Cuando dos filas no son l.d. se dice que son linealmente independientes (l.i.)

(1)

- Página 1 -

RANGO DE UNA MATRIZ

Filas linealmente dependientes (l.d.) y linealmente independientes (l.i.) - Dos filas son linealmente dependientes (l.d.) cuando son proporcionales.

Por ejemplo, F1 = (3 –2 4 –1) y F2 = (–6 4 –8 2) son l.d.

- Dadas dos filas F1 y F2 de una matriz, una combinación lineal (c.l.) de ellas es otra fila F3 de forma que F3 = aF1 + bF2, siendo a, b números reales.

Por ejemplo, si F1 = (3 2 5 7) y F2 = (4 1 3 6) una c.l. de F1 y F2 es F3= 4F1 – 3F2= (12 8 20 28) – (12 3 9 18) = (0 5 11 10) - Tres o más filas son l.d. cuando una de ellas se puede poner como c.l. de las otras.

Por ejemplo, las filas F1, F2 y F3 del ejemplo anterior son l.d. porque F3 = 4F1 – 3F2.

Se puede generalizar a más de dos filas.

Cuando dos filas no son l.d. se dice que son linealmente independientes (l.i.) Lo mismo podemos decir para las columnas.

Rango de una matriz El rango de una matriz A es el número de filas o columnas l.i.

Se puede demostrar que, en cualquier matriz, el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i. Luego, rango(A) = rango(A^t)

Cuando dos matrices A y B tienen el mismo rango se dice que son equivalentes y se escribe A ⁓ B Cálculo del rango de una matriz (método de Gauss)

Para calcular el rango de una matriz se pueden usar las siguientes reglas con las filas de la matriz y se obtiene una matriz con el mismo rango (las mismas reglas se pueden usar con las columnas):

1) Cambiar de orden dos filas 2) Eliminar una fila con todo ceros

3) Eliminar una fila que sea igual o proporcional a otra

4) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero

5) Sustituir una fila por una combinación lineal de esa fila con otra fila

Si la matriz es triangular o diagonal, el rango es el menor entre el nº de filar o columnas no nulas

Cálculo del rango por determinantes

El rango de una matriz A coincide con el orden de la mayor submatriz cuadrada contenida en A de determinante distinto de cero.

Una submatriz es la matriz que se obtiene al eliminar una o más filas (o columnas) de la matriz inicial.

Ten en cuenta que:

- Si A es una matriz cuadrada de orden 2 y det A ≠ 0 → rang A = 2 - Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y det A ≠ 0 → rang A = 3

(2)

- Página 2 -

Actividades resueltas 1) Resuelve los siguientes apartados:

a) ¿Es posible que una matriz 3 x 4 tenga rango 4? Razona tu respuesta.

Resolución

No, porque como mucho puede tener 3 filas l.i., luego el rango como mucho es 3

b) Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que |M| = 2. Calcula el rango de M³. Resolución

Como |M³| =|M|³ = 2³ = 8 ≠ 0, el rango de M es 3

2) Calcula el rango de las siguientes matrices:

a)

(

^{2 1 0} − Resolución El rango es 1 porque hay una sola fila ³

)

b) 2 1

3 4

 − 

 

  Resolución Como el determinante es 2.4 – 3(–1) = 11 ≠ 0, el rango es 2

c) 5 10

1 2

 

 

  Resolución Como el determinante es 5.2 – 1.10 = 0, el rango es 1

d)

1 0 1 3 2 1 4 2 0

 − 

 

 

Resolución

Como el determinante es 1.2.0 + 0.1.4 + 3.2(–1) – 4.2(–1) – 3.0.0 – 2.1.1 = 0 y, por ejemplo, 1 0

3 2 = 6 ≠ 0, el rango es 2

e)

1 3 2 2 1 4 3 1 2

 

− 

 

 

Resolución

Como el determinante es 1.1.2 + 3.4.3 + 2.1(–2) – 3.1.2 – 3(–2)2 – 1.4.1 = 36 ≠ 0, el rango es 3

f)Considera la matriz

0 1 2

A 0 2 0

1 1 3

− −

 

 

=  

 

 

. Calcula el rango de la matriz A – 2I.

Resolución

0 1 2 1 0 0 2 1 2

2 1 2

A 2I 0 2 0 2 0 1 0 0 0 0 ,

1 1 1

1 1 3 0 0 1 1 1 1

que tiene rango 2, porque, por ejemplo, 2 1 3 0 1 1

− − −

     

− −

 

     

− = −     =    

− = − 

(3)

- Página 3 -

g) Halla el rango de la matriz

h) 3 7 2 1

2 1 4 3

 − 

 

  Resolución 3 7 

El rango es 2 porque, por ejemplo 0 Resolución : 2 1

i)

1 1 3 1

2 2 6 2

1 4 3 2

 − 

 − 

 

 

− −

 

  

 

Usamos el teorema de Gauss y eliminamos la 2ª fila porque es proporcional a la 1ª fila

1 1 3 1 1 1

Nos queda que tiene rango 2 porque, por ejemplo 0

1 4 3 2 1 4

Por tanto, el rango de la matriz inicial es 2 Resolución :

3)Discute el rango de la matriz

1 2 3

A 0 a 2

a 1 a 2

− −

 

 

=  

 − − 

 

según los valores de a Resolución

|A| = a(a – 2) – 4a + 3a² + 2 = 4a² – 6a + 2 = 0  a = 1, a = 1/2. Luego, si a ≠ 1, 1/2, |A| ≠ 0 y, por tanto, rg A = 3

- Si a = 1, |A| = 0 y ^{F3 F3 F1}

1 2 3 1 2 3

1 2 3

A 0 1 2 0 1 2

0 1 2

1 1 1 0 1 2

 −

− − − −

   

− −

 

   

= − − ⎯⎯⎯⎯⎯→     .

Como, por ejemplo, 1 2 0 1 1 0

− =  , rg A = 2

- Si a = 1/2, |A| = 0 y ^{F2 2F2}

F3 2F3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

A 0 12 2 0 1 4 0 1 4

1 2 3

3

12 1 2



 − −   − − 

     − − 

 

= − − ⎯⎯⎯⎯→ − −    .

Como, por ejemplo, 1 2 0 1 1 0

− =  , rg A = 2

3 4 4 0

1 3 2 2

2 1 2 2

 

 − 

 

 

(4)

- Página 4 -

4) Considera la matriz

0 1 m

A m 1 0 2

0 1 m 0

 

 

= − 

 − 

 

Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.

Resolución

det( ) ( 1)(1 ) 0 0, 1. tan , 0 1, det( ) 0 ( ) 3 0 1 0

0 1

0, 1 0 2 ( ) 2, 1 0

0 1 0 1 0 0 1 1

1 1

1, 0 0 2 ( ) 2, 2 0

0 0 0 0 2

, 0

= − − =  = =   =

 

 

− = = −  = − = 

 

 

− = =  = = 

 

 

=

A m m m m m Por to si m y A y rango A

Si m A rango A porque el menor

Luego para m ó m=2, rango A( ) 2=

5)Considera las matrices ¹₁ ¹₁

0 1

   

   

= −  = 

   

   

A B . Calcula el rango de AB^t + I según los valores de  Resolución

( )

t

1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

AB I 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

         +  

         

+  = −  +   = − − − +    = − − +  − 

          

         

Su determinante es (–1 + )(1 + ) +  = ³ = 0   = 0.

Luego, si  ≠ 0, El determinante es distinto de 0 y, por tanto, el rango es 3

Si  = 0, |A| = 0 y

( )

1 1 1

la matriz es 1 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0 0

 

− − −   

  − − − 

 

 

. Luego, el rango es 1

6) Estudia el rango de A según los valores del parámetro.

a)

2 1

A 2 1

2 1 1

− 

 

 

= − 

  − 

 

Resolución

|A| = –2 – 2 – 2 + 2³ + 2 + 2 = 2³ – 6 + 4 = 0 ⎯⎯⎯^{: 2}→ ³ – 3 + 2 = 0   = –2,  = 1.

Luego, si  ≠ –2 y  ≠ 1, |A| ≠ 0 y, por tanto, rg A = 3 - Si  = –2, |A| = 0 y

2 1 2

A 2 2 1

4 1 1

− −

 

 

= − − 

. Como, por ejemplo, 2 1 2 2 6 0

− =  , rg A = 2

- Si  = 1, |A| = 0 y

( )

2 1 1

A 2 1 1 2 1 1

2 1 1

 − 

 

= −  −

 − 

 

. Luego, rg A = 1

(5)

- Página 5 -

b)

1 m 1

A m 1 m 0

1 1 1

 

 

= − 

 

 

Resolución

|A| = m + m – 1 – m – m(m – 1) = –m² + 2m – 1 = 0  m = 1.

Luego, si m ≠ 1, |A| ≠ 0 y, por tanto, rg A = 3 Si m = 1, |A| = 0 y

1 1 2

A 0 1 0

1 1 1

 

 

=  

 

 

. Como, por ejemplo, 1 1

0 1 = 1 0, rg A = 2

c)

1 0 1

A 0 m 1 0

1 1 m 1

 − 

 

= + 

 − 

 

Resolución

|A| = (m + 1)(m – 1) + m + 1 = m² – 1 + m + 1 = m² + m = 0  m = 0, m = –1.

Luego, si m ≠ 0, –1, |A| ≠ 0 y, por tanto, rg A = 3 - Si m = 0, |A| = 0 y

1 0 1

A 0 1 0

1 1 1

 − 

 

=  − 

0 1 = 1 0, rg A = 2

- Si m = –1, |A| = 0 y

1 0 1

A 0 0 0

1 1 2

 − 

 

= −   − 

1 1 = 1 0, rg A = 2

7) Estudia el rango de

1 1 0

A 2 t 1 t 1

2t 1 0 t 3

 

 

=− − + −+ 

según los valores de t:

Resolución

|A| = (t + 1)(t + 3) + (t – 1)(–2t – 1) – 2(t + 3) = t² + 4t +3 – 2t² + t + 1 – 2t – 6 = –t² + 3t – 2 = 0  t = 1, t = 2. Luego, si t ≠ 1, 2, |A| ≠ 0 y, por tanto, rg A = 3

- Si t = 1, |A| = 0 y

1 1 0

A 2 2 0

3 0 4 3 0 4

 

 

=−  − 

. Como, por ejemplo, 1 1 3 0 = 3 0

− , rg A = 2

- Si t = 2, |A| = 0 y ^{C2 C2 C1}

1 1 0 1 0 0 1 0

A 2 3 1 2 1 1 2 1

5 0 5 5 5 5 5 5

 −

     

     

= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→   

−  −  − 

     

.

Como, 1 0

2 1 = 1 0, rg A = 2

8) Considera la matriz ¹

1 0

 + 

=  − 

k k

A k Determina, si existen, los valores de k para que rg A = 1.

Resolución

Como rg A = 1, entonces |A| = 0. Ahora, |A| = – (1 – k)(1 + k) = – (1 – k²) = k² – 1 = 0  k = 1.

Luego, si k = 1, rg A = 1

(6)

- Página 6 -

9) Sabiendo que la matriz

3 2 1

A 1 4 2

1 a 1 a

 − 

 

= − − 

− − 

 

tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?

Resolución

Como A tiene rango 2, |A| = 0  –12a – 4 + a – 1 – 4 + 2a + 6a – 6 = – 3a – 15 = 0  a = –5.

10) Considera las matrices

1 2 0

A 1 2 y B 2 m 0

2 m 3 2 m

 

−   

=  = − 

 

Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

Resolución

) det( ) 4 det( ) (m 4)

4 , ( ) 1, det( ) 0

( ) 2, det( ) 0 2 4 3 4 3( 4) 0

3 2 0, ( ) 2, det( ) 0

( )

= − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

− = − = =

= = − = − − = − − − 

− = = 

desarrollando por la última columna

a A m B m

Para m rango A porque A

rango B porque B y el menor m m

Para m rango A porque A

rango B 2

2, det( ) 0 4 3 4 3.0 0

3 2

0 4, ( ) 2 det( ) 0, ( ) 3, det( ) 0

: 0







 −

 = = = − − = − − 



 − =  = 



=

porque B y el menor m m

Para m y rango A porque A rango B porque B

Conclusión tienen el mismo rango para m

11) Sea la matriz

2 1 0

0 1 1

0 2 4

 

 

= − 

 

 

A

Estudia, según los valores de , el rango de la matriz A − I, siendo I la matriz identidad de orden tres.

Resolución

 

2

1ª

2 1 0 1 0 0 2 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 2 4 0 0 1 0 2 4

1 1

det( ) (2 ) (2 ) (1 )(4 ) 2

2 4

(2 )( 5 6) 0 2 3

2 3 ( )

     − 

     

− = − −   = − − 

     − 

     

− −

− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − = − − − + =

−

= − − + =  = =

−   − =

desarrollando por la columna

A I

ó

Si y rango A I



  



     



    

  3, det( ) 0

0 1 0

1 0

2 2 0 1 1 , ( 2 ) 2, 1ª 0

1 1

0 2 2

1 1 0

3 2 0 2 1 , ( 2 ) 2, 3ª

0 2 1

1 0

2ª 0

2 1

− 

 

 

− =  − =  − −  − = − − 

 

− 

 

− =  − =  − −  − =

 

 

− − 

porque A I

Si A I rango A I porque la columna es nula y

Si A I rango A I porque la fila es

proporcional a la y



(7)

- Página 7 -

SISTEMAS Y MATRICES. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales.

Por ejemplo,

3 2 2

3 4 0

2 2 3 1

x y z

x z

x y z

+ − =

 + =

 + − = −



es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Veamos cómo podemos expresar el sistema usando matrices:

Consideremos las matrices 1 3 2

3 0 4 2 2 3

2

0 min

1

−

  

 = 

  

 

  − 

    

    

 =  = 

   − 

    



A matriz de coeficientes

x

X y columna de las incógnitas b columna de los tér os independientes z

Observa:

1 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2

3 0 4 0 3 0 4 0 3 4 0

2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1

− + − + − =

         

         

=    =  + +  =  + =

 −   −   + −  −   + − = −

         

x x y z x y z

AX b y x y z x z

z x y z x y z

Por tanto, el sistema lo podemos expresar mediante la ecuación matricial AX =b

De forma general, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se puede escribir de la forma , ,z son las incógnitas

´ ´ ´ ´ , , , ´, ´, ´ a´´,b´´,c´´

´´ ´´ ´´ ´´ , ´,d´´ min

+ + =

 

 + + = 

 

 + + = 

 

ax by cz d x y

a x b y c z d donde a b c a b c son los coeficientes a x b y c z d d d son los tér os independientes

Podemos generalizar y hablar de sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Aunque aquí sólo vamos a trabajar con sistemas de, como máximo, 3 ecuaciones y 3 incógnitas Cuando hablemos de un sistema nos estamos refiriendo a un sistema de ecuaciones lineales

Matriz de un sistema

Es la matriz que se obtiene al añadirle a la matriz de coeficientes A, la columna de términos independientes, b. La representaremos por A*= (A | b).

La matriz del sistema también se llama matriz ampliada.

Por ejemplo, si el sistema es

3 2 2

3 4 0

2 2 3 1

x y z

x z

x y z

+ − =

 + =

 + − = −



, la matriz del sistema es

1 3 2 | 2

A* 3 0 4 | 0

2 2 3 | 1

 − 

 

=  

 − − 

 

x y z b

Observa que las ecuaciones del sistema se corresponden con las filas de la matriz

(8)

- Página 8 -

Clasificación de sistemas Según el número de soluciones, sólo existen tres tipos de sistemas:

( )

( inf )

( )

det min ( . . .)

det min ( . . ) ( . .)

tienen solución única tienen initas soluciones no tienen solución

er ados S C D sistemas compatibles

in er ados S C I sistemas incompatibles S I

 

 

 



Discutir un sistema es clasificarlo y resolver un sistema consiste en encontrar el valor o valores de las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez.

Observaciones:

- Si un sistema contiene una ecuación imposible del tipo 0 = nº distinto de cero, entonces el sistema es incompatible. Por ejemplo, el sistema 4x y 9

0x 0y 2

− =

 + =

 es incompatible.

- Si en un sistema hay dos ecuaciones en las que son proporcionales los coeficientes, pero no los términos independientes, entonces el sistema es incompatible. Por ejemplo, el sistema x 3y 7

2x 6y 5

+ =

 + =

 es

incompatible

Teorema de Rouché-Föbenius

Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas y sea A la matriz de coeficientes y A*

la matriz ampliada, formada al adjuntar a la matriz A la columnade términos independientes.

En forma matricial sería AX = b , A* = (A | b), es la matriz del sistema.

- Si rang(A) = rang(A*) = nº de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado (SCD) - Si rang(A) = rang(A*) < nº de incógnitas, entonces el sistema es compatible indeterminado (SCI) - Si rang(A) ≠ rang(A*), entonces el sistema es incompatible (SI)

Como consecuencia de teorema, un sistema es homogéneo (el que tiene nulos todos los términos independientes, o sea b = 0) siempre es compatible pues rango (A | b) = rango A.

Además, si rango(A) = nº de incógnitas entonces la única solución es la trivial x = 0, y = 0, z = 0

(9)

- Página 9 -

Actividad resuelta

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones usando el teorema de Rouché-Fröbenius:

a)

x y z 0 2x 3y z 1 4x 5y z 2

+ + =

 + − =

 + + =



   

   

= −  = − 

=   =

   

   

= −  −  − − 

  −  − −  −

   

*

1 1 1 1 1 1 0

matriz de coeficientes A 2 3 1 matriz ampliada A 2 3 1 1

4 5 1 4 5 1 2

det A 0 y, por ejemplo 1 1 0 rang A 2 2 3

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

En A 2 3 1 1 2F1 F2 0 1 3 1 4 5 1 2 4F1 F3 0 1 3 2 F3 F2 Resolución :

 

 − −  =

 

 − 

 

 =   −

 =



*

* *

0 1 3 1 rang A 3 0 0 0 1

rang A 2

Luego, rang A rang A . Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SI (no tiene solución) rang A 3

b)

5x 2y 6

10x 4y 12

− =

− + =−



− −

   

=−  =− − 

=  =

 =

= =  −

*

* *

*

5 2 5 2 6

matriz de coeficientes A matriz ampliada A

10 4 10 4 12

det A 0 rang A 1

Como la 2ª fila de A es proporcional a la 1ª fila rang A 1

Luego, rang A rang A 1 nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché F Resolución :

röbenius es un SCI (infinitas soluciones)

c) 





=

−

=

−

=

− 1 y x

5 y x 3

0 y 2 x

− −

   

   

= −  = − 

 −   − 

   

= −   =

−

−   =

−

= = =

*

* *

*

1 2 1 2 0

matriz de coeficientes A 3 1 matriz ampliada A 3 1 5

1 1 1 1 1

1 2

det A 0 y, por ejemplo 0 rang A 2 3 1

1 2

Como A sólo tiene 2 columnas y, por ejemplo 0 rang A 2 3 1

Luego, rang A rang A 2 n Resolución :

º de incógnitas. Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SCD (solución única)−

(10)

- Página 10 -

d)

3 2 1

6 2 4 2

9 3 6 3 x y z

x y z

− + =

− + − = −

 − + =



− −

   

   

= − − −  = − − − − 

=   =

*

3 1 2 3 1 2 1

9 3 6 9 3 6 3

det A 0 eliminamos F2 y F3 por ser proporcionales a F1 rang A 1 En A tambien eliminamos F2 y F3 por ser proporcionales a

Resolución :

 =

= =  −

*

F1 rang A 1

Luego, rang A rang A 1 nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SCI (infinitas soluciones)

e)

2x 5y 3z 4

x 2y z 3

5x y 7z 11

− + =

 − + =

 + + =



− −

   

   

= −  = − 

   

   

=   =

 =

= = =

*

* * *

*

2 5 3 2 5 3 4

5 1 7 5 1 7 11

det A 13 0 rang A 3

Como A sólo tiene 3 filas y A contiene a A rang A 3 Luego, rang A rang A 3 nº de incógnitas. Por el teo Resolución :

−

rema de Rouché Fröbenius es un SCD (solución única)

f)

x y 1 z 2x z 2 y y z

+ = +

 + = +

 =



+ − = − −

    

 − + = → = −  = − 

    

 − = − −

    

=   =

−

 − 

 

= − 

 − 

 

*

x y z 1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z 2 matriz de coeficientes A 2 1 1 matriz ampliada A 2 1 1 2

y z 0 0 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1

A 2 1 1 2 eliminamos las col 0 1 1 0

Resolución :

 = 

−

= =  −

*

umnas 3 y 4 rang A 2 porque por ejemplo 1 1 0 2 1

Luego, rang A rang A 2 nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SCI (infinitas soluciones)

(11)

- Página 11 -

g)

x y z 0 2x 3y z 1 4x 5y z 2

+ + =

 + − =

 + + =



   

   

= −  = − 

   

   

=   =

   

   

= −  −  − − 

  −  − −  −

   

*

1 1 1 1 1 1 0

4 5 1 4 5 1 2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

En A 2 3 1 1 2F1 F2 0 1 3 1

4 5 1 2 4F1 F3 0 1 3 2 F3 F2 Resolución :

 

 − −  =

 

 − 

 

 =   −

 =



*

* *

0 1 3 1 rang A 3 0 0 0 1

rang A 2

Luego, rang A rang A . Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SI (no tiene solución) rang A 3

Método de Gauss para la discusión y resolución de sistemas

El método de Gauss consiste en transformar el sistema en un sistema escalonado, que es un sistema en el que cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la ecuación anterior.

En lugar de usar las ecuaciones usamos las filas de la matriz del sistema.

Todo lo que se diga para las filas vale para las ecuaciones y viceversa.

Para llegar a un sistema escalonado usamos las siguientes reglas con el propósito de conseguir ceros por debajo de los elementos diagonales de la matriz del sistema:

1) Cambiar de orden dos filas 2) Eliminar una fila con todo ceros

3) Eliminar una fila que sea igual o proporcional a otra

4) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero

5) Sustituir una fila por una combinación lineal de esa fila con otra fila.

El sistema escalonado resultante se resuelve de forma más sencilla empezando a despejar por la ecuación que tiene menos incógnitas.

Los sistemas escalonados, una vez eliminadas las ecuaciones triviales (0 = 0), son muy fáciles de clasificar:

º º . . .

0 º int 0 . .

Si n de ecuaciones n de incógnitas S C D Si n de ecuaciones n de incógnitas S C I

Si una ecuación es del tipo n dist o de S I

= 

  

 = 



(12)

- Página 12 -

Actividades resueltas

1) Usando el método de Gauss clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos, si es posible:

a)

3x y z 0 2x 2y z 18 x 3z 0

− − = 

− + = 

− = 

Resolución

− −

 

 

= − 

 − 

 

− − − −

   

 −  −  − − 

   

 −  −  − 

   

x y z b

*

x y z b x y z

3 1 1 0

Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A 2 2 1 18

1 0 3 0

3 1 1 0 3 1 1 0

2 2 1 18 2 F1 3 F2 0 4 5 54 1 0 3 0 F1 3 F3 0 1 8 0

Resolución

− −

 

 − − 

 

+  − 

− − =

− = −

= −

b x y z b

3 1 1 0

0 4 5 54 matriz escalonada F2 4 F3 0 0 27 54

El sistema asociado sería un SCD (solución única) porque tendría igual nº de ecuaciones que de incógnitas : 3x y z 0

4y 5z 54 27z

 −

 = → = −





− − = − → = − − − − − = → = −

. Empezando a despejar por la última ecuación : z 54 z 2 54 27

4y 5( 2) 54 y 16 ; 3x ( 16) ( 2) 0 x 6

b)

5x 2y 2z 0 3x y 3z 0

8x y z 1

+ − =

 − + =

 + + = −



Resolución x y z b

*

x y z b x y z b

5 2 2 0

matriz del sistema o matriz ampliada A 3 1 3 0

8 1 1 1

5 2 2 0 5 2 2 0

3 1 3 0 F2 5F2 3F1 0 11 21 0 8 1 1 1 F3 5F3 8F1 0 11 21 5 F

 − 

 

= − − 

− −

   

 −   −  − 

   

 −   −  − − 

   

Resolución

x y z b

5 2 2 0

0 11 21 0 matriz escalonada 3 F3 F2 0 0 0 5

El sistema asociado sería un S.I. (sin solución) porque la última fila de la matriz corresponde a una ecuación imposible : 0 5

 − 

 − 

 

 −  − 

= −

(13)

- Página 13 -

c)

x y z 2

2x z 0 2y z 4

+ − = −

 − =

− + =



Resolución

− −

 

 

= − 

 − 

 

− − − −

   

 −  −  − − 

   

 −   − 

   

x y z b

*

x y z b x y z b

1 1 1 2

Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A 2 0 1 0 0 2 1 4

1 1 1 2 1 1 1 2

2 0 1 0 2F1 F2 0 2 1 4

0 2 1 4 0 2 1 4

Resolución

− −

 

 − − 

 

+ − = −

− = − se despeja, por ejemplo

x y z b 1 1 1 2

; eliminamos F3 por ser proporcional a F2 :

0 2 1 4 El sistema asociado sería un SCI (infinitas soluciones) porque tendría menos ecuaciones que incógnitas :

x y z 2 2y z 4

 + − + = − → − − = −

 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = +



= + =  

 = +

 = 

 = +



z ; se sustituye en la otra ecuación : x y (2y 4) 2 x y 4 2 z 2y 4

x 2 y ; Como "y" puede ser cualquier número (y k, con k R) Las infinitas soluciones se expresarían asi : x 2 k

y k , k R z 2k 4

d)

1 3 0 x 2

1 2 1 y 1

0 1 1 z 1

    

    =

    

 −    

    

Resolución

 

 

=  

 − 

 

   

  −  − 

   

 −   − 

   

x y z b

*

x y z b x y z b

1 3 0 2 Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A 1 2 1 1 0 1 1 1

1 3 0 2 1 3 0 2

1 2 1 1 F1 F2 0 1 1 1 ; eliminamos

0 1 1 1 0 1 1 1

Resolución

 

 − 

 

+ =



− = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = +

 se despeja, por ejemplo y

x y z b 1 3 0 2 F3 por ser igual a F2 :

0 1 1 1

El sistema asociado sería un SCI (infinitas soluciones) porque tendría menos ecuaciones que incógnitas : x 3y 2

; se sustit

y z 1 y 1 z + + = → + + =

= − − =  

= − −

 = + 

 =



uye en la otra ecuación : x 3(1 z) 2 x 3 3z 2 x 1 3z ; Como z puede ser cualquier número (z k, con k R) Las inf initas soluciones se expresarían asi :

x 1 3k

y 1 k , k R z k

(14)

- Página 14 -

e)

2 1 3 x 3

1 0 2 y 2

1 3 1 z 1

    

   = 

    

   − 

    

Resolución

x y z b x y z b

*

x y z b

2 1 3 3 1 0 2 2 matriz del sistema o matriz ampliada A 1 0 2 2 2 1 3 3 1 3 1 1 1 3 1 1

1 0 2 2 1 0 2 2

2 1 3 3 F2 F2 2F1 0 1 1 1 1 3 1 1 F3 F3 F1 0 3 1 3

   

   

=  −     − 

  

   −  − −

  

 −   −  − −

  

Resolución

x y z b x y z b

1 0 2 2

0 1 1 1 matriz escalonada F3 F3 3F2 0 0 2 0

El sistema asociado sería un SCD (solución única) porque tendría igual nº de ecuaciones que de incógnitas : x 2z 2

y z 1 2z 0

  

  − − 

  

  −  

  

+ =

 − = −

 =



. Empezando a despejar por la última ecuación : z 0 z 0 2

y 0 1 y 1 ; x 2.0 2 x 2

= → =

− = − → = − + = → =

f)

2x y z 1

x 2y z 2

x y 2z 4

− + + = 

− + = −  + − = 

Resolución

− 

 

= − − 

 − 

 

− −

   

 − −  +  − − 

   

 −  +  − 

   

x y z b

*

x y z b x y z b

2 1 1 1

Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A 1 2 1 2

1 1 2 4

2 1 1 1 2 1 1 1

1 2 1 2 F1 2 F2 0 3 3 3

1 1 2 4 F1 2 F3 0 3 3 9

Resolución

− 

 − − 

 

+   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ecuación correspondiente→ =

x y z b

2 1 1 1

0 3 3 3

F2 F3 0 0 0 6 0 6

Por tanto, el sistema es incompatible (no tiene solución)

(15)

- Página 15 -

g)

x y 1 z 2x z 2 y y z

+ = + 

+ = + 

= 

Resolución

+ − = −

  

 − + = = − 

  

 

 − = −

  

− −

  

 −  −  −

 

 −  −

  

x y z b

*

x y z b

x y z 1 1 1 1 1

Usando el método de Gauss : 2x y z 2 ; matriz del sistema o matriz ampliada A 2 1 1 2

y z 0 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 F1 F2 0 3 3 0

0 1 1 0 0 1 1 0

Resolución

  − 

  

   − 

 



+ − =

− =

x y z b

se despeja,

1 1 1 1 eliminamos F2 por ser proporcional a F1

0 1 1 0

El sistema asociado sería un SCI (infinitas soluciones) porque tendría menos ecuaciones que incógnitas : x y z 1

y z 0

 + − =  =

 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ =



=  

 =

 = 

 =



por ejemplo y ; se sustituye en la otra ecuación : x z z 1 x 1 y z

Como z puede ser cualquier número (z k, con k R) Las inf initas soluciones se expresarían asi : x 1

y k , k R z k

h) 2x 3y z 4 x 2y z 5

+ − =

 + + =



Resolución

 − 

=  

 

− −

   

  −  − − − 

   

x y z b

*

x y z b x y z b

2 3 1 4 Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A

1 2 1 5

2 3 1 4 2 3 1 4

. El sistema asociado sería un SCI (i 1 2 1 5 F1 2 F2 0 1 3 6

Resolución

+ − =



− − = − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = −



+ − − = → + − − = → = − → = − →

se despeja, por ejemplo y

nfinitas soluciones) porque 2x 3y z 4

tendría menos ecuaciones que incógnitas : ; se sustituye en la

y 3z 6 y 6 3z

10z 14 otra ecuación : 2x 3(6 3z) z 4 2x 18 9z z 4 2x 10z 14 x x

2 = −

=  

= −

 = − 

 =



5z 7 Como z puede ser cualquier número (z k, con k R) Las inf initas soluciones se expresarían asi :

x 5k 7

y 6 3k , k R z k

(16)

- Página 16 -

h)







= + +

= +

−

=

− +

1 4 3 4

9 3 4 5

1 2 2

z y x

Resolución

x y z b y x z b

*

y x z b

2 1 2 1 1 2 2 1

matriz del sistema o matriz ampliada A 5 4 3 9 4 5 3 9

4 3 4 1 3 4 4 1

1 2 2 1 1 2 2 1

4 5 3 9 F2 F2 4F1 0 13 5 13 3 4 4 1 F3 F3 3F1 0

− −

   

   

= −  − 

   

   

− −

 

−   + −

 

   − −

 

Resolución

F2 F3

y x z b y x z b

1 2 2 1

0 13 5 13 2 10 2 F3 F3 : 2 0 1 5 1

1 2 2 1 1 2 2 1

0 1 5 1 0 1 5 1 mat

0 13 5 13 F3 F3 13F2 0 0 60 0



   − 

   − 

   

 −    − − 

   

− −

   

   

⎯⎯⎯→ − − −   +  − − 

riz escalonada

El sistema asociado sería un SCD (solución única) porque tendría igual nº de ecuaciones que de incógnitas : y 2x 2z 1

x 5z 1 . Empezando a despejar por la última ecuación : z 0 z 0 60z 0 60

x 5.0 1 x 1 ; y 2.1 2.

+ − =

− + = − = → =

 =



− + = − → = + − 0 1= → y= −1

2)Resuelve el siguiente sistema y clasifícalo atendiendo al número de soluciones

x y z 0 2x 3y z 17 4x 5y z 17

+ + = + − = + + =

A la vista del resultado anterior, ¿podemos afirmar que hay una ecuación que es combinación lineal de las otras dos?

Resolución

 

 

= − 

 

 

   

 −  −  − − 

   

  −  − − 

   

x y z b

*

x y z b x y z b

1 1 1 0

Usando el método de Gauss : matriz del sistema o matriz ampliada A 2 3 1 17 4 5 1 17

1 1 1 0 1 1 1 0

2 3 1 17 2F1 F2 0 1 3 17 4 5 1 17 4 F1 F3 0 1 3 17

Resolución

 

 − − 

 

+ + =

− + = − ⎯se despeja, por ejemplo y→

x y z b

1 1 1 0

; eliminamos F3 por ser igual a F2 :

0 1 3 17

El sistema asociado sería un SCI (infinitas soluciones) porque tendría menos ecuaciones que incógnitas : x y z 0

y 3z 17

 + + + = → + + =

 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = +



= − − =  

= − −

 = + 

 =



; se sustituye en la otra ecuación : x 3z 17 z 0 x 4z 17 0 y 3z 17

x 17 4 z ; Como z puede ser cualquier número (z k, con k R) Las inf initas soluciones se expresarían asi : x 17 4k

y 3k 17 , k R z k

= → →

La respuesta a la pregunta es sí porque como rang A* 2 sólo hay 2 filas l.i. la otra fila es c.l. de esas dos

(17)

- Página 17 -

Regla de Cramer Es un método que sirve para resolver sistemas compatibles.

Si el sistema es de 3 ecuaciones con 3 incógnitas x, y, z, las incógnitas las podemos calcular usando las siguientes fórmulas:

x

y x

y z

x |A |

A la matriz de coeficientes

|A|

|A | A la matriz obtenida al sustituir la columna de la x por la de tér min os independientes

y , siendo

A la matriz obtenida al sustituir la columna de la y por la de tér min os

|A|

z |A |

|A|

 =

 =

 = =



 =

 ^z

independientes A la matriz obtenida al sustituir la columna de la z por la de tér min os independientes







 =



Usando la regla de Cramer resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 3x y z 0

2x 2y z 18 x 3z 0

− − = 

− + = 

− = 

Resolución

 =

  − −   − −   −   − 

 = = −  = −  =  = − 

        

       

  −   −   −   

 =



− − −

= → = − = → = − = →

x

y x y z

z x |A |

|A| 3 1 1 0 1 1 3 0 1 3 1 0

Usando la regla de Cramer : y |A |, A 2 2 1 , A 18 2 1 , A 2 18 1 , A 2 2 18

|A| 1 0 3 0 0 3 1 0 3 1 0 0

z |A |

|A|

54 144 18

x x 6 , y y 16 , z z

9 9 9 = −2

Método de la ecuación matricial

Sea AX = b un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas con |A| ≠ 0

En este caso el sistema es compatible determinado y la solución se puede obtener despejando X en la ecuación matricial: AX =B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→multiplicando por A⁻¹ por la izquierda A⁻¹(AX)= A B⁻¹  X = A B ⁻¹

1) Usando el método de la ecuación matricial resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 3x y z 0

2x 2y z 18 x 3z 0

− − = 

− + = 

− = 

Resolución

Para poder aplicar el método es necesario que A sea invertible. Como det A = 9 ≠ 0, existe A^–1.

−

= = = −

− −

   

   

=  = = − −  =  

*

1 Otras formas de resolver el ejercicio

Como rang A rang A 3 nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché Fröbenius es un SCD (solución única)

3 1 1 x

Usando la ecuación matricial : AX b X A b. Como A 2 2 1 , X y

1 0 3 z

  

=  

   

− − − −

          

          

= = − − −   =  − −  = −  = −  = − = − = −

− − −     − −    −   − 

          

t t

0 , b 18

0

6 7 2 0 6 3 3 0 54 6

1 1 1 1

X (adjA) b 3 8 1 18 7 8 5 18 144 16 x 6 , y 16 , z 2

det A 9 9 9

3 5 4 0 2 1 4 0 18 2