EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 6. 7, 8 y 9 (Recuperación) 1

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 6. 7, 8 y 9 (Recuperación)

1. Para las funciones representadas en las siguientes figuras, determina:

a) (0,9 puntos) Su dominio y recorrido. b) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas, si las tienen.

c) (0,6 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) (0,3 puntos) La función de la izquierda es ^{f x ( ) = log} ( ^{x 2 − 1} ) . ¿En qué puntos corta al eje OX?

e) (0,3 puntos) Otra de las funciones es f x ( ) = e ^{− x}

+ . ¿Cuál de ellas es? Si tiene alguna asíntota, 1 da su ecuación.

2. (1,5 puntos) De una función se sabe que f (2) = 0,8 y que f (5) = 3, 2 . Aplicando la interpolación lineal asigna valores a f (3) y f (5, 5) .

3. (1,8 puntos) La oferta de un determinado producto, según su precio x, viene dada por la función

2

25 250 si 0 8

( ) 40 194 si 8 30

x x

f x x x x

+ < ≤

=    − + + < ≤

A la vista de su gráfica, explica para qué valor de x alcanza la oferta máxima. ¿Existe algún valor de x para el cual la oferta sea menor que 450 unidades?

Observación : Para representarla conviene marcar en el eje OY intervalos de amplitud 50: 0/50/100…

4. (1,5 puntos) Dada la función ( ) ^{6 2} 1 f x x

x

= −

+ , halla en qué puntos corta a los ejes de coordenadas y determina sus asíntotas. Con esos datos haz un esbozo de su gráfica, indicando la posición de la curva con respecto a sus asíntotas.

5. (1,2 puntos) A partir de la gráfica de la función f x ( ) dada más abajo, representa, en el orden que se indican, las gráficas de las funciones f x , ( ) − f x ( ) y 2· ( ) f x .

6. (1,5 puntos) La expresión P t ( ) = P ₀ ·1,1 ^t determinaba el precio de la vivienda nueva en los años 90 del siglo pasado; t = 0 se corresponde con el año 1990.

Si una vivienda costaba 10 millones de pesetas a principios de 1992, calcula:

a) ¿Cuánto valía al comenzar 1990? b) ¿En qué año alcanzó un valor de 22 millones?

Alcalá de Henares, 24 de marzo de 2017

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Soluciones:

1. Para las funciones representadas en las siguientes figuras, determina:

a) (0,9 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas, si las tienen.

c) (0,6 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(1) (2) (3)

d) (0,3 puntos) La función de la izquierda es ^{f x ( ) = log} ( ^{x 2} − . ¿En qué puntos corta al eje OX? ¹ )

e) (0,3 puntos) Otra de las funciones es f x ( ) = e ^{− x}

+ . ¿Cuál de ellas es? Si tiene alguna asíntota, 1 da su ecuación.

Solución

Se denotan por (1), (2) y (3) las gráficas dadas.

:

a) Para (1): Dom: R – [–1, 1]; Recorrido: R.

Para (2): Dom: R; Recorrido: (1, 2]. (Que el recorrido tome o no el valor 1 no está demasiado claro atendiendo solo al gráfico, pero eso parece).

Para (3): Dom: R. Recorrido: [0, 1).

b) La gráfica de (1) tiene dos asíntotas verticales, de ecuaciones x = –1 y x = 1.

La función representada en (2) tiene una asíntota horizontal, la recta y = 1.

c) Gráfica (1): crecimiento, (1, + ∞); decrecimiento, (–∞, –1).

Gráfica (2): crecimiento, (– ∞, 0); decrecimiento, (0, +∞).

Gráfica (3): crece en cada intervalo [n, n + 1), con n entero. Nunca es decreciente.

d) ^{f x ( ) = log} ( ^{x 2 − = 1} ) ^{0 ⇒ x 2 − = ⇒ 1 1 x 2 = ⇒ = ± 2 x 2 .}

e) La única posible es la (2), pues f (0) = 2 . En efecto, para f x ( ) = e ^{− x}

+ 1 → f (0) = e ^{− 0} + = . 1 2 Se confirma que y = 2 es su asíntota horizontal, pues para valores grandes de x, f x ( ) = e ^{− x}

+ 1 → 2.

2. (1,5 puntos) De una función se sabe que f (2) = 0,8 y que f (5) = 3, 2 . Aplicando la interpolación lineal asigna valores a f (3) y f (5, 5) .

Solución

La función de interpolación es la recta :

( )

f x = mx + n .

De f (2) = 0,8 ⇒ 0,8 = 2m + n ; de f (5) = 3, 2 ⇒ 3, 2 = 5m + n .

Restando ambas ecuaciones: 2, 4 = 3 m ⇒ = m 0,8 ; y sustituyendo: n = – 0,8.

La función es: f x ( ) = 0,8 x − 0.8 . En consecuencia:

(3) 0,8·3 0,8 1, 6

f = − = y f (5, 5) = 0,8·5, 5 0,8 − = 3, 6 .

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3. (1,8 puntos) La oferta de un determinado producto, según su precio x, viene dada por la función

2

25 250 si 0 8

( ) 40 194 si 8 30

x x

f x x x x

+ < ≤

=    − + + < ≤

A la vista de su gráfica, explica para qué valor de x alcanza la oferta máxima. ¿Existe algún valor de x para el cual la oferta sea menor que 450 unidades?

Observación: Para representarla conviene marcar en el eje OY intervalos de amplitud 50: 0/50/100…

Solución

Se trata de una función definida a trozos.

:

En el intervalo (0, 8] la función es una recta; desde x > 8 hasta x = 30 la función es una parábola.

La recta puede trazarse dando dos puntos: (1, 275) y (8, 450).

Puede verse que si x se acerca 0, la función se acerca a 250, punto (0, 250), que no es de la gráfica.

Puntos de la parábola son: (10, 494); (20, 594) y (30, 494).

También puede verse que si x se acerca 8, la parábola se acerca a 450, punto (8, 450); esto indica que la función es continua.

Se obtiene la gráfica adjunta.

El máximo se alcanza en el vértice de la parábola, punto (20, 594).

La oferta es menor que 450 unidades en todo el tramo recto, para 0 < x < 8.

4. (1,5 puntos) Dada la función 6 2 ( ) 1 f x x

x

= −

+ , halla en qué puntos corta a los ejes de coordenadas y determina sus asíntotas. Con esos datos haz un esbozo de su gráfica, indicando la posición de la curva con respecto a sus asíntotas.

Solución

Dom(f) = R – {–1}.

:

Corta al eje OX cuando y = 0 ⇒ 6 – 2x = 0 ⇒ x = 3. Punto (3, 0)

Corta al eje OY cuando x = 0 ⇒ y = 6. Punto (0, 6).

En x = –1 tiene una asíntota vertical.

Por la izquierda de x = –1 la rama de curva se va hacia –∞.

Por la derecha de x = –1 la rama de la curva se va hacia +∞.

También tiene una asíntota horizontal, la recta y = –2.

Hacia +∞ la función toma valores mayores que –2.

Hacía –∞ toma valores menores que –2.

Algunos de sus puntos son:

(––9, –3); (–3, 6); (0, 6); (3, 0)

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5. (1,2 puntos) A partir de la gráfica de la función f x ( ) dada más abajo, representa, en el orden que se indican, las gráficas de las funciones f x , ( ) − f x ( ) y 2· ( ) f x .

Solución:

→ La función ( ) f x convierte en positivos todos los valores negativos de f x ( ) .

→ La función ^{− f x ( )} cambia de signo todos los valores de f x ( ) .

→ La función 2· ( ) f x multiplica por 2 los valores de f x ( ) .

6. (1,5 puntos) La expresión P t ( ) = P ₀ ·1,1 ^t determinaba el precio de la vivienda nueva en los años 90 del siglo pasado; t = 0 se corresponde con el año 1990.

Si una vivienda costaba 10 millones de pesetas a principios de 1992, calcula:

a) ¿Cuánto valía al comenzar 1990? b) ¿En qué año alcanzó un valor de 22 millones?

Solución

a) A principios de 1992, t = 2 ⇒ :

2

(2) 0 ·1,1 10

P = P = ⇒ ₀ 10

8, 2644628 1, 21

P = = millones de pta.

Por tanto, la función es P t ( ) = 8, 2644628·1,1 ^t . b) Si su precio es 22 millones:

( ) 8, 2644628·1,1 ^t 22

P t = = ⇒ 22

1,1 8, 2644628

t = ⇒

⇒ 22 22

log1,1 log ·log1,1 log

8, 2644628 8, 2644628

t = ⇒ t = ⇒ t ≈ 10, 74 años.

Luego, en el año 2000 (a finales de3 septiembre) la vivienda valía 22 millones de pesetas.

Alcalá de Henares, 24 de marzo de 2017