NUMEROS PSEUDOALEATORIOS
Flores Hernández Jovanna Ivette.
Enero 2020.
Instituto Tecnológico de Cancún.
Ingeniería en Sistemas Computacionales.
Contenido
Números Pseudoaleatorios ... 3
Definición... 3
Propiedades de los números pseudoaleatorios. ... 3
Números rectangulares... 4
Ejemplos... 4
Números no rectangulares (generación de variables aleatorias no uniformes)... 5
Método de la transformada inversa. ... 5
Método de rechazo ... 6
Método de composición. ... 6
Procedimientos especiales... 8
Números Pseudoaleatorios
Para entender el campo de simulación es importante saber que es un número aleatorio. Usualmente, toda la aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de números aleatorios que produce una sucesión de valores que supuestamente son realizaciones de una secuencia de variables independientes e idénticamente
distribuidas.
Por definición podemos entender que un numero aleatorio es aquel que puede ser
generado con igual probabilidad y en forma independiente de cualquier resultado previo. Estadísticamente, esto significa que los números son variables aleatorias, independientes y con distribución uniforme. (Astaiza)
Definición
Un número pseudoaleatorio no es más que el valor de una variable aleatoria x que tiene una distribución de probabilidad uniforme definida en el intervalo (0, 1). (Azarang & Dunna, 1996)
Propiedades de los números pseudoaleatorios.
Para la generación exitosa de números aleatorios es necesario que el método a utilizar cuente con las siguientes características.
1. Uniformemente Distribuido 2. Estadísticamente independientes
3. Su media debe ser estadísticamente igual a ½ 4. Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12 5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo
Dentro de los números pseudoaleatorios existen dos tipos los rectangulares y no rectangulares.
Números rectangulares
La importancia de los números rectangulares (distribución uniforme) radica en su uso para la generación de variables aleatorias mas complicadas que son requeridas en los experimentos de simulación. (Bu)
La generación de números rectangulares debe contar con las siguientes características. 1. Uniformemente distribuidos
2. Estadísticamente independientes 3. Reproducibles
4. Periodo largo (sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión) 5. Generados a través de un método rápido
6. Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora
(Bu) Ejemplos
Generación de números aleatorios rectangulares
Para la realización de una simulación se requieren números aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia como rj, es decir, una secuencia rj = {r1,r2,r3,..., rn} que contiene n números, todos ellos diferentes, n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida del generador que creó la secuencia rj.
Algunos autores como Tocher, han sugerido tres formas para obtener los números rectangulares:
• La provisión externa,
• La generación interna a partir de un proceso físico al azar y
• La generación interna de sucesiones de dígitos por medio de una relación de recurrencia.
El primer método implica tener los números aleatorios, como por ejemplo las tablas de la Rand y tratar a estos números como datos de entrada para el problema que se está
El segundo método implica utilizar generar los números aleatorios mediante algún aditamento especial o con una computadora digital para luego es capaz de registrar los resultados del proceso aleatorio y además reducir esos resultados a sucesiones de dígitos. Por ejemplo mediante un dado con rj={r1=1, r2=2, r3=3, r4=4, r5=5, r6=6} se podría obtener: 6,4,2,6,3 = 0.64263.
El tercer método, y uno de los más aceptados, implica la generación de estos números rectangulares a través de una relación de recurrencia.
El enfoque moderno es usar una computadora para generar los números mediante alguna fórmula matemática (o relación de recurrencia) con lo que nos encontramos utilizando un método determinístico para obtener una secuencia de números que dan la apariencia de ser aleatorios cuando en realidad no lo son, dado que en algún momento determinado esta lista comenzará a repetirse; el objetivo en sí es generar una lista lo suficientemente larga de valores que permita realizar la simulación antes de llegar al comienzo del ciclo. A esta serie de números que parecen ser aleatorios se les denomina pseudoaleatorios
(micursodesimulacion.blogspot, 2012)
Números no rectangulares (generación de variables aleatorias no uniformes)
En todo modelo de simulación estocástico, existen una o varias variables aleatorias interactuando. Generalmente, estas variables siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas diferentes a la distribución uniforme. Por consiguiente, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método especifico, transforme estos números en valores de la distribución deseada. (Bu)
Existen varios procedimientos para lograr ese objetivo:
Método de la transformada inversa.
El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x)está definida en el intervalo (0,1), se puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la
variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad F(x), se determina al resolver la siguiente ecuación. (Bu)
Método de rechazo
Este método consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que está analizando. Para comprender la lógica de este método, suponga que F(x) es una distribución de probabilidad acotada y de rango fijo, es decir, a ≤ x ≤ b. De acuerdo a esta función de probabilidad, la aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos.
1. Generar dos números uniformes R1 y R2
2. Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R1: x = a + (b - a) R1
3. Evaluar la función de probabilidad en x = a + (b - a) R1
4. Determinar si la siguiente desigualdad se cumple: R2 ≤ F (a + (b-a) R1) / M Se utiliza x = a + (b - a) R1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatorio. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces sea necesario. (Bu)
Método de composición.
Mediante este método la distribución F(x) se expresa como una mezcla de varias
distribuciones de probabilidad F(x) seleccionadas adecuadamente. El procedimiento para la selección de las F(x), se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada.
Los pasos para la realización de este método son los siguientes:
1. Dividir la distribución de probabilidad original en sub áreas, vea la imagen a continuación presentada
2. Definir una distribución de probabilidad para cada sub área
3. Expresar la distribución de probabilidad original en la forma siguiente:
4. Obtener la distribución acumulada de las áreas
5. Generar dos números uniformes R1 y R2
6. Seleccionar la distribución de probabilidad F(x) con la cual se va a simular el valor de x. la selección de esta distribución se obtiene al aplicar el método de la transformada a la inversa, en el cual el eje Y está representado por la distribución acumulada de las áreas, y el eje X por las distribuciones F(x). para esta selección se utiliza el número uniforme R1.
7. Utilizar el numero R2 para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad F(x) seleccionada en el paso anterior.
Procedimientos especiales
Existen algunas distribuciones como la distribución erlang, la distribución normal, etc. Cuya simulación a través del método de la transformada inversa seria demasiado complicado. Para estas y otras distribuciones, es posible utilizar algunas de sus propiedades para facilitar y agilizar el proceso de generación.
Distribución normal.
Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad:
Se puede hacer uso del teorema del limite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal a medida que n se acera a infinito. Esto expresado en teorema seria:
Si x1, x2, … xn, es una secuencia de n variables aleatorias independientes con E(x) = u y var(x) = O^2 (ambas finitas) eh Y = a1 x1 + a2 x2 + an xn, entonces bajo ciertas
condiciones generales:
Tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito Si las variables que se están sumando son uniformes en el intervalo (0;1), entonces:
Tiene una distribución normal estándar. Puesto que la normal estándar de una variable aleatoria x distribuida normalmente se obtiene como:
Entonces, la simulación de la variable aleatoria x se haría de acuerdo a la siguiente expresión
(Bu)
Bibliografía
Astaiza, L. G. (n.d.). Ingeniería e Investigación. 2006.
Azarang, M. R., & Dunna, E. G. (1996). Simulación y análisis de modelos estocásticos. México D.F.: McGraw-Hill Interamericana.
Bu, R. C. (n.d.). Simulaciín un enfoque práctico. LIMUSA NORIEGA EDITORES. micursodesimulacion.blogspot. (2012, Septiembre 11). Retrieved from blogspot:
