EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I 1

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

1 (0,8 puntos) Alejandro pesa 64 kg y mide 178 cm. Un profesor que lo ve sentado estima que pesa 60 kg y que mide 185 cm. Halla en cada caso:

a) (0,5 puntos) El error absoluto y relativo que comete en cada estimación.

b) (0,3 puntos) ¿Cuál de las dos estimaciones es peor?

2. (1,2 puntos) Calcula y simplifica:

 

2

2 1 2 1 2 1 1 2

2 · · 5 2

2 5 2 5 25

x x x x

 

 

 

3. Calcula, agrupando y simplificando:

a) (0,6 puntos) 3 12

2 128 200

5 8

. b) (0,6 puntos) 2 2

1 31 3

.

4. a) (0,2 puntos) Enuncia el concepto de raíz de un polinomio.

b) (0,3 puntos) ¿Qué dice el teorema del resto?

5. (1,8 puntos) Resuelve la ecuación: 7 82 33 xx x 2.

6. Justificando los resultados:

a) (0,4 puntos) Halla b en la ecuación 2x2bx 1 0 sabiendo que una de sus soluciones es x = 2.

b) (0,5 puntos) Halla el valor de c para que la ecuación 2x24x c 0 tenga solo una solución.

c) (0,6 puntos) Halla a en la ecuación ax24x 8 para que x = 1 sea una de sus soluciones. Si tiene otra solución, calcúlala.

7. (1 punto) Resuelve la ecuación x632x.

8. En la bodega de Antonio hay botellas de vino blanco, de vino tinto y de vino rosado. Si sumamos las botellas de vino blanco con las de tinto obtenemos el triple de las botellas de rosado. La suma de las botellas de tinto con las de rosado supera en 40 unidades a las botellas de blanco. Además sabemos que Antonio tiene en su bodega 280 botellas.

a) (1,2 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botellas hay de cada tipo de vino.

b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

Alcalá de Henares, 29 de octubre de 2018.

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SOLUCIONES

1 (0,8 puntos) Alejandro pesa 64 kg y mide 178 cm. Un profesor que lo ve sentado estima que pesa 60 kg y que mide 185 cm. Halla en cada caso:

a) (0,5 puntos) El error absoluto y relativo que comete en cada estimación.

b) (0,3 puntos) ¿Cuál de las dos estimaciones es peor?

Solución:

a) Error absoluto:

 peso: Epeso 64 60 4 kg.  estatura: Eestatura 178 185 7 Error relativo:

 peso: 4 0, 0625

rpeso 64

E .  estatura: / 7 0, 0393...

r estatura 178

E

b) La estimación es peor cuando el error relativo es mayor. En este caso, ha sido peor la estimaciónj del peso.

2. Calcula y simplifica:

(1,2 puntos) 2x212x52   · 12x215251· 5

x22

2

Solución:

 

2

2 1 2 1 2 1 1 2

2 · · 5 2

2 5 2 5 25

x x x x

 

 

  =

= x452x214x3101 x15x2252 251· 25

x420x24

=

= 4 2 2 1 3 1 1 2 2 4 20 2 4

5 4 10 5 25 25 25

x x x x x x x =

= 1 3 2 1 20 · 2 1 2 4

4x 5 5 25x 10x 25 25

   

= 1 3 3 2 1 6

4x 5x 10x 25

.

3. Calcula, agrupando y simplificando:

a) (0,6 puntos) 3 12

2 128 200

5 8

. b) (0,6 puntos) 2 2

1 31 3

. Solución:

a) 3 12

2 128 200

5 8

= 3 12

2 64·2 100·2

5 4·2

= 3 12

2·8 2 ·10 2

5 2 2

=

= 16 2 6 2 6 2

2· 2 = 10 2 6 2 13 2

2 .

b)

   

  

2 1 3 2 1 3

2 2 4 3

1 3 2 3

1 3 1 3 1 3 1 3

.

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4. a) (0,2 puntos) Enuncia el concepto de raíz de un polinomio.

b) (0,3 puntos) ¿Qué dice el teorema del resto?

Solución:

a) Si P x( ) es un polinomio, se dice que x = a es raíz de P x( ) si P a( )0.

b) El valor numérico de P x( ) para x = a es igual al resto de la división de P x( ) entre x a .

5. (1,8 puntos) Resuelve la ecuación: 7 82 33 xx x 2. Solución:

2 3

7 8 3

xx x 27 2 83 3 x x 2

x

7x28x 3 2x32x37x28x 3 0. Posibles raíces (enteras) de la ecuación: x = ±1; ±3.

 x = 1 es una raíz, pues 2·137·128·1 3 0.

Por tanto, (x  1) es un factor del polinomio asociado a la ecuación, P x( )2x37x28x3 Dividiendo ese polinomio entre (x  1) se tiene lo que sigue:

Esto es:

3 2

2x 7x 8x 3 0x1 · 2x25x 30.

El trinomio 2 2 5 3 0 5 25 24 1

3 / 2

x x x 4

     

. Las raíces buscadas son: 1; 1; 3

x x x2. 6. Justificando los resultados:

a) (0,4 puntos) Halla b en la ecuación 2x2bx 1 0 sabiendo que una de sus soluciones es x = 2.

b) (0,5 puntos) Halla el valor de c para que la ecuación 2x24x c 0 tenga solo una solución.

c) (0,6 puntos) Halla a en la ecuación ax24x 8 para que x = 1 sea una de sus soluciones. Si tiene otra solución, calcúlala.

Solución:

a) Si x = 2 es solución  2·22b·2 1 0  9 2 9 b b 2

  .

b) Para que la ecuación 2x24x c 0 tenga solo una solución debe cumplirse que 16 4·2· c   0 c 2.

c) Si x = 1 es solución de ax24x 8  a + 4 = 8  a = 12.

Por tanto, la ecuación será: 12x24x 812x24x 8 0 4 16 384 1 2 / 3 x  24  

.

2 7 8 3

1 2 5 3

2 5 3 0

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7. (1 punto) Resuelve la ecuación x632x. Solución:

x

x632 x 6 2x3

x6

2 2x32x 6 4x212x9

4x213x 3 0 13 169 48 13 11 3 8 8 1/ 4

x

 

 x = 1/4 no vale.

8. En la bodega de Antonio hay botellas de vino blanco, de vino tinto y de vino rosado. Si sumamos las botellas de vino blanco con las de tinto obtenemos el triple de las botellas de rosado. La suma de las botellas de tinto con las de rosado supera en 40 unidades a las botellas de blanco. Además sabemos que Antonio tiene en su bodega 280 botellas.

a) (1,2 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botellas hay de cada tipo de vino.

b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

Solución:

a) Sean x, y, z el número de botellas de vino blanco, tinto y rosado, respectivamente.

Los datos del problema afirman que:

280 3

40 x y z

x y z

y z x

  

 

   

280

3 0

40 x y z

x y z

x y z

  

   

    

b) Haciendo trasformaciones de Gauss en el sistema:

280

3 0

40 x y z

x y z

x y z

  

   

    

280

2 1 4 280

3 1 2 240

x y z

E E z

E E x

  

  

120 70 280 90

70

120

y y

z x

   

Antonio tiene 120 botellas de vino blanco, 90 de vino tinto y 70 de rosado.

Alcalá de Henares, 29 de octubre de 2018.

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