Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional

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Lógica Proposicional Introducción Lógica Proposicional Sintaxis Fórmulas Inducción sobre fórmulas Semántica Funciones de verdad Valoraciones Consecuencia lógica y satisfactibilidad Problemas de decisión Limitaciones

Sintaxis y Sem´

antica

de la L´

ogica Proposicional

Dpto. Ciencias de la Computaci´on e Inteligencia Artificial

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Contenido

Introducción Lógica Proposicional Sintaxis Fórmulas

Inducci´on sobre f´ormulas

Sem´antica

Funciones de verdad Valoraciones

Consecuencia l´ogica y satisfactibilidad

Problemas de decisi´on Limitaciones

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Problema b´

asico

Dados un conjunto deafirmaciones(hechos, hipótesis,...),BC, y una afirmación, A, decidir si A ha de ser necesariamente cierta, suponiendo que todos las afirmaciones de BC lo son. LaLógicaproporciona formulaciones precisas de este problema y diferentes soluciones.

Para abordar este problema formalmente hemos de:

1. Dar un lenguaje para expresar las afirmaciones (representaci´on).

2. Concretar qu´e entendemos por afirmaci´on cierta.

3. Proporcionar mecanismos efectivos para garantizar la

correcci´on de las deducciones.

A lo largo de este curso estudiaremos estas cuestiones en los dos casos más comunes: laLógica Proposicional, y la Lógica de Primer Orden.

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L´

ogica Proposicional

Caracter´ısticas generales de la L´ogica Proposicional:

I Sus expresiones (f´ormulas) representanafirmaciones que pueden considerarseverdaderas o falsas.

I Se construyen a partir de expresiones b´asicas usando operadores (conectivas).

I Las conectivas se corresponden con formas sencillas de construir afirmaciones complejas en el lenguaje natural partiendo de otras m´as sencillas:

I Conjunci´on: “. . . tal . . .y. . . cual. . . ” I Disyunci´on: “. . . tal . . .o. . . cual . . . ”

I Implicaci´on “Si. . . tal . . .entonces. . . cual . . . ” I Negaci´on: “Noes cierto que tal . . . ”

I S´olo permite analizar las formas de razonamiento ligadas a este tipo de construcciones.

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El Lenguaje de la L´

ogica Proposicional

Formalmente, el lenguaje de la L´ogica Proposicional consta de:

1. Un conjunto numerable de variables proposicionales:

VP ={p,p0,p1, . . . ,q,q0,q1, . . . ,r,r0, . . .}

2. Operadores básicos de contrucción,Conectivas lógicas:

I De aridad 1: ¬(negaci´on).

I De aridad 2: ∨(disyunci´on),∧(conjunci´on), →(condicional) y↔(bicondicional).

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F´

ormulas

El conjunto de las f´ormulas proposicionales, PROP, es el menor conjunto de expresiones que verifica:

I VP ⊆PROP,

I Es cerrado bajo las conectivas, es decir: I SiF∈PROP, entonces¬F ∈PROP.

I SiF,G ∈PROP, entonces (F∨G), (F∧G), (F →G), (F↔G)∈PROP.

La sintaxis del lenguaje pretende evitar la ambigüedad en la interpretación de las fórmulas. Esa es la función de los s´ımbolos auxiliares.

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´

Arboles de formaci´

on

I Asociamos a cada fórmula un árbol de formación

(esencialmente único) que describe el modo en que se construye la fórmula a partir de otras más sencillas.

I Ejemplo: ¬(¬(p∨q)→(¬r∧s)) (¬(p∨q)→(¬r∧s)) H H H ¬(p∨q) (p∨q) HH p q (¬r∧s) HH ¬r r s

I Las fórmulas que aparecen en el árbol de formación de una fórmula F se denominansubfórmulasde F.

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Reducci´

on de par´

entesis

Para facilitar la lectura de las f´ormulas adoptaremos los siguientes convenios de notaci´on:

1. Omitiremos los par´entesis externos.

2. Daremos a las conectivas una precedencia de asociaci´on. De mayor a menor, est´an ordenadas por: ¬,∧,∨,→.

I Ejemplo: F∧G → ¬F∨G es ((F∧G)→(¬F∨G)).

3. Siempre se dejar´an los par´entesis para la conectiva ↔.

4. Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la derecha: F ∨G∨H es (F ∨(G ∨H)).

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Principio de Inducci´

on sobre f´

ormulas

Gracias a la definición de PROP si deseamos probar que toda fórmula proposicional satisface cierta propiedad Ψ, podemos probarlo por inducción sobre fórmulas. Para ello probamos:

1. Caso base: Todos los elementos de VP tienen la propiedad Ψ.

2. Paso de inducci´on:

2.1 SiF∈PROP tiene la propiedad Ψ, entonces¬F tiene la propiedad Ψ.

2.2 SiF,G ∈PROP tienen la propiedad Ψ, entonces las f´ormulas (F∨G), (F∧G),(F →G) y (F ↔G) tambi´en tienen la propiedad Ψ.

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Funciones de verdad

I Los elementos del conjunto {0,1} se llamanvalores de verdad. Se dice que 0 es el valorfalsoy el 1 es el valor verdadero.

I El significado de una conectiva se determina mediante sufunci´on de verdad: I H¬(i) = 1, sii= 0; 0, sii= 1. I H∨(i,j) = 0, sii=j = 0; 1, en otro caso. I H∧(i,j) = 1, sii=j = 1; 0, en otro caso. I H→(i,j) = 0, sii= 1,j = 0; 1, en otro caso. I H↔(i,j) = 1, sii=j; 0, en otro caso.

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Valoraciones

I Las variables proposicionales se interpretan mediante unavaloración de verdad(o interpretación), es decir, una aplicación

v :VP → {0,1}

I Podemos extender cada valoración, v,de forma única, al conjunto de todas las fórmulas de manera que para cada fórmulaF se verifique:

I v(¬F) =H¬(v(F)).

I v((F∨G)) =H∨(v(F),v(G)). I v((F∧G)) =H∧(v(F),v(G)). I v((F →G)) =H→(v(F),v(G)). I v((F ↔G)) =H↔(v(F),v(G)).

I Se dice que v(F) es elvalor de verdad deF respecto dev.

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Valor de verdad

Veamos el cálculo dev(¬(¬(p∨q)∨(¬r∨s)) en el árbol de formación (de abajo a arriba):

¬(¬(p∨q)∨(¬r∨s)) (0) ¬(p∨q)∨(¬r∨s) (1) H H H H ¬(p∨q) (0) (p∨q) (1) HHH p (1) q (1) (¬r∨s) (1) HH ¬r (1) r (0) s (0)

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Tablas de verdad

Dada una valoraci´on,v, el valor de verdad de una f´ormulaF

respecto de v est´a determinado por los valores de verdad de las subf´ormulas de F.

Ejemplo: si v(p) =v(q) = 0 y v(r) = 1, entonces

v(¬((p →q)∨r)) =H¬(H∨(v(p→q),v(r))) =

=H¬(H∨(H→(v(p),v(q)),1)) = 0

Fijadav podemos presentar el c´alculo deF mediante una tabla que recorre los valores de sus subf´ormulas:

p q r p→q (p→q)∨r ¬((p→q)∨r)

0 0 1 1 1 0

Unatabla de verdad para F es una tabla similar que contiene una fila por cada posible valoraci´on que asigne valores a las variables proposicionales que aparecen en F.

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Validez y satisfactibilidad (I)

I Decimos que una f´ormulaF esv´alida env, o quev es unmodelo deF, si v(F) = 1.

I Notaci´on: v|=F.

I Una valoraci´onv esmodelode un conjunto de f´ormulas

U,v |=U, siv es modelo de todas las f´ormulas deU.

I Una fórmulaF es unatautolog´ıa(oválida) si es válida para toda valoración (notación|=F).

I Una f´ormulaF essatisfactible (o consistente) si existe una valoraci´on que es modelo de F. En caso contrario diremos que es insatisfactible(o inconsistente).

I An´alogamente, un conjunto de f´ormulasU es

satisfactible (o consistente) si existe una valoraci´on que es modelo deU. En caso contrario diremos que es insatisfactible (o inconsistente).

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Validez y satisfactibilidad (II)

Relaci´on entre ambos conceptos:

Lema. Para cadaF ∈PROP se verifica:

I SiF es un tautolog´ıa entonces F es satisfactible.

I F es una tautolog´ıa si y s´olo si¬F insatisfactible. Ejemplos:

I Son tautolog´ıas: (p∨ ¬p) y ((p→q)→p)→p.

I p∧ ¬p es insatisfactible y, por tanto, ¬(p∧ ¬p) es una tautolog´ıa.

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Consecuencia L´

ogica

I Una fórmulaF esconsecuencia lógicade un conjunto de fórmulas U, si todo modelo de U es modelo deF. Es decir, para toda valoración,v,

v |=U =⇒ v|=F

I Notaci´on: U|=F.

I La relación de consecuencia lógica permite formular el problema básico en el marco de la lógica proposicional. Relación entre consecuencia lógica, consistencia y validez: Proposición. Sea {F1, . . .Fn} ⊆PROP. Son equivalentes:

I {F1, . . . ,Fn} |=F

I F1∧ · · · ∧Fn→F es un tautolog´ıa.

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Algoritmos de decisi´

on (I)

Dado un conjunto de f´ormulas proposicionales, U, un algoritmo de decisi´on paraU es un algoritmo que dada

A∈PROP, devuelveSI cuandoA∈U, y NOsi A6∈U. Casos especialmente interesantes:

I SAT ={A∈PROP: Aes satisfactible}

I TAUT ={A∈PROP: A es una tautolog´ıa}

I Fijado U ⊆PROP, laTeor´ıa de U es T(U) ={A∈PROP: U |=A}

Un algoritmo de decisi´on para T(U) propociona una

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Algoritmos de decisi´

on (II)

Problema B´asico:

Obtener un algoritmo que, dado un conjunto finito de f´ormulas proposicionales, U, y una f´ormulaF, decida si

U |=F.

El problema anterior se reduce a decidir la satisfactibilidad de una cierta f´ormula (o si se prefiere, lavalidez de otra). Por tanto,

I La construcci´on de tablas de verdad proporciona un algoritmo (ineficiente) para decidir la consecuencia l´ogica.

I El Problema Básico es resoluble algor´ıtmicamente, aunque no se conoce ninguna solución eficiente y se duda de la existencia de algoritmos de decisión eficientes para este problema, ya que ...

I ... determinar la satisfactibilidad de una f´ormula proposicional es un problemaNP-completo.

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Algoritmos de decisi´

on (III)

Problema B´asico (bis):

Obtener un algoritmo eficiente que, dado un conjunto finito de f´ormulas proposicionales, U, y una f´ormula F, decida si

U |=F. Observaciones:

I Este problema es equivalente al de obtener un algoritmo eficiente para determinar la satisfactibilidad de una f´ormula proposicional.

I Se trata de unproblema abierto, que posiblemente tendr´a una respuesta negativa (se cree que no existen algoritmos eficientes para resolver SAT).

I Para propósitos prácticos puede bastar con algoritmos eficientes para alguna clase especial de fórmulas.

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Limitaciones de la l´

ogica proposicional

I La lógica proposicional posee un semántica sencilla y existen algoritmos de decisión para sus problemas básicos, como SAT o la consecuencia lógica.

I Sin embargo, la expresividad de la l´ogica proposicional es bastante limitada.

I Existen problemas cuya descripción mediante lógica proposicional es complicada, ya que requieren un gran número de fórmulas o bien fórmulas de gran tamaño.

I Más aún, existen formas de razonamiento válido que no pueden ser expresadas mediante la lógica proposicional, por ejemplo:

I Todos los hombres son mortales I S´ocrates es un hombre.

I Por tanto, S´ocrates es mortal.

I La L´ogica de Primer Orden extiende a la L´ogica Proposicional proporcionando mayor expresividad.