Forma polar de n´ umeros complejos (repaso breve)

Forma polar de n´ umeros complejos (repaso breve)

Objetivos. Repasar la forma polar de n´umeros complejos.

Requisitos. N´umeros complejos, funciones trigonom´etricas, valor absoluto de n´umeros complejos, circunferencia unitaria y divisibilidad de un n´umero real entre otro.

1. Definici´on de la igualdad de dos n´umeros complejos (repaso).

Sean z = x + i y, w = u + i v, donde x, y, u, v ∈ R. ¿Cu´ando se dice que z y w son iguales?

z = w ⇐⇒

| {z }

?

.

2. Definici´on del valor absoluto de un n´umero complejo (repaso).

Sea z = x + i y, donde x, y ∈ R. Entonces por definici´on |z| :=

q

.

3. Criterio de la igualdad a cero de la suma de dos n´umeros no negativos.

Sean a, b ≥ 0. ¿Cu´ando es posible la igualdad a + b = 0?

4. ¿Cu´ando se anula el valor absoluto de un n´umero complejo?.

Sea z = x + i y, donde x, y ∈ R. Demuestre que |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.

5. El valor absoluto del producto de dos n´umeros complejos (repaso).

Sean z₁, z₂ ∈ C. Recuerde y complete la f´ormula (sin demostraci´on):

|z1z2| =

6. El valor absoluto del cociente de dos n´umeros complejos.

Sean w , w ∈ C, donde w 6= 0. Enuncie y demuestre la f´ormula:

F´ormula de Euler (repaso, sin demostraci´on). Para todo θ ∈ R,

e^{i θ} = cos(θ) + i sen(θ). (1)

7. El valor absoluto del n´umero e^{i θ}. Sea θ ∈ R. Calcule | e^{i θ}|.

8. Sentido geom´etrico de los n´umeros de la forma e^{i θ}. Indique en el plano complejo el n´umero e^{i θ} con θ = ^π₆.

Ya est´a dibujada la circunferencia unitaria.

1 Re Im

0

Indique en el plano complejo el n´umero e^{i π}.

1 Re Im

0

9. El sentido geom´etrico del n´umero e^{i θ}.

Sea θ ∈ R. Consideramos e^{i θ} como un punto del plano complejo.

El punto e^{i θ} est´a en la circunferencia con centro

| {z }

?

y de radio

| {z }

?

.

El n´umero θ muestra . . .

10. El valor absoluto de un n´umero complejo escrito en forma polar.

Sean r ≥ 0, θ ∈ R y sea

z = r e^{i θ}. Calcule |z|.

11. Existencia de representaci´on polar para n´umeros complejos de valor abso- luto 1 (sin demostraci´on). Sea t ∈ C tal que |t| = 1. Entonces existe un θ en R tal que

t = e^{i θ}.

Para construir θ, se usan herramientas finas (por ejemplo, funciones trigonom´etricas in- versas). En este repaso breve no vamos a demostrar este hecho.

12. Existencia de una representaci´on polar de n´umeros complejos.

Sea z ∈ C. Demuestre que existen r ≥ 0 y θ ∈ R tales que z = r e^{i θ}.

Indicaciones. Considere por separado los casos z = 0 y z 6= 0. En el caso z 6= 0 reduzca el problema al hecho 11, esto es, construya un t ∈ C tal que |t| = 1 y que z se exprese f´acilmente a trav´es de t.

Sentido geom´etrico de la forma algebraica de n´umeros complejos. Recordamos que el n´umero complejo z = x+i y se identifica con el punto P = (x, y) del plano cartesiano y tambi´en con el vector −→

OP , donde O = (0, 0) es el origen.

z = x + i y

Re Im

O

Sentido geom´etrico de la forma polar de n´umeros complejos. Sea z = r e^{i θ}, donde r ≥ 0 y θ ∈ R. Entonces r es el m´odulo del vector determinado por el origen de coordenadas y el punto z, y θ el ´angulo que forma el vector con el eje real.

z = r e^{i θ}

r

θ

Re Im

O

Definici´on: un n´umero real divide a otro (repaso). Sean α, β ∈ R. Se dice que α divide a β y se escribe α | β si existe un n´umero entero k tal que β = kα:

α | β ⇐=^def=⇒ ∃k ∈ Z β = kα.

Ejemplos: −^π₂
| ^3π₂ , 5 - 7, 2.5 | (−12.5), √ 2 |√

8, √

2 -√ 5.

13. Ecuaci´on cos(θ) = 1.

Recuerde la soluci´on general de la ecuaci´on cos(θ) = 1.

14. Ecuaci´on sen(θ) = 0.

Recuerde la soluci´on general de la ecuaci´on sen(θ) = 0.

15. Relaci´on l´ogica entre las ecuaciones cos(θ) = 1 y sen(θ) = 0.

Determine si una de las siguientes dos ecuaciones implica la otra o al rev´es:

cos(θ) = 1

| {z }

⇒/⇐

sen(θ) = 0.

16. Criterio para que e^{i θ} = 1. Sea θ ∈ R. Demuestre que:

e^{i θ} = 1 ⇐⇒ (2π) | θ.

Explique el sentido geom´etrico de este criterio.

17. Criterio para que r e^{i θ} = 1. Sean r ≥ 0, θ ∈ R. Demuestre que

r e^{i θ} = 1 ⇐⇒





 r = 1, (2π) | θ.

18. Criterio de la igualdad de n´umeros complejos escritos en forma polar.

Sean r₁, r₂ > 0 y θ₁, θ₂ ∈ R. Usando los resultados anteriores demuestre que

r₁e^{i θ1} = r₂e^{i θ2} ⇐⇒







r₁ = r₂,

(2π) | (θ1 − θ2).

19. Multiplicaci´on de n´umeros complejos ubicados en la circunferencia unitaria y escritos en la forma polar (repaso). Sean θ₁, θ₂ ∈ R. Demuestre que

e^{i θ1} e^{i θ2} = e^i(θ1+θ2). (2) usando las identidades trigonom´etricas principales:

cos(θ₁+ θ₂) = cos( ) cos( ) − sen( ) sen( ), (3) sen(θ₁+ θ₂) = sen( ) sen( ) + sen( ) sen( ). (4) Explique el sentido geom´etrico de (2).

20. Observaci´on sobre las f´ormulas trigonom´etricas principales. En realidad, la funci´on exponencial se puede definir de manera anal´ıtica, como la suma de cierta serie, y la f´ormula (2) se puede demostrar sin usar funciones trigonom´etricas. Luego (3) y (4) se pueden deducir de (2). Para recordar (3) y (4), es suficiente escribir (2) y sacar la parte real de ambos lados y luego la parte imaginaria de ambos lados.

21. Multiplicaci´on de n´umeros complejos escritos en la forma polar (repaso).

Sean r₁, r₂ ≥ 0 y θ₁, θ₂ ∈ R. Usando (2) muestre que r₁e^{i θ1}

r₂e^{i θ2}
= r1r₂ e^i(θ1+θ2). (5)

22. F´ormula de Moivre, versi´on exponencial.

Sean r ≥ 0, θ ∈ R y n ∈ {1, 2, 3, . . .}. Explique c´omo demostrar la siguiente f´ormula usando alguno de los resultados anteriores:

e^{i θ}
n

= e^{n i θ}. (6)

23. El sentido geom´etrico de la f´ormula de Moivre.

En la circunferencia unitaria est´a indicado un n´umero z = e^{i θ}. Encuentre las posiciones de los n´umeros z², z³ y z⁻¹.

z = e^{i θ}

1 Re Im

O

24. F´ormula de Moivre, versi´on trigonom´etrica. Sean r ≥ 0, θ ∈ R y n ∈