Espacios Vectoriales Introducción Espacio Vectorial. (4 de Abril de 2003)

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Espacios Vectoriales

(4 de Abril de 2003)

1.1. Introducci´

on

Frecuentemente se encuentran objetos matemáticos que pueden ser sumados entre si o multiplicados por un número. Ejemplos de tales objetos son los vectores geométricos, las matrices, las funciones, los polinomios, las soluciones de ecuaciones diferenciales, etc. En todos estos ejemplos los objetos matemáticos son de naturaleza completamente diferentes y las operaciones para la suma y la multiplicación por un número están perfectamente definidas. Se puede tener una visión unificada de todos estos objetos a través del concepto de Espacio Vectorial.

1.2. Espacio Vectorial

Definici´on 1. Sea V un conjunto no vac´ıo de elementos, V = {x0,x1,x2,x3...}. El conjunto V se denomina un Espacio Vectorial si satisface el siguiente conjunto de axiomas:

1. Axiomas de Clausura:

Axioma 1. Clausura respecto a suma: A todo par de elementos x1 y x2 de

V le corresponde un ´unico elemento deV llamado lasuma de x1 y x2, el cual se designa por x1+x2.

Axioma 2. Clausura respecto a la multiplicación por un número real:A todo elementoxdeV le corresponde un único elemento de Vllamado elproducto deα por x1 y designado por αx1.

Las dos operaciones anteriores deben satisfacer los siguientes axiomas:

2. Axiomas para la suma:

Axioma 3. Ley Conmutativa: x1+x2 =x2+x1. 1

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Axioma 4. Ley Asociativa: (x1+x2) +x3 =x1+ (x2+x3).

Axioma 5. Existencia del elemento Cero: Existe un elemento en V, desig-nado por el s´ımbolo0, tal que: x1+0=x1.

Axioma 6. Existencia de opuestos: Para todo elemento x1 deV, existe un elemento, designado por −x1, tal que: x1+ (−x1) = 0.

3. Axiomas para la multiplicaci´on por n´umeros: Axioma 7. Ley Asociativa: α(βx1) = (αβ)x1.

Axioma 8. Ley Distributiva para la suma en V: α(x1+x2) = αx1+αx2.

Axioma 9. Ley Distributiva para la suma de n´umeros:

(α+β)x1 =αx1+βx1.

Axioma 10. Existencia del elemento id´entico: Para todo elemento x1 deV, se tiene que: 1x1 =x1.

Es natural llamar a los elementos de un espacio vectorialvectores. Los espacios vectoriales definidos de esta manera se llaman Espacios Vectoriales Reales por el hecho de que los elementos deVson multiplicados por números reales (α, β, γ...). Si en los axiomas se utilizan números complejos en lugar de números reales el espacio vectorial se denomina Espacio Vectorial Complejo.

Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales: 1. El conjunto V=R, el conjunto de los n´umeros reales.

2. Los conjuntos ordenados de n n´umeros reales (x1, x2, x3...xn), designados por Rn.

3. Los vectores geométricos en el espacio de dimensión tres, es decir, los segmentos diri-gidos utilizados en el cálculo vectorial.

4. El conjunto V=C, el conjunto de todos los números complejos. Aunque los elementos deV son números complejos éste es un espacio vectorial real porque los escalares son reales.

5. El conjunto de funciones vectoriales definidas en algun intervalo [a, b]. Con la suma de funciones definidas de manera usual: (f+g)(x) =f(x) +g(x), y la multiplicaci´on de una funci´onf por un escalar: (αf)(x) = αf(x).

6. El conjunto de todas las funciones definidas en el punto 1, siendo f(1) = 0. Si se reemplaza el 0 por un n´umeroc6= 0 se violar´ıan los axiomas de clausura.

7. El conjunto de todos los polinomios de grado ≤n. 8. El conjunto de matrices de orden n.

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1.2.1. Dimensionalidad de un espacio vectorial

Se definen a continuaci´on los conceptos de dependencia e independencia de vectores.

Definici´on 2 Sea V un espacio vectorial. Se dice que los vectores x0,x1,x2, ...xk son Li-nealmente Dependientes si existen n´umeros α, β, γ ... θ no todos iguales a cero tal que:

αx0+βx1+γx2+...+θxk =0. (1.1)

Los vectores que no son linealmente dependientes se dice que son Linealmente Inde-pendientes, es decir, un conjunto de vectores x0,x1,x2...xk se llaman vectores linealmente

independientes si la igualdad:

αx0+βx1+γx2+...+θxk =0,

implica que: α=β =γ =...=θ = 0 .

Cuando los vectores son linealmente dependientes, ecuaci´on (1.1), y al menos uno de los coeficientes, digamos α, es diferente de cero. Entonces:

αx0 =−βx1 −γx2−...−θxk. Al dividir por α: x0 =− β αx1− γ αx2−...− θ αxk. Si definimosξ1 ₌₋β α , ξ 2 ₌₋γ α , . . .ξ k ₌₋θ

α , la ecuaci´on anterior se puede escribir como:

x0 =ξ1x1+ξ2x2+...+ξkxk = k

X

i=1

ξixi (1.2)

Siempre que un vector x0 pueda ser expresado a trav´es de los vectores x1,x2...xk en la

forma (1.2) se dice que x0 es una combinaci´on lineal de los vectores x1,x2...xk, es decir, si

los vectores x0,x1,x2...xk son linealmente dependientes entonces al menos uno de ellos es una combinaci´on lineal de los otros.

Si R3 _{es el conjunto de vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces es posible} encontrar tres vectores linealmente independientes y cualquier cuarto vector formar´a un conjunto de vectores linealmente dependientes.

Definición 3: Un espacio vectorial V se dice de dimensión n si éste contiene n vectores linealmente independientes y cualquier n+ 1 vectores de V será linealmente dependiente.

Si V es un espacio vectorial que contiene un n´umero arbitrariamente grande de vectores linealmente independientes, entonces se dice que V es de dimensi´on infinita.

Al definir el término espacio vectorial de dimensión n tal espacio contendrá n vectores linealmente independientes y se dice que el espacio contiene una base.

Teorema 1: Todo vector x0 de un espacio vectorial V de dimensi´on n queda un´ıvocamente representado como una combinaci´on lineal de vectores base:e1,e2, ...en .

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x,e1,e2, ...enconforman entonces un conjunto den+ 1 elementos linealmente dependientes,

es decir existen n+ 1 n´umeros: ξ0_{, ξ}1_{, ξ}2_{, ...ξ}n _{no todos iguales a cero tal que:}

ξ0x+ξ1e1 +ξ2e2+...+ξnen =0, Como ξ0 ₆_{= 0, entonces:} x=−ξ 1 ξ0e1− ξ2 ξ0e2−...− ξn ξ0en.

Es decir, todo vectorxdeRes en realidad una combinaci´on lineal de los vectorese1,e2, ...en.

Por otro lado, si se supone que:

x=ξ1e1+ξ2e2+...+ξnen,

y adem´as

x=γ1e1+γ2e2+...+γnen,

al restar estas ´ultimas ecuaciones resulta:

0= (ξ1−γ1)e1+ (ξ2−γ2)e2 +...+ (ξn−γn)en.

Ya que los vectores e1,e2, ... en son linealmente independientes, entonces

ξ1−γ1 =ξ2−γ2 =...=ξn−γn = 0, es decir:

ξ1 =γ1 , ξ2 =γ2, ... ξn =γn. lo que demuestra la unicidad de la representaci´on para el vectorx.

Definici´on 4: Si e1,e2, ... en forman una base de un espacio vectorial V de dimensi´on n

y: x= n X i=1 ξiei =ξ1e1+ξ2e2+...+ξnen, (1.3)

entonces los n´umeros ξ1_{, ξ}2_{, ... ξ}n _{se denominan las coordenadas del vector} _x _{relativa a las}

bases e1,e2, ... en.

Por lo enunciado en el Teorema 1, cualquier vector x de V tiene un ´unico conjunto de coordenadas.

Convención de Einstein: De ahora en adelante se utilizará el convenio de suma impl´ıcita de Einstein, en el cual, ´ındices repetidos dentro de una sumatoria implica la suma de 1 a n, es decir, la ecuación (1.3) puede escribirse como:

x=ξiei . (1.4)

Con la introducci´on de las componentes de un vector se simplifica enormemente las operaciones con los elementos de un espacio vectorial, sin embargo, las componentes {ξi_}

dependen de la base elegida{ei}y un cambio de base implica un cambio en las componentes.

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Sea V el espacio vectorial conformado por los polinomios de grado ≤ n−1. En este espacio los n polinomios: 1, t,..., tn−1 _{forman una base. Es decir, que las coordenadas} del polinomioP(t) =a0tn−1+a1tn−2+...+an−1, en esta base, son los coeficientes: a0, a1,...,an−2,an−1.

Sea el conjuntoe1 = (1,0, ..,0),e2 = (0,1, ..,0),...,en = (0,0, ..,1). Entonces los n´umeros

ξ1, ξ2, ... ξn son las coordenadas del vector x=ξ1e1+ξ2e2 +...+ξnen, relativa a las

bases e1, e2,...., en.

1.2.2. Subespacio de un Espacio Vectorial

Dado un espacio vectorial V y sea Uun subconjunto no vac´ıo de V. Si Ues un espacio vectorial, entonces Use llama un Subespacio de V.

Definici´on 5: Un subconjunto no vac´ıo U de un espacio vectorial V se denomina un Sub-espacio de V si cumple con los axiomas de clausura de la Definici´on 1.

Es decir, un conjunto Ude vectoresx1,x2, ... deVse llama un subespacio de V si para

los vectores x1 ∈U y x2 ∈Uentonces esto implica que x1+x2 ∈Uy λx1 ∈U.

Como un subespacio de un espacio vectorial es un espacio vectorial es correcto hablar de una base de un subespacio vectorial. Es claro que la dimensi´on de un subespacio arbitrario de un espacio vectorial no puede ser mayor que la dimensi´on del espacio vectorial.

El espacio vectorial más simple, si ignoramos los espacion nulos, es el espacio vectorial de dimensión 1, (1D). Una base es este espacio es el único vector e1 6= 0. Es decir, un espacio vectorial 1Desta conformado por el conjunto de todos los vectoresαe1, dondeαes un escalar arbitrario.

Si ahora consideramos el conjunto de vectores de la forma x = x0 +αe1 , donde x0 y e1 6=0son vectores fijos yαun escalar arbitrario. Este espacio 1Des llamado, en su analog´ıa

con el el espacio tridimensional, unal´ınea en el espacio vectorialV. De la misma manera al conjunto x=x0+αe1+βe2 es llamado un plano en el espacio vectorial V de dimensi´on 2,

(2D).

1.3. Espacios Eucl´ıdeos

En la geometr´ıa eucl´ıdea son intruducidos conceptos que tienen que ver con la longitud de un vector o ángulo entre vectores. Con la noción de espacio vectorial, donde únicamente contamos con las operaciones de suma y de multiplicación por un escalar, no es posible formular estos conceptos de la geometr´ıa eucl´ıdea. Sin embargo, a partir del concepto de producto interior es posible alcanzar las ideas desarrolladas en la geometr´ıa eucl´ıdea.

Definici´on 6: Si para todo par de elementos x1 y x2 pertenecientes a un espacio vectorial

V existe un n´umero real, denotado por (x1 ·x2), tal que:

1. (x1·x2) = (x2·x1),

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3. (x1+x2·x3) = (x1·x3) + (x2·x3),

4. (x1·x1)≥0 , y (x1·x1) = 0 si y s´olo si x1 = 0,

entonces se dice que se ha definido un “producto interior”. Un espacio vectorial con un producto interior definido se denomina un espacio eucl´ıdeo En.

Los siguientes son ejemplos de espacios eucl´ıdeos:

1. El espacio tridimensional ordinario R3 _{de vectores. Aqui el producto interior se define}

como el producto de las longitudes de cada vector por el coseno del ángulo entre ellos. 2. El espacio vectorial conformado por conjuntos ordenados de números reales. Seanx1 = (ξ1, ξ2, ..., ξn) y x2 = (η1, η2, ..., ηn) elementos de éste espacio vectorial, el producto

interior definido como:

(x1·x2) =ξ1η1+ξ2η2+ ... +ξnηn,

cumple con las condiciones 1−4.

3. Sea C(a, b) un espacio vectorial conformado por funciones continuas en el intervalo [a, b]. Se define el producto interior de dos funciones f y g con:

(f ·g) =

Z b

a

f(x)g(x)dx

Definici´on 7: La Longitud o Norma de un vector x de un espacio eucl´ıdeo se define como:

||x||=p(x·x). (1.5)

Definici´on 8: El ´angulo ϕ entre dos vectores x1 y x2 de un espacio eucl´ıdeo se define

de la siguiente manera: ϕ = arc cos (x1·x2) ||x1||||x2|| . (1.6)

Los vectores x1 y x2 se llaman ortogonalessi (x1·x2) = 0. Un par de elementos

ortogo-nales se denomina ortonormales si cada uno de los vectores tiene norma igual a la unidad. El siguiente ejemplo no es más que la conexión de lo anteriormente expuesto con el teorema de Pitágoras.

Sean x1 y x2 dos vectores ortogonales, entonces por la definici´on de norma de un vector

resulta:

||x1+x2||2 = (x1+x2·x1+x2),

por la ley distributiva del producto interior (Condici´on 3) se tiene:

||x1+x2||2 = (x1+x2·x1+x2) = (x1·x1) + (x1·x2) + (x2·x1) + (x2·x2). Ya que los vectores x1 y x2 son ortogonales, entonces (x1·x2) = (x2·x1) = 0, resultando

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Es decir, el cuadrado de la longitud de la diagonal de un rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus dos lados ortogonales.

Otro resultado que se puede obtener es el siguiente. Sea ϕ el ´angulo entre dos vectores

x1 y x2, esto es:

cosϕ= (x1·x2)

||x1||||x2||,

por otro lado se tiene que:

−1≤ (x1·x2) ||x1||||x2|| ≤1, o de manera equivalente (x1·x2)2 ||x1||2||x2||2 ≤1, esto significa que

(x1 ·x2)2 ≤(x1·x1)(x2·x2). (1.7)

Desigualdad que se conoce con el nombre de Desigualdad de Schwarz. Si x1 y x2 son dos vectores de En, entonces:

||x1+x2||2 = (x1+x2·x1+x2) = (x1·x1) + 2(x1·x2) + (x2·x2),

pero como 2(x1·x2)≤2||x1||||x2||, resulta

||x1+x2||2 = (x1+x2·x1+x2)≤ ||x1||2+ 2||x1||||x2||+||x2||2 = (||x1||+||x2||)2.

es decir, una consecuencia de (1.7) es que:

||x1+x2|| ≤ ||x1||+||x2||. (1.8)

En geometr´ıa la distancia entre dos puntos se define como la longitud del vectorx1−x2. De manera general, en un espaci oeucl´ıdeo En se define la distancia entrex1 y x2 por

s=||x1 −x2||.

1.3.1. Transformaci´

on de coordenadas bajo un cambio de bases

Sea {ei}y{ei0}dos bases de un espacio vectorial de dimensi´onn, y sea la conexi´on entre

las bases:

e10 = a₁01e₁+a₁02e₂+ ... +a₁0ne_n e20 = a₂01e₁+a₂02e₂+ ... +a₂0ne_n

: : : : (1.9)

en0 = a_n01e₁+a_n02e₂+ ... +a_n0ne_n

Si se utiliza la convenci´on de Einstein, ´este sistema de ecuaciones se puede escribir como:

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donde los coeficientesai0j son cantidades escalares que tienen que ver con la transformaci´on

de coordenadas:

ai0j =

∂xj

∂xi0

Sea {ξi} las coordenadas de un vector x en la primera base y {ξi0} sus coordenadas en la segunda base. Entonces

x=ξiei =ξi

0 ei0 .

Utilizando las expresiones dadas por las ecuaciones (1.10) se tiene:

x=ξiei =ξi 0 (ai0je_j) =ξj 0 (aj0ie_i) = (ξj 0 aj0i)e_i .

Como los {ei} son linealmente independientes, los coeficientes de los {ei} deben ser los

mismos: ξi =aj0iξj 0 ⇒ ak0iξi =ak 0 iaj0iξj 0 (1.11) Hay que hacer la acotaci´on de que las cantidadesai0j, que determinan el cambio de bases,

se pueden representar como los elementos de una matrizA. Las cantidadesaj0i, que aparecen

en la ecuaci´on (1.11), son las componentes de la transpuesta deA y los elementosak0i por la

que se multiplicó la ecuación (1.11) son los elementos de la inversa de la transpuesta de A. En general, se tiene que para cualquier transformación se cumple que :

akiaji =δkj ⇒ AA−1 =1 (1.12)

El s´ımbolo δi

j, llamado Delta de Kronecker, de define por

δij =

0 si i6=j

1 si i=j (1.13)

De esta manera la ecuaci´on (1.11) resulta en: ak0iξi =ak 0 iaj0iξj 0 =δk0j0ξj 0 =ξk0.

Se puede notar claramente que mientras los vectores bases transforman de acuerdo a (1.10), es decir:

ei0 =a_i0je_j ,

y las componentes de un vector transforman con la inversa de ai0j, es decir:

ξi0 =ai0jξj. (1.14)

Los elemetosai0j tambi´en se pueden determinar a partir de la transformaci´on de

coorde-nadas:

ai0j =

∂xi0

∂xj (1.15)

En los dos casos, A y A−1_{, determinan la transformaci´}_{on de coordenadas por completo.} Para que la transformación sea una transformación de coordenadas correcta ésta debe ser no singular, es decir, su Jacobianodebe ser diferente de cero:detA 6= 0.

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Un ejemplo de una transformaci´on de coordenadas es cuando se rota el sistema de coor-denadas cartesianas un ´anguloα en torno al eje z. Un vectorx deE2 puede descomponerse

en componentes tanto en el sistema no rotado {x1_{, x}2_} _{como en el sistema rotado} _{_x10_{, x}20_} y la relaci´on entre ambos sistemas es:

x10 = x1cos(α) +x2sen(α) (1.16)

x20 = −x1sen(α) +x2cos(α) (1.17) Se dice que las componentes del vector x transforman bajo rotaciones.

En general, para un campo vectorial con componentes Ai ₌ _Ai_(x1_{, x}2_{, x}3_...xn_{) se tiene}

que estas componentes transforman bajo rotaciones de la misma manera que (1.16) y (1.17) y asi se garantiza que el vectorAes independiente de la rotaci´on del sistema de coordenadas.

Se puede generalizar el sistema (1.16) y (1.17) para el caso de En si se define:

a101 = cos(α), a1 0 2 = sen(α), a2 0 1 =−sen(α), a2 0 2 = cos(α), y asi escribir (1.16) y (1.17) de una manera m´as compacta:

xi0 =ai0jxj, i= 1,2, (1.18)

A manera de generalizar se dice que el conjunto de cantidades Ai constituyen las com-ponentes de un vector A de dimensi´onn, s´ı y s´olo s´ı:

Ai0 =ai0jAj, i= 1...n, (1.19)

Es posible resolver el sistema (1.16) y (1.17) para {x1_{, x}2_}_{, resultando:}

x1 = x10cos(α)−x20sen(α) (1.20) x2 = x10sen(α) +x20cos(α) (1.21) En coordenadas cartesianas es f´acil verificar que:

ai0j = ∂xi0 ∂xj = ∂xj ∂xi0 =ai0j, por ejemplo: a201 = ∂x20 ∂x1 = ∂x1 ∂x20 =−sen(α).

1.3.2. Bases Ortogonales

Con anterioridad se introdujo la noción de una base (sistema coordenado) para un espacio vectorial. En un espacio vectorial quizás no existe razón para preferir una base de otra, pero en un espacio eucl´ıdeo es preferible utilizar las llamadas bases ortogonales, por la misma razón que en la geometr´ıa se prefieren los sistemas coordenados cartesianos.

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cumple que: (ei·ej) = 0, parai6=j. Un conjunto ortogonal se denomina ortonormal si cada

uno de sus elementos tiene norma igual a la unidad, es decir si: (ei·ej) = δij

Sea {ei} una base ortonormal en un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on n, entonces si:

x1 = ξ1e1+ξ2e2+ ...+ξnen

x2 = η1e1+η2e2+ ...+ηnen

entonces:

(x1·x2) = (ξ1e1+ξ2e2+ ...+ξnen·η1e1+η2e2+ ...+ηnen)

pero como: (ei·ej) = δij resulta que:

(x1·x2) =ξ1η1+ξ2η2+ ...+ξnηn

Esto significa que el producto de dos vectores relativos a una base ortonormal es igual a la suma de los productos de las correspondientes coordenadas de esos vectores.

Si se tienen una base arbitraria wi entonces se tiene que:

(x1·x2) =aijξiηj, i, j = 1...n

Por otro lado, si

x=ξ1e1 +ξ2e2+ ...+ξnen

entonces al multiplicar por e1, resulta:

(x·e1) = ξ1(e1·e1) +ξ2(e2·e1) + ...+ξn(en·e1) Por ser los (ei·ej) = 0, para i6=j, entonces:

ξ1 = (x·e1) (e1·e1) de manera similar ξ2 = (x·e2) (e2 ·e2) , . . . , ξn = (x·en) (en·en) . Es claro que si la base es ortonormal, entonces:

ξ1 = (x·e1), ξ2 = (x·e2), . . . , ξn = (x·en).

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1.4. Funciones Lineales

En esta sección se estudiarán las funciones más simples que se pueden definir sobre un espacio vectorial.

Definición 10: Una función lineal o forma lineal f se define sobre un espacio vectorial si para cualquier vector x es posible asociar un número f(x) de manera que se cumplen las siguientes condiciones:

1. f(x1+x2) = f(x1) +f(x2). 2. f(λx) = λf(x).

De esta manera, si {ei}es una base para un espacio vectorial V de dimensi´on n y como

todo vector x puede ser representado como una combinaci´on lineal de los vectores base

x=ξi_e

i, entonces, por las propiedas de una funci´on lineal resulta que:

f(x) =f ξiei

=ξif(ei).

Si se define f(ei) = ωi, se tiene que:

f(x) =ωiξi.

Es f´acil demostrar que las cantidades ωi transforman bajo un cambio de base de la misma

manera que lo hacen los vectores covariantes, es decir de la forma: ωi0 =a_i0jω_j.

Por otra lado, la suma de dos funciones lineales y el producto de una funci´on lineal por un escalar son funcionea lineales, esto significa que el conjunto de funciones lineales conforman un espacio vectorial.

1.4.1. Espacios Duales

Definición 11: Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Se entiende por un espacio vectorial dual ∗V de V al espacio cuyos elementos son funciones lineales definidas sobre V. Al espacio vectorial V se le suele llamar también espacio directo. Los vectores que per-tenecen al espacio directo son los vectores contravariantes y a los objetos que perper-tenecen al espacio dual se denominan vectores covariantes.

1.4.2. Bases Duales

Se puede denotar el valor de una funci´on lineal f en un punto x por (f ·x), de esta manera para todo par de elementos f ∈ ∗_V _y _x_∈ _V _{existe asociado un n´}_{umero (f}_·_x_{) tal} que:

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2. (f·λx) = λ(f·x). 3. (λf ·x) = λ(f·x).

4. (f1+f2·x) = (f1·x) + (f2·x).

No se debe confundir 1-4 con la definición del producto interno en un espacio eucl´ıdeo, ya que en aquel caso el producto interno es un número asociado con un par de vectores del espacio eucl´ıdeo mientras que en 1-4 es un número asociado con un par de vectores que pertenecen a espacios vectoriales diferentesV y∗V.

Los vectores f y xson llamados ortogonales si (f ·x) = 0.

Definici´on 12: Dada un base en el espacio directo {ei} existe una base can´onica en el

espacio dual definida por:

(µi·ej) = µi(ej) = δij (1.22)

Para un vector arbitrario:

(µi·x) =µi ξjej

=ξjµi(ej) = ξjδij =ξi.

Se puede decir que que µi _{es una funci´}_{on, tambi´}_{en llamada una} _{forma, que asocia a}

to-do vector x su componente contravariante ξi. El conjunto de formas {µi} son linealmente independientes.

Si {ei} es una base en el espacio directo y f una forma arbitraria en el dual, entonces

(f·ei) =f(ei) definen cantidades escalaresωi que determinan la funci´on linealf del espacio

dual.

ωi =f(ei) , i= 1...n,

por lo tanto, para un vector arbitrario f(x) = f ξiei

=ξif(ei) =ξiωi.

Las cantidades{ωi}se conocen como las componentes covariantes def, esto significa que

permiten expresar a f como una combinaci´on lineal de ωi:

f(x) =ωiξi =ωiµi(x) ⇒ f =ωiµi. (1.23)

Por lo tanto, el conjunto{µi} forma una base en el espacio dual de dimensi´onn. Si x=ξi_e

i es un vector en en el espacio directo yf =ωiµi un vector en el espacio dual

entonces: (f ·x) = ωiµi·ξjej = µi·ej ωiξj =δijωiξj =ωiξi.

Para bases arbitrarias {ei} y {µi} enV y ∗V se tiene:

(f·x) =aijωjξi. (1.24)

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1.4.3. Bases duales en un espacio eucl´ıdeo

Sea En un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on n. Cualquier funci´on lineal f sobre En puede

ser expresada de la siguiente forma:

f(x) = (x·x1), (1.25)

donde x1 es un vector fijo un´ıvocamente determinado por la funci´on lineal f.

Es decir, si {ei}es una base ortonormal de En y x=ξiei, entonces f(x) es de la forma:

f(x) = ωiξi, i= 1...n.

Nada impide que los coeficientes{ωi} sean las coordenadas de un vectorx1 y como las bases

{ei} son ortonormales:

(x·x1) = ωiξi, i= 1...n,

esto demuestra que existe un vector x1 tal que

f(x) = (x·x1). Por otro lado, x1 es ´unico ya que si

f(x) = (x·x1) y f(x) = (x·x2), entonces

(x·x1) = (x·x2) ⇒(x·x1−x2) = 0 ∀ x, lo que significa que x1 =x2.

De esta manera, en el caso de un espacio eucl´ıdeo toda funci´onf puede ser reemplazada por el correspondiente vector x1 y en lugar de escribir (f ·x) se puede escibir (x1·x). Esto significa que enEn se pueden reemplazar los vectores covariantes con los contravariantes.

Es licito tratar de encontrar expresiones para {µi} en terminos de una base dada {ei}.

Sea

ei =gijµj .

Para encontrar los coeficientesgij procedemos de la siguiente manera:

(ei·ek) = gijµj·ek

=gij µj ·ek

=gijδkj =gik.

Es decir, si la base {µi_} _{es la base dual a} _{e

i}, entonces

ei =gijµj, (1.26)

donde

gik = (ei·ek). (1.27)

Es claro que tambi´en se podr´ıa haber resuelto (1.26) para µi y obtener entonces:

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donde gij es la inversa de la matrizgij, esto es:

gijgjk =δik (1.29)

Al objeto g que tiene componentes gij y que pueden representarse por una matriz

bidi-mensional se le denomina métrica. Como se vió anteriormente éste objeto permite conectar los espacios directo y duales de la siguiente manera. Sea{Ai}las componentes de un vector

covariante en el espacio dual, entonces este vector tiene asociado un vector en el espacio directo dado por

Ai =gijAj,

de la misma manera, un vector contravariante de componentes{Bi_}_{tiene asociado un vector}

covariante de componentes

Bi =gijBj.

Este manera de bajar y subir ´ındices se denomina contracci´onde ´ındices.

En coordenadas cartesianas {ei}={ˆı,ˆ,k}ˆ , y como estos vectores base son mutuamente

ortogonales, por (1.27) resulta que:

gij =gij =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   (1.30)

1.5. An´

alisis Vectorial

A partir de la definición de vectores es natural proceder a operar con estos objetos. Las operaciones con vectores deben ser matemáticamente consistentes con todo lo anteriormente expuesto y en esta sección se tendrá en cuenta que los vectores pertenecen a un espacio eucl´ıdeo tridimensional.

1.5.1. Producto Escalar

Definici´on 13: Sean los campo vectoriales A(x) = Ai_e

i y B(x) = Bjej. El producto

escalar o producto punto se define como:

A(x)·B(x)≡AiBi =gijAiBj. (1.31)

Es de hacer notar que la cantidad Ai_B

i, por ser una cantidad sin ´ındices libres, es una

cantidad que es invariante, es decir, que no depende del sistema de coordenadas. En coor-denadas cartesianas es claro que A(x)·B(x) =AiBi.

Se puede demostrar que (1.31) es invariante bajo rotaciones:

A0·B0 =Ai0Bi0 = (ai 0

jAj)(ai0kB_k) =ai

0

jai0kAjB_k =δ_jkAjB_k=AkB_k =A·B.

Si se representa el sistema de coordenadas de manera tal que el plano definido por los vectores

(15)

y B =Bcos(θ)ˆı +Bsen(θ)ˆ, donde A y B son las magnitudes de los vectores A y B y θ el ´

angulo que forman. Por lo tanto:

A(x)·B(x) = ABcos(θ). (1.32)

Con esta última expresión es fácil ver que los vectores A y B son ortogonales si cos(θ) = 0, es decir, si A y B son perpendiculares.

Para calcular la norma del vector A, se tiene que cos(θ) = 1 en (1.32) y entones:

A·A=A2 =AiAi ⇒ ||A||= p Ai_A i SiC=A+B, la norma de Cser´a: C·C = (A+B)·(A+B) =A·A+A·B+B·A+B·B = A2+ 2A·B+B2 =A2+B2+ 2ABcos(θ). (1.33) SiC= (B·B)A−(A·B)B, entonces C·C = ((B·B)A−(A·B)B)·((B·B)A−(A·B)B)≥0 = (B·B)2(A·A)−(B·B)(A·B)2−(A·B)2(B·B) + (A·B)2(B·B) = (B·B)2(A·A)−(B·B)(A·B)2 ≥0 = (B·B)(A·A)−(A·B)2 ≥0,

La última expresión no es más que la desigualdad de Schwarz: (A·A)(B·B)≥(A·B)2

1.5.2. Producto Vectorial

Es posible definir otro tipo de producto entre vectores en espacios eucl´ıdeos.

Definici´on 14:Sean los campo vectorialesA(x) =Ai_e

iyB(x) = Bjej. El producto vectorial

se define de la siguiente manera:

C=A×B, (1.34)

donde

Ci =AjBk−AkBj. (1.35)

Los ´ındices i, j, k son todos diferentes y pueden cambiar s´olo en orden c´ıclico, es decir, que las ´unicas posibildades diferentes de cero, son:

C1 =A2B3−A3B2 , C2 =A3B1−A1B3 , C3 =A1B2−A2B1.

Es posible demostrar que los Ci transforman como las componentes de un vector bajo rotaciones. Seg´un la ley de transformaci´on:

(16)

utilizando (1.35) se tiene lo siguiente: Ci0 = Aj0Bk0 −Ak0Bj0 = (aj0lAl)(ak 0 mBm)−(ak 0 lAl)(aj 0 mBm) = aj0lak 0 mAlBm−ak 0 laj 0 mAlBm = aj0lak 0 m−ak 0 laj 0 m AlBm,

en la última expresión se puede ver que sim =l entonces el término entre parentesis es igual a cero. Considérese el caso para i= 1, j = 2, k= 3.

C10 = a20la3 0 m−a3 0 la2 0 m AlBm = a201a3 0 m−a3 0 1a2 0 m A1Bm+a202a3 0 m−a3 0 2a2 0 m A2Bm+a203a3 0 m−a3 0 3a2 0 m A3Bm = a201a3 0 2−a3 0 1a2 0 2 A1B2+a201a3 0 3−a3 0 1a2 0 3 A1B3 + a202a3 0 1−a3 0 2a2 0 1 A2B1+a202a3 0 3−a3 0 2a2 0 3 A2B3 + a203a3 0 1−a3 0 3a2 0 1 A3B1+a203a3 0 2−a3 0 3a2 0 2 A3B2 = a201a3 0 2−a3 0 1a2 0 2 A1B2−a203a3 0 1−a3 0 3a2 0 1 A1B3 − a201a3 0 2−a3 0 1a2 0 2 A2B1+a202a3 0 3−a3 0 2a2 0 3 A2B3 + a203a3 0 1−a3 0 3a2 0 1 A3B1−a202a3 0 3−a3 0 2a2 0 3 A3B2, al factorizar se tiene: C10 = a202a3 0 3−a3 0 2a2 0 3 A2B3−A3B2+ a203a3 0 1−a3 0 3a2 0 1 A3B1−A1B3 + a201a3 0 2−a3 0 1a2 0 2 A1B2−A2B1, al utilizar la ecuaci´on (1.35) resulta:

C10 =a202a3 0 3−a3 0 2a2 0 3 C1+a203a3 0 1−a3 0 3a2 0 1 C2+a201a3 0 2 −a3 0 1a2 0 2 C3. Si se utilizan las siguientes identidades:

a101 = a202a3 0 3 −a3 0 2a2 0 3 a102 = a203a3 0 1 −a3 0 3a2 0 1 a103 = a201a3 0 2 −a3 0 1a2 0 2 , resulta que: C10 =a101C1 +a1 0 2C2 +a1 0 3C3.

(17)

Por lo tanto,

C10 =a10iCi, i= 1.,3.

Si se procede de la misma manera para C20 _y _C30 _{se puede demostrar que} _C _{es un vector} porque todas sus componentes transforman correctamente bajo rotaciones.

An´alogamente a como se defini´o el s´ımboloδij se define un nuevo objeto llamado s´ımbolo

de Levi-Civita:

εijk =

  

1, si i, j, k son diferentes y cambian en orden c´ıclico

−1, si i, j, k son diferentes y cambian en orden no c´ıclico 0, en cualquier otro caso.

(1.36)

Esto significa que:

ε123 =ε231=ε312 = 1, mientras:

ε132 =ε213=ε321 =−1, lo que puede resumirse en:

εijk =−εikj (1.37)

Con este nuevo s´ımbolo se puede reescribir la ecuaci´on (1.35), que define el producto vectorial, pero ahora a trav´es de su componente covariante:

Ci ≡εijkAjBk, (1.38)

y se tomará esta ecuación como la definición para el producto vectorial del vector A por el vector B. En ese orden.

Es f´acil ver que A×B =−B×A

Ci =εijkAjBk =εikjAkBj =−εijkBjAk

SiC=A×B, entonces:

A·C=AiCi =AiεijkAjBk =εijkAiAjBk,

pero se puede ver que:

εijkAiAjBk=εjikAjAiBk =−εijkAjAiBk,

por lo tanto,

εijkAiAjBk = 0 ⇒ A·(A×B) = 0,

(18)

C´alculo de la norma deC=A×B. C2 =C·C=CiCi = εijkAjBk

(εimnAmBn) =εijkεimnAjBkAmBn.

Ahora es necesario introducir las siguientes identidades: εijkεimn = δmj δ k n−δ j nδ k m (1.39) εijkεijm = 2δmk (1.40) εijkεijk = 6. (1.41) Por lo tanto, C2 = εijkεimnAjBkAmBn = δmj δ k n−δ j nδ k m AjBkAmBn = δj_mδ_nkAjBkAmBn−δnjδmk AjBkAmBn = δj_mAmAjδnkB n_B k−δmk A m_δj nB n_A jBk = AjAjBkBk−AkBjAjBk = AjAjBkBk−AkBkAjBj = (A·A) (B·B)−(A·B) (A·B)

= A2B2−(ABcos(θ))2 =A2B2 1−cos2(θ) =A2B2sen2(θ), lo que implica que la norma de Ces

||C||=||A×B||=ABsen(θ) (1.42)

1.5.3. Triple producto escalar y triple producto vectorial

Estudiaremos las siguientes combinaciones A·(B×C) yA×(B×C) que aperecen con mucha frecuencia en una gran variedad de problemas.

A·(B×C)

A·(B×C) = Ai(B×C)i =AiεijkBjCk =εijkAiBjCk,

por otro lado, se sabe que:

εijk =εjki =εkij,

entonces

εijkAiBjCk =εjkiBjCkAi =BjεjkiCkAi =B·(C×A),

de la misma manera,

εijkAiBjCk =εkijCkAiBj =CkεkijAiBj =C·(A×B).

Es decir

A·(B×C) = B·(C×A) =C·(A×B). (1.43) El triple producto escalar se interpreta gemétricamente como el volúmen del paralele-p´ıpedo definido por los tres vectores geométricos A, B y C.

(19)

A×(B×C)

(A×(B×C))_i =εijkAj(B×C)k =εijkAjεkmnBmCn=εijkεkmnAjBmCn.

por otro lado se tiene que εijk =−εkji, por lo tanto

(A×(B×C))_i = εijkεkmnAjBmCn = −εkjiεkmnAjBmCn = − δ_jmδ_in−δ_jnδ_im AjBmCn = δ_jnδ_im−δ_jmδn_i AjBmCn = δ_jnδm_i AjBmCn−δjmδ n i A j_B mCn = δ_jnCnδmi BmAj−δjmBmδinCnAj = CjBiAj−BjCiAj = BiAjCj−CiAjBj = Bi(A·C)−Ci(A·B),

la ´ultima expresi´on implica que

A×(B×C) = B(A·C)−C(A·B) (1.44)

1.5.4. El operador diferencial

∇

En analog´ıa con el operador diferencial d/dx que opera sobre una función escalar φ(x), produciendo una función diferente, podemos definir también un operador que al actuar sobre campos escalares y vectoriales produzca cambios sobre esos campos.

Gradiente de un campo escalar

Sea ϕ(x) un campo escalar y ϕ0(x0) el mismo campo escalar en un sistema rotado. Como los campos escalares son invariantes bajo rotaciones, entonces:

ϕ0(x0) = ϕ(x),

al derivar a ambos lados con respecto a xi0 _{y al considerar la regla de la cadena resulta}

∂ϕ0(x0) ∂xi0 = ∂ϕ(x) ∂xi0 = ∂ϕ(x) ∂xj ∂xj ∂xi0 =ai j ∂ϕ(x) ∂xj .

Las componentes del objeto _∂x∂ϕi transforman bajo rotaciones como las componentes

cova-riantes y lo podemos denotar por dϕi. Al vector cuyas componentes son dϕi se le llama

gradiente deϕ.

dϕi ≡

∂ϕ

(20)

Al utilizar una base coordenada entonces definimos al vector gradiente de la siguiente manera

gradϕ ≡gijdϕiej =gij

∂ϕ

∂xiej (1.46)

En coordenadas cartesianas es f´acil ver que

gradϕ=∇ϕ= ∂ϕ ∂xiei = ∂ϕ ∂x ˆı+ ∂ϕ ∂y ˆ+ ∂ϕ ∂z ˆ k.

El operador diferencial ∇ al actuar sobre campos escalares d´a como resultado un campo vectorial.

Sea ϕ un campo escalar, la diferencial total viene dada por: dϕ=dϕidxi =gradϕ·dx.

Al considerar puntos sobre las superficies de nivel de ϕ, es decir, puntos sobre una superficie S de manera que si x∈S, entonces ϕ= constante, lo que implica que dϕ =gradϕ·dx= 0 sobre S. Por lo tantogradϕ es un vector perpendicular a la superficie S. Esto significa que si ϕ es un campo escalar, gradϕ es un vector normal a las superficies de nivel de ϕ.

Por otro lado, sea n un vector unitario, al producto escalar

gradϕ·n,

se le denomina derivada direccional en la direcci´onn. De esta manera es claro que en coor-denadas cartesianas las derivadas parciales _∂x∂ϕi no son m´as que derivadas direccionales en las

direcci´on de los vectores coordenados unitarios.

Derivada de campos vectoriales

En general los vectores baseei dependen de las coordenadas, esto significa que si se quiere

derivar un campo vectorial V(x) =Viei resulta

∂V ∂xi = ∂ ∂xi V j_e j = ∂V j ∂xi ej+V j∂ej ∂xi.

Ahora bien, al derivar los vectores base ej respecto a la coordenada xi no se produce

un vector en la misma direcci´on de ej, existe un efecto por el hecho de utilizar una base

coordenada que debe ser tomado en cuenta. Esto se hace definiendo la Derivada Covariante la cual se denota por Di y que al actuar sobre las componentes de un campo vectorial resulta

DiVk =

∂Vk ∂xi + Γij

k

Vj, (1.47)

donde los s´ımbolos Γijk, llamados S´ımbolos de Christoffel, se definen por:

Γijkek ≡

∂ei

∂xj (1.48)

Es claro que para un campo escalar

Diϕ=

∂ϕ ∂xi,

(21)

Divergencia de un campo vectorial

Sea V(x) =Vi_e

i un campo vectorial, se define la divergencia de V(x) por

divV≡DiVi =

∂Vi ∂xi + Γij

i

Vj. (1.49)

El resultado de esta operaci´on es un campo escalar, y en coordenas cartesianas DiVi =∇ ·V= ∂Vi ∂xi = ∂Vx ∂x + ∂Vy ∂y + ∂Vz ∂z . (1.50)

En coordenadas cartesianas la derivada covariante coincide con la derivada parcial Di =∂i ≡

∂ ∂xi

Si ϕ(x) es un campo escalar y V(x) un campo vectorial, para el producto ϕ(x)V(x) se tiene:

Di

ϕ(x)Vi(x)= (∂iϕ)Vi +ϕDiVi

Si DiVi = 0, se dice que V es un vector solenoidal.

Rotor de un campo vectorial

Por definici´on, el rotor de un campo vectorial V es [rot V]k≡ ε ijk p |g|gjlDiV l , (1.51) donde |g|= detg. En coordenadas cartesianas, [rot V]i = [∇ ×V]i =εijk∂jVk, (1.52) C´alculo de div(A×B) div(A×B) = Di(A×B) i = Di εijkAjBk = εijkDiAjBk = εijk [(DiAj)Bk+ (DiBk)Aj] = εijkDiAj Bk+AjεijkDiBk = εkijDiAj Bk−AjεjikDiBk.

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas

∇ ·(A×B) = [∇ ×A]kBk−Aj[∇ ×B]j

(22)

C´alculo de rot(ϕV) [rot(ϕV)]k = ε ijk p |g|gjlDi(ϕV l ) = ε ijk p |g|gjl(∂iϕ)V l + ε ijk p |g|gjlϕ(DiV l ), por lo tanto, en coordenadas cartesianas

∇ ×(ϕV) = (∇ϕ)×V+ϕ (∇ ×V). (1.54) C´alculo de div(gradϕ)

div(gradϕ) = Di(gij∂jϕ) = Dj∂jϕ ,

en coordenadas cartesianas

∇ ·(∇ϕ) =∂j∂jϕ=∇2ϕ , (1.55)

donde ∇2 _{es el operador Laplaciano.} C´alculo de rot(gradϕ)

[rot(gradϕ)]k = ε ijk p |g|gjlDi(g lm_∂ mϕ) = εijk p |g|gjl∂i(g lm_∂ mϕ) = ε ijk p |g|∂i∂jϕ = εjik p |g|∂j∂iϕ =− εijk p |g|∂j∂iϕ, pero ∂i∂j =∂j∂i; por lo tanto, [rot(gradϕ)]k = ε ijk p |g|∂i∂jϕ=− εijk p |g|∂j∂iϕ= 0, es decir, ∇ ×(∇ϕ) = 0 (1.56)