MATEMÁTICAS II
UNIDAD 1: LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVADA TEMA 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
1. Límite de una función en un punto.
2. Límites laterales.
3. Limites infinitos.
4. Límites en el infinito.
5. Propiedades de los límites.
6. Operaciones con infinito.
7. Cálculo de límites.
8. Cálculo de límites cuando x tiende a ∞.
9. Límite de un número partido por cero.
10. Indeterminaciones.
TEMA 2: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 1. Continuidad de una función en un punto.
2. Continuidad lateral.
3. Continuidad de funciones.
4. Discontinuidad de funciones.
TEMA 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 1. Derivada de una función en un punto 2. Interpretación geométrica de la derivada 3. Función derivada
4. Derivadas laterales
5. Derivabilidad y continuidad 6. Tabla de derivadas inmediatas
UNIDAD 2: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una función 2. Determinación de extremos relativos
3. Optimización de funciones
4. Curvatura: Concavidad o curvatura de una función 5. Puntos de inflexión
6. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites TEMA 5: GRÁFICA DE UNA FUCIÓN
UNIDAD 3: INTEGRALES
TEMA 6: INTEGRAL INDEFINIDA 1. Concepto de integral 2. Tabla de integrales 3. Integrales potenciales
4. Integrales logarítmicas y exponenciales 5. Integrales trigonométricas
6. Integrales trigonométricas inversas 7. Métodos de integración
TEMA 7: INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES 1. Integral definida. Propiedades
2. Función integral
3. Teorema fundamental del cálculo integral 4. Regla de Barrow
5. Teorema del valor medio
6. Área encerrada bajo una curva y el eje x 7. Área encerrada por dos curvas
UNIDAD 4: MATRICES Y DETERMINANTES TEMA 8: MATRICES Y DETERMINANTES
1. Definición de matriz.
2. Tipos de matrices.
3. Suma de matrices.
4. Producto de un número real por una matriz.
5. Producto de matrices.
6. Ejercicios
7. Determinante de una matriz.
8. Menor complementario y adjunto.
9. Propiedades de los determinantes.
10. La matriz inversa mediante determinantes.
11. Rango de una matriz mediante determinantes.
UNIDAD 5: SISTEMAS DE ECUACIONES TEMA 9: SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Expresión matricial de un sistema 3. Clasificación de sistemas de ecuaciones 4. Teorema de Rouché-Fröbenius
5. Discusión de sistemas 6. Método de Gauss 7. Regla de Cramer 8. Sistemas homogéneos UNIDAD 6: GEOMETRÍA
TEMA 10: ESPACIO VECTORIAL 1. Vectores en el espacio
2. Estructura de espacio vectorial
3. Dependencia e independencia lineal. bases 4. Producto escalar
5. Producto vectorial 6. Producto mixto
TEMA 11: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de la recta en el espacio
2. Ecuaciones del plano 3. Haz de planos
4. Posiciones relativas de dos planos 5. Posiciones relativas de tres planos
6. Posiciones relativas de una recta y un plano 7. Posiciones relativas de dos rectas
TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS
A) ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS A.1) Ángulo entre dos rectas
A.2) Ángulo entre dos planos A.3) Ángulo entre recta y plano
B) DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS B.1) Distancia de un punto a un plano B.2) Distancia entre planos paralelos
B.3) Distancia entre un plano y una recta paralela B.4) Distancia entre un punto y una recta B.5) Distancia entre rectas paralelas
B.6) Distancia entre rectas que se cruzan
UNIDAD 1: LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVADA
TEMA 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
11. Límite de una función en un punto.
12. Límites laterales.
13. Limites infinitos.
14. Límites en el infinito.
15. Propiedades de los límites.
16. Operaciones con infinito.
17. Cálculo de límites.
18. Cálculo de límites cuando x tiende a ∞.
19. Límite de un número partido por cero.
20. Indeterminaciones.
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
El límite de la función f(x) en el punto x= a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor “a”. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a “a”.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x = 2, dando valores a x a la izquierda y a la derecha de 2:
X f(x) x f(x)
1,9 3,61 2,1 4.41
1,99 3,9601 2,01 4,0401
1,999 3,996001 2,001 4,004001
... ... ... ...
↓ ↓ ↓ ↓
2 4 2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a a”, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de “a” que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .
ε δ
δ
ε > ∃ > < − < → − <
∀
↔
→ f x =L x a f x L
a
x ( ) 0, 0 0 ( )
lim
2. LÍMITES LATERALES
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .
(
δ)
εδ
ε > ∃ > ∈ − → − <
∀
↔
− =
→ f x L x a a f x L
a
xlim ( ) 0, 0 , ( )
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L|
<ε .
( δ ) ε
δ
ε
> ∃ > ∈ + → − <∀
↔
+ =
→ f x L x a a f x L
a x
) ( ,
0 ,
0 )
( lim
TEOREMA: El límite de una función en un punto si existe, es único.
Por tanto, El límite de una función existe si existen y coinciden los límites laterales
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
3. LÍMITE INFINITO
LÍMITE INFINITO POSITIVO
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x tiende hacia “a”, si fijado un
número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > K para todos los valores próximos a “a”.
K x f a
x K
x f
a
x =∞↔∀ ∈ℜ+ ∃ > < − < → >
→ ( ) , 0 0 ( )
lim δ δ
EJEMPLO:
(
−)
=+∞→2 2 4
lim 5 x
x
LÍMITE INFINITO NEGATIVO
Una función f(x) tiene por límite - ∞ cuando x tiende hacia “a”, si fijado un
número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a “a”.
K x f a
x K
x f
a
x =−∞ ↔∀ ∈ℜ− ∃ > < − < → <
→ ( ) , 0 0 ( )
lim δ δ
EJEMPLO:
(
−)
=−∞−
→1 12
lim 2 x
x
4. LÍMITES EN EL INFINITO
LÍMITE CUANDO X TIENDE A MAS INFINITO
ε ε > ∃ > > → − <
∀
↔
+∞ =
→ f x L M x M f x L
xlim ( ) 0, 0 ( )
K x f M x M
K x
f
x =+∞↔∀ ∈ℜ+ ∃ > > → >
+∞
→ ( ) , 0 ( )
lim
K x f M x M
K x
x f =−∞↔∀ ∈ℜ− ∃ > > → <
+∞
→ ( ) , 0 ( )
lim
LÍMITE CUANDO X TIENDE A MENOS INFINITO ε ε > ∃ < < → − <
∀
↔
−∞ =
→ f x L M x M f x L
xlim ( ) 0, 0 ( )
K x f M x M
K x
f
x =+∞↔∀ ∈ℜ+ ∃ < < → >
−∞
→ ( ) , 0 ( )
lim
K x f M x M
K x
f
x =−∞↔∀ ∈ℜ− ∃ < < → <
−∞
→ ( ) , 0 ( )
lim
EJEMPLOS:
1. 1
2 2
1 lim 2 = −
− +
+∞
→ x
x
x
1
2 2
1
lim 2 =−
− +
−∞
→ x
x
x
2. =−∞
+
−
+∞
→ 2 1
lim 3
2
x x
x
+∞
+ =
−
−∞
→ 2 1
lim 3
2
x x
x
5. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Límite de una constante K K
a
x =
lim→
2. Límite de una suma lim
(
f(x) g(x))
limf(x) limg(x)a x a
x a
x→ ± = → ± →
3. Límite de un producto lim
(
f(x) g(x))
lim f(x) limg(x)a x a
x a
x→ ⋅ = → ⋅ →
4. Límite de un cociente
) ( lim
) ( lim ) (
) lim (
x g
x f x
g x f
a x
a x a
x
→
→
→ = si lim ( )≠0
→ g x
a x
5. Límite de una potencia limx→a
[
f(x)g(x)]
=[
limx→a f(x)]
xlim→ag(x)6. Límite de una función compuesta limx→ag
[
f(x)]
=g[
limx→a f(x)]
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
6. OPERACIONES CON INFINITO
1. Sumas con infinito
→
∞
−
∞
∞
=
∞ +
∞
∞
=
±
∞
det In k
2. Productos con infinito
( )
→
∞
⋅
∞
=
∞
⋅
∞
≠
±∞
=
±
⋅
∞
det 0
0 , In
k k
3. Cocientes con infinito y cero
∞ →
→ ∞
±∞
∞ =
∞ =
±∞
∞ =
∞ =
±∞
=
=
ind ind
k k
k k
0 0
0 0 0
0 0 0 0
4. Potencias con infinito y cero
INDET INDET
INDET
K0 =1, 00 → , ∞0 → , 1∞ →
= ∞0 0K
si si
negativo K
positivo K
, 0
, 0
<
>
∞=
∞ =
=
∞
∞
=
∞
∞ +
∞
− +∞
1 0
1
∞
=
=
=
=
∞ +
∞
− +∞
0 1 0 0 1
0 0
Si K >1
=
=
∞
→ =
∞ +
∞
− +∞
1 0 K K
K
Si 0 < K < 1
∞
=
=
→ =
∞ +
∞
− +∞
K K K
1 0
7. CÁLCULO DE LÍMITES
Si f(x) no es una función definida a trozos, y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que lim f(x) f(a)
a
x =
→
Es decir, para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
Ejemplo: lim( 2 3 4) 12 3 1 4 2
1 − + = − ⋅ + =
→ x x
x
Sólo si la solución que se obtiene es una indeterminación, habrá que aplicar otros procedimientos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
- Si x tiende a un punto interior de uno de los intervalos de definición, se calcula igual que antes, usando la función que se ha definido para ese intervalo.
- Si x tiende a uno de los puntos donde cambia la función, tenemos que estudiar los límites laterales, si coinciden este es el valor del límite y si no coinciden, el límite no existe.
Ejemplo:
−
−
−
=
4 1
3 2 ) (
x2
x x x
f
si si si
3 3 2
2
≥
<
<
<
x x x
1 3 2 ) 3 2 ( lim
1 − = − =−
→ x
x
1 ) ( 1 lim
1 2 ) 1 ( lim
1 3 4 ) 3 2 ( lim )
(
lim 2
2 2
2 =
→
=
−
=
−
=
−
=
→ −
→ →
→
→ +
− f x
x x x
f x
x x x
→
→
=
−
=
−
=
−
=
→ −
→ →
→
→ +
− lim ( )
5 4 9 ) 4 ( lim
2 1 3 ) 1 ( lim )
( lim
2 3 3
3
3 f x
x x x
f
x x
x
x no existe
8. CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X TIENDE A ∞.
Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞. Casos:
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es + ∞ o −∞ dependiendo únicamente del término de mayor grado. Ejemplo:
−∞
=
∞
⋅
−
=
∞
⋅
−
=
− +
+∞ −
→ ( 3 4 5) 3 3
lim x2 x 2
x − + − =− ⋅
( )
−∞ =− ⋅∞=−∞−∞
→ ( 3 4 5) 3 3
lim x2 x 2
x
∞
=
∞
⋅
=
∞
⋅
=
−
−
+∞ +
→ (3 2 5) 3 3
lim x3 x2 x 3
x + − − = ⋅
( )
−∞ = ⋅( )
−∞ =−∞−∞
→ (3 2 5) 3 3
lim x3 x2 x 3
x
Límite de la función exponencial Hay que tener en cuenta que:
Si K >1
=
=
∞
→ =
∞ +
∞
− +∞
1 0 K K
K
Si 0 < K < 1
∞
=
=
→ =
∞ +
∞
− +∞
K K K
1 0
Ejemplos:
1 0 2 2 1
2 2
2
lim ( 3 2 4 5) 3 2 3 =
= ∞
=
=
=
= − ⋅∞ −⋅∞ −∞ ∞
− +
− +∞
→
x x x
∞
=
=
=
= ⋅∞ ⋅∞ ∞
− + +∞
→ 2 2 2 2
lim (3x2 4x 5) 3 2 3
x
∞
=
=
=
=
=
= −⋅∞ −⋅∞ −∞ ∞
− +
− +∞
→ 0
1 5 . 0 5 1
. 0 5
. 0 5
. 0 5
. 0
lim ( 3x2 4x 5) 3 2 3
x
∞
=
=
=
=
=
= −⋅∞ −⋅∞ −∞ ∞
− +
− +∞
→ 0
1 5 . 0 5 1
. 0 5
. 0 5
. 0 5
. 0
lim ( 3x2 4x 5) 3 2 3
x
0 5 . 0 5 . 0 5
. 0 5
. 0
lim (3 2+4 −5) = 3⋅∞2 = 3⋅∞ = ∞ =
+∞
→
x x x
Límite de la función logarítmica
En los logaritmos hay que tener en cuenta el dominio, hay intervalos donde no existe función y por tanto puede no existir uno de los límites laterales y por tanto el límite general (no existe el logaritmo de números negativos ni de cero).
Además, hay que tener en cuenta que - Si a > 1 (es el caso del
Ln)
• loga0→−∞
• loga∞→∞
- Si 0 < a < 1
• loga0→∞
• loga∞→−∞
Ejemplo:
(
−∞−) ( )
∞=
→
−
=ln( 4) ( ) , 2 2,
)
(x x2 Domf x
f , por tanto:
• lim→+∞ln
(
x2−4)
=ln( )
∞ =∞x
• lim→−∞ln
(
x2−4)
=ln( )
+∞ =∞x
• lim→− −ln
(
2−4)
=ln( )
0 =−∞2 x
x
• +
(
−)
→−
→ ln 4
lim 2
2
x
x
no existe función a la derecha de – 2 (ej x = –1), por tanto no existe el límite
• lim→− ln
(
2 −4)
→2 x
x no existe porque no existe uno de los límites laterales.
• lim→ ln
(
2 −4)
=ln( )
−4 →0 x
x no existe
9. LÍMITE DE UN NÚMERO PARTIDO POR CERO ) 0
(
lim k
x
a f
x =
→
El límite puede ser + ∞, − ∞ o no tener límite. Hay que estudiar los límites laterales tomando valores próximos a la derecha y a la izquierda de “a”
Ejemplos:
1. 0
5 2 lim 3
2 =
− +
→ x
x
x
Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞:
Límite por la izquierda:
Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la izquierda como 1.999; el
numerador es positivo y el denominador es negativo, por lo que el límite por la izquierda será – ∞:
( ) ( ) − = −∞
= +
− +
→ −
2
lim 3
2
x
x
x
Límite por la derecha:
Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la derecha como 2,001. Tanto el numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será +
∞.
( )
( ) + + = +∞
− = +
→ +
2
lim 3
2
x
x
x
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x →2.
2. 0 5 lim 23
0 + =
→ x
x
x
Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞:
Límite por la izquierda:
Si damos a x un valor que se acerque a 0 por la izquierda como -0.0001 el
numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la izquierda será:
+∞:
( )
( )
+ =+∞= + +
→ − 2 0
lim 3 x x
x
Límite por la derecha:
Si damos a x un valor que se acerque a 0 por la derecha como 0,0001. Tanto el numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será:
∞.
( )
( )
++ =+∞+ =
→ + 2 0
lim 3 x x
x
Como coinciden los límites laterales, existe + =+∞
→0 2
lim 3 x x
x
10. INDETERMINACIONES
Existen siete tipos de indeterminaciones que ya se vieron en el apartado 6.
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
INDETERMINACIÓN INFINITO PARTIDO INFINITO
∞
= ∞
+∞
→ ( )
) lim (
x Q
x P
x
Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:
I. Teniendo en cuenta que el término que determina el límite es el de mayor grado de cada polinomio, nos quedamos con estos términos y simplificamos la fracción. Después
sustituimos la x por infinito y resolvemos:
2 0 lim 2
lim 2 1
1 lim 2
. 3
2 3 2
lim 3 2
lim 3 1
2
1 2 lim 3
. 2
2 2
lim 3 2
lim 3 1
2
1 2 lim 3
. 1
2 2
2 2 2
2
2 2
∞ =
=
= + =
+
= −
= −
= − +
+
−
−
−∞
∞ =
= −
= −
= − +
+
−
−
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
II. Dividimos todos los términos por “x elevada al grado del denominador”:
1 0 0 1 1
1 2 1 1
1 2 1 lim
1 2 1 lim
1 lim 2
. 3
2 3
2 1
1 3 2
2 1
1 3 2
1 lim 2
1 2 3 1 lim
2
1 2 lim 3
. 2
2 3
2 1 2 1 3 2 1
2 1 3 1 lim
2
1 2 3 1 lim
2
1 2 lim 3
. 1
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
=
= +∞
+∞
= ∞ +
= + +
= + + +
−
= +∞
+∞
−∞
= − +
+
−
= − +
+
− − + =
+
−
−
−∞
∞ =
−
= +∞
+∞
−
∞
= − +
+
−
= − +
+
− − + =
+
−
−
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
INDETERMINACIÓN CERO PARTIDO CERO Dos casos:
A. Función racional sin radicales:
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.
1.
( )( )
( )( ) ( )
( )
2 1 42 2 1 lim 2 1
2 2 lim 2
0 0 2 3 lim 4
2 2 2
2
2 =
−
= +
−
= +
−
− +
→ − + =
−
−
→
→
→ x
x x
x x x x
x x
x x
x
2.
( )( )
( ) ( )
( )
− = →= +
−
= +
− +
→ − + =
−
−
→
→
→ ?
0 4 2 2
2 2 2 lim 2 2
2 lim 2
0 0 4 4 lim 4
2 2 2 2
2
2 x
x x
x x x
x x
x x
x
Hay que calcular los límites laterales dando valores próximos a 2 a la izquierda y a la derecha (ver apartado 9):
Límite por la izquierda:
Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la izquierda como 1.999; el
numerador es positivo y el denominador es negativos, por lo que el límite por la izquierda será: -∞:
( ) ( )
−+ =−∞− = +
→ − 2
lim 2
2 x x
x
Límite por la derecha:
Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la derecha como 2,001. Tanto el numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será:
∞.
( )
( )
+ =+∞= +
− +
→ + 2
lim 2
2 x x
x
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x →2.
B. Función racional con radicales:
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
Recuerda
(
a+b)(
a−b)
=a2 −b2( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
lim(
2 1)
3 2 1 1 1 23 1 2 lim 3
1 2
1 2 lim 3
1 2 1
2
1 2 lim 3
0 0 1 2 lim 3
3 3
2 2 3
3 3
= +
= +
−
= +
−
− = +
−
−
− =
−
+
−
= − +
−
−
−
+
−
→ −
− =
−
−
→
→
→
→
→
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO A. Con funciones racionales.
Ponemos a común denominador.
∞
−
∞
=
−
=
+
−
− +
−
−
→ 0
8 0 2 3 4
5 3
lim 1 2
3 x x
x x
x
x
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
0 ?4 1 3
4 lim 3
1 3
5 1
lim 2 1
3
5 1
lim 1 1
3 5 3
lim 1
2
3
2
3 3
3
=−
−
−
−
−
− =
−
−
− +
= −
−
−
+
−
−
= −
−
−
− +
−
−
→
→
→
→
x x
x x
x x
x x x x
x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x
Calculamos los límites laterales:
(
−)(
−)
=−∞−
−
→ − 3 1
4 lim 3
2
3 x x
x x
x
(
−)(
−)
=+∞−
−
→+ 3 1
4 lim 3
2
3 x x
x x
x
No coinciden, por tanto no existe límite.
B. Cuando se trata de funciones irracionales Podemos multiplicar y dividir por el conjugado.
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
(
−− −+ ++)
=(
−− +− −+)
=(
−− +− +)
=∞∞→+ = +
−
+ +
− +
−
→ −
∞
−
∞
= +
−
−
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
x x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 lim 2
2 lim 2
2 lim 2
2
2 lim 2
2 lim
Nos quedamos con los términos de mayor grado de cada polinomio:
( )
lim lim 2 21lim
2 2
= −
= − +
= − +
−
∞
→
∞
→
∞
→ x
x x
x x x
x x
x x
x
EJERCICIOS DE LÍMITES
1)
(
3 2 6 1)
1 − +
→ x x
lim
x 2) lim→∞
(
x2 −2x+1)
x 3) lim
(
x x)
x − +
−∞
→
3 3
4)
( )
2 2
2 1
a x
a x a limx
a
x −
+ +
−
→ 5)
1 2
2
2 2
1 − +
− +
→ x x
x lim x
x
6)
+ − +
∞
→ 2
1 2 1
x lim x
x
7)
1 2
2
2 2
1 − +
− +
−
→ x x
x lim x
x 8)
4 4 1
2 − +
∞
→ x x
lim
x 9)
6 3
2 4 3
4
− +
−
∞
→ x x
lim x
x
10) 2
2
0
9 6 x
x limx
x
+
−
→ 11)
x x limx
x 5
25
2 2
5 −
−
→ 12)
x x
x x limx
x 2 6
2
2 2 3
− +
−
∞
→
13)
5 1
2 4
+
−
∞
→ x
x lim x
x 14)
1 2 3
2 2 5
− +
−
−∞
→ x
x lim x
x 15)
a x
a lim x
a
x −
−
→
16)
x lim x
x
3 3
0
− +
→ 17) limx→5
(
3 x2 +2−x)
18)x x lim x
x
2
1− +
+
∞
→
19)
+ + −
∞
→ x x x x
lim
x
20)
4 2
1 1
2 2
− +
− +
∞
→ x
lim x
x 21)
1
2 1 +
+
−∞
→ x
lim x
x
22) 3
1
3 2 4
1 −
→
−
−
+
x
x x
lim x 23) − − +
∞
→ x x x x
lim
x 24)
1 1
1 2 1 2
−
− +
−
− +
∞
→ x x
x lim x
x
25) lim→∞
(
x(
x+1− x−1) )
x 26) lim
(
x(
x x x x) )
x 3 +1 2 5 −2 − 2 5 +3
∞
→
27)
−
+
−
∞
→ 1
1 1 x x x lim
x 28)
( )
x x x
x x lim x
x 3 6
3 6
2 2
+
− +
−
−
−
∞
→ 29)
1 5 6
3 4
2 3
1 − + −
+
−
→ x x x
x x lim x
x
30)
( )
( )
43
3 3
1 + +
−
→ x
lim x
x 31)
9 15 7
9 3 5
2 3
2 3
3 + + +
− + +
−
→ x x x
x x lim x
x 32)
2 11 4
2 2
2 3
3 4
2 + − −
− +
−
→ x x x
x x lim x
x
33)
2 3 4
2 3 4
2 4 4
4 4 5 4
x x x
x x x lim x
x + +
+ + + +
−
→
34)
1 2 2
3 8 6
3 4
2 4
1 − + −
− +
−
→ x x x
x x lim x
x
35)
−
− −
−
−
→ 2
4 4
2 2
2 2 x
x x
lim x
x
36)
1 3
2
3 + −
+
−+
→ x
lim x
x
37)
1 3
2
0 + −
+
→ x
lim x
x 38)
1 3
2
2 + −
+
−
→ x
lim x
x
39)
1 3
2
− +
+
∞
→ x
lim x
x 40)
1 3
2
− +
+
−∞
→ x
lim x
x 41) limx→4sen
(
xx2−−216)
TEMA 2: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
5. Continuidad de una función en un punto.
6. Continuidad lateral.
7. Continuidad de funciones.
8. Discontinuidad de funciones.
1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Existe f(a) (es un número real)
2. Existe f x f x f x n real
a x a
a x
x ( ) lim ( ) lim ( ) º
lim → − = + =
→
→ →
3. f(a) lim f(x)
x→a
=
2. CONTINUIDAD LATERAL
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si )
( lim )
(a f x
f
a x→ −
=
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si f(a) lim f(x)
a x→ +
=
Una función definida en un intervalo cerrado [a, b], es continua en los extremos si se cumple que en “a” es continua por la derecha y en “b” por la izquierda.
3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Las funciones polinómicas, radicales de índice impar, exponenciales, seno y coseno son continuas en R. El resto de funciones son continuas en todos los puntos de su dominio:
Función racional:
) (
) ) (
( Q x
x x P
f =
Es continua en R excepto en los puntos que anulan al denominador Ejemplo:
{ }
2,33 0 2
6 6 5
5 5 ) 2
( 2 2 −
→ =ℜ
=
→ =
= +
− + →
−
= − Dom
x x x
x x x x x
f = dominio de
continuidad
Raíces de índice par: f(x)= P(x)
Es continua en los intervalos de R en los que el radicando es positivo o cero Ejemplos:
1. f(x)= x2 −5x+6 →x2 −5x+6≥0. Estudio el signo mediante una tabla:
Calculo los puntos donde cambia de signo:
=
→ =
= +
− 3
0 2 6
2 5
x x x
x
Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo:
2 3
( )
( ) ( )
si sisi
→
∞
→
→
∞
−
, 3
3 , 2
2 ,
→
=
→
=
→
=
4 5 . 2
1 x x
x
→
→
>
= +
−
→
−
= +
−
→
>
= +
−
positivo negativo positivo
0 2 6 ) 4 ( 5 4
25 . 0 6 ) 5 . 2 ( 5 5 . 2
0 2 6 ) 1 ( 5 1
2 2
2
Dominio de continuidad =
(
−∞,2] [ )
3,∞2. ≥ →
−
→ −
−
= − 0
3 2 3
) 2
( x
x x
x x
f Estudio el signo mediante una tabla
Calculo los puntos donde cambia de signo el numerador y el denominador:
3 0
3
2 0
2
=
→
=
−
=
→
=
−
x x
x x
Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo:
2 3
( )
( ) ( )
si sisi
→
∞
→
→
∞
−
, 3
3 , 2
2 ,
→
=
→
=
→
=
4 5 . 2
1
x x
x
→
→
>
− =
−
→
−
− =
− =
−
→
− >
= −
−
−
positivo negativo positivo
1 0 2 3 4
2 4
5 1 . 0
5 . 0 3 5 . 2
2 5 . 2
2 0 1 3 1
2 1
Dominio de continuidad =
(
−∞,2] ( )
3,∞ .Observa que x = 2 si pertenece al dominio porque es un cero del numerador y la fracción valdrá cero mientras que x = 3 no pertenece al dominio porque es un cero del denominador y la fracción valdrá infinito.
Funciones logarítmica: f(x)=loga P(x)
Es continua en los intervalos de R en los que P(x) es positivo (no cero)
1. f(x)=ln
(
x2 −5x+6)
→x2 −5x+6>0. Estudio el signo mediante una tabla:Calculo los puntos donde cambia de signo:
=
→ =
= +
− 3
0 2 6
2 5
x x x
x
2 3
( )
( ) ( )
si sisi
→
∞
→
→
∞
−
, 3
3 , 2
2 ,
→
=
→
=
→
=
4 5 . 2
1 x x
x
→
→
>
= +
−
→
−
= +
−
→
>
= +
−
positivo negativo positivo
0 2 6 ) 4 ( 5 4
25 . 0 6 ) 5 . 2 ( 5 5 . 2
0 2 6 ) 1 ( 5 1
2 2
2
Dominio de continuidad =
(
−∞,2) ( )
3,∞Observa que en los logaritmos los intervalos siempre son abiertos
2. > →
−
→ −
−
= − 0
3 2 3
log 2 )
( x
x x
x x
f Estudio el signo mediante una tabla
Calculo los puntos donde cambia de signo el numerador y el denominador:
3 0
3
2 0
2
=
→
=
−
=
→
=
−
x x
x x
Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo:
2 3
( )
( ) ( )
si sisi
→
∞
→
→
∞
−
, 3
3 , 2
2 ,
→
=
→
=
→
=
4 5 . 2
1
x x
x
→
→
>
− =
−
→
−
− =
− =
−
→
− >
= −
−
−
positivo negativo positivo
1 0 2 3 4
2 4
5 1 . 0
5 . 0 3 5 . 2
2 5 . 2
2 0 1 3 1
2 1
Dominio de continuidad =
(
−∞,2) ( )
3,∞ .Observa que en los logaritmos los intervalos siempre son abiertos Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si:
- cada función lo es en su intervalo de definición,
- lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
Operaciones con funciones continuas Si f y g son continuas en x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g es continua en x = a.
4. DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES
1. Discontinuidad evitable. Dos posibilidades:
I. No existe función. Ejemplo
= ) 4 (
x2
x
f
si
si →
>
<
2 2 x x
4 ) ( 4 lim
) ( lim
4 2 ) ( lim
2 2
2
2 → =
=
=
=
→
→
→
+
− f x
x f
x f
x x
x , pero no existe f(2)
II. La imagen no coincide con el límite. Ejemplo
= 1 2 ) (
2
x x x
f
si si si
2 2 2
=
>
<
x x x
) ( lim ) 2 ( 1
) 2 (
4 ) ( 4 lim
) ( lim
4 2 ) ( lim
2 2
2
2 2
x f f
f x x f
f x f
x x
x x
→
→
→
→ → ≠
=
=
→
=
=
=
+
−
Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.
2. Discontinuidad inevitable o de primera especie.
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos: lim f(x) lim f(x)
a x a
x→ − ≠ → +
Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales:
) ( lim ) (
lim f x f x
a x a
x→ − − → +
Dos tipos:
I. De salto finito
= ) 1 (
x2
x
f
si
si →
≥
<
2 2 x x
→
=
=
=
+
−
→
→
1 ) ( lim
4 2 ) ( lim
2
2 2
x f x f
x
x En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito
II. De salto infinito.
−
= 2 ) 2
(
2
x x x
f
si
si →
≥
<
2 2 x x
→
∞
=
=
=
=
+
−
→
→
0 ) 2 ( lim
4 2 ) ( lim
2
2 2
x f
x f
x
x En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto
infinito.
3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.
EJERCICIOS DE CONTINUIDAD
a)
11
2 +
= + x y x
b)
2 5 25 ) 3
( 2
+
−
= +
x x x x f
c)
3 6 41 2
3
4 − + −
= −
x x x y x
d) f ( x ) = x − 5
e) f ( x ) = 2 x
2− 5 x + 2 f)
f(x)= x2 + x+4g)
3) 1
( −
= + x x x
f
h) 3
ln 4
2
+
= − x y x
i) y = ln ( x
2− 5 x + 6 )
j)
+
= − 0
6 1 )
( x
x x
f
si si si si
6 6 3
3 1
1
>
≤
<
≤
<
≤
x x x x
