FÍSICA Y QUÍMICA 4º de ESO SOLUCIONES Y EXPLICACIONES

FÍSICA Y QUÍMICA 4º de ESO SOLUCIONES Y EXPLICACIONES

A continuación, encontraréis las soluciones a los ejercicios en rojo. Y además, veréis algunas explicaciones en azul para que os ayude a ver los errores que cometéis.

Por favor, recodad hacer el cuestionario sobre las actitudes hacia la ciencia.

Los que no lo hayáis hecho, lo podéis hacer a través de este enlace http://bit.ly/actitudeshacialaciencia. ¡Muchas gracias!

Tema 7. EL MOVIMIENTO

Sesión 1: Conceptos teóricos 1. Explica la diferencia entre:

Para los apartados a) y b) contesta: ¿Es posible que para un movimiento determinado ambos términos sean iguales? En caso afirmativo, ¿cuándo ocurre que ambos términos sean iguales?

a) Desplazamiento y espacio recorrido.

El espacio recorrido es la distancia que recorre el móvil a lo largo de su trayectoria, mientras que el desplazamiento es la distancia más corta entre la posición inicial y la posición final de esa trayectoria.

Sí pueden ser iguales. El espacio recorrido y el desplazamiento son iguales cuando la trayectoria que recorre el móvil es una línea recta.

b) Velocidad media y velocidad instantánea.

La velocidad media se refiere a la velocidad del móvil en un intervalo y es calculada*

dividiendo el desplazamiento del móvil entre el tiempo empleado, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad que lleva un móvil en un instante concreto. Ambas magnitudes son vectoriales. El vector de la velocidad media tiene la misma dirección que el desplazamiento, mientras que el vector de la velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en ese instante.

*No confundir con la rapidez media, que se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo que se tarda en recorrer dicho espacio.

Sí pueden ser iguales. La velocidad media coincide con la velocidad instantánea cuando un móvil se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme.

c) Aceleración tangencial y aceleración normal.

La aceleración tangencial es la componente de la aceleración que mide lo que varía el módulo de la velocidad por unidad de tiempo, mientras que la aceleración normal es la componente de la aceleración que mide lo que varía la dirección del vector velocidad por unidad de tiempo.

d) Espacio lineal y espacio angular.

El espacio lineal recorrido (también llamado arco girado) es la distancia recorrida por el móvil (medida en m) en un movimiento circular uniforme, mientras que el espacio angular es el ángulo barrido (medido en rad) en un movimiento circular uniforme.

e) Periodo y frecuencia.

En un MCU el periodo es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa (medida en s), mientras que la frecuencia es el número de vueltas que da un móvil en un segundo (medido en s^-1 o Hz).

2. ¿En qué caso la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido? ¿Y sentido contrario?

Los vectores aceleración y velocidad tienen el mismo sentido cuando nos encontramos en movimientos rectilíneos en el que el módulo de la velocidad aumenta, es decir, cuando estamos acelerando.

Tienen sentido opuesto cuando nos encontramos en movimientos rectilíneos en el que el módulo de la velocidad disminuye, es decir, cuando estamos desacelerando (frenando).

3. ¿Qué tipo de movimiento tienen los siguientes móviles?:

a) Un coche que frena hasta parar. MRUA con aceleración negativa.

b) Un avión a velocidad crucero. MRU c) Una noria en funcionamiento. MCU

d) Una castaña que cae del árbol. MRUA donde la aceleración es la gravedad.

4. Interpreta las siguientes gráficas. Describe las características del movimiento en cada caso y justifica tu respuesta:

En este tipo de ejercicios debéis tener en cuenta las conclusiones de las gráficas del MRU y del MRUA (pág. 142 y pág. 147 del libro de texto) además de las explicaciones dadas en clase al respecto.

a) Gráficas posición-tiempo:

a).1.

Se trata de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme (MRU) porque lo que se obtiene al representar la gráfica posición-tiempo es una recta. En este caso varias rectas, por lo que el móvil realiza diferentes MRU y, por tanto, hay que estudiar los diferentes tramos independientemente.

El móvil parte del origen del sistema de referencia y comienza a alejarse del origen a una velocidad de 1 m/s durante 25 segundos. Podéis decir que comienza a alejarse del origen durante 25 segundos y recorre en ese tiempo 25 metros, pero es preferible que calculéis la velocidad a partir de la gráfica (v = ∆x/∆t). Se aleja del origen porque la recta de la gráfica posición-tiempo es CRECIENTE, lo que indica que la velocidad es positiva A continuación, sigue alejándose a una velocidad de 4 m/s durante 12,5 segundos.

Igual que antes, podríais decir que sigue alejándose del origen durante otros 12,5 segundos en el que recorre 50 metros.

Después se para durante 12,5 segundos, porque la recta de la gráfica posición-tiempo es HORIZONTAL, lo que indica que la velocidad es cero (no cambia de posición).

A continuación, empieza a acercarse al origen a una velocidad de -1 m/s durante 25 segundos. En este caso, también podéis decir que empieza a acercarse al origen durante 25 segundos y en este tiempo recorre 25 metros, pero es preferible que calculéis la velocidad. Se acerca al origen porque la recta de la gráfica posición-tiempo es DECRECIENTE, lo que indica que la velocidad es negativa.

Finalmente, vuelve al origen a una velocidad de -4 m/s. Aquí también podéis decir que continúa acercándose al origen hasta llegar a él durante 12,5 segundos en el que recorre 50 metros.

a).2.

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) porque en la representación de la posición frente al tiempo se obtiene una parábola.

El móvil parte del origen y se aleja del origen con una aceleración positiva, es decir, se aleja del origen acelerando (la velocidad va aumentando). Se aleja del origen porque es la parte de la parábola en el que la curva es creciente y, por tanto, la velocidad es positiva. La aceleración es positiva porque la parábola es CÓNCAVA*. También se puede comprobar que la velocidad aumenta si tomamos dos intervalos iguales de tiempo en la gráfica, por ejemplo, un intervalo de 0,5 segundos. Tomamos el intervalo de 0 s a 0,5 s, y el intervalo de 1 s a 1,5 s. Comparando ambos intervalos observamos que el espacio recorrido en un mismo intervalo de tiempo ha aumentado, lo que indica que la velocidad ha aumentado y, por tanto, la aceleración es positiva.

*Recordad de Matemáticas las funciones cuadráticas (de segundo grado) cuya representación gráfica daba una parábola cóncava si el término cuadrático (número que acompaña a la variable de segundo grado) es positivo, o convexa si el término cuadrático es negativo. En el caso del MRUA, el término cuadrático es la aceleración/2:

a).3.

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) porque en la representación de la posición frente al tiempo se obtiene una parábola.

La aceleración de este MRUA es negativa porque la parábola que se obtiene al representar la posición frente al tiempo es CONVEXA. El móvil parte de una posición de 30 metros respecto del origen y se aleja del origen desacelerando/frenando (aceleración negativa) hasta que se para completamente a los 2 segundos. Se aleja del origen porque es la parte de la parábola en el que la curva es creciente y, por tanto, la velocidad es positiva.

Puesto que el móvil sigue desacelerando, empieza a avanzar en el otro sentido, acercándose hacia el origen hasta alcanzar el origen a los 5 segundos. Se acerca al origen porque es la parte de la parábola donde la curva es decreciente y, por tanto, la velocidad es negativa. Al ser la velocidad negativa y la aceleración también, el móvil se acerca al origen acelerando*, es decir, la velocidad va aumentando. Igual que en el apartado anterior, podéis comprobar que en el primer tramo desacelera y en el segundo tramo acelera, tomando dos intervalos de tiempo iguales en cada tramo y comparando el espacio recorrido en ese intervalo para cada tramo.

*¡OJO! Recordad que cuando la aceleración es negativa significa desaceleración (frenado), pero hay una excepción, cuando la velocidad es también negativa (el móvil se acerca al origen). En estos casos, la aceleración negativa significa un aumento de la velocidad en el que el móvil se dirige hacia el origen.

Si a > 0 → Cóncava Si a < 0 → Convexa

b) Gráficas velocidad-tiempo:

b).1.

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) porque en la representación gráfica de la velocidad frente al tiempo se obtiene una recta horizontal (velocidad constante). En este caso, se trata de diferentes tramos de MRU.

El móvil se aleja del origen (porque la velocidad es positiva) durante 0,8 segundos a una velocidad de 12,5 m/s. Después se para durante 0,4 segundos (porque la velocidad es 0).

A continuación, el móvil se acerca al origen (porque la velocidad es negativa) a una velocidad de aproximadamente -13 m/s durante 0,3 segundos. Y finalmente, el móvil continúa acercándose al origen (velocidad negativa) a una velocidad de aproximada de - 7 m/s durante 0,5 segundos.

b).2.

Se trata de una combinación de movimientos rectilíneos uniforme (MRU) y movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (MRUA). La representación de la gráfica velocidad-tiempo para MRU es una recta horizontal (velocidad constante), mientras que en la representación de la velocidad frente al tiempo para MRUA se obtiene una recta inclinada (variación de la velocidad con aceleración constante). Por tanto, en los tramos 1 y 3 lleva un MRU, y en los tramos 2 y 4 lleva un MRUA.

El móvil comienza a alejarse del origen (velocidad positiva) a una velocidad constante de 10 m/s durante 5 segundos. A continuación, sigue alejándose del origen con una aceleración de 2 m/s² durante 5 segundos. Aquí podríais decir que sigue alejándose del

origen acelerando de 10 m/s a 20 m/s en 5 segundos, pero es preferible que calculéis la aceleración (a = ∆v/∆t).

Después continúa alejándose del origen a una velocidad constante de 20 m/s durante otros 5 segundos. Y finalmente, sigue alejándose del origen frenando con una aceleración de -2 m/s² hasta pararse. Se podría decir también que sigue su camino alejándose del origen frenando hasta pararse durante 10 segundos.

5. Desde una cierta altura se lanzan dos objetos con igual velocidad, uno hacia arriba y otro hacia abajo. Justifica si llegarán al suelo con la misma velocidad.

Puesto que la aceleración que sufren los dos objetos es la misma (la gravedad), el módulo de la velocidad inicial de la que parten ambos objetos es la misma, y la altura de la que parten también es la misma; ambos objetos llegarán al suelo con la misma velocidad. Pero no llegarán a la vez.

El objeto que se lanza hacia arriba tardará más en llegar porque primero tiene que subir hasta una cierta altura en la que frena y después comienza a bajar. Cuando comienza a bajar, baja acelerado por la gravedad, y cuando pasa por la altura desde la que se lanzó, llevará la misma velocidad que la inicial, pero hacia abajo. Es decir, llevará la misma velocidad que el objeto que se lanza hacia abajo. Por tanto, ambos objetos tendrán la misma velocidad al llegar al suelo.

Si la respuesta es completa y bien justificada no sería necesario más, pero sería interesante que lo demostrarais matemáticamente:

Si expresamos las ecuaciones del movimiento (ecuación de velocidad y ecuación de posición) de ambos objetos obtendríamos:

A) Hacia arriba: 𝑣_𝐴 = 𝑣₀− 9,8𝑡 / 𝑦_𝐴 = 𝑦₀+ 𝑣₀· 𝑡 − 4,9𝑡² B) Hacia abajo: 𝑣_𝐵 = −𝑣₀− 9,8𝑡 / 𝑦_𝐵= 𝑦₀− 𝑣₀ · 𝑡 − 4,9𝑡²

Pueden parecer diferentes porque la velocidad inicial del objeto que se lanza hacia abajo es negativa, pero si tratamos de calcular la velocidad a la que llegan ambos objetos al suelo (vA y vB), obtenemos que:

Para A: 𝑣_𝐴 = 𝑣₀− 9,8𝑡

Conocemos la ecuación de la velocidad, pero tenemos dos incógnitas, así que necesitamos calcular/despejar el tiempo de la ecuación de posición cuando el objeto llega al suelo, es decir cuando yA es igual a 0: 𝑦₀+ 𝑣₀· 𝑡 − 4,9𝑡² = 0

𝑡 =−𝑣₀ ± √𝑣₀²− 4 · (−4,9) · 𝑦₀

2 · (−4,9) =−𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

−9,8 El tiempo obtenido lo sustituimos en la ecuación de velocidad:

𝑣_𝐴 = 𝑣₀− 9,8 ·−𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

−9,8 = 𝑣₀− 𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

Donde yo y vo son iguales en los dos casos

𝑣_𝐴 = ±√𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

Para B: 𝑣_𝐵= −𝑣₀− 9,8𝑡 Operamos igual: 𝑦₀− 𝑣₀ · 𝑡 − 4,9𝑡² = 0 𝑡 =𝑣₀± √(−𝑣₀)²− 4 · (−4,9) · 𝑦₀

2 · (−4,9) = 𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

−9,8 𝑣_𝐵 = −𝑣₀− 9,8 ·𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀

−9,8 = −𝑣₀+ 𝑣₀± √𝑣₀²+ 19,6𝑦₀ 𝑣_𝐵 = ±√𝑣₀² + 19,6𝑦₀

En ambos casos se obtiene el mismo valor de velocidad final. Y en ambos casos, nos quedaremos con el de signo negativo puesto que el objeto va hacia el suelo.

6. Desde una altura de 20 m se dejan caer dos objetos diferentes, siendo uno de ellos el doble de pesado que el otro. Justifica si llegarán al suelo al mismo tiempo.

Ambos llegarán al suelo al mismo tiempo, porque da igual cuánto pesen los objetos, las ecuaciones del movimiento no dependen del peso del objeto. Si se dejan caer desde la misma altura, ambos empiezan desde el reposo, es decir, la velocidad inicial de ambos es 0 m/s y los dos objetos se acelerarán de igual forma, debido a la gravedad.

Podemos demostrar esto matemáticamente y en ambos casos, las ecuaciones del movimiento serán iguales. En el siguiente tema, sobre fuerzas se estudiarán con más detalle este tipo de cuestiones.

Cuidado aquí, porque muchos os olvidáis de las ecuaciones del movimiento, y tenéis la idea de que un objeto pesado cae más rápido que un objeto más ligero.

Sesión 2: Ejercicios

1. Un coche de carreras que parte del reposo puede alcanzar una velocidad de 90 km/h en 1,8 s y frenar luego hasta detenerse totalmente en 2,15 s. Calcula la aceleración media al arrancar y al frenar.

Primero hay que pasar la velocidad a unidades del Sistema Internacional mediante factores de conversión:

90𝑘𝑚

ℎ ·1000 𝑚

1 𝑘𝑚 · 1 ℎ

3600 𝑠= 90 · 1000

3600 = 25 𝑚/𝑠

Por definición, la aceleración media de un móvil es la variación de velocidad por unidad de tiempo: 𝑎 =^∆𝑣

∆𝑡 =^{𝑣𝑓−𝑣0}

𝑡_𝑓−𝑡₀

Por tanto, la aceleración del coche de carreras al arrancar es:

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡 = 𝑣_𝑓− 𝑣₀

𝑡_𝑓− 𝑡₀ = 25 − 0

1,8 − 0= 𝟏𝟑, 𝟗 𝒎/𝒔^𝟐 Y la aceleración del coche de carreras al frenar es:

𝑎 = ∆𝑣

∆𝑡 = 𝑣_𝑓− 𝑣₀

𝑡_𝑓− 𝑡₀ = 0 − 25

2,15 − 0= −𝟏𝟏, 𝟔 𝒎/𝒔^𝟐 Efectivamente, comprobamos que la aceleración al frenar es negativa.

Recordad que la aceleración es una magnitud vectorial, por tanto, tiene signo que indica el sentido del vector aceleración.

2. Un coche pasa por un semáforo con una velocidad de 50 km/h. Una motocicleta pasa 5 s después por el mismo lugar a 60 km/h. Si circulan por una calle recta, calcula: a) la distancia en metros entre el semáforo y el punto en el cual la motocicleta alcanza al coche; b) el tiempo que tarda la motocicleta en alcanzar al coche.

Dibujamos un esquema con todos los datos que nos ayude a visualizar el ejercicio.

Tomamos como sistema de referencia el semáforo y el tiempo de origen el momento en el que el coche pasa por el semáforo. Recordad que tenemos que pasar a unidades del SI:

50𝑘𝑚

ℎ ·1000 𝑚

1 𝑘𝑚 · 1 ℎ

3600 𝑠 =50 · 1000

3600 = 13,9 𝑚/𝑠 60𝑘𝑚

ℎ ·1000 𝑚

1 𝑘𝑚 · 1 ℎ

3600 𝑠 =60 · 1000

3600 = 16,7 𝑚/𝑠

semáforo X

Coche: voC = 13,9 m/s toC = 0 s

Motocicleta: voM = 16,7 m/s toM = 5 s

Punto en el que la motocicleta alcanza al coche, es decir, xC=xM

Ambos móviles llevan un MRU, sabiendo que las ecuaciones del movimiento de un MRU son 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 y 𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣 · 𝑡 , primero hay que definir las ecuaciones de posición de ambos móviles:

Coche: 𝑥_𝐶 = 13,9𝑡 Motocicleta*: 𝑥_𝑀 = 16,7(𝑡 − 5)

*Se toma como sistema de referencia el semáforo, por tanto, la posición inicial (xo) de la motocicleta también es 0, pero recordad que hay que tener en cuenta que pasa 5 s después por esa posición. Por tanto, si recordáis que la ecuación de posición se deduce a partir de la definición de velocidad (𝑣 =^{𝑥𝑓−𝑥0}

𝑡_𝑓−𝑡₀), sabréis que el tiempo inicial en este caso no es 0, sino 5 s, por eso, en vez de poner solo tf, ponemos (tf – to).

{Visto de otro modo, para que la posición de la motocicleta esté en el semáforo (origen), es decir xM = 0, tienen que transcurrir 5 segundos desde el tiempo de origen (cuando pasa el coche por el semáforo), es decir, t = 5 s. Esto se cumple para 𝑥_𝑀 = 16,7(𝑡 − 5).}

Para calcular el tiempo y la posición en la que se encuentran ambos móviles, igualamos ambas ecuaciones, ya que el punto en el que se encuentran, ambas posiciones serán iguales (xC=xM):

13,9𝑡 = 16,7(𝑡 − 5) ; 13,9𝑡 = 16,7𝑡 − 83,3 ; 13,9𝑡 − 16,7𝑡 = −83,3 ; 𝑡 = −83,3

−2,8 𝒕 = 𝟑𝟎 𝒔

30 segundos desde que el coche pasa por el semáforo es el momento en el que se encuentran, sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones de posición, obtendremos el punto en el que la motocicleta alcanza al coche:

𝑥_𝐶 = 13,9𝑡 = 13,9 · 30 = 𝟒𝟏𝟔, 𝟕 𝒎 ó 𝑥_𝑀 = 16,7(𝑡 − 5) = 16,7(30 − 5) = 𝟒𝟏𝟔, 𝟕 𝒎 a) La motocicleta alcanza al coche a 416,7 m del semáforo.

b) La motocicleta alcanza al coche en 30 s desde que el coche pasa por el semáforo.

a) El valor os puede salir ligeramente más pequeño si no habéis redondeado los segundos.

Podéis o no redondear los segundos, en este caso, la influencia no es muy grande y se obtienen valores iguales al sustituir el tiempo en las diferentes ecuaciones de posición.

No importa si el dato es un poco mayor o menor debido al redondeo.

b) También sería correcto decir que la motocicleta alcanza al coche en 25 s (t – 5) desde que pasa por el semáforo. (El enunciado no especifica si es el tiempo desde que el coche pasa por el semáforo o desde que la motocicleta pasa por el semáforo).

3. Un tren parte del reposo con aceleración de 3 m/s² durante 5 s. A continuación, mantiene la velocidad constante durante 8 s. Finalmente, frena con aceleración constante y se detiene en 3s. Dibuja la gráfica posición-tiempo solo para los 5 primeros segundos y la gráfica velocidad-tiempo para todo el movimiento.

Se trata de un ejercicio en el que se combinan varios movimientos. Por tanto, habrá que definir el movimiento del tren por tramos:

TRAMO A: El tren se mueve durante los primeros 5 segundos con un MRUA, por tanto, las ecuaciones del movimiento que definen estos 5 segundos son:

Ec. de velocidad: 𝑣 = 𝑣₀+ 𝑎 · 𝑡 donde la velocidad inicial es 0 porque parte del reposo:

𝒗 = 𝟑𝒕

Ec. de posición: 𝑥 = 𝑥₀+ 𝑣₀· 𝑡 +^𝑎·𝑡2

2 donde la posición inicial es 0 porque parte del origen:

𝒙 =^𝟑

𝟐𝒕^𝟐

TRAMO B: El tren se mueve con un MRU durante 8 s. La velocidad a la que se mueve será la velocidad alcanzada en 5 s en el tramo A y su posición inicial será la posición del tren en el tramo A a los 5 segundos:

𝑣 = 3𝑡 = 3 · 5 = 15 𝑚/𝑠. Por tanto, Ec. de velocidad: 𝒗 = 𝟏𝟓 𝒎/𝒔 𝑥 =³

2𝑡² =³

2· 5² = 37,5 𝑚. Por tanto, Ec. de posición: 𝑥 = 𝑥₀+ 𝑣 · 𝑡; 𝒙 = 𝟑𝟕, 𝟓 + 𝟏𝟓𝒕 TRAMO C: El tren se mueve con un MRUA durante 3 segundos hasta pararse del todo.

En este caso, desconocemos la aceleración, por tanto, hay que calcularla mediante su definición, donde la velocidad inicial, es la velocidad con la que empieza este tramo, que es la velocidad del tramo B (15 m/s) y la velocidad final es 0 m/s, porque se para. La variación de tiempo son 3 segundos.

𝒂 = ∆𝑣

∆𝑡 =𝑣_𝑓− 𝑣₀

∆𝑡 =0 − 15

3 = −𝟓 𝒎/𝒔^𝟐 Por tanto, las ecuaciones del movimiento para este tramo son:

Ec, de velocidad: 𝒗 = 𝟏𝟓 − 𝟓𝒕 Ec. de posición: 𝑥 = 𝑥₀+ 𝑣₀· 𝑡 +^𝑎·𝑡2

2 donde la posición inicial es la posición final (a los 8 segundos) del tramo B: 𝑥 = 37,5 + 15𝑡 = 37,5 + 15 · 8 = 157,5 𝑚. Por tanto,

𝒙 = 𝟏𝟓𝟕, 𝟓 + 𝟏𝟓𝒕 −^𝟓

𝟐𝒕^𝟐

Para representar gráficamente la posición frente al tiempo en los primeros 5 segundos hay que realizar una tabla de valores con la ecuación de posición del Tramo A:

Tiempo (s) Posición (m)

0 0

1 1,5

2 6

3 13,5

4 24

5 37,5

Sustituyendo los diferentes tiempos en la ec. de posición del tramo A obtendremos los valores de posición para nuestra tabla:

𝑥 =3 2𝑡²

Representando los puntos obtendremos una gráfica con la siguiente forma:

Efectivamente obtenemos una parábola porque el tren sigue un MRUA. De no ser así, algo habríamos hecho mal.

En este caso, solo se pidió representar los primeros 5 segundos del movimiento y no se necesitaron las ecuaciones de posición de los Tramos B y C, pero es importante que sepáis deducirlos porque pueden pedíroslo en el examen.

Para representar gráficamente la velocidad frente al tiempo en todo el movimiento hay que realizar una tabla de valores para cada tramo, empleando para cada tramo, la ecuación correspondiente de velocidad:

Tiempo (s) Velocidad (m/s)

0 0

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

Para el Tramo B no necesitamos realizar tabla de valores porque es un MRU y, por tanto, la velocidad es constante (15 m/s).

Tiempo (s) Velocidad (m/s)

0 15

1 10

2 5

3 0

¡OJO! Al calcular las posiciones para cada tiempo, hay que tener en cuenta que las ecuaciones del movimiento por tramos se cumplen cuando se interpretan independientemente, es decir, con tiempos empezando desde 0 segundos para cada tramo.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 1 2 3 4 5 6

Posición (m)

Tiempo (s)

Para el Tramo A empleamos la ec. de velocidad de dicho tramo y sustituimos hasta los 5 segundos:

𝑣 = 3𝑡

Para el Tramo C empleamos la ec. de velocidad de dicho tramo y sustituimos hasta 3 segundos:

𝑣 = 15 − 5𝑡

Sin embargo, para representar la gráfica velocidad-tiempo de todo el movimiento, deberemos modificar los tiempos de los tramos posteriores, es decir, el Tramo B irá desde los 5 segundos hasta los 13 segundos y el Tramo C irá desde los 13 hasta los 16 segundos.

Representando los puntos obtendríamos una gráfica de este tipo:

Efectivamente, obtenemos para los tramos A y C una recta inclinada (creciente cuando la aceleración es positiva y decreciente cuando la aceleración es negativa) porque son un MRUA y para el tramo B una recta horizontal porque es un MRU.

4. Un coche pasa por el punto A con velocidad constante de 80 km/h. Un motorista sale de A 5 s después en la misma dirección y sentido que el coche y con aceleración constante de 6 m/s². Calcula: a) La distancia de A a la que la motocicleta alcanza al coche.

b) El tiempo que tardan en encontrarse a partir de la salida del motorista.

Planteamos un esquema con todos los datos, siendo el origen del sistema de referencia el punto A y el tiempo de origen el momento en el que sale el coche:

*Recordad que hay que pasar los datos a las unidades del SI, no voy a repetir el cálculo con factores de conversión porque ya lo tenéis de ejercicios anteriores.

Planteamos las ecuaciones del movimiento de ambos móviles:

Coche MRU: vC = 22,2 m/s y 𝒙_𝑪= 𝟐𝟐, 𝟐𝒕 Moto MRUA: 𝒗_𝑴= 𝟔(𝒕 − 𝟓)*¹ y 𝑥_𝑀 = ⁶

2(𝑡 − 5)² = 3(𝑡²+ 5²− 2 · 5 · 𝑡)*² 𝑥_𝑀 = 3(𝑡²+ 25 − 10𝑡) ; 𝒙_𝑴= 𝟑𝒕^𝟐− 𝟑𝟎𝒕 + 𝟕𝟓

*¹Recordad que como el motorista pasa por el punto A 5 segundos más tarde que el coche.

hay que tenerlo en cuenta en las ecuaciones (explicado en el ejercicio 2).

*²Recordamos las igualdades o identidades notables.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 5 10 15 20

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

A X

Coche MRU: voC = 22,2 m/s*

toC = 0 s Moto MRUA: voM = 0 m/s a = 6 m/s² toM = 5 s

Punto en el que el motorista alcanza al coche, es decir, xC=xM

El punto en el que el motorista alcanza al coche se cumple que xC=xM, por tanto:

22,2𝑡 = 3𝑡²− 30𝑡 + 75 ; 3𝑡²− 52,2𝑡 + 75 = 0 Resolvemos la ecuación de 2º grado:

𝑡 =52,2 ± √(−52,2)²− 4 · 3 · 75

2 · 3 =52,2 ± √1824,8

6 = 52,2 ± 42,7

6

Obtenemos dos resultados, pero la opción de 2 segundos es imposible, puesto que significaría que ambos móviles se cruzan a los 2 segundos de que pase el coche por el punto A y sabemos que el motorista sale del punto A a los 5 segundos. Nos quedamos con los 16 s, y sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de posición*:

𝑥_𝐶 = 22,2𝑡 = 22,2 · 15,8 = 𝟑𝟓𝟎, 𝟕 𝒎 ó bien, 𝑥_𝑀 = 3𝑡²− 30𝑡 + 75 = 3 · 15,8²− 30 · 15,8 + 75 = 𝟑𝟓𝟎 𝒎

*Dado que, en este caso, hay una ecuación de segundo grado, es preferible emplear algún decimal en el dato de los segundos para calcular la posición, para que den datos similares con ambas ecuaciones. En este caso serían exactamente 15,8 s. No pasa nada si no lo hacéis y os da un dato un poco por encima de este resultado. Tampoco es necesario que lo sustituyáis en las dos ecuaciones, pero es una forma rápida de comprobar que habéis realizado bien los cálculos (si no os dan parecidos, habéis fallado en algo antes).

a) El motorista alcanza al coche a 350 m del punto A.

b) El motorista alcanza al coche en 11 segundos tras salir del punto A.*

*¡OJO! Los 16 segundos que hemos obtenido es el tiempo que tardan en encontrarse desde que el coche pasa por el punto A (tiempo de origen). El motorista sale del punto A 5 segundos después. Por tanto, el tiempo que tardan en encontrarse desde la salida del motorista es 16-5=11 s.

t = 16 s

t = 2 s

Sesión 3: Ejercicios

5. Un muchacho trata de lanzar verticalmente un balón desde la acera de la calle a su hermana, que se encuentra asomada a la ventana de su casa, a 15 m de altura. Calcula:

a) La velocidad con que debe lanzar el balón para que lo alcance su hermana. b) El tiempo que tarda el balón en llegar a la ventana.

Se trata de un movimiento de caída libre, cuyas ecuaciones de corresponden a un MRUA.

El esquema sería el siguiente: Las ecuaciones del movimiento son:

Punto donde se encuentra la hermana: 𝑣 = 𝑣₀− 9,8𝑡 yf = 15 m

𝑦 = 𝑦₀+ 𝑣₀· 𝑡 −^9,8𝑡2

2 ; 𝑦 = 𝑣₀· 𝑡 − 4,9𝑡² El muchacho lanza el balón desde:

yo = 0 m y vo = ? m/s

Para que el balón llegue a la hermana, el muchacho tiene que lanzarlo con una velocidad inicial mínima* tal que, al llegar a la ventana, el balón se pare (vf = 0 m/s) y comience a caer de nuevo si la hermana no lo cogiese.

*Mínima porque podría lanzarla con mayor velocidad y entonces el balón subiría más alto y la hermana podría alcanzarlo cuando pase el balón por la ventana. Pero la velocidad inicial mínima es suficiente para que la hermana alcance el balón.

Por tanto, si vf = 0 m/s, de la ecuación de velocidad obtenemos que:

𝑣 = 𝑣₀− 9,8𝑡 ; 0 = 𝑣₀− 9,8𝑡

Y sabiendo que la hermana se encuentra a 15 metros, de la ecuación de posición obtenemos que:

𝑦 = 𝑣₀· 𝑡 − 4,9𝑡² ; 15 = 𝑣₀· 𝑡 − 4,9𝑡² ; −4,9𝑡²+ 𝑣₀· 𝑡 − 15 = 0

Se tratan de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver como un sistema de ecuaciones:

𝑣₀− 9,8𝑡 = 0 𝑣₀ = 9,8𝑡

−4,9𝑡²+ 𝑣₀· 𝑡 − 15 = 0 −4,9𝑡²+ (9,8𝑡) · 𝑡 − 15 = 0

−4,9𝑡²+ 9,8𝑡²− 15 = 0 ; 4,9𝑡² − 15 = 0 ; 𝑡² = 15

4,9 ; 𝑡 = ±√3,06 = ±1,75 𝑠 Como estamos hablando de tiempo, nos quedamos con el dato positivo, 𝒕 = 𝟏, 𝟕𝟓 𝒔, y terminamos de resolver el sistema de ecuaciones:

𝑣₀ = 9,8𝑡 = 9,8 · 1,75 ; 𝒗_𝟎 = 𝟏𝟕, 𝟏 𝒎/𝒔 a) La velocidad mínima con que debe lanzar el balón son 17,1 m/s.

b) El tiempo que tarda el balón en llegar a la ventana son 1,7 s.

6. Lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 6 m/s. Un segundo después lanzamos otra pelota con una velocidad de 4 m/s en la misma dirección y sentido. Calcula a qué distancia del suelo se encuentran y cuánto tiempo tardan en encontrarse.

Se tratan de dos movimientos de caída libre cuyas ecuaciones se corresponden a un MRUA:

Describimos las ecuaciones de ambos movimientos:

Pelota 1: 𝑣 = 𝑣₀− 9,8𝑡 ; 𝑣₁ = 6 − 9,8𝑡 𝑦 = 𝑦₀+ 𝑣₀· 𝑡 −9,8𝑡²

2 ; 𝑦₁ = 6𝑡 − 4,9𝑡² Pelota 2: 𝑣 = 𝑣₀− 9,8𝑡 ; 𝑣₂ = 4 − 9,8(𝑡 − 1) 𝑦 = 𝑦₀+ 𝑣₀· 𝑡 −9,8𝑡²

2 ; 𝑦₂ = 4(𝑡 − 1) − 4,9(𝑡 − 1)² = 4𝑡 − 4 − 4,9(𝑡²+ 1 − 2𝑡) 𝑦₂ = 4𝑡 − 4 − 4,9𝑡²− 4,9 + 9,8𝑡 ; 𝑦₂ = −4,9𝑡²+ 13,8𝑡 − 8,9

El momento en el que se encuentran, ambas pelotas estarán a la misma altura, es decir, 𝑦₁ = 𝑦₂. Por tanto, igualando ambas ecuaciones de posición obtenemos una ecuación del que podemos despejar el tiempo que tardan en encontrarse:

6𝑡 − 4,9𝑡² = −4,9𝑡²+ 13,8𝑡 − 8,9 ; 7,8𝑡 − 8,9 = 0 ; 𝑡 =8,9

7,8 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟏𝟒 𝒔 Sustituyendo ese tiempo en cualquiera de las ecuaciones de posición obtendremos la distancia al suelo en el que se coinciden:

𝑦₁ = 6𝑡 − 4,9𝑡² = 6 · 1,14 − 4,9 · 1,14² = 𝟎, 𝟒𝟕 𝒎 ó bien, 𝑦₂ = −4,9𝑡²+ 13,8𝑡 − 8,9 = −4,9 · 1,14²+ 13,8 · 1,14 − 8,9 = 𝟎, 𝟒𝟔 𝒎 Las dos pelotas se encuentran a 0,47 m del suelo en 1,14 s desde que se lanza la primera pelota.

7. Un satélite artificial tarda 90 minutos en dar una vuelta a la Tierra. Calcula la velocidad angular del satélite. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas?

Se trata de un movimiento circular uniforme (MCU). El dato que nos da el enunciado nos sirve para calcular la velocidad angular (𝜔), ya que la velocidad angular es:

Datos de la pelota 1:

yo = 0 m to = 0 s

vo = 6 m/s Datos de la pelota 2:

yo = 0 m to = 1 s vo = 4 m/s

Ambas pelotas se tiran desde el mismo punto, que tomamos como origen.

Escogemos como tiempo de origen el momento en el que se tira la primera pelota y por eso el tiempo inicial de la segunda pelota es de 1 s.

Recordamos las igualdades o

identidades notables

𝜔 =^𝜑

𝑡 donde φ = ángulo barrido expresado en radianes*

*Sabemos que una vuelta completa son 2π radianes.

Recordemos que debemos usar unidades en el SI: 90 𝑚𝑖𝑛 · ^{60 𝑠}

1 𝑚𝑖𝑛= 5400 𝑠 Por tanto, 𝜔 =^𝜑

𝑡 = ^2𝜋

5400 ; 𝝎 = 𝟏, 𝟏𝟔 · 𝟏𝟎^−𝟑𝒓𝒂𝒅/𝒔

Para calcular cuántas vueltas dará en 24 horas, si conocemos su velocidad angular, podemos determinar el espacio angular en radianes que recorre en 24 h = 86400 s:

𝜔 =𝜑

𝑡 ; 𝜑 = 𝜔 · 𝑡 = 1,16 · 10⁻³· 86400 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟓𝟑 𝒓𝒂𝒅 Los radianes los cambiamos a vueltas mediante un factor de conversión:

100,53 𝑟𝑎𝑑 ·1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝟏𝟔 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔

Otra forma de calcularlo, menos adecuada, es empleando una regla de tres, sabiendo que 24 h = 1440 min:

1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

90 𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

1440 𝑚𝑖𝑛 ; 𝑥 =1440

90 ; 𝒙 = 𝟏𝟔 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔

8. Las aspas de un ventilador giran uniformemente a razón de 90 vueltas por minuto.

Determina: a) Su velocidad angular en rad/s. b) El número de vueltas que darán las aspas en 5 minutos. c) El espacio angular recorrido en 0,5 s. d) Su periodo y su frecuencia.

Se trata de otro MCU en el que podemos calcular la velocidad angular con la que se mueven las aspas del ventilador con el dato proporcionado:

a) 𝜔 =^𝜑

𝑡 =^90·2𝜋

60 ∗ ; 𝝎 = 𝟗, 𝟒𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔

*Recordad que una vuelta son 2π radianes, por tanto, 90 vueltas serán 90·2π radianes. Y además, el ventilador gira a razón de 90 vueltas por minuto, hay que pasar el minuto a segundos.

b) Para calcular el número de vueltas que darán las aspas en 5 min = 300 s, empleamos la misma fórmula para obtener el espacio angular en radianes y los pasamos a vueltas:

𝜔 =𝜑

𝑡 ; 𝜑 = 𝜔 · 𝑡 = 9,42 · 300 = 𝟐𝟖𝟐𝟕 𝒓𝒂𝒅 2827 𝑟𝑎𝑑 ·1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝟒𝟓𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔

Se podría realizar una regla de tres también, pero es preferible que evitéis reglas de tres.

c) Igual que en el apartado anterior, pero en 0,5 s:

𝜔 =𝜑

𝑡 ; 𝜑 = 𝜔 · 𝑡 = 9,42 · 0,5 = 𝟒, 𝟕 𝒓𝒂𝒅

d) Por definición sabemos que la frecuencia en un MCU es el número de vueltas que da un móvil en un segundo. Sabiendo que la velocidad angular por definición es el espacio angular recorrido en 1 s, solo debemos pasar los radianes de la velocidad angular a vueltas mediante factores de conversión y obtendremos la frecuencia:

9,42 𝑟𝑎𝑑

𝑠 ·1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝟏, 𝟓 𝒔^−𝟏 = 𝟏, 𝟓 𝑯𝒛∗

*La frecuencia se mide en s^-1 o Hz.

El periodo en un MCU es, por definición, el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta.

Por tanto, conociendo la velocidad angular, podemos calcular el tiempo que tarda en dar una vuelta, es decir, en recorrer 2π radianes:

𝜔 =𝜑

𝑡 ; 𝑡 = 𝜑

𝜔 = 2𝜋

9,42= 𝟎, 𝟔𝟕 𝒔

A partir de las definiciones se puede deducir que la frecuencia y el periodo son inversas, por tanto, también se puede calcular el periodo como:

𝑻 =1 𝑓= 1

1,5= 𝟎, 𝟔𝟕 𝒔