EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Temas 10 y 11 1

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 10 y 11

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

a) (0,5 puntos) Halla su dominio de definición y los valores de f −( 2), f(0), f(3). b) (0,5 puntos) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

1) lim ( )

x f x

→− 2)

2

lim ( )

x + f x

3)

0

lim ( )

x f x

4)

4

lim ( )

x f x

5) lim ( )

x f x

→+

c) (0,5 puntos) ¿En qué puntos no es continua? ¿Alguna discontinuidad es evitable?

d) (0,5 puntos) ¿En qué intervalos crece? Da sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a) (0,7 p)

2 1 2

3 4 1

limx 1

x x

x

+

b) (1 p)

2

lim 2

2 4

x

x x

x

+ −

c) (0,3 p)

2 2

2 7

limx 3 4 5

x x

x x

→

+ +

3. (1 punto) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f x( ) 4

= x en el punto de abscisa x = 2.

4. (2 puntos) Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,4 puntos) ( ) 1 3 7 2 4 5

f x =3x + x x+ . ¿Cuánto vale f −´( 1)? b) (0,5 puntos)

2 2

( ) 2 3

g x x x

=

+ . Da un punto en el que la derivada valga 0.

c) (0,6 puntos) h x( )=

(

x23x

)

2· 2( x3). Expresa el resultado como un polinomio ordenado.

d) (0,5 puntos) j x( )= 2x33x2+1. ¿Para qué valores de x la derivada es negativa?

5. (1 puntos) Aplicando límites, determina las asíntotas de la función

2 2

2 3

( )

4

x x

f x x

=

. (No es necesario que hagas los límites laterales).

6. (2 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )=3x22x3. Da algunos de sus puntos, entre ellos los de corte de la gráfica con los ejes, y haz un esbozo de su gráfica.

Alcalá de Henares, 8 de abril de 2019

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Soluciones:

1. (2 puntos) La gráfica de la función f x( ) es la siguiente:

a) (0,5 puntos) Halla su dominio de definición y los valores de ( 2)f − , (0)f , (3)f . b) (0,5 puntos) Determina, justificando brevemente la respuesta, los siguientes límites:

1) lim ( )

x

→− f x 2)

2

lim ( )

x + f x

3)

0

lim ( )

x

f x 4)

4

lim ( )

x

f x 5) lim ( )

x

→+ f x c) (0,5 puntos) ¿En qué puntos no es continua? ¿Alguna discontinuidad es evitable?

d) (0,5 puntos) ¿En qué intervalos crece? Da sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

Solución:

a) Dom(f) = R – {0}.

( 2) 2

f − = ; f(0) no está definida; f(3)=2. b) 1) lim ( )

x f x

→− = 1. La recta y = 1 es asíntota horizontal hacia –.

2)

2

lim ( )

x + f x

= 2.

3)

0

lim ( )

x f x

= 0. Aunque no esté definida en x = 0 existe límite:

0 0

lim ( ) lim ( ) 0

x x

f x f x

+

= = .

4)

4

lim ( )

x f x

no existe. Los límites laterales no son iguales.

c) La función es discontinua en los puntos x = –2, 0, 3, 4 y 5. Evitable en x = 0: existe el límite.

d) Crece en los intervalos: (–0,5, 2) y (6, +).

Tiene un mínimo relativo en x = –0,5; un máximo en x = 2.

2. (2 puntos) Halla, justificando el resultado, el valor de los siguientes límites:

a) (0,7 p)

2 1 2

3 4 1

limx 1

x x

x

+

b) (1 p)

2

lim 2

2 4

x

x x

x

+ −

c) (0,3 p)

2 2

2 7

limx 3 4 5

x x

x x

→

+ +

Solución:

a)

2 1 2

3 4 1 3 4 1 0

limx 1 1 1 0

x x

x

+ = − + =     = ( )( )

( )( )

1 1

1 3 1 3 1 2

lim lim 1

1 1 1 2

x x

x x x

x x x

= = =

+ + .

b)

2

2 0

limx 2 4 0

x x

x

+ −  

=  

  =

( )( )

( )

( )

2

2 2

lim

2 4 2

x

x x x x

x x x

+ − + +

+ + = ( )

( )

( )

2

2

lim 2

2 4 2

x

x x

x x x

+ −

+ + =

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= ( )( )

( )

( ) ( )

2 2

2 1 1 3 3

lim lim

2·4 8

2 2 2 2 2

x x

x x x

x x x x x

− − + = − − = = −

+ + + + .

c) (0,3 p)

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 7 7

2 7 2 2

lim lim lim

4 5

3 4 5

3 4 5 3 3

x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x

x x x

→ → →

=   = = =

+ +   + + + +

.

3. (1 punto) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f x( ) 4

= x en el punto de abscisa x = 2.

Solución:

La ecuación de la recta tangente es y f(2)= f´(2)(x− . 2)

( ) 4

f x = x f x´( ) 42 x

= f(2)=2; f´(2)= −2

Luego, la recta es: y− = −2 (x−  = − + . 2) y x 4

Aunque no se pide, la gráfica correspondiente es la adjunta.

4. (2 puntos) Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) (0,4 puntos) ( ) 1 3 7 2 4 5

f x =3x + x x+ . ¿Cuánto vale f −´( 1)? b) (0,5 puntos)

2 2

( ) 2 3

g x x x

=

+ . Da un punto en el que la derivada valga 0.

c) (0,6 puntos) h x( )=

(

x23x

)

2· 2( x3). Expresa el resultado como un polinomio ordenado.

d) (0,5 puntos) j x( )= 2x33x2+1. ¿Para qué valores de x la derivada es negativa?

Solución:

a) (0,4 puntos) ( ) 1 3 7 2 4 5

f x =3x + x x+ f x´( )=x2+14x4f −´( 1) 1 14 4= − − = −17. b) (0,5 puntos)

2 2 ( ) 2 3 g x x

x

=

+ ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 · 2 3 2 ·2 2 6 4

´( )

2 3 2 3

x x x x x

g x

x x

+ − + +

= =

+ +

La derivada se anula cuando 2x2+6x+ =  x = –1; x = –2. 4 0

c) (0,6 puntos) h x( )=

(

x23x

)

2· 2( x3)h x´( )=2

(

x23 · 2x

)

( x3 · 2)( x− +3)

(

x23x

)

2·2. →

Operando:

(

2

)(

2

)

4 3 2

´( ) 2 3 · 4 12 9 2 12 18

h x = x x x x+ + x x + x

(

4 3 2 3 2

)

4 3 2

´( ) 2 4 12 9 12 36 27 2 12 18

h x = x x + x x + x x + x x + x

4 3 2

´( ) 10 60 108 54 h x = x x + x x.

En este caso es mejor la opción de operar antes y derivar después. Así:

(

2

)

2( )

( ) 3 · 2 3

h x = x x x h x( )=

(

x46x3+9x2

)

· 2( x− =3) 2x515x4+36x327x2.

h x´( ) 10= x460x3+108x254x.

(4)

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d) (0,5 puntos) j x( )= 2x33x2+2

2

3 2

6 6

´( )

2 2 3 2

x x

j x

x x

=

+ .

La derivada es negativa cuando 6x26x 0 6x x( −   0 < x < 1. 1) 0

(Puede indicarse que la función siempre está definida).

5. (1 puntos) Aplicando límites, determina las asíntotas de la función

2 2

2 3

( ) 4

x x

f x x

=

. (No es necesario que hagas los límites laterales).

Solución:

La función no está definida para x = –2 y x = 2. En ambos puntos tiene asíntotas verticales, pues:

2 2 2

2 3 14

lim 4 0

x

x x

→− x

= = 

;

2 2 2

2 3 2

lim 4 0

x

x x

x

= = 

.

Las asíntotas son las rectas x = –2 y x = 2.

También tiene una asíntota horizontal, pues:

2 2

2 2

2 3 2

lim lim 2

4

x x

x x x

x x

→ →

= = =

.

La asíntota es la recta y = 2.

6. (2 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f x( )=3x22x3. Da algunos de sus puntos, entre ellos los de corte de la gráfica con los ejes y haz un esbozo de su gráfica.

Solución:

La función está definida para todo número real x.

Derivando e igualando a 0:

´( ) 6 6 2

f x = x x 6x6x2= 0 6x(1x)=  =0 x 0;x= 1.

Si x < 0, f x ´( ) 0 f x( ) es decreciente.

Si 0 < x < 1, ´( )f x   ( )0 f x es creciente.

Por tanto, en x = 0 se tiene un mínimo.

Si x > 1, f x ´( ) 0 f x( ) es decreciente.

Por tanto, en x = 1 se tiene un máximo.

Cortes con los ejes:

Eje OX: f x( )=3x22x3=  0 2(3 2 ) 0 0

3 / 2

x x x

x

=

=   = . Eje OY: punto (0, 0), mínimo.

Otros puntos: (–1, 5); (1, 1), máximo; (2, –4).

La gráfica de la función es la adjunta.

Alcalá de Henares, 8 de abril de 2019.

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