1º Bachillerato CS
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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Temas 10 y 11
1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:
(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:
a) lim ( )
x f x
b)
2
lim ( )
x f x
c)
0
lim ( )
x f x
d)
3
lim ( )
x f x
e)
4
lim ( )
x
f x
f)
4
lim ( )
x
f x
g)
6
lim ( )
x f x
h) lim ( )
x f x
(0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?
2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:
a)
2 1 2
lim 16
3 4
x
x
x x
(0,3 puntos) b)
2 4 2
lim 16
3 4
x
x
x x
(0,6 puntos) c)
2
lim 2
3 7
x
x
x
(0,7 puntos) d)
2 2
3 4
lim 3 4
x
x x
x x
(0,4 puntos)
3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,
0
( ) ( )
´( ) lim
h
f a h f a
f a h
, halla:
a) (1 punto) Para f x( ) x2 3x, el valor de ´(2)f .
b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( ) x2 3x en el punto x = 2.
c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.
4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado, la derivada de las siguientes funciones:
a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3
f x x 3x x . ¿Cuánto vale ´( 1)f ?
b) (0,5 puntos) g x( )
4x28x
3. Da dos valores de x en los que ´( )g x 0. c) (0,4 puntos)2 2
( ) 2
3 h x x
x
. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3 x2x.
5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y
mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018
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Soluciones:
1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:
(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:
a) lim ( )
x f x
b)
2
lim ( )
x f x
c)
0
lim ( )
x f x
d)
3
lim ( )
x f x
e)
4
lim ( )
x
f x
f)
4
lim ( )
x
f x
g)
6
lim ( )
x
f x h) lim ( )
x
f x (0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?
Solución:
a) lim ( ) 3
x
f x . La función es constante (y = 3) hacia –∞.
b)
2
lim ( )
x f x
no existe. (Cuando x → 2–, f x( )3; si x → 2+, f x( )2. No son iguales).
c)
0
lim ( ) 0
x
f x . d)
3
lim ( ) 3
x f x
. (Coinciden los límites laterales; aunque f(3)4).
e)
4
lim ( )
x
f x
. f)
4
lim ( ) 1
x
f x
. Es evidente que no existe
4
lim ( )
x f x
. g)
6
lim ( ) 1
x
f x . h) lim ( )
x f x
. La función toma cada vez valores más grandes.
La función es discontinua en los puntos x = –2, x = 3 y x =4.
En x = –2 y x =4 por no existir límite.
En x = 3 por no cumplirse que
3
lim ( ) (3)
x
f x f
.
2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:
a)
2
1 2
lim 16
3 4
x
x
x x
(0,3 puntos) b)
2
4 2
lim 16
3 4
x
x
x x
(0,6 puntos) c)
2
lim 2
3 7
x
x
x
(0,7 puntos) d)
2 2
3 4
lim 3 4
x
x x
x x
(0,4 puntos) Solución:
a)
2
1 2
16 15
limx 3 4 0
x
x x
. No existe.
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b)
2
4 2
16 0
lim 3 4 0
x
x
x x
=
4 4
4 4 4 8 8
lim lim
4 1 1 5 5
x x
x x x
x x x
.
c)
2
2 0
limx 3 7 0 x
x
=
2
2 3 7
lim
3 7 3 7
x
x x
x x
=
2
2 3 7
limx 9 7
x x
x
=
=
2 2
2 3 7 3 7
lim lim 3 3 6
2 1
x x
x x x
x
.
d)
2
2
3 4
lim 3 4
x
x x
x x
=
2
2 2
2
2 2 2
3 4
lim 3 0 3
3 4 1 0 0
x
x x
x x
x x
x x x
3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,
0
( ) ( )
´( ) lim
h
f a h f a
f a h
, halla:
a) (1 punto) Para f x( ) x2 3x, el valor de ´(2)f .
b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( ) x2 3x en el punto x = 2.
c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.
Solución:
a)
0
(2 ) (2)
´(2) lim
h
f h f
f h
= 2 2
0 0 0
2 2
lim lim lim 1 1
h h h
h h h h
h h h
Cálculos:
(2) 4 6 2
f , f 2h 2 h23 2 h 4 4h h 2 6 3h h2 h 2.
b) La ecuación de la recta tangente es
(2) ´(2) 2
y f f x y 2 1·x 2 y x 4.
c) Dando valores se pueden obtener algunos puntos y representar tanto la curva como la recta.
Para la curva: (0, 0); (1, 2); (2, 2); (3, 0).
Para la recta: (0, 4); (2, 2); (4, 0).
4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado en todos los casos, la derivada de las siguientes funciones:
a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3
f x x 3x x . ¿Cuánto vale f´( 1) ?
b) (0,5 puntos) g x( )
4x28x
3. Da dos valores de x en los que g x´( )0. c) (0,4 puntos)2 2
( ) 2
3 h x x
x
. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3 x2x.
Solución:
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a) (0,5 puntos) 4 2 3
( ) 3 5 3
f x x 3x x f x´( ) 12 x32x25
3 2
´( 1) 12·( 1) 2·( 1) 5 12 2 5 9 f .
b) (0,5 puntos) g x( )
4x28x
3 g x´( )3 4
x28x
2· 8 x8 Sin hacer la ecuación g x´( )0 se observa n dos soluciones: x = 0 y x = 1; que son los valores que anulan cada uno de los factores (paréntesis).
Haciendo la ecuación:
2
2 ´( ) 3 4 8 · 8 8 0
g x x x x 3x4x82· 8 x 8 0 x = 0; x = 1; x = 2.
c) (0,4 puntos)
2 2
( ) 2
3 h x x
x
2 2
2 2
2 2
4 · 3 2 ·2 12
´( )
3 3
x x x x x
h x
x x
.
d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x
2
4 3
´( )
2 2 3
j x x
x x
. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3 f x´( )2e2x3.
f) (0,3 puntos) f x( )ln 3 x2x 2
6 1
´( ) 3 f x x
x x
.
5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y
mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Solución:
Derivando e igualando a 0:
´( ) 6 2 6 ´( ) 6 1
f x x x f x x x f x´( ) 0 x 0;x1. Si x < 0, ´( )f x 0 ( )f x es creciente.
Si 0 < x < 1, f x´( )0 f x( ) es decreciente. Además, en x = 0 se tiene un máximo relativo: punto (0, 0).
Si x > 1, ´( )f x 0 ( )f x es creciente. Además, en x = 1 se tiene un mínimo relativo: punto (1, –1).
Corte con los ejes:
3 2 2
( ) 2 3 2 3
f x x x x x (0, 0) máximo; (3/2, 0).
Otros puntos: (–1, –5); (2, 4).
Su gráfica es la adjunta.
Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018