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FUNDAMENTOS DE

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Tomás Humberto Díaz V.

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA

EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

POPAYÁN (COLOMBIA)

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II

FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

“Te advierto, quienquiera que fueres, hombre que deseas sondear los arcanos de la naturaleza, que si no hallas dentro de ti mismo aquello que buscas, tampoco podrás hallarlo fuera. Si tú ignoras las excelencias de tu propia casa, ¿cómo pretendes encontrar

otras excelencias? En ti se halla oculto el tesoro de los tesoros. Conócete a ti mismo y

conocerás el universo y los dioses".

Oráculo de Delfos.

Tomás Humberto Díaz V.

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS POPAYÁN (COLOMBIA)

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III

CONTENIDO

Página

LISTA DE SÍMBOLOS...VI

ÍNDICE DE AXIOMAS... VIII

PRÓLOGO...1

1. La aurora de la geometría...3

1.1 Introducción...3

1.2 La lógica aristotélica... 4

1.3 Los Elementos de Euclides, su época y su contenido...6

1.4 Reacciones generadas por los Elementos... 8

1.5 Panorama de la geometría griega antigua...10

2. Elementos para argumentar y demostrar...16

2.2 Proposiciones... 17

2.3 Conectivos u operadores lógicos...18

2.4 Función proposicional...20

2.5 Cuantificadores...20

2.6 Métodos de demostración...21

Ejercicios...24

3. El plano euclidiano: puntos, rectas y planos...30

3.2 Axiomas sobre puntos y rectas...31

3.3 Segmento y semirrecta... 34

3.4 Axiomas sobre puntos y planos...35

3.5 Ángulo y región angular...37

(4)

IV

3.7 Polígonos y regiones poligonales...38

3.8 Rectas paralelas...41

3.9 Circunferencia y círculo...43

3.10 Axiomas sobre circunferencias y ángulos...44

3.11 Triángulos y cuadriláteros...51

Ejercicios...54

4. Movimientos generales en el plano...59

Introducción... 59

4.1 Relaciones y funciones...59

4.2 Movimientos en el plano... 62

4.3 Congruencia en el plano……… 64

4.4 Criterios de congruencia……… 67

4.5 Dirección, sentido y orientación……… 71

Ejercicios...76

5. Movimientos básicos en el plano……… 80

5.1 Simetría central……… 80

5.2 Simetría axial………. 81

5.3 Traslaciones……….86

5.4 Rotaciones……….. 92

Ejercicios………95

6. Desigualdades y construcciones geométricas……….100

6.1 Desigualdades geométricas………100

6.2 Construcciones geométricas con regla y compás………. 110

Ejercicios……….. 118

7. Proporcionalidad y semejanza……….123

Introducción………... 123

7.1 Razones y proporciones……… 126

7.2 Las funciones homotecia y semejanza……… 129

7.3 Semejanza de triángulos………132

7.4 Semejanza de Polígonos generales………140

8. Ángulos y polígonos en la circunferencia………149

8.1 Ángulos en la circunferencia……… 149

(5)

V

8.3 Puntos notables en el triángulo………156

8.4 Relaciones métricas en los polígonos regulares……… 159

8.5 Sucesiones………164

8.6 Longitud de la circunferencia……… 166

8.7 Construcciones de polígonos con regla y compás……… 170

Ejercicios………..173

9. Áreas de regiones poligonales y circulares………..180

Introducción………180

9.1 Áreas de regiones poligonales……….181

9.2 Áreas de regiones circulares……… 184

10. El espacio euclidiano………196

Axioma de separación del espacio………196

10.1 Intersección de planos………197

10.2 Paralelismo espacial……… 198

10.3 Perpendicularidad espacial……….198

10.4 Ángulo diedro y ángulo poliedro……… 201

10.5 Proyecciones y distancias espaciales……… 206

10.6 Poliedros……… 209

10.7 Figuras redondas……… 212

10.8 Movimientos en el espacio……….. 218

10.9 Homotecias y semejanzas espaciales……… 221

10.10 Áreas espaciales……….. 225

Ejercicios……… 227

11. Volúmenes de los sólidos……… 233

11.1 Los conceptos de volumen y sólido………233

11.2 La función volumen………234

11.3 Volúmenes de sólidos poliédricos y redondos……… 236

Ejercicios………...244

Bibliografía……… 249

(6)

VI

LISTA DE SÍMBOLOS

Conjunto {1, 2,...}

0 Conjunto {0, 1, 2,...}

Conjunto {0, ±1, ±2,...}

Conjunto de los números racionales (fracciones) [x] Conjunto de polinomios en x de coeficientes racionales

Conjunto de los números reales

Conjunto de puntos del espacio euclidiano  Pertenece a

 No pertenece a  Está contenido en AB A unido B

AB A intersección B

 Conjunto vacío

PQ P o Q

PQ P y Q

PQ P implica Q; si P, entonces Q PQ P si, y sólo si, Q

~ P No P

x Para todo x, para cualquier x

x Para algún x, existe x

A - C - B C está entre A y B y A precede a C

AB

 _Recta_AB

AB Segmento AB

AB

 _Semirrecta_AB_{, rayo}_AB_{( vector}_AB,_{en otros casos)}

(AB 

, C) Semiplano de frontera AB 

, que contiene al punto CAB 

PABC Plano determinado por los puntos A, B y C, plano ABC BAC _Ángulo_BAC

ABC Triángulo ABC ℓ  m ℓ es paralela a m ℓ m ℓ noes paralela a m ℓ m ℓ es perpendicular a m

g o f Compuesta de f y g, f compuesta g

f -1 Inversa de f

d(P,Q) Distancia entre P y Q

PQ _{Distancia entre}_P_y_Q_{, longitud de}_PQ

m (AOB) Medida de AOB

(7)

VII

int.AB Interior de AB

int. AOB Interior de AOB F F’ F es congruente con F’ F F’ F es semejante con F’

 Infinito

Car(A) Cardinal de A

{an} El conjunto o sucesión {a1, a2, }

Lím a n  n

Límite de la sucesión {an} cuando n tiende a infinito

AB 

 Magnitud o longitud del vector AB Ángulo recto

LAL Lado, Ángulo, Lado

ALA Ángulo, Lado, Ángulo

LLL Lado, Lado, Lado

máxA Máximo elemento del conjunto A

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VIII

ÍNDICE DE AXIOMAS

1

0. Axioma de rigidez... I, 9 1. Axiomas sobre puntos y rectas ………III, 31 2. Axiomas sobre puntos y planos………...III, 35 3. Axioma de separación del plano... III, 36 4. Quinto postulado de Euclides... III, 41 5. Axioma de la métrica en una recta... III, 42 6. Axioma de la distancia... III, 43 7. Axiomas sobre circunferencias y ángulos... III, 44 8. Axioma de continuidad o axioma de Dedekind... III, 44 9. Axioma de la medida angular... III, 46 10.Axioma de la construcción del ángulo... III, 46 11.Axioma de la división del ángulo... III, 46 12.Axiomas sobre los movimientos en el plano... IV, 63 13.Axioma del área... IX,181 14.Axioma de separación del espacio... X,196 15.Axiomas sobre los movimientos del espacio... X,219 16.Axioma del volumen... XI, 234 17.Axioma o Principio de Cavalieri... X, 234

1_{A continuación se da el nombre del axioma o grupos de axiomas, el capítulo, en números romanos, y}

(9)

IX

CANTAR DE LOS CANTARES2

7

¡Cuán hermosos son tus pies en las sandalias, Oh hija de príncipe!

Los contornos de tus muslos son como joyas, Obra de mano de excelente maestro.

Tu ombligo como una taza redonda Que no le falta bebida.

Tu vientre como montón de trigo Cercado de lirios.

Tus dos pechos, como gemelos de gacela. Tu cuello, como torre de marfil;

Tus ojos, como los estanques de Hesbón junto a la puerta de Bat-rabim; Tu nariz, como la torre del Líbano,

Que mira hacia Damasco.

Tu cabeza encima de ti, como el Carmelo;

Y el cabello de tu cabeza, como la púrpura del rey Suspendida en los corredores.

¡Qué hermosa eres, y cuán suave, Oh amor deleitoso!

Tu estatura es semejante a la palmera, Y tus pechos a los racimos.

Yo dije: Subiré a la palmera, Asiré sus ramas.

Deja que tus pechos sean como racimos de vid, Y el olor de tu boca como de manzanas,

Y tu paladar como el buen vino,

Que se entra a mi amado suavemente, Y hace hablar los labios de los viejos. Yo soy de mi amado,

Y conmigo tiene su contentamiento. Ven, oh amado mío, salgamos al campo, Moremos en las aldeas.

Levantémonos de mañana a las viñas;

Veamos si brotan las vides, si están en cierne, Si han florecido los granados;

Allí te daré mis amores.

Las mandrágoras han dado olor,

Y a nuestras puertas hay toda suerte de dulces frutas, Nuevas y añejas, que para ti, oh amado mío, he guardado.

2

(10)

X

HERÁCLITO

Heráclito camina por la tarde De Éfeso. La tarde lo ha dejado, Sin que su voluntad lo decidiera, En el margen de un río silencioso Cuyo destino y cuyo nombre ignora, Hay un Jano de piedra y unos álamos.

Se mira en el espejo fugitivo Y descubre y trabaja la sentencia Que las generaciones de los hombres

No dejarán caer. Su voz declara: Nadie baja dos veces a las aguas Del mismo río. Se detiene. Siente Con el asombro de un horror sagrado

Que él también es un río y una fuga. Quiere recuperar esa mañana Y su noche y la víspera. No puede. Repite la sentencia. La ve impresa

En futuros y claros caracteres En una página de Burnet. Heráclito no sabe griego. Jano, Dios de las puertas, es un dios latino.

Heráclito no tiene ayer ni ahora. Es un mero artificio que ha soñado Un hombre gris a orillas del Red Cedar, Un hombre que entreteje endecasílabos Para no pensar tanto en Buenos Aires

Y en los rostros queridos. Uno falta.

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XI

BERITO COBARÍA3

(Al pueblo U’ wa y a todos los hijos de la tierra)

Cetrina piel En sus sendas esconde

El universo, el tiempo Horizontes lejanos Y todas las historias.

La sonrisa cansada Transitar de ternuras Esculpidas en piedra A fuerza de hacha y llanto

Y esperanzas frustradas.

Ingente y sabio dios Milenario guardián Centinela del cielo.

Tibieza de gorrión Es tu palabra. Sagaz como una fiera Sinuoso como el agua.

La inmensidad del mar La selva, la montaña Todo el tiempo y su historia

Acuden a tu lucha.

Infinito guerrero, alado sueño De tus huellas bebemos

Un canto doloroso.

Silencio de la roca hermana del camino, El sol, la flor, la selva

El águila en su ruta son alma constelada De sabios y mayores,

Convocando al ocaso Los seres misteriosos Orfebres camineros

Asidos de la luna.

Matilde Eljach Poetisa colombiana