MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 24

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

Transformaciones de funciones Traslación vertical

Si se suma una constante c a una función, su grá…ca se desplaza

verticalmente hacia arriba si c >0 y se desplaza verticalmente hacia abajo si c <0.

Suponga c >0 :

La grá…ca de y =f (x) +c, se obtiene al mover c unidades hacia arriba la grá…ca de y =f (x).

La grá…ca de y =f (x) c, se obtiene al mover c unidades hacia abajo la grá…ca de y =f (x).

Ejemplos

2.5.1 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) =x²+3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

x^2+3

Traslación horizontal

Si se suma una constante c a x, su grá…ca se desplaza horizontalmente hacia la derecha si c >0 y se desplaza horizontalmente hacia la izquierda si c <0.

Si se conoce la grá…ca de y =f (x), lo anterior se obtiene de la grá…ca de y =f (x c).

Suponga c >0 :

La grá…ca de y =f (x c), se obtiene al mover c unidades hacia la derecha la grá…ca de y =f (x).

La grá…ca de y =f (x+c), se obtiene al mover c unidades hacia la izquierda la grá…ca de y =f (x).

Ejemplos

2.5.2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) = (x+3)²

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^2

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

Ejemplos

2.5.2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) = (x+3)²

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^2

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

2.5.3. Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) =p

x 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^.5

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

Re‡exiones

Dada la grá…ca de y =f (x), se desea conocer que sucede al gra…car y = f (x) o y =f ( x).

La grá…ca de y = f (x), es el re‡ejo de la grá…ca de y =f (x) sobre el eje X .

La grá…ca de y =f ( x), es el re‡ejo de la grá…ca de y =f (x) sobre el eje Y .

2.5.4 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) = p_{x g}

(x) =p x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^.5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

-x^.5 (-x)^.5

Estirarse y encogerse verticalmente

Dada la grá…ca de y =f (x), se desea conocer que sucede al gra…car y =cf (x).

Si c >1 a grá…ca de y =cf (x), la grá…ca de y =f (x)se estira verticalmente por un factor de c.

Si 0<c <1 a grá…ca de y =cf (x), la grá…ca de y =f (x)se achica verticalmente por un factor de c

2.5.5 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) =3j^x+2j

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

|x|

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

3|x|

3|x+2|

Estirarse y encogerse horizontalmente

Dada la grá…ca de y =f (x), se desea conocer que sucede al gra…car y =f (cx).

Si c >1 a grá…ca de y =f (cx), la grá…ca de y =f (x)se achica horizontalmente por un factor de c.

Si 0<c <1 a grá…ca de y =f (cx), la grá…ca de y =f (x)se estira horizontalmente por un factor de c.

2.5.6 Las grá…cas de g es dada, trace la grá…ca de las siguientes funciones..

y =g(2x), y =g ¹₂x ,

Funciones pares e impares

Sea f una función:.

f es par si f ( x) =f (x)para todo x en el dominio de f . f es impar si f ( x) = f (x)para todo x en el dominio de f .

Ejemplos

2.5.7 Suponga que la grá…ca de una función f es dada. Describa el tipo de transformación que se hizo con respecto a f .

a. y =f (x) 3 : la grá…ca de f se desplazó verticalmente 3 unidades hacia abajo.

b. y =f (x+2): la grá…ca de f se desplazó horizontalmente 2 unidades hacia la izquierda.

c. y =f ( x): la grá…ca de f se se re‡eja sobre el eje Y .

d. y = f(x) +1 : la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje X y luego se desplazó verticalmente 1 unidad hacia arriba.

e. y =2f (x 4): la grá…ca de f se estira verticalmente por un factor de 2 y luego se despalza 2 unidades hacia la derecha.

f. y =f ¹₃x +5 : la grá…ca de f se estira horizontalmente por un factor de 3 y luego se desplazó verticalmente 5 unidades hacia arriba.

2.5.8 Explique como la grá…ca de la función g es es obtenida de la grá…ca de f .

a. f(x) =x², g(x) = (x 2)² : la grá…ca de f se desplazó horizontalmente 2 unidades hacia la derecha.

b. f(x) =p

x, g(x) =¹₂p

x 3 : la grá…ca de f achica por un factor de 2 y se desplazó verticalmente 3 unidades hacia abajo.

c. f(x) =x³, g(x) = ( 2x)³+2 : la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje Y, luego se achica horizontalmente por un factor de 2 y se desplazó verticalmente 2 unidades hacia arriba.

d. f(x) = j^xj^{, : g}(x) = 2j^x+3j la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje X , se estira verticalmente por un factor de 2 y luego se desplazó horizontalmente 3 unidades hacia la izquierda.

2.5.9 Paree las grá…cas con las funciones:

a.y = j^x+1j ^b.y = j^{x 1}j ^c.y = j^xj ^{1 d .y} = j^xj

2.5.10 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) = _x+²₁ 1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

1/x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

2/x

2/(x+1)

2/(x+1)-1

2.5.11 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación.

f (x) =3 p

2 x=3 p

(x 2)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

x^.5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

(-x)^.5

-(-x)^.5

-(-x+2)^.5 -(-x+2)^.5+3

2.5.12 Las grá…cas de f y g son dadas, halle una fórmula para la función g ..

2.5.13 La grá…ca de y =f(x) es dada, paree cada función con su grá…ca..

a. y = ¹₃f (x), b. y = f (x+4), c. y =f (x 4) +3, d. y =f( x)

2.5.14 Las grá…cas de g es dada, trace la grá…ca de las siguientes funciones..

y =g(x+1), y =g( x), y =g(3x), y = ¹₃g(x)

2.5.15 Determine si la función f es par o impar:

a. f(x) =x² 4x⁴ b. f(x) =x x³

c. f(x) =3x³+x² 4x+1