PROBABILIDAD.
1 EXPERIMENTO ALEATORIO. SUCESOS.
Un experimento deteminista (o experiencia determinista) es aquél que se puede repetir en idénticas condiciones iniciales tantas veces como se desee, y siempre se obtiene el mismo resultado.
Ejemplo: si se deja una piedra en el aire entonces la piedra cae al suelo.
Un experimento aleatorio (o experiencia aleatoria) es aquél que se puede repetir en idénticas condiciones iniciales tantas veces como se desee, pero no se puede determinar el resultado de antemano. Se dice que el resultado “depende del azar”.
Ejemplos: lanzamiento de una moneda, número de personas que acude a una tienda, accidentes de viaje, sexo de un bebé, ...
Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria se representa con las letras E y Ω.
Ejemplos:
Lanzamiento de una moneda: E = {cara, cruz}
Lanzamiento de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se llama suceso a los resultados que pueden obtenerse del experimento aleatorio. Los sucesos elementales son los resultados de la experiencia que no pueden descomponerse en sucesos más sencillos. Los sucesos compuestos están formados por varios sucesos elementales. El conjunto de todos los suceso elementales constituye el espacio muestral del experimento.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado.
Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Sucesos compuestos: {1, 2}, {par} = {2, 4, 6}, {3, 5}
Conceptos:
Suceso seguro Es el suceso formado por todos los sucesos elementales posibles. Es decir, es el espacio muestral.
Suceso imposible ( ∅ ): Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental.
Unión de sucesos A y B ( A ∪ B ): Está formado por los sucesos elementales comunes y no comunes de ambos sucesos.
Intersección de sucesos A y B ( A ∩ B ): Está formado por únicamente los sucesos elementales comunes de ambos sucesos.
Sucesos incompatibles: Son aquellos que no tienen ningún suceso elemental en común.
Su intersección es el suceso imposible. A ∩ B = ∅
Diferencia de dos sucesos: Es el suceso formado por los sucesos elementales del primero que no pertenezcan al segundo. A – B
Suceso contrario de un suceso ( Ā, A ’): Está formado por todos lo sucesos elementales que no pertenecen al suceso. Ā = E – A A’ = E – A
La unión de un suceso con su contrario genera el suceso seguro.
A ∪ Ā = E
Leyes de Morgan ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’
( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’
2 PROBABILIDAD.
Definiciones de probabilidad
Probabilidad según Richard Von-Misses. La probabilidad de un suceso es el límite de las frecuencias relativas de dicho suceso cuando el número de experiencias tiende a infinito.
P (A) = lim fr(A)
n→∞
Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad.
Probabilidad según Laplace. Dados m sucesos elementales equiprobables, la probabilidad de que ocurra un suceso A formado por n de los m sucesos elementales, es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.
P (A) = m
n
Principio de equiprobabilidad
Dos sucesos igualmente verosímiles tienen asociada la misma probabilidad.
Este principio se usa mucho y nos permite aplicar la probabilidad de Laplace, no obstante hay que estar bien seguro que dos sucesos igualmente verosímiles lo son de verdad. En un dado puede parecer que todas las caras son igualmente verosímiles y, por tanto, les asociamos la misma probabilidad. Ahora bien, ¿quién nos dice que el dado no está cargado por una de las caras?
Propiedades
1. La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1.
0 ≤ P (A) ≤ 1 En concreto: P (∅) = 0 P (E) = 1
2. La probabilidad del suceso contrario de un suceso es igual a 1 menos la probabilidad del suceso original.
P (Ā) = 1 – P (A)
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A ∩ B = ∅
4. La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) Por tanto, también se cumple: P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
3 EXPERIMENTO COMPUESTO.
Un experimento compuesto está formado por varios experimentos aleatorios simples. A la hora de trabajar con experimentos aleatorios suelen emplearse los diagramas de árbol y las tablas de contingencia.
Ejemplo: En un hospital ha habido 200 nacimientos. De ellos 105 son niños, 21 de los cuáles tienen los ojos azules. Asimismo, 38 de las niñas tienen los ojos azules.
Determina el espacio muestral mediante un diagrama en árbol y construye una tabla de contingencia. Calcula la probabilidad de que al elegir un recién nacido al azar, tenga los ojos azules.
4 PROBABILIDAD CONDICIONADA.
Se llama probabilidad del suceso B condicionada al suceso A a la probabilidad de que ocurra el suceso B sabiendo que ha ocurrido el suceso A. Se escribe P(B / A). Por la regla de Laplace:
Nº de casos en A ∩ B P (B / A) =
Nº de casos en A
Ejemplo: En el ejercicio anterior, calcula la probabilidad de que siendo niña, tenga los ojos azules; y la probabilidad de que teniendo los ojos azules, sea niña.
5 PROBABILIDAD COMPUESTA.
La probabilidad de un suceso compuesto es la probabilidad de la intersección de los sucesos que la forman. Esto es: P (A ∩ B)
Se cumple que:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B / A) = P (B) · P (A / B)
Despejando obtenemos otra forma de calcular la probabilidad condicionada:
P (A ∩ B) P (A ∩ B)
P (B / A) = P (A / B) =
P (A) P (B)
Ejemplo: En el ejercicio del hospital, calcula la probabilidad de que siendo niña, tenga los ojos azules; y la probabilidad de que teniendo los ojos azules, sea niña;
utilizando las probabilidades.
Si dos sucesos son independientes entonces: P (B / A) = P(B) y P (A / B) = P(A) En consecuencia: P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Ejemplo: Se extraen dos bolas de una urna en la que hay 4 bolas blancas y 3 rojas.
Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea roja si:
a) Anotamos el color de la primera bola y la devolvemos a la urna.
b) No devolvemos la primera bola a la urna.
6 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.
Dados una serie de sucesos A1, A2, ... , An, tales que:
− Son incompatibles entre sí: Ai ∩ Aj = ∅ para todo i ≠ j
− Su unión genera el espacio muestral: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E Entonces la probabilidad de un suceso B puede escribirse como:
P (B) =
∑
= n i 1
P (Ai ∩ B) ⇒ P (B) =
∑
= n i 1
P (Ai ) · P (B / Ai)
Ejemplo: Disponemos de una urna verde y otra azul. La urna verde contiene 3 bolas blancas y 2 negras, y la urna azul contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Lanzamos una moneda y si sale cara, se saca una bola de la urna verde, y si sale cruz, de la urna azul. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?
7 TEOREMA DE BAYES.
Permite calcular la probabilidad de realización de un suceso Ak, perteneciente a una serie completa de sucesos incompatibles sabiendo que se ha producido un suceso B.
Dados una serie de sucesos A1, A2, ... , An, tales que:
− Son incompatibles entre sí: Ai ∩ Aj = ∅ para todo i ≠ j
− Su unión genera el espacio muestral: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E Entonces la probabilidad del suceso compuesto Ak ∩ B es:
P (Ak ∩ B) = P (B) · P (Ak / B) Por tanto:
P (Ak ∩ B) P (Ak) · P (B / Ak)
P (Ak / B) = ⇒ P (Ak / B) = ⇒
P (B) P(B)
P (Ak) · P (B / Ak)
⇒ P (Ak / B) =
∑
= n i 1P (Ai) · P (B / Ai)
Ejemplo: Una compañía de coches tiene tres fábricas en un país. El porcentaje de coches defectuosos y del total de producción viene recogido en la siguiente tabla:
F1 F2 F3
Producción 60 % 25 % 15 %
Coches defectuosos 1 % 4 % 2 %
Si observamos que un coche es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda fábrica?
