• No se han encontrado resultados

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 10 y 11 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 10 y 11 1"

Copied!
4
0
0

Texto completo

(1)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 10 y 11

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a) lim ( )

x f x

 b)

2

lim ( )

x f x

 c)

0

lim ( )

x f x

d)

3

lim ( )

x f x

e)

4

lim ( )

x

f x

f)

4

lim ( )

x

f x

g)

6

lim ( )

x f x

h) lim ( )

x f x



(0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

2 1 2

lim 16

3 4

x

x

x x

(0,3 puntos) b)

2 4 2

lim 16

3 4

x

x

x x



(0,6 puntos) c)

2

lim 2

3 7

x

x

x

(0,7 puntos) d)

2 2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



(0,4 puntos)

3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,

0

( ) ( )

´( ) lim

h

f a h f a

f a h

  , halla:

a) (1 punto) Para f x( )  x2 3x, el valor de ´(2)f .

b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( )  x2 3x en el punto x = 2.

c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado, la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3

f x x 3x x . ¿Cuánto vale ´( 1)f ?

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3. Da dos valores de x en los que ´( )g x 0. c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x.

5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y

mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018

(2)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 2

Soluciones:

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

(0,2 puntos cada límite) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

a) lim ( )

x f x

 b)

2

lim ( )

x f x

 c)

0

lim ( )

x f x

d)

3

lim ( )

x f x

e)

4

lim ( )

x

f x

f)

4

lim ( )

x

f x

g)

6

lim ( )

x

f x h) lim ( )

x

 f x (0,4 puntos) ¿En qué puntos es discontinua?

Solución:

a) lim ( ) 3

x

 f x . La función es constante (y = 3) hacia –∞.

b)

2

lim ( )

x f x

 no existe. (Cuando x → 2, f x( )3; si x → 2+, f x( )2. No son iguales).

c)

0

lim ( ) 0

x

f x . d)

3

lim ( ) 3

x f x

. (Coinciden los límites laterales; aunque f(3)4).

e)

4

lim ( )

x

f x

 . f)

4

lim ( ) 1

x

f x

. Es evidente que no existe

4

lim ( )

x f x

. g)

6

lim ( ) 1

x

f x . h) lim ( )

x f x

  . La función toma cada vez valores más grandes.

La función es discontinua en los puntos x = –2, x = 3 y x =4.

En x = –2 y x =4 por no existir límite.

En x = 3 por no cumplirse que

3

lim ( ) (3)

x

f x f

.

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a)

2

1 2

lim 16

3 4

x

x

x x

(0,3 puntos) b)

2

4 2

lim 16

3 4

x

x

x x



(0,6 puntos) c)

2

lim 2

3 7

x

x

x

(0,7 puntos) d)

2 2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



(0,4 puntos) Solución:

a)

2

1 2

16 15

limx 3 4 0

x

x x

 

. No existe.

(3)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 3

b)

2

4 2

16 0

lim 3 4 0

x

x

x x



 

  

 = 



4 4

4 4 4 8 8

lim lim

4 1 1 5 5

x x

x x x

x x x

 

.

c)

2

2 0

limx 3 7 0 x

x

 

  

  =

 

  

2

2 3 7

lim

3 7 3 7

x

x x

x x

=

 

2

2 3 7

limx 9 7

x x

x

  =

=

   

2 2

2 3 7 3 7

lim lim 3 3 6

2 1

x x

x x x

x

    

.

d)

2

2

3 4

lim 3 4

x

x x

x x



 

  

  =

2

2 2

2

2 2 2

3 4

lim 3 0 3

3 4 1 0 0

x

x x

x x

x x

x x x



 

3. Aplicando la definición de derivada de una función en un punto,

0

( ) ( )

´( ) lim

h

f a h f a

f a h

  , halla:

a) (1 punto) Para f x( )  x2 3x, el valor de ´(2)f .

b) (0,6 puntos) La ecuación de la recta tangente a la curva f x( )  x2 3x en el punto x = 2.

c) (0,6 puntos) Representa gráficamente la curva y la recta tangente.

Solución:

a)

0

(2 ) (2)

´(2) lim

h

f h f

f h

  = 22

0 0 0

2 2

lim lim lim 1 1

h h h

h h h h

h h h

          Cálculos:

(2) 4 6 2

f     , f 2h  2 h23 2 h  4 4h h 2 6 3h   h2 h 2.

b) La ecuación de la recta tangente es

(2) ´(2) 2

y f f x y  2 x    2 y x 4.

c) Dando valores se pueden obtener algunos puntos y representar tanto la curva como la recta.

Para la curva: (0, 0); (1, 2); (2, 2); (3, 0).

Para la recta: (0, 4); (2, 2); (4, 0).

4. (2,3 puntos) Halla, simplificando el resultado en todos los casos, la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,5 puntos) ( ) 3 4 2 3 5 3

f x x 3x x . ¿Cuánto vale f´( 1) ?

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3. Da dos valores de x en los que g x´( )0. c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

. d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3. f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x.

Solución:

(4)

1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 4

a) (0,5 puntos) 4 2 3

( ) 3 5 3

f x x 3x x f x´( ) 12 x32x25

3 2

´( 1) 12·( 1) 2·( 1) 5 12 2 5 9 f          .

b) (0,5 puntos) g x( )

4x28x

3g x´( )3 4

x28x

2· 8 x8

Sin hacer la ecuación g x´( )0 se observa n dos soluciones: x = 0 y x = 1; que son los valores que anulan cada uno de los factores (paréntesis).

Haciendo la ecuación:

2

2

´( ) 3 4 8 · 8 8 0

g x x x x  3x4x82· 8 x 8 0  x = 0; x = 1; x = 2.

c) (0,4 puntos)

2 2

( ) 2

3 h x x

x

 

   

2 2

2 2

2 2

4 · 3 2 ·2 12

´( )

3 3

x x x x x

h x

x x

 

.

d) (0,3 puntos) j x( ) 2x23x

2

4 3

´( )

2 2 3

j x x

x x

. e) (0,3 puntos) f x( )e2x3 f x´( )2e2x3.

f) (0,3 puntos) f x( )ln 3x2x 2

6 1

´( ) 3 f x x

x x

.

5. (1,5 puntos) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )2x33x2. Haz un esbozo de su gráfica indicando sus valores máximos y

mínimos relativos, y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Solución:

Derivando e igualando a 0:

´( ) 6 2 6 ´( ) 6 1

f x x x f x x x f x´( )  0 x 0;x1. Si x < 0, ´( )f x 0  ( )f x es creciente.

Si 0 < x < 1, f x´( )0f x( ) es decreciente. Además, en x = 0 se tiene un máximo relativo: punto (0, 0).

Si x > 1, ´( )f x 0  ( )f x es creciente. Además, en x = 1 se tiene un mínimo relativo: punto (1, –1).

Corte con los ejes:

3 2 2

( ) 2 3 2 3

f x x x x x  (0, 0) máximo; (3/2, 0).

Otros puntos: (–1, –5); (2, 4).

Su gráfica es la adjunta.

Alcalá de Henares, 23 de abril de 2018

Referencias

Documento similar

b) Si después de esas dos extracciones quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba3. Haz una representación de cada uno de los

El vendedor facilita su adquisición a particulares financiando su compra a un tipo de interés nominal del 12 % y permite su pago en 24 cuotas mensuales (la primera mensualidad se

(Puede verse estudiando el signo de la función para valores próximos a 3, tanto por la izquierda como por la derecha). Hacia –∞ la función toma valores menores que 2. Hacía +∞

a) (0,9 puntos) Su dominio y recorrido. b) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas, si las tienen. ¿Cuál de ellas es? Si tiene alguna asíntota, 1 da su ecuación. ¿Existe

Aunque la función no está definida en x = –4, el valor de la función se acerca a 0 por ambos lados: por la izquierda y por la derecha.. Es obvio que en x = 2 la función no

1. Representa gráficamente el intervalo solución. Hay que estudiar los signos del numerador y denominador de la fracción algebraica. • Si x &lt; –5: el numerador es positivo;

a) Su dominio y recorrido. b) La ecuación de sus asíntotas. d) Sus máximos y mínimos, indicando las coordenadas de dichos puntos. Indica su máximo y mínimo relativos, si los tiene.

¿En qué puntos corta a los ejes e coordenadas? Haz un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos. Haz su representación 5 gráfica. La cantidad de madera