ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 1 ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA

La Estadística es la parte de las matemáticas que se encarga de estudiar un determinado carácter (cualitativo o cuantitativo) en una población.

La estadística unidimensional se encarga de analizar un determinado carácter cuantitativo asignándole al mismo una variable estadística. Cuando se trata de estudiar la relación que existe entre dos variables estadísticas estamos pasando al terreno de la estadística

bidimensional (recta de regresión, correlación, etc...)

Atendiendo al proceso estadístico podemos hablar de dos partes en la Estadística:

-Estadística descriptiva: se encarga de recopilar datos (mediante encuestas), organizarlos (mediante tablas y gráficos) y resumirlos (mediante los parámetros estadísticos: centrales y de dispersión).

-Estadística inferencial: Se encarga de generalizar a toda una población los datos o conclusiones obtenidas de una muestra.

En concreto, una de sus funciones es estimar el valor de la media de una población a partir de la media de una muestra. Lógicamente, dicha estimación contendrá un error, por lo que diremos que la media de la población está contenida en un intervalo al que llamaremos intervalo de confianza, cuyo calculo aprenderemos a realizar.

-Para aprender a calcular intervalos de confianza, nos basaremos en un modelo matemático denominado distribución normal , ya que experimentalmente se ha comprobado que multitud de variables estadísticas se distribuyen según este modelo.

Esta distribución de probabilidad sigue una función denominada curva normal o campana de Gauss (en honor a su inventor) definida como:

2

2· 1

2 · ) 1

(



 



 −

−

= ^σ

µ

π σ

x

e x

f donde

típica desviación media; :

: σ

µ

Esta curva sirve para estudiar numerosos problemas de estadística donde aparecen variables estadísticas que se distribuyen según una ^N(µ,σ)^.

Observaciones:

1)El máximo de la curva está en la media de la población µ 2)La curva es simétrica respecto de la media

3)El área encerrada bajo la curva y por encima del eje X vale 1 (equivale a la probabilidad total de la población)

4)El eje X es una asíntota horizontal de la función.

5)Entre todas las posibles curvas normales vamos a destacar la N(0,1), denominada normal estándar, de la cual existen unas tablas de probabilidad cuyo manejo nos permitirá

posteriormente extrapolar a cualquier curva ^N(µ,σ)^. -Estudiemos primero el manejo de la tabla N(0,1):

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 2

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1)

z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 3 -Sea z una variable estadística que se distribuye según una N(0,1).

En la tabla se encuentran los valores de probabilidad: P(z≤k), siendo k ≥0 Ejemplos:

8907 ' 0 ) 23 ' 1

(z≤ =

P P(z≤0)=0'5 P(z≤k)=0'7734⇒k =0'75 Observaciones:

Si k ≥0⇒P(z≤k)= p(z<k) (ya que en una distribución continua P(z = k) = 0 ) Además: P(z≥k)=1−P(z<k)

P(z≤−k)=P(z≥k) Ejemplos:

0934 ' 0 9066 ' 0 1 ) 32 ' 1 ( 1 ) 32 ' 1

(z≥ = −P z< = − =

P

2236 ' 0 7764 ' 0 1 ) 76 ' 0 ( 1 ) 76 ' 0 ( ) 76 ' 0

(z≤− =P z≥ = −P z< = − =

P

6517 ' 0 ) 39 ' 0 ( ) 39 ' 0

(z≥− =P z≤ =

P

2759 ' 0 7019 ' 0 9778 ' 0 ) 53 ' 0 ( ) 01 ' 2 ( ) 01 ' 2 53

' 0

( ≤z< =P z≤ −P z< = − =

P

=

>

−

≤

=

−

<

−

≤

=

≤

≤

−1'36 0'94) ( 0'94) ( 1'36) ( 0'94) ( 1'36)

( z P z P z P z P z

P p⁽z≤^0'94)−

[

]

1437 ' 0 5478 ' 0 6915 ' 0 ) 12 ' 0 ( ) 5 ' 0 ( ) 5 ' 0 12

' 0 ( ) 12 ' 0 5

' 0

(− < z<− =P < z< =P z< −P z< = − = P

44 ' 0 67

' 0 )

(z≤k = ⇒k = P

05 ' 1 8531

' 0 ) ( 1469 ' 0 ) ( 1 1469 ' 0 )

(z≥k = ⇒ −P z<k = ⇒P z<k = ⇒k = P

81 ' 0 ...

...

...

...

...

...

...

...

209 ' 0 )

(z≤k = ⇒ k =−

P

Calculo de probabilidades en una ^N(µ,σ) Si X se distribuye según una ^N(µ,σ)⇒

σ−µ

= X

Z se distribuye según una N(0,1).

A esto se le llama tipificación de la variable: Si

σ µ σ

µ < < −

⇒ −

<

< b

a z b x a

Ejemplos:

1)Si X se distribuye según una N(18,4), calcula:

06915 )

5 ' 0 4 (

8 ) 20

20 (

) = ≤ =



 



 ≤ −

=

≤ P z P z

x P

a

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 4 6480

' 0 ) 375 ' 0 ( ) 375 ' 0 4 (

18 5 ' ) 16

5 ' 16 (

) = ≥− = ≤ =



 



 ≥ −

=

≥ P z P z P z

x P b

c)P(x≤11)=...=0'0401

[

]

) 75 ' 1 ( ) 75 ' 1 ( ) 75 ' 1 (

) 75 ' 1 ( ) 75 ' 1 ( ) 75 ' 1 75

' 1 4 (

18 25 4

18 ) 11

25 11

( )

=

−

=

−

<

=

<

−

−

<

=

>

−

<

=

−

<

−

<

=

<

<

−

=



 



 − < < −

=

<

<

z P z

p z

P z

P z

P

z P z

P z

P z

P x

P d

2957 ' 0 ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

) 23 19

(

)P ≤ x< = =

e

2)Sea X una variable que se distribuye N(6,0’9), calcula k en los casos:

8 ' 7 9 2

' 0 9772 6 ' 0 9 ) ' 0 ( 6 9772 ' 0 ) (

) ≤ = → ≤ k− = →k− = →k =

z P k

x P

a

94 ' 2 ...

...

6331 ' 0 9 ) ' 0 ( 6 6331 ' 0 9 ) ' 0 ( 6 6331 ' 0 ) (

) ≥ = → ≥ − = → ≤ −k+ = → →k =

z k P

z P k

x P b

3)Las notas de matemáticas en un Ies de Fuenlabrada se distribuyen según una N(6, 0’65).

a)Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar suspenda.

b)Calcula la probabilidad de que un alumno saque entre 6 y 8.

c)Si en el ies hay 700 alumnos, ¿cuántos se espera que obtengan más de 6’5?

Sol:

a) 0’0618 b) 0’499 c) 154 alumnos

Valores críticos en una distribución N(0,1)

Sea Z una distribución N(0,1). Llamamos valor crítico z al valor de la variable N(0,1) _α que deja a su derecha una probabilidad (un área) igual a α.

Ejemplos:

1)El valor crítico z_0'5 es el valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de 5

'

=0

α . Vamos a calcularlo: P(z >z_0'5)=0'5⇒z_0'5 =0

2)¿Cuánto vale z_0'05?

Vamos a calcularlo: P(z> z_0'05)=0'05⇒P(z<z_0'05)=0'95⇒z_0'05 =1'645 3)Calcula los valores críticos z_0'025 , z_0'2

Sol: z_0'025=1’96 z_0'2= 0’84

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 5 4)Encuentra un intervalo centrado en el 0 tal que la probabilidad de que z pertenezca a dicho intervalo sea del 99% (es decir, contiene una probabilidad de 0’99). Este intervalo se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad de 0’99.

Sol: La probabilidad que quedará fuera del intervalo es de 0’01. Como la curva es simétrica quedará a la derecha del intervalo una probabilidad de 0’005 (y a la izquierda del intervalo otro 0’005 de probabilidad). Por lo tanto el extremo derecho del intervalo será el valor crítico z_0'005 , y por tanto dicho intervalo será (−z_0'005,z_0'005)=(−2'575,2'575) 5)Encuentra el intervalo característico que deja fuera una probabilidad del 20%.

Sol: El extremo derecho del intervalo será el valor crítico z , por lo tanto el intervalo _0'1 pedido será: (−z_0'1,z_0'1)=(−1'28,1'28)

6)Encuentra el intervalo característico (centrado en el 0) que deja fuera una probabilidad de α ^.

Sol: Dicho intervalo será 









−

2 2

, _α

α z

z .

Tabla resumen de intervalos característicos y valores críticos más usuales:

α

− 1

Probabilidad dentro del

intervalo

α Probabilidad

fuera del intervalo

2 α/

Probabilidad fuera a la derecha del

intervalo

2

zα

Valor crítico

(

)

Intervalo característico

0’90 0’10 0‘05 1’645 (-1’645,1’645)

0’95 0’05 0’025 1’96 (-1’96,1’96)

0’99 0’01 0’005 2’575 (-2’575,2’575)

Intervalos característicos en ^N(µ,σ)

Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una ^N(µ,σ). Queremos encontrar un intervalo centrado en la media

(

)

(

)

decir, deja fuera una probabilidad de α ^).

Tendremos que la variable

σ−µ

= x

z se distribuye como una N(0,1). Como el intervalo característico de z correspondiente a 1−α es , ,

2 2











−z_α z_α tendremos:

2 2

α

α σµ

x z z < − <

− con una probabilidad de 1−α , es decir, µ _α^·σ µ _α^·σ

2 2

z x

z < < +

−

En resumen, en una distribución ^N(µ,σ), el intervalo característico correspondiente a una probabilidad 1−α es 









µ− _α^·σ^, µ+ _α^·σ

2 2

z

z .

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 6 -Por tanto (rellena lo que falta):

Para el 90% ¹ α ^0'9 _α ^1'645

(

)

2

+

−

→

=

→

=

−

→ z

Para el 95% →^{...............}

(

)

Para el 99% →...

Ejercicio:

En una distribución N(173,6), halla los intervalos característicos para el 90%, 95% y 99%.

Interpreta los resultados.

Sol:

90% (173-1’645·6, 173+1’645·6) = (163’13, 182’87) El 90% está aquí.

95% ... P(161’24<x<184’76) = 0’95 99% ……….. P

[

(

) ]

Distribución de las medias muestrales Teorema central del límite:

Dada una población cualquiera ( no necesariamente normal), de media µ y desviación típica σ , la distribución de las medias de las muestras de tamaño n :

-Tienen la misma media, µ, que la población.

-Su desviación típica es n

σ (por consiguiente, disminuye al aumentar n).

-Cuando n≥30; es prácticamente normal: N(µ,σ / n)

(Si la población de partida es normal, la distribución de las medias será normal independientemente del valor de n).

Ejemplo:

Supongamos que la población de jóvenes españoles tiene una estatura media de 170cm y una desviación típica de 8cm.

Si tomamos varias muestras(mediante muestreo aleatorio) de 100 jóvenes cada una (n=100), entonces: Si calculamos la estaturas medias de cada muestra y hacemos la media de todas ellas obtendremos 170cm; y la desviación típica de la distribución de las medias será

8 ' 0 100

8 = . Además, la distribución de estaturas medias de estas muestras, sigue una ).

8 ' 0 , 170 ( N

-A partir del conocimiento de este teorema, podemos resolver tres tipos de problemas:

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 7 Tipo I:

Conocida la media de la población µ , tomando una muestra concreta, podemos averiguar la probabilidad de que la media de esta muestra x esté en un cierto intervalo.

Ejemplos:

a)Tomando una muestra de 100 jóvenes españoles, calcula la probabilidad de que la media de sus estaturas esté comprendida entre 168 y 172cm.

Sol:

Como la distribución de las medias de las estaturas en las muestras de 100 jóvenes sigue una N(170,0’8), tendremos:

( ) ⁽

⁾

8 ' 0

170 172 8

' 0

170 172 168

168 = − ≤ ≤ = =



 



 − ≤ ≤ −

=

≤

≤ x P z P z

P

b)Calcula la probabilidad de que la media de las estaturas de la muestra de 100 jóvenes sea menor que 169cm.

Sol:

(

)

P

c)Halla el intervalo característico para la media de estaturas x, para una probabilidad del 90%.

Sol:

El valor crítico correspondiente a p = 0’90 es 1’645; luego el intervalo característico para la media de la muestra será: (170-1’645·0’8, 170+1’645·0’8) = (168’68, 171’32).

Recordamos que esto significa que la probabilidad de que la media de las estaturas de una muestra concreta de 100 jóvenes se encuentre en este intervalo es de 0’90. (O que en el 90%

de las muestras de 100 jóvenes, la media de estaturas está dentro de ese intervalo).

Tipo II: (se pregunta pocas veces)

A partir de una muestra concreta, se puede calcular la probabilidad de que la suma de todos los valores de la muestra se encuentre en un cierto intervalo.

Como

∑ ∑

=

= ⇒

= ⁿ

i i n

i i

n x x x

1

1 se distribuye como una ^N

(

)

n n n

N µ^{, ·}σ = µ^,σ



 



 .

Ejemplo:

Dada una muestra de 100 jóvenes, calcula la probabilidad de que la suma de las estaturas de todos ellos supere los 17240cm.

Sol:

Como la suma de las estaturas

∑

= n

i

xi 1

, sigue una N(17000, 80), tendremos:

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 8

(

)

80 17000 17240

17240

1

=

−

=

<

−

=

>

=



 



 > −

=





 





∑

=

z P z

P z

P x

P

n

i

i

Es decir, en 13 de cada 10000 muestras la suma de las estaturas de los 100 jóvenes superará los 17240cm.

Tipo III: (Es el tipo de problemas más importante).

Sin conocer la media poblacional µ, a partir del conocimiento de la media x de una muestra concreta, podemos averiguar la probabilidad de que la media de la población se encuentre en un cierto intervalo. Concretamente:

1)Podemos estimar la media µ de una población cuya desviación típica σ , es conocida.

Para ello tomaremos una muestra de tamaño n y obtendremos su media muestral x . Si la población de partida es normal o si el tamaño de la muestra n es mayor que 30, entonces el intervalo de confianza de µ con un nivel de confianza de

(

)











 − +

z n n x

z

x σ σ

α

α· , ·

2 2

2)Podemos estimar la media µ de una población cuya desviación típica σ , es desconocida.

Para ello tomaremos una muestra de tamaño n (suficientemente grande) y obtendremos su media muestral x así como su desviación típica s.

En este caso el intervalo de confianza es el mismo que el anterior pero cambiando σ ^{por s.}











 − +

n z s x n z s

x · , ·

2 2

α α

Ejemplos:

a)Estima la media µ de las estaturas de la población de jóvenes españoles, sabiendo que cm

=8

σ ^.

Sol:

Extraemos una muestra de n = 100 jóvenes y calculamos su media muestral, supongamos que obtenemos x=171cm.

Podemos concluir con un nivel de confianza del 95% (podíamos haber elegido otro nivel de confianza), que la media de las estaturas de la población, µ, estará en el intervalo de confianza (171-1’96·0’8, 171+1’96·0’8) = (169’43, 172’57).

Es decir, en el 95% de las posibles muestras de 100 jóvenes, este intervalo contiene a la media poblacional µ; lo que puede proporcionarnos una confianza muy elevada de que la media de la población µ está entre 169’43 y 172’57 cm.

b)Queremos estimar la nota media en Matemáticas de la población de estudiantes de 2º de BCS de la comunidad de Madrid. Para ello se observa la nota en Matemáticas de 400

alumnos elegidos al azar. Los resultados se recogen en la tabla. A partir de ellos, estima con un nivel de confianza del 90% el valor de la media en Matemáticas de toda la comunidad.

Sol:

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 9 n = 400 ⁼

∑

n x

x f^{i i 2} 2'435

2

=

−

=

=

∑

n x x Var f

s ^{i i}

Con un nivel de confianza del 90%: 1 0'9 1'645

2

=

→

=

−α ^z_α

Entonces el intervalo buscado es:

(

)

400 435 '

·2 645 ' 1 182 ' 5 , 400 435 '

·2 645 ' 1 182 '

5 =







 − +

Por lo tanto, con un nivel de confianza del 90% la nota media en la población de Madrid, estará comprendida entre estos 2 valores.

Error máximo admisible.

Llamamos error máximo admisible a

n z

E σ

α·

2

= . Nos indica el tamaño de la mitad del intervalo de confianza, o lo que es equivalente, el error de la estimación.

Observaciones:

-Cuanto mayor es el tamaño de la muestra n, menor es E ( es decir más estrecho es el intervalo de confianza y por tanto más precisa la estimación).

-Cuanto mayor es el nivel de confianza 1−α (es decir, cuanto más seguros queremos estar de la estimación), mayor será

2

z y por tanto mayor será E (es decir, menos precisa será la α

estimación).

-Despejando n de la expresión anterior:

2

2

·

















= E

z n

α σ

Se concluye que al aumentar n aumenta el nivel de confianza y la precisión de la estimación.

Ejemplo:

La desviación típica de las estaturas de los soldados españoles es de 5’3 cm. ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para estimar la estatura media, µ, de la población con un error menor de 0’5 cm y con un nivel de confianza del 95%?

Sol:

Al nivel de confianza del 95% corresponde 1'96

2 α =

z .

Tendremos: 20'776 431'64

5 ' 0

3 ' 5

· 96 ' 1 3

'

·5 96 ' 1 5 '

0 > → n > = →n>

n

Luego se debe tomar una muestra de al menos 432 soldados.

x i f _i 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

30 35 45 50 60 55 48 35 28 14

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 10 Ejercicios:

1)Las notas de un colectivo tienen una media de 100 y una desviación típica de 15.

Queremos seleccionar 36 personas para un puesto de trabajo. Se elige al azar una muestra de 36 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la nota media de esa muestra sea inferior a 105? ¿Y de que esté comprendida entre 95 y 105?

Sol: 0’9772; 0’9544

2)Las bolsas de azúcar que envasa una máquina tienen una media de µ =500g ^{y una}

desviación típica de σ =35g. La empresa las vende a los comercios en cajas de 100 bolsas.

a)Calcula la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de una caja sea menor que 495g.

b)Calcula la probabilidad de que el peso de una caja sea superior a 49 Kg

c)Calcula un intervalo simétrico en el que estén agrupados el 95% de los pesos medios de las cajas.

Sol: a) 0’0764 b) 0’9979 c) (493’14, 506’86)

3)El peso medio de una muestra de 64 jóvenes de 18 años ha sido de 70 kg. Sabiendo que los pesos de los jóvenes de 18 años se distribuyen con una desviación típica de 12 kg;

encuentra el intervalo de confianza para la media de los pesos de la población de jóvenes de 18 años con un nivel de confianza del 95%.

Sol: (67’06, 72’94) kg

4)La vida media de una muestra tomada al azar de 121 bombillas es de 3000 horas y la desviación típica de 220 horas. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la media poblacional a un nivel de confianza del 99%.

Sol: (2948’5, 3051’5) horas

5)Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal con desviación típica de 0’05 segundos. Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media 0’01 segundos con un nivel de confianza del 99%. ¿Qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de los tiempos de reacción?

Sol: n = 166

6)En una prueba ciclista contrarreloj, la variable aleatoria “tiempo en recorrer una distancia de 22Km” se distribuye normalmente con una desviación típica de 3 minutos. Queremos estimar la media de la población. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debería tener la muestra elegida si queremos que el nivel de confianza sea del 0’94% y el error admisible no supere 0’8 minutos?.

Sol: 50 ciclistas será el tamaño mínimo de la muestra.

7)El tiempo de conexión a Internet de los alumnos de cierta universidad sigue una

distribución normal con desviación típica de 15 minutos. Para estimar la media del tiempo de conexión se quiere calcular un intervalo de confianza que tenga una amplitud menor o igual a 6 minutos, con un nivel de confianza del 95%. Determina cual es el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar.

Sol: n = 97

IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 11 8)El peso en kg de los estudiantes de una ciudad sigue una distribución N(60, 8). Se toman 100 muestras aleatorias de 64 estudiantes cada una.

a)Averigua la media y la desviación típica de la distribución de la media muestral.

b)¿En cuántas de esas 100 muestras cabe esperar un peso medio comprendido entre 59 y 61 kg?

Sol: a) X a N(60,1) b) Aproximadamente 68 muestras.

9)Las puntuaciones de un test se distribuyen siguiendo una media de 36 y una desviación típica de 4’8.

a)Se toma una muestra de 16 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos?

b)Se toma ahora una muestra de 25 personas. ¿Cuántas de ellas tendrán una nota comprendida entre 34 y 36?

Sol: a) 0’7967 b) 12 personas.

10)Se sabe que (45’13, 51’03) es un I.C para la media desconocida de una distribución normal de desviación típica 15, a un nivel de confianza del 95%..

a)¿Cuál es el error cometido?

b)Con la misma confianza , calcule el tamaño mínimo de la muestra para que el error no supere 1’8.

Sol: a) E = 2’95 b) 267 individuos.