EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 10 y 11 1

Texto completo

(1)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 10 y 11

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a)

1

lim ( )

x f x

→− b)

1

lim ( )

x f x

c)

3

lim ( )

x f x

d)

6

lim ( )

x

f x e) lim ( )

x

→−∞ f x f) lim ( )

x

→+∞ f x

2. (2 puntos) Dada la función

/ 2

( ) 1 ex

f x = x

+ , calcula:

a)

0

lim ( )

x

f x b)

1

lim ( )

x

→− f x c) lim ( )

x

→−∞ f x d) lim ( )

x

→+∞ f x

¿Podría asegurarse que la función tiene alguna asíntota? Si la respuesta es afirmativa indica su ecuación o ecuaciones.

3. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

3 2 2

3 2

lim 3 2

x

x x

x x

→−

− +

+ + b)

1

lim 1

2 1 1

x

x

x

− −

4. (1,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f x( )= − +x2 4x en el punto x = 1.

Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

5. (1 punto) Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,2 puntos) f x( )=x5−4x3+6x−2. b) (0,3 puntos) g x( )=

(

3x22x

)

5.

c) (0,5 puntos)

3 2

( ) 4

5 4

h x x

x x

= − (Opera el resultado del numerador).

6. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )=2x3−6x.

Alcalá de Henares, 29 de abril de 2016

(2)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 2

Soluciones:

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a)

1

lim ( )

x f x

→− b)

1

lim ( )

x f x

c)

3

lim ( )

x f x

d)

6

lim ( )

x

f x e) lim ( )

x

→−∞ f x f) lim ( )

x

→+∞ f x Solución

a)

:

1

lim ( )

x f x

→− = ±∞. (No existe).

Por la izquierda:

1

lim ( )

x

f x

→− = +∞ .

Por la derecha:

1

lim ( )

x + f x

→− = −∞

b)

1

lim ( )

x f x

= 3. Tanto por la izquierda como por la derecha la función se acerca a 3; aunque (1) 0

f = . (Puede recordarse que en el límite lo que importa es lo sucede en el entorno del punto, no lo que sucede en el punto).

c)

3

lim ( ) 3

x f x

= , aunque f(3) no está definida.

d)

6

lim ( )

x f x

no existe. Por la izquierda tiende de a 3; por la derecha, a 4.

e) lim ( ) 1

x f x

→−∞ = . La recta y = 1 es asíntota horizontal hacia –∞.

f) lim ( )

x f x

→+∞ = +∞ .

2. (2 puntos) Dada la función

/ 2

( ) 1 ex

f x = x

+ , calcula:

a)

0

lim ( )

x f x

b)

1

lim ( )

x f x

→− c) lim ( )

x f x

→−∞ d) lim ( )

x f x

→+∞

¿Podría asegurarse que la función tiene alguna asíntota? Si la respuesta es afirmativa indica su ecuación o ecuaciones.

Solución a)

:

/ 2 0

0

lim 1

1 1

x x

e e

x = =

+

b)

/ 2 1/ 2

lim1

1 0

x x

e e

x

→− = = ±∞

+ ⇒ La recta x = –1 es asíntota vertical.

(3)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 3

c)

/ 2 0

lim 0

1

x x

e e

x

−∞

→−∞ = = =

+ −∞ −∞ ⇒ La recta y = 0 es asíntota horizontal.

d)

/ 2

lim1

x x

e e

x

+∞

→+∞ = = +∞

+ +∞ .

→ Aunque a este nivel no se tienen instrumentos para afirmarlo, con la calculadora es evidente:

basta con dar a x un valor alto. Por ejemplo si x = 100,

50

(100) 5,13·1019

101

f = e = .

3. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

3 2 2

3 2

lim 3 2

x

x x

x x

→−

− +

+ + b)

1

lim 1

2 1 1

x

x

x

− − Solución:

a)

( ) ( )

( )( )

3 2 2

2 2 2 2

2 2 1

3 2 8 6 2 0 2 1 9

lim lim lim 9

3 2 4 6 2 0 2 1 1 1

x x x

x x x

x x x x

x x x x x

→− →− →−

+ − +

−+ ++ =− + +− + =   = + + = −+ + =− = − .

La igualdad descomposición x33x+ =2

(

x+2

) (

x22x+1

)

se obtiene dividiendo por Ruffini.

b)

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

1 1 1

1 2 1 1 1 2 1 1

1 0

lim lim lim

0 2 1 1

2 1 1 2 1 1 2 1 1

x x x

x x x x

x

x x x x

− − + − − +

− =  = = − −

− −   − − − + =

=

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 2 1 1 2 1 1 1 1

lim lim 1

2 1 2 2

x x

x x x

x

− − + = − + + =

4. (1,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f x( )= − +x2 4x en el punto x = 1.

Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

Solución

La ecuación de la recta tangente es

: y f(1)= f´(1)

(

x− . 1

)

( ) 2 4

f x = − +x xf x´( )= − +2x 4 ⇒ f(1)=3; f´(1)=2 Luego, la recta es: y− =3 2

(

x− ⇒ =1

)

y 2x+ 1

Dando valores se pueden obtener algunos puntos y representar tanto la curva como la recta.

Para la curva: (0, 0); (1, 3); (2, 4); (3, 3); (4, 0).

Para la recta: (1, 3); (0, 5)

5. (1 punto) Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,2 puntos) f x( )=x5−4x3+6x−2. b) (0,3 puntos) g x( )=

(

3x22x

)

5.

c) (0,5 puntos)

3 2

( ) 4

5 4

h x x

x x

= − (Opera el resultado del numerador).

Solución a) (0,2 puntos)

:

5 3

( ) 4 6 2

f x =xx + x− ⇒ f x´( )=5x4−12x2+6. b) (0,3 puntos) g x( )=

(

3x22x

)

5g x´( )=5 3

(

x22x

)

4· 6

(

x− . 2

)

(4)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 4

c) (0,5 puntos)

3 2

( ) 4

5 4

h x x

x x

= − ⇒

( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 4 3

2 2

2 2

12 · 5 4 4 · 10 4 20 32

´( )

5 4 5 4

x x x x x x x

h x

x x x x

− − − −

= =

− − .

Se podría simplificar algo más:

( ) ( ) ( )

4 3 4 3 2

2 2 2 2

2

20 32 20 32 20 32

´( )

5 4 5 4

5 4

x x x x x x

h x

x x x

x x

− − −

= = =

− −

− .

6. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )=2x3−6x.

Solución

Derivando e igualando a 0:

:

´( ) 6 2 6 0 1

f x = x − = ⇒ = ±x

Si x < –1, f x´( )>0 ⇒ f x( ) es creciente.

Si –1 < x < 1, f x´( )<0 ⇒ f x( ) es decreciente. Además, en x = –1 se tiene un máximo.

Si x > 1, f x´( )>0 ⇒ f x( ) es creciente. Además, en x = 1 se tiene un mínimo.

Aunque no se pide, la gráfica de la función es la adjunta.

Alcalá de Henares, 29 de abril de 2016

Figure

Actualización...

Related subjects :