Nombre: Curso: 3° Medio Objetivo de Aprendizaje: Relacionar y aplicar conceptos de variable aleatoria discreta, función
de probabilidad y distribución de probabilidad.
Guía N° 5. Matemática Electivo. Variable aleatoria discreta.
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asigna a cada elemento de un espacio muestral un número real. Generalmente se simbolizan con las letras mayúsculas X, Y o Z.
Las variables aleatorias discretas son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores, por ejemplo, la suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las preguntas correctas en una prueba, número de hijos de una familia, etc.
El Recorrido de una variable aleatoria son los valores posibles que puede tomar la variable.
Ejemplo:
En el experimento aleatorio “lanzar dos monedas”, podemos definir la variable aleatoria .
El espacio muestral del experimento aleatorio tiene 4 elementos {( ) ( ) ( ) ( )}
Los valores que puede tomar la variable aleatoria son:
lo que significa,
El conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria es {0, 1, 2}
Función de Probabilidad
Si es una variable aleatoria discreta, se tiene la función de probabilidad ( ) ( ) que corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor específico .
De la variable aleatoria definida anteriormente, su función de probabilidad está determinada por:
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 0 (no obtener sellos en el lanzamiento)
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 1 (obtener 1 sello en el lanzamiento)
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 2 (obtener 2 sellos en el lanzamiento)
Si sumamos las funciones de probabilidad se obtiene 1, es decir,
( ) ( ) ( )
Propiedades - ( )
- ( ) ( ) ( ) ( )
Función de Distribución de Probabilidad (acumulada)
Si es una variable aleatoria discreta se define la función de distribución de probabilidad como ( ) ( )
De la variable aleatoria definida anteriormente, determinamos su función de distribución de probabilidad como:
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 0 o menor que 0 (no obtener sellos en el lanzamiento)
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 1 o 0 (no obtener sellos en el lanzamiento u obtener un sello)
( ) ( )
Representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea 2, 1 o 0 (no obtener sellos en el lanzamiento u obtener un sello u obtener dos
sellos)
Propiedades
- ( )
- Si ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )
Ejemplos
1. Se define la variable aleatoria como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio que tiene 3 hijos.
Los valores de son: 0, 1, 2, 3.
Los elementos del espacio muestral son:
{( )( )( )( )( )( )
( )( ) }
Calcular:
( ) ( ) (la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 3, es decir, que los tres hijos sean varones)
( ) ( ) (la probabilidad de que la variable aleatoria tome los valores 0, 1 y 2, es decir, no tener hijos varones o tener 1 hijo varón o tener 2 hijos varones)
2. Si la función de distribución de una variable aleatoria está dada en la tabla adjunta, entonces, ¿cuál es el valor de ( ) ¿Cuál es el recorrido de ?
( )
Recorrido: valores posibles que toma la variable aleatoria { }
3. La tabla adjunta, muestra la función de probabilidades de una variable aleatoria
X 10 20 30 40 ( ) 0,15 0,45 0,3 0,1
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I. ( )
X 1 2 3 4 5 ( ) 0,15 0,30 0,50 0,85 1
II. ( ) Verdadera III. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ejercicios
1. Se lanza 2 veces un dado y se define la variable aleatoria , como el valor absoluto de la diferencia de los puntos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. X es una variable aleatoria discreta.
II. El recorrido de la variable tiene 6 elementos.
III. El conjunto de valores posibles de la variable aleatoria X son {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
2. Se lanza dos veces un dado y se define la variable aleatoria X como la cantidad de números primos obtenidos, entonces ¿cuál es el recorrido de X?
3. Dada la tabla de distribución de probabilidades
( ) ( )
0 0,15 0,15
1 0,18 0,33
2 0,2 0,53
3 0,12 0,65
4 0,15 0,80
5 0,20 1
Determine a) ( ) b) ( )
c) ( ) d) ( ) e) ( )
4. En una urna hay 4 fichas marcada con el número 2; 4 fichas con el 0 y 4 fichas con el -2. El experimento consiste en sacar 2 fichas sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el producto de los números que tienen las fichas que se sacan.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I. Los posibles valores de la variable aleatoria X son {4, 0, -4}
II. ( ) ( ) III. ( )
5. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X
X -1 0 1 2 3 ( ) 0,04 0,22 0,38 0,10
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I. El valor de II. ( )
III. ( ) ( )
6. La probabilidad de que Juan convierta un gol en un tiro penal es 0,6. Se define la variable aleatoria X como la cantidad de goles convertidos en tres lanzamientos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. ( ) ( ) II. ( ) ( ) III. ( )
