Descripción de la deformación y de las fuerzas en un medio continuo

(1)

Descripci´

on de la deformaci´

on y de las fuerzas

en un medio continuo

Mec´anica del Continuo

15 de marzo de 2010

1. Temas tratados con anterioridad:

Descripci´on cualitativa de un medio continuo Hip´otesis del continuo

(2)

2. Deformaci´

on en un medio continuo

2.1. Desplazamiento

Cuando el medio se deforma, cada elemento material puntual se desplaza desde su posici´on inicial xi a una nueva posici´on x′i. Se define el campo

vectorial desplazamiento como

ui =x′i−xi

x

i i

(x )

P

i

P

´

_{(x )}

_´

i

0

i

u

´

(3)

2.2. Elemento material lineal: Deformaci´

on

Este elemento es de dimensi´on infinitesimal y sus extremos tienen coor-denadas xi (punto P) y xi+dxi (punto Q). Sus extremos se desplazan a las

posiciones x′ i (P′) y x′i+dx′i (Q′), respectivamente. El desplazamiento de P es ui y el de Q esui+dui.

Q

´

dx

u + du

u

i i

(x )

P

(x + dx )

Q

i i i i i

(x + dx +

i

u + du )

i i i

(x + u )

i i

P

´

i

dx

´

Figura 2: Desplazamiento de una l´ınea material De la figura se ve que:

dx′

i =−ui+dxi+ui+dui=dxi+dui

Asumiendo que el campo de desplazamiento ui(xj) es una funci´on

conti-nua,

dui =

∂ui

∂uj

dxj,

que es correcta a primer orden debdio a la peque˜nez de dxi. Llamaremos a

(4)

Para analizar el tensor, lo separamos en su parte sim´etrica y antisim´etrica, ∂ui ∂uj =ei,j+ξi,j donde ei,j = 1 2 ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ξi,j = 1 2 ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi

1. Parte sim´etrica ei,j:

a) Consideremos s´olo los elementos diagonales (por ejemplo, en el

sistema de ejes principales). Tenemos que:

dui =dx′i−dxi =

∂ui

∂xi

dxi =ei,idxi,

con i sin sumar. Luego,

ei,i = dx′ i−dxi dxi , Es decir, ǫ1 = dx′ 1−dx1 dx1 =e1,1, ǫ2 = dx′ 2−dx2 dx2 =e2,2, ǫ3 = dx′ 3−dx3 dx3 =e3,3.

Vemos, entonces, que los ei,i est´an relacionados con la variaci´on

relativa de longitud de los segmentos materiales(elongaci´on o con-tracci´on).

(5)

Si se considera el paralelep´ıpedo de volumen V =dx1dx2dx3

for-mado por las componentes del elemento material, el volumen des-pu´es de la deformaci´on V′ _{viene dado por:}

V′ ₌ _dx′

1dx′2dx′3

= (1 +e1,1)dx1(1 +e2,2)dx2(1 +e3,3)dx3.

Como las deformaciones son peque˜nas, ei,j << 1, entonces a

pri-mer orden tenemos que:

V′ ₌_V_{(1 +}_e 1,1 +e2,2+e3,3), de donde, V′ ₋_V V =e1,1+e2,2+e3,3 =T r(ei,j) o sea que, ∆V V =∇u dx dx₁ dx₂ dx₃ x 1 x x 2 3

Figura 3: Paralelep´ıpedo material formado por las componentes de dx.

N´otese que si e1,1 = e2,2 = e3,3, el elemento material dx no rota,

y el volumen no se deforma. Entonces, un cubo se deformará en un cubo y una esfera en otra esfera. Sólo cambia el volumen del elemento material volumétrico, y se tienen sólo compresiones o expansiones sin cambio de forma.

(6)

α

β

x

_{x + u}

x

u

_x

u

_y

y + dy

y

x + u

_y

θ

x + dx

u

x

y

dx

δ δ

Figura 4: Desplazamiento y variaci´on angular de dos elementos materiales inicialmente perpendiculares.

b) Consideremos ahora los elementos no diagonales,ei,jconi6=j. Sin

p´erdidad de generalidad, podemos tomar dos elementos materiales lineales perpendiculares entre s´ı.

Asumiendo peque˜nas deformaciones, los ´angulosα y β vienen da-dos por:

α ≈ tanα = ∂uy

∂x >0, β ≈ tanβ = ∂ux

∂y >0.

Después de la deformación el ángulo entre ambos elementos ma-teriales es: π/2−(α+β). Entonces, la variación ∆θ del ángulo entre los elementos es:

∆θ =−(α+β) =− ∂ux ∂y + ∂uy ∂x =−2ex,y,

de donde deducimos que los elementos no-diagonales est´an

aso-ciados con las variaciones de los ´angulos entre dos segmentos ma-teriales inicialmente perpendiculares. Si ei,j > 0 los ´angulos se

(7)

De esta manera, es conveniente describir el tensor de deformaci´on como: ei,j = 1 3ek,kδi,j + ei,j− 1 3ek,kδi,j es decir, ei,j = 1 3ek,k   1 0 0 0 1 0 0 0 1  +   e1,1−1₃ek,k e1,2 e1,3 e2,1 e2,2−1₃ek,k e2,3 e3,1 e3,2 e3,3− 1₃ek,k  .

Tal como vimos anteriormente, el primer t´ermino de esta

ex-presión corresponde a una compresión o expansión sin cambio de forma.

Luego, el segundo término da cuenta de los cambios de forma sin cambios de volumen. En efecto, la traza del segundo término es idénticamente nula.

(8)

2. Consideremos finalmente el t´ermino antisim´etrico,ξi,j: Para ello,

tome-mos como antes dos elementos materiales mutuamente perpendiculares, pero veamos cómo es la deformación cuando no se modifica el ángulo entre s´ı.

α

x

_{x + u}

_{x + dx}

x

u

_x

u

_y

y + dy

y

x + u

_y

β

Figura 5: Desplazamiento sin variaci´on angular de dos elementos materiales inicialmente perpendiculares.

De la geometr´ıa de la figura vemos que:

α ≈ tanα= ∂uy

∂x >0, β ≈ tanβ=−∂ux

∂y >0.

Dado que esta deformaci´on corresponde a ei,j = 0, tenemos que

∂ux

∂y =− ∂uy

∂x,

es decir α =β, y el ángulo entre los elementos sigue siendo perpendi-cular después de la deformación.

(9)

Por otro lado, vemos que: ξx,y = 1 2 ∂ux ∂y − ∂uy ∂x =−1 2 ˆ x yˆ zˆ ∂x ∂y ∂z ux uy uz z = −1 2(∇ ×u)z =− 1 2Ωz, (1)

donde hemos definido: Ω =∇ ×u. Las componentes de Ω corresponden

a los ´angulos de rotaci´on r´ıgida. En general, ξi,j =− 1 2   0 Ωz −Ωy −Ωz 0 Ωx Ωy −Ωx 0  =− 1 2ǫi,j,kΩk, (2)

donde ǫi,j,k es el tensor de Levi-Civita.

Luego, el diferencial de desplazamiento es (con ei,j = 0):

dui = ∂ui ∂xj dxj =ξi,jdxj =− 1 2ǫi,j,kΩkdxj, (3) o, en notaci´on vectorial: du= 1 2Ω×dx (4)

Veamos que esta rotaci´on deja invariante al m´odulo de dx. En efecto,

dx′ ₌_d_x₊_d_u₌_d_x₊ 1 2Ω×dx. (5) de donde, |dx′_|2 ₌ dx+1 2Ω×dx · dx+ 1 2Ω×dx =|dx|2 (6)

(10)

Resumiendo todo lo expuesto, podemos enunciar lo siguiente:

El estado de deformaci´on de un medio continuo puede considerarse como la superposici´on de:

una expansión o compresión isótropa,

una deformaci´on pura (sin cambio de volumen), y

una rotaci´on pura.

(11)

3. Fuerzas en un medio continuo

Consierando un volumen material V en un medio continuo, pueden

dis-tinguirse dos tipos de fuerzas: de volumen y de superficie.

3.1. Fuerzas de volumen:

No dependen de la interacci´on del fluido con el volumen considerado, y por lo tando existir´ıan si V estuviera rodeado por el vac´ıo. Ejemplos: fuerza de gravedad, fuerzas ficticias o inerciales, fuerza de Lorentz, etc. Se las define a trav´es del campo de fuerzas por unidad de masa, G. As´ı, la fuerza sobre V

es:

F=MG=G

Z

ρdV,

donde M es la masa encerrada en el volumen V.

3.2. Fuerzas de superficie:

Dependen de la interacci´on entre el fluido en V con el fluido adyacente, y por lo tanto se ejercen a trav´es de la superficie S que encierra aV. Estas fuerzas pueden tener dos or´ıgenes:

1. el transporte de cantidad de movimiento por migración de moléculas a través de S (en gases y l´ıquidos),

2. las fuerzas intermoleculares que las mol´eculas de un lado de S ejercen sobre las del otro lado (en l´ıquidos y s´olidos).

(12)

Es conveniente asociar las fuerzas de superficie a elementos de superficie planos, dS = dSˆn. Más aún, se suelen expresar las fuerzas de superficie en términos de los esfuerzos (fuerzas por unidad de longitud), definidos por:

dF(ˆn,r, t) =Σ(nˆ,r, t)dS

(1)

(2)

n

^

Σ

Figura 6: Elemento de superficie infinitesimal con normal ˆn orientada y el esfuerzo Σ que ejerce el medio (2) sobre el medio (1).

Por el principio de Acci´on y Reacci´on, la fuerza ejercida por (1) sobre (2) debe ser igual y contraria a la ejercida por (2) sobre (1):

(13)

Para comenzar a aclarar la relaci´on entre las fuerzas de superficie y su resultante sobre un elemento material, es ´util estudiar la resultante de las fuerzas de superficie sobre un elemento de caras planas.

000000000000000000

111111111111111111

dS

A, r

_A

(n,r ,t)=−dF /dS

A B

Σ

B, r

B

_dr

B A

(n,r ,t)=−dF /dS

Σ

^ ^ ^

n

Figura 7: Elemento de superficie infinitesimal de caras planas.

La fuerza sobre el elemento debido a la interacci´on con el medio por debajo viene dada por:

dFA =−Σ(nˆ,rA, t)dS,

mientras que la fuerza debido al medio por encima del elemento es:

dFB = Σ(ˆn,rB, t)dS = Σ(ˆn,r_A+dr, t)dS = Σ(ˆn,r_A, t)dS+dr dS[(nˆ· ∇)Σ(nˆ,r, t)]_r A = −dFA+dr dS[(nˆ· ∇)Σ(ˆn,r, t)]_r A

Luego, la resultante es:

dF=dFA+dFB =dr dS[(ˆn· ∇)Σ(nˆ,r, t)]_r

A

O sea que los esfuerzos ejercidos sobre ambas caras difieren s´olo de t´erminos

del orden de dr y es proporcional a las dervidadas de Σ en la direcci´on

normal a las caras. Esto es consecuencia del Principio de Acci´on y Reacci´on y de la continuidad asumida para Σ y no depende de la naturaleza f´ısica de las fuerzas.

Adem´as, n´otese que el cociente dF/dm, con dm = ρdrdS la masa del

elemento, es independiente de dr, un hecho fundamental para la validez de la Hip´otesis del Continuo.

(14)

3.2.1. El tensor de los esfuerzos

El ejemplo precedente muestra que la Hipótesis del Continuo implica que las componentes de los esfuerzos están sometidas a ciertas restricciones. A fin de investigar estas restricciones, consideramos un elemento material más general, pero limitado por caras planas: el tetraedro de Cauchy.

y

z

x

δ

A

z

δ

A

δ

A

y

δ

A

_x

n

Σ

(n)

Figura 8: Tetraedro de Cauchy.

En efecto, mostraremos que el esfuerzo Σ(nˆ) asociado a un elemento de superficie está relacionado con sus componentes en los planos coordenados de forma tal que la resultante sobre un volumen material posea aceleración finita o nula en el l´ımite de volúmenes infinitésimos.

La resultante de las fuerzas de superficie sobre el tetraedro puede escri-birse como:

δR = Σ(ˆn)δA+Σ(−ˆx)δAx+Σ(−ˆy)δAy +Σ(−ˆz)δAz

= δA[Σ(nˆ)−Σ(xˆ)ˆx·nˆ−Σ(ˆy)ˆy·nˆ−Σ(ˆz)ˆz·ˆn],

donde hemos usado:

(15)

Dado que la masa del tetraedro es

δM =ρδV = 1 3δAδh,

donde δhes la distancia entre la cara δA y el v´ertice opuesto, la aceleraci´on del elemento viene dada por:

a= δR

δM =

3

δh[Σ(ˆn)−Σ(xˆ)xˆ·ˆn−Σ(yˆ)yˆ·nˆ−Σ(ˆz)ˆz·nˆ].

Para δh→0, a debe mantenerse bien definida en virtud de la Hip´otesis

del Continuo. Luego, la expresi´on entre corchetes debe ser nula en este l´ımite, de modo que debe satisfacerse:

Σ(nˆ) = Σ(ˆx)xˆ·nˆ+Σ(yˆ)ˆy·ˆn+Σ(ˆz)ˆz·ˆn.

En t´erminos de las componentes cartesianas, tenemos: Σx(nˆ) = Σx(xˆ)nx+ Σx(yˆ)ny + Σx(ˆz)nz Σy(nˆ) = Σy(ˆx)nx+ Σy(yˆ)ny + Σy(ˆz)nz Σz(nˆ) = Σz(ˆx)nx+ Σz(ˆy)ny+ Σz(ˆz)nz (7) Si definimos, σi,j = Σi(ˆj), i, j =x, y, z

podemos resumir las ecuaciones anteriores en: Σi(nˆ) =σi,jnj

Ahora estamos en condiciones de obtener un resultado muy general so-bre la resultante de las fuerzas de superficie soso-bre un volumen finito. Por definici´on, ´esta es (en componentes)

Ri = I S(V) Σi(ˆn)dS= I S(V) σi,jnjdS

Aplicando el teorema de Green,

Ri =

Z

∂σi,j

(16)

de modo que la resultante de las fuerzas de superficie por unidad de volumen es: δRi δV = ∂σi,j ∂xj En notaci´on vectorial, δR δV =∇ ·σ

Vemos, entonces, cómo el tema cierra: la necesidad que las magnitudes mecánicas macroscópicas cumplan con la Hipótesis del Continuo conduce a que la resultante de las fuerzas de superficie sobre un elemento de volumen deba serproporcional al volumen encerrado, yno al área de la superficie que lo limita.

Esta exigencia, sumada al carácter intr´ınseco de la relación que debe existir entre la fuerza ejercida a través de un elemento plano de superficie y la normal a ésta (tetraedro de Cauchy), implica que la entidad matemática

adecuada para representar las fuerzas de superficie es el flujo de un tensor de rango dos: el tensor de los esfuerzos,σi,j.