EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 10 y 11 1

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(1)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 10 y 11

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a) lim ( )

x f x

 b)

2

lim ( )

x f x

 c)

0

lim ( )

x f x

d)

3

lim ( )

x f x

e)

4

lim ( )

x

f x

f)

4

lim ( )

x

f x

g)

6

lim ( )

x f x

h) lim ( )

x f x



(0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

2 1 2

lim 16

3 4

x

x

x x

(0,3 puntos) b)

2 4 2

lim 16

3 4

x

x

x x



(0,6 puntos) c)

2

lim 2

3 7

x

x

x

(0,7 puntos) d)

2 2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



(0,4 puntos)

3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,

0

( ) ( )

´( ) lim

h

f a h f a

f a h

  , halla:

a) (1 punto) Para f x( )  x2 3x, el valor de ´(2)f .

b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( )  x2 3x en el punto x = 2.

c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado, la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3

f x x 3x x . ¿Cuánto vale ´( 1)f ?

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3. Da dos valores de x en los que ´( )g x 0. c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x.

5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y

mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018

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Soluciones:

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a) lim ( )

x f x

 b)

2

lim ( )

x f x

 c)

0

lim ( )

x f x

d)

3

lim ( )

x f x

e)

4

lim ( )

x

f x

f)

4

lim ( )

x

f x

g)

6

lim ( )

x

f x h) lim ( )

x

 f x (0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?

Solución:

a) lim ( ) 3

x

 f x . La función es constante (y = 3) hacia –∞.

b)

2

lim ( )

x f x

 no existe. (Cuando x → 2, f x( )3; si x → 2+, f x( )2. No son iguales).

c)

0

lim ( ) 0

x

f x . d)

3

lim ( ) 3

x f x

. (Coinciden los límites laterales; aunque f(3)4).

e)

4

lim ( )

x

f x

 . f)

4

lim ( ) 1

x

f x

. Es evidente que no existe

4

lim ( )

x f x

. g)

6

lim ( ) 1

x

f x . h) lim ( )

x f x

  . La función toma cada vez valores más grandes.

La función es discontinua en los puntos x = –2, x = 3 y x =4.

En x = –2 y x =4 por no existir límite.

En x = 3 por no cumplirse que

3

lim ( ) (3)

x

f x f

.

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

2

1 2

lim 16

3 4

x

x

x x

(0,3 puntos) b)

2

4 2

lim 16

3 4

x

x

x x



(0,6 puntos) c)

2

lim 2

3 7

x

x

x

(0,7 puntos) d)

2 2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



(0,4 puntos) Solución:

a)

2

1 2

16 15

limx 3 4 0

x

x x

 

. No existe.

(3)

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b)

2

4 2

16 0

lim 3 4 0

x

x

x x



 

  

 = 



4 4

4 4 4 8 8

lim lim

4 1 1 5 5

x x

x x x

x x x

 

.

c)

2

2 0

limx 3 7 0 x

x

 

  

  =

 

  

2

2 3 7

lim

3 7 3 7

x

x x

x x

=

 

2

2 3 7

limx 9 7

x x

x

  =

=

   

2 2

2 3 7 3 7

lim lim 3 3 6

2 1

x x

x x x

x

    

.

d)

2

2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



 

  

  =

2

2 2

2

2 2 2

3 4

lim 3 0 3

3 4 1 0 0

x

x x

x x

x x

x x x



 

3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,

0

( ) ( )

´( ) lim

h

f a h f a

f a h

  , halla:

a) (1 punto) Para f x( )  x2 3x, el valor de ´(2)f .

b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( )  x2 3x en el punto x = 2.

c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

Solución:

a)

0

(2 ) (2)

´(2) lim

h

f h f

f h

  = 22

0 0 0

2 2

lim lim lim 1 1

h h h

h h h h

h h h

          Cálculos:

(2) 4 6 2

f     , f 2h  2 h23 2 h  4 4h h 2 6 3h   h2 h 2.

b) La ecuación de la recta tangente es

(2) ´(2) 2

y f f x y  2 x    2 y x 4.

c) Dando valores se pueden obtener algunos puntos y representar tanto la curva como la recta.

Para la curva: (0, 0); (1, 2); (2, 2); (3, 0).

Para la recta: (0, 4); (2, 2); (4, 0).

4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado en todos los casos, la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3

f x x 3x x . ¿Cuánto vale f´( 1) ?

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3. Da dos valores de x en los que g x´( )0. c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x.

Solución:

(4)

1º Bachillerato CS

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a) (0,5 puntos) 4 2 3

( ) 3 5 3

f x x 3x x f x´( ) 12 x32x25

3 2

´( 1) 12·( 1) 2·( 1) 5 12 2 5 9 f          .

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3g x´( )3 4

x28x

2· 8 x8

Sin hacer la ecuación g x´( )0 se observa n dos soluciones: x = 0 y x = 1; que son los valores que anulan cada uno de los factores (paréntesis).

Haciendo la ecuación:

2

2

´( ) 3 4 8 · 8 8 0

g x x x x  3x4x82· 8 x 8 0  x = 0; x = 1; x = 2.

c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

 

   

2 2

2 2

2 2

4 · 3 2 ·2 12

´( )

3 3

x x x x x

h x

x x

 

.

d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x

2

4 3

´( )

2 2 3

j x x

x x

. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3 f x´( )2e2x3.

f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x 2

6 1

´( ) 3 f x x

x x

.

5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y

mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Solución:

Derivando e igualando a 0:

´( ) 6 2 6 ´( ) 6 1

f x x x f x x x f x´( )  0 x 0;x1. Si x < 0, ´( )f x 0  ( )f x es creciente.

Si 0 < x < 1, f x´( )0f x( ) es decreciente. Además, en x = 0 se tiene un máximo relativo: punto (0, 0).

Si x > 1, ´( )f x 0  ( )f x es creciente. Además, en x = 1 se tiene un mínimo relativo: punto (1, –1).

Corte con los ejes:

3 2 2

( ) 2 3 2 3

f x x x x x  (0, 0) máximo; (3/2, 0).

Otros puntos: (–1, –5); (2, 4).

Su gráfica es la adjunta.

Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018

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