b) y 1 = 10x x 2 y 2 = 25x x 2 d) y 1 = 4x 1 3x 2 y 2 = 2x 1 5x 2

(1)

Tema 2. ´ALGEBRA SUPERIOR.

1. Expresar los siguientes sistemas lineales en notaci ´on matricial a) y1 = 2x1+ 3x2 y2 = 4x1+ 2x2 b) y1 = 10x1 + 12x2 y2 = 25x1 + 16x2 c) y1 = 3x1+ 2x2 y2 = 2x1+ 3x2 d) y1 = 4x1− 3x2 y2 = 2x1− 5x2

2. Escribir las siguientes ecuaciones matriciales como ecuaciones lineales: a) x 0 y0 ! = 2 1 4 6 ! x y ! b) x 0 y0 ! = 3 1 0 2 ! x y ! 3. Sabiendo que ( x = 2t + 3z y = t − z ( t = 4q − 3r z = q − 2r ( q = 5m + 3n r = 3m − n

expresar x e y en t´erminos que m y n, usando m´etodos matriciales. 4. Si A = 2 3 1 6 ! y B = 1 2 3 4 !

, hallar las matrices A · B y B · A.

5. Si A = 2 3 1 6 ! , B = 1 2 3 4 ! y C = 1 2 3 1 ! , hallar (A · B) · C, A · (B · C) y compararlos.

6. Con las mismas matrices que en el ejercicio anterior, hallar A + B, C · (A + B), C · A + C · B. ¿Qu´e conclusi ´on puede obtenerse de esto?

7. Si A = 2 −1 3 −3

!

, hallar 2A, −3A y nA, siendo n un n ´umero natural cualquiera.

8. Si A = 3 4 1 6 ! , B = a b c d ! y C = 2 0 0 2 ! , hallar A · C, C · A, B · C y C · B. 9. Con las matrices del ejercicio anterior, hallar (A − B)(A + B), (A + B)(A − B) y

A2_{− B}2_.

10. Hallar todas las matrices que conmutan con 1 2 3 4 ! . 11. Dada la matriz A = 2 5 2 −1 !

, hallar los valores de a y b para que se verifique la ecuaci ´on A2_{+ aA + bI = 0}_{, siendo I la matriz identidad.}

(2)

12. a) Sabiendo que det A 6= 0 y det C 6= 0, resolver la ecuaci ´on A · X · C = B .

b) Como aplicaci ´on, hallar la matriz X siendo A = 2 3 4 −1 ! B = 0 3 4 2 ! C = 1 3 −1 2 ! .

13. Resolver la ecuaci ´on matricial en X:

AX−1−1+ B = X sabiendo que A = 1 3 2 −1 1 1 ! B = 2 3 0 4 !

14. Hallar el determinante de las matrices 2 3 4 5 ! 4 −6 2 5 ! 3 2 3 2 ! . 15. Si A = 3 7 2 5 !

, hallar A−1_{, y comprobar que A · A}−1 _{= A}−1_{· A = I.}

16. Si A = 2 3 4 5 ! y B = 5 −3 −4 2 ! , calcular (A · B)−1_{y B}−1_{· A}−1_.

17. Hallar la inversa de las siguientes matrices: 7 4 2 3 ! p q r s ! −2 −5 3 8 ! −1 1 1 −1 ! .

18. Resolver los sistemas 2x + 3y = 18 3x + 5y = 29 2x − 3y = 4 2x + 3y = 6 3x − 2y = 5 8x − 3y = 30

con el m´etodo matricial. 19. Dadas A = 3 4 2 5 ! y B = 2 3 4 7 ! , hallar At_{, B}t_{, (A · B)}t_{, A}t_{· B}t_{y B}t_{· A}t_.

20. Usando las matrices del ejercicio anterior, comparar los determinantes de A y B con los de At_{y B}t_.

21. Expresar en forma matricial el sistema

y1 = 2x1+ 3x2+ 4x3

y2 = 5x1− 2x2+ 3x3

(3)

22. Expresar como un sistema de ecuaciones lineales la ecuaci ´on matricial    y1 y2 y3   =    3 2 1 −2 3 6 1 −2 4       x1 x2 x3    .

23. Dadas las matrices

P =    1 2 1 3 2 1 2 3 2    Q =    3 2 1 4 2 2 1 3 1    , hallar P · Q y Q · P . 24. Dadas las matrices

P =    1 2 1 1 0 1 3 1 2    Q =    1 0 1 2 1 −2 3 2 3    R =    1 0 −1 2 1 3 1 2 3    , hallar P · Q, (P · Q) · R, Q · R, P · (Q · R) y P · (R · Q). 25. Hallar A · B y B · A si A =    3 2 1 −2 3 6 1 −2 4    B =    0 0 1 0 1 0 1 0 0    .

26. Dadas las matrices

A =    3 1 0 2 0 3 4 1 2    B =    2 0 0 3 0 1 1 0 2    , hallar A2_{, A · B, −3A + 8B.}

27. Obtener la forma de las matrices reales que conmutan con

A =    0 0 0 1 0 0 1 1 0    . 28. Dada la matriz A =    1 0 3 0 1 1 0 0 2    ,

(4)

29. Calcular el determinante de las siguientes matrices:    1 2 1 3 2 1 2 3 2       3 2 1 4 2 2 1 3 1       1 0 3 2 1 4 0 1 3       2 1 1 1 2 2 2 4 4    .

30. Demostrar, sin desarrollar, que

1 a b + c 1 b a + c 1 c a + b = 0 .

31. Demostrar, sin desarrollar el determinante, que

bc a a2 ac b b2 ab c c2 = 1 a2 a3 1 b2 _b3 1 c2 c3 .

32. (Determinante de Vandermonde) Demostrar que

1 1 1 a b c a2 _b2 _c2 = (b − a)(c − a)(c − b) . 33. Calcular x + a b c a x + b c a b x + c 1 1 1 a2 b2 c2 a3 _b3 _c3 1 1 1 a b c a3 _b3 _c3 .

34. Demostrar, aplicando las propiedades de los determinantes, que

1 5 0 2 2 5 2 5 5 es m ´ultiplo de 15.

35. Calcular la matriz inversa de cada una de las siguientes:

   1 0 3 2 1 4 0 1 3       1 2 1 3 2 1 2 3 2       −1 2 0 −3 1 2 3 0 −4       3 2 1 4 2 2 1 3 1    . 36. Calcular P−1· B · P , siendo P =    1 0 1 0 1 1 −1 −1 1    B =    1 3 3 3 1 3 3 3 1    ,

(5)

37. Demostrar que el adjunto de cada elemento de la matriz    −1/3 −2/3 −2/3 2/3 1/3 −2/3 2/3 −2/3 1/3    es dicho elemento.

38. Mediante el m´etodo matricial, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: x + 2y + z = 0 3x + 2y + z = 2 2x + 3y + 2z = 2 −x + 2y = 5 −3x + y + 2z = −1 3x − 4z = 9 3x + 2y + z = 16 4x + 2y + 2z = 22 x + 3y + z = 15 .

39. Lo mismo para los sistemas

2x − y − z = 0 3x + 2y − z = 4 −x − y + 5z = 3 2x + 3y − z = 6 x − 5y + 2z = −4 3x + 2y − 3z = −6 .

40. Determinar los autovalores y los autovectores de la matriz 2 1 0 3 ! 41. Dada la matriz 1 2 1 0 !

Determinar los autovalores, los autovectores, diagonalizarla y hallar la matriz A100_.

42. Hallar los autovalores y autovectores de la matriz

     0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 −2      . 43. Diagonalizar la matriz 1 1 0 3 !

, hallando autovalores y autovectores, matriz de paso P y matriz diagonal D.

44. Dada la matriz −7 −6 12 10

!

, calcular la potencia en´esima An_{(diagonalizar).}

45. Dada la matriz A,    1 0 1 0 1 0 1 0 1    ,

(6)

46. Diagonalizar las siguientes matrices:    −2 −3 −1 1 2 1 3 3 2       1 −1 −2 2 4 2 1 1 4    .

47. Hallar las matrices A y B que verifiquen

3A − 2B = 1 −8 −9 −6 −1 7 ! 5A + 7B = 12 28 47 52 50 22 !

48. Dadas las matrices:

A = 2 3 −1 2 3 4 6 1 ! B = 6 3 2 1 ! C = 4 0 2 1 −1 6 3 8 ! D =      2 3 4 1 6 8 9 2      E =      2 1 0 3 3 2 1 6 −1 2 0 0 4 3 1 2      F =      2 1 2 3 0 6 2 1 8 4 1 6      G =    2 1 6 4 1 2 1 −1 2    ,

a) Determinar qu´e matrices pueden sumarse, y hallar la suma.

b) Determinar qu´e matrices pueden multiplicarse, y hallar el producto. c) Calcular el determinante cuando sea posible.

49. Sin desarrollar, calcular los siguientes determinantes:

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 −1 2 2 1 −2 3 2 −1 4 1 −1 1 2 6 4 5 6 2 4 1 0 1 −3 2 1 4 5 1 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k .

50. Sin desarrollar el determinante, raz ´onese que su valor es cero:

a1 b1 c1 d1 e1 a2 b2 c2 d2 e2 a3 b3 0 0 0 a4 b4 0 0 0 a5 b5 0 0 0 .

(7)

51. Hallar el rango de las siguientes matrices:      1 2 4 5 4 4 6 7 3 −1 −2 −3 5 3 6 7           2 −4 3 −5 2 5 −3 −1 2 4 1 5 −7 −12 0 1 5 7 12 0           1 1 1 3 7 −1 −2 0 1 −2 2 4 4 2 12 3 6 7 5 21         1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1       2 1 7 6 4 5 3 2 4 9 9 5 16 16 17    .      1 2 3 4 5 6 0 0 9 0 0 0 1 1 1 1           4 6 2 0 3 8 9 −1 0 4 3 0 2 1 5 0 2 3 4 2           1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 −1 1 0 −2 −6      .

52. Determinar el rango de las siguientes matrices para los distintos valores del par´ame-tro k:    1 1 4 4 10 k 2 2 1       1 k −1 2 2 −1 k 5 1 10 −6 1         3 1 1 4 k 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 k      .

53. Hallar el rango de las siguientes matrices por el m´etodo de Gauss:

   5 −5 −6 −5 3 −1 0 2 7         4 −3 4 2 1 1 5 3 −1 −2 4 3 −4 1 4 1 −1 3 0 −1              −1 0 2 0 1 −1 2 0 0 1 0 2 0 −2 1 1 0 1 0 −2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1         .

54. Discutir los siguientes sistemas:

         x − y − z = 1 2x + y − z = 2 −x + 2y − 4z = −3 2x + 2y − 4z = 0          2x + 3y − z + 5t = 0 7x − 3t = 0 4z + t = 0 2x − y + 3z + 3t = 0      2x − 5y + 4z + u = −3 x − 2y + z − u = 5 x − 4y + 6z + 2u = 10          x + y − z + t + v = 2 x − 2y + t = 5 −x + z + 2v = 3 3y + z − 2t = −1

55. Discutir, aplicando el Teorema de Rouché-Fr öbenius, los siguientes sistemas de ecua-ciones lineales, para los distintos valores de parámetros:

         mx + y + z = m x + my − z = 1 3x + y + nz = 2 x − y − z = 1      2x + 3y − 4z = 1 4x + 6y − kz = 2 x + y + kz = 10      ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1

(8)

     11x + 7y + 17z = 0 x − y + mz = 0 2x + my − z = 0      2x + 3y − z = 0 3x + ay − z = 0 −x − 6y + z = a      ax + y − z = 1 x − ay + z = 4 x + y + az = b          2x + y − z = 3 x + 2y + 3z = 2 x − y + kz = 1 3x + 2y + 2z = 2      3x + 2y + 6z = 0 2x + y + kz = 0 x − 3y − 2z = 0      x + y − 2z + t = 1 x − y + kz − t = k 3x + ky − z + t = k      ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1      ax + y − z = 0 x + 3y + z = 0 3x + 10y + 4z = 0      x + y + z = 1 mx + y + z = 1 x + my + nz = 1      (a + 1)x + y + z = 3 x + 2y + az = 4 x + ay + 2z = 2      x + y + z = 1 ax + by + cz = 1 a2_{x + b}2_{y + c}2_{z = 1}

56. Resolver los siguientes sistemas:

     2x + y + 3z − t = 5 x + 2y − z − 4t = 2 7x + 8y + 3z − 14t = 16      3x − 2y − z = 0 x + y − 2z = 0 2x − y − 3z = 0      3x + y − z = −1 x − 3y + z = −9 x − y + 4z = 3      4x − y − 2z = 1 x + 3y + z = 2 x − y + 3z = −2

57. Resolver los siguientes sistemas mediante el m´etodo de eliminaci ´on gaussiana:

     4x − y + 2z = 11 x − 3y + z = 6 2x + 2y − 3z = −1      x − y + 2z = 0 2x + 3y − z = 5 x + 5y + z = 6

58. Discutir y resolver los siguientes sistemas:

         x + y + z + t = 6 x − y + z − t = −2 3x − y + 3z − t = 2 7x − 5y + 7z − 5t = −6      ax + y + z = 0 x + ay = 0 2x + az = 0      x + y − z − t = 12 x + y − 2z = 15 z − t = λ      5x − 11y + 9z = k x − 3y + 5z = 2 2x − 4y + 2z = 1

(9)

         6x + 3y − 2z = 48 3x − 7y + 7z = 21 2x + y − 2z = 8 2x − 3y + z = k      x + y + z = m + 1 mx + y + (m − 1)z = m x + my + z = 1

59. Una viga está inicialmente deteriorada en un 25 %. Por un proceso catal´ıtico se con-sigue que mensualmente se recupere el 40 % de la zona deteriorada, del que con-sigue deteriorándose mensualmente un 20 % de la zona buena. ¿Cuál es la situaci ón a los 3 meses? ¿Y a los 10 meses? ¿Y al cabo de mucho tiempo?