:

2x8y16; x2y8;   2x y 4; determinan el triángulo de vértices A, B y C representado en la figura adjunta.

Se obtiene representando las rectas:

(1) 2x8y16  puntos (0, –2) y B(8, 0).

(2) x2y8  puntos A(0, 4) y B(8, 0).

(3)   2x y 4  puntos A(0, 4) y (–2, 0).

El vértice A(0, 4) sale directamente; es la solución del sistema: ² ⁸

2 4

x y

 

  

 .

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El vértice B(8, 0) también se obtiene al hacer la representación gráfica. Es la solución del sistema:

2 8 16

2 8

x y

 

  

 . El vértice 24 20

7 , 7

C   es la solución del sistema:

2 8 16

2 4

x y

 

   

  24

x  7 ; 20 y  7 . b) El punto P(4, 4) no cumple la inecuación (2):

2 8

x y  4 + 8 > 8.

El punto Q(–6, –7) no cumple las inecuaciones (1) y (3):

2x8y16  –12 + 56 > 16;   2x y 4  12 – 7 > 4.

El punto R(6, –2) no cumple la inecuación (1):

2x8y16  12 + 16 > 16.

4. (2 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2^x 5 (0,4 puntos) b) log₃x5 (0,3 puntos) c) log 4_x  1 (0,3 puntos) d) 2^x^¹12·2¹^^x 13 (1 punto) Solución:

a) 2^x 5  log 2

log 2 log 5 log 2 log 5 2,3219

log 5

x  x   x  .

b) log₃x5  x3⁵ 243.

c) log 4_x  1  ¹ 1 1

4 4

x x 4

x

      .

d) 2^x^¹12·2¹^^x 13  2· 12·² 13 2

x

x  x   (multiplicando por 2^x y trasponiendo términos) 

 ^{2· 2} ^x ²^^13·2^x^²⁴^⁰^² ¹³ ¹³² ^{4·2·( 24)} ^{13 19} ⁸

3 / 2

4 4

x     

    

 2^x   8 x 3; 2^x 3 / 2 no puede ser.

5. (1 punto) Calcula el capital acumulado por 1500 euros durante 6 años a una tasa anual del 4 % a interés compuesto:

a) Anual (0,3 puntos) b) Trimestral (0,3 puntos) c) Continuo (0,4 puntos) Solución:

a) La fórmula de interés compuesto (anual) es: C t( )C01r^t.

Para C0 = 1500 €, r = 0,04 y t = 6 años de tendrá: C(6) 1500· 1, 04  ⁶ 1897,98 €.

b) Si los intereses se abonan trimestralmente,

4

( ) 0 1 4 r t

C t C    ; siendo t el número de años..

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Para C0 = 1500 €, r = 0,04 y t = 6 años de tendrá: C(6) 1500· 1 0, 01   ^4·6 1904, 60 €.

c) La fórmula de interés continuo es: C t( )C e₀· ^rt; t en años.

Luego,

0,04·6

(6) 1500· 1500·1, 27124915 1906,87

C  e   €.

6. (1,5 puntos) Una fábrica de motocicletas pasó de producir 100 motocicletas anuales a producir 3844 nueve años después. Supuesto que el crecimiento se dio de manera uniforme (con crecimiento porcentual igual año a año), ¿cuál fue su porcentaje de crecimiento anual?

Solución:

El problema puede tratarse como un problema de interés compuesto, siendo la tasa de crecimiento anual r, que es desconocida.

La producción de motocicletas al cabo de t años será: M t( )M01r^t. Si t = 9 años, M0 = 100 y M(9)3844se tendrá:

 ⁹

3844 100· 1 r   ^{38, 44}^{ }¹ ^r⁹^^{log 38, 44} ^^{9·log 1} ^^r^

   

log 38, 44

log 1

9  r  0,176087042log 1 r    1 r 1, 499985435  r = 0,49998  Un crecimiento anual del 50%, aproximadamente.

7. (1,5 punto) Para amortizar una deuda de 27000 €, a un tipo de interés nominal del 6%, sea abonan anualmente 4347,97 €. ¿Cuántos años son necesarios para ello?

Dato:  

 

1 ·

1 1

t t

D r r

a

r

 

  . Solución:

Sustituyendo en la expresión  

 