Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

T x y z L Mz My N Vy Vz

9.1.-INTRODUCCIÓN

En los temas precedentes se ha estudiado el cálculo de las tensiones y deformaciones producidas por las siguientes solicitaciones actuando de forma aislada:

TRACCIÓN-COMPRESIÓN: • Tensiones normales: σx (N)

• Deformaciones: alargamientos o acortamientos: ∆L FLEXIÓN SIMPLE:

• Tensiones normales: σx (Mz, My) • Tensiones cortantes: τ (Vy, Vz) • Deformaciones: Giros: θz, θy • Deformaciones: Flechas: y, z TORSIÓN:

• Tensiones cortantes: τ (T) • Deformaciones: Giros: θx

En este tema se estudiarán las tensiones y deformaciones que se producirán cuando actúen a la vez varias de éstas solicitaciones: Tracción + Flexión, Flexión + Torsión, etc..

Cálculo de las Tensiones:

Se obtendrán aplicando el Principio de Superposición:

(la suma de las tensiones cortantes:τ, será vectorial, pues pueden llevar distintas direcciones)

Cálculo de las Deformaciones:

Se pueden obtener a partir del Principio de Superposición, igual que con las tensiones, o a través de los teoremas energéticos que se verán a continuación:

• Teorema de CASTIGLIANO

• Teorema de los TRABAJOS VIRTUALES

( ) ( , ) ( , ) ( ) x x x z y y z N M M V V T

σ

σ

σ

τ τ

τ

= + = +

Sección 9.2.1: Energía de deformación 9.2.-TEOREMAS ENERGÉTICOS

9.2.1.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

La energía de deformación de un elemento estructural se podrá obtener a partir de las expresiones dadas en 3.4:

• Energía de deformación por unidad de volumen:

(9.1)

• Energía de deformación: (9.2)

Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementos estructurales sometidos a una sola solicitación:

A. TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N

[

]

.( ) . 2 1 . . . .( . 2 . . 2 1 2 2 2 ) 2 2 2 zx yz xy x z z y y x z y x G E u= σ +σ +σ − ν σ σ +σ σ +σ σ + τ +τ +τ

∫

= V dV u U . N N x y z L

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 0 0 x y z xy yz zx N A

σ

σ

σ

τ

τ

τ

= = = = = = 2 2 1 1 . . 2. x 2. N u E

σ

E A   = =     2 ₂ 0 . 1 1 . . . . . 2. 2 . L V L N dx N U u dV A dx E A E A   = = _{ } =  

∫

∫

∫

(9.3)

y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2): Fig.9.1

B. FLEXIÓN SIMPLE:

B1.-Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de

inercia: Izy = 0)

B2.-Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de

inercia: Izy = 0) Mz _x y z L Fig.9.2

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 0 0 . = = = = = = zx yz xy z y y y x I z M

τ

τ

τ

σ

σ

σ

y por un procedimiento análogo al anterior, llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2) se llegaría a la siguiente expresión::

∫

= L y y I E dx M U 0 2 . . . 2 1 (9.5) My x y z L Fig.9.3

Componentes del estado de tensiones: y llevando estos valores a

las expresiones (9.1) y (9.2): 2 2 . . . 2 1 . . 2 1       = = z z x I y M E E u

σ

∫

∫

∫

∫

∫

 = =      = = L z z A L z z z z V V EI dx M dA y I E dx M dV I y M E dV u U 0 2 2 2 2 2 . . . 2 1 . . . . . 2 1 .. . . . 2 1 . (9.4) 0 0 0 0 0 . = = = = = = zx yz xy z y z z x I y M

τ

τ

τ

σ

σ

σ

Sección 9.2.1: Energía de deformación

B3.-Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de

inercia: Izy = 0)

• Caso de secciones macizas

siendo: Observaciones: Vy x y z L Fig.9.4

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 . ( ) . ( ) 0 ( ). ( ). x y z y z y z xy yz zx z z V Q y V Q z t y I t z I

σ

σ

σ

τ

τ

τ

= = = = = =

y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2): 2 2 2 2 . ( ) . ( ) 1 1 .( ) . 2. 2. ( ). ( ). y z y z xy zx z z V Q y V Q z u G

τ

τ

G t y I t z I _{   }    = + = _  +  _       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) . ( ) 1 . . . . 2. 2. . ( ). 2. . ( ). . ( ) . ( ) . . . . 2. . ( ) 2. . ( ) y z y z z z V V V y _z y _z z z L A L A V Q y V Q z U u dV dV dV G G t y I G t z I V dx Q y V dx Q z

dA dA multiplicando y dividiendo por A

G I t y G I t z = = + = = + = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 ₂ 2 ₂ 2 2 2 2 2 _{2 2} 2 ´ ´´ 2 2 2 2 0 0 . _{( )} . _{( )} . . . . 2. . ( ) 2. . ( ) . _{( ) ( )} . 1 1 . . . .( ) 2 . ( ) ( ) 2 . y _z y _z z z L A L A L L y _{z z} y y y z A z A V dx _{A Q y} V dx _{A Q z} dA dA G I A t y G I A t z V dx _{A Q y A Q z} V dx dA dA G A I t y I t z G A

β β

= + =   =  + = +  

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 0 . 1 . . 2 . L y y V dx U G A

β

=

_∫

(9.6) 9 10 0 9 10 : sec 5 6 0 5 6 : tan sec ´´ ´ ´´ ´ = → = = = → = = y y y y y y circulares ciones en gulares rec ciones en β β β β β β 2 2 ´ ´´ ´ ´´ 2 2 2 2 ( ). ( ). . . ( ) ( ) z z y y y y y z A z A Q y dA Q z dA A A I t y I t z

β

=

β

+

β

β

=

_∫

β

=

_∫

• Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

y por un procedimiento análogo al anterior:

siendo: Observaciones: alma y A A I ciones ensec : β =

B4.-Fuerza Cortante: Vz (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de

inercia: Izy = 0)

• Caso de secciones macizas:

y por un procedimiento similar al caso de Vy:

siendo:

Observaciones:

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 0 0 0 ≠ = ≠ = = = zx yz xy z y x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

2 2 2 . ( ) 1 1 .( ) . 2. 2. ( ). y z xy zx xs xs z V Q s u siendo G

τ

τ

G

τ

τ

t s I = + = = 2 0 . 1 . . 2 . L y y V dx U G A

β

=

_∫

2 2 2 ( ). . ( ) z y z A Q s dA A I t s β =

_∫

Vz x y z L Fig.9.5 0 0 0 . ( ) . ( ) 0 ( ). ( ). x y z z y z y xy yz zx y y V Q y V Q z t y I t z I

σ

σ

σ

τ

τ

τ

= = = = = = 2 0 . 1 . . 2 . L z z V dx U G A

β

=

_∫

(9.7) 2 2 ´ ´´ ´ ´´ 2 2 2 2 ( ). ( ). . . ( ) ( ) y y z z z z y y A z A Q y dA Q z dA A A I t y I t z

β

=

β

+

β

β

=

_∫

β

=

_∫

9 10 9 10 0 : sec 5 6 5 6 0 : tan sec ´´ ´ ´´ ´ = → = = = → = = z z z z z z circulares ciones en gulares rec ciones en β β β β β β (9.8)

Sección 9.2.1: Energía de deformación • Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

y por un procedimiento análogo al anterior:

siendo:

C. TORSIÓN: T

• Caso de secciones macizas circulares

• Caso de secciones macizas no circulares o secciones de pequeño espesor " "

:I I momentodeinerciatorsorequivalente

n sustitució la

haciendo o → t

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 0 0 0 ≠ = ≠ = = = zx yz xy z y x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

2 2 2 . ( ) 1 1 .( ) . 2. 2. ( ). z y xy zx xs xs y V Q s u siendo G

τ

τ

G

τ

τ

t s I = + = = 2 0 . 1 . . 2 . L z z V dx U G A

β

=

_∫

2 2 2 ( ). . ( ) y z y A Q s dA A I t s

β

=

_∫

T T x y z L _Fig.9.6

Componentes del estado de tensiones:

0 0 0 0 0 0 ≠ = ≠ = = = zx yz xy z y x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

2 2 2 2 1 1 1 . .( ) . . 2. xy zx 2. 2. _o T r u G

τ

τ

G

τ

G I   = + = =     2 2 2 2 2 2 . . . . . . 2. . _o 2. . _o V V L A T r T dx U u dV dV r dA G I G I =

_∫

=

_∫

=

_∫

_∫

→ 2 0 . 1 . 2 . L o T dx U G I =

_∫

(9.9) 2 0 . 1 . 2 . L t T dx U G I =

_∫

(9.10) (9.11)

D. CASO GENERAL: TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N) + FLEXIÓN (Mz, My, Vy, Vz) + TORSIÓN (T):

Aplicando el Principio de Superposición, la energía de deformación total será la suma de las energías de deformación obtenidas para cada una de las solicitaciones actuando por separado, así será:

y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de dichos términos:

Observaciones:

Todos los términos de la expresión (9.12) no tienen el mismo orden de magnitud. Así por ejemplo generalmente:

con lo cual, en la mayoría de los casos, se suelen despreciar los términos debidos a las fuerzas cortantes:

Igualmente, en la mayoría de los casos, se cumple que:

salvo en los casos de Tracción-Compresión con pequeña excentricidad T x y z L Mz My N Vy Vz Fig.9.7 ( ) ( _y) ( _z) ( ) ( _y) ( _z) U =U N +U V +U V +U T +U M +U M 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . L L L L L L y _z y _z y z t y z V dx M dx N dx V dx T dx M dx U E A

β

G A

β

G A G I E I E I =

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

(9.12) ( _y), ( _z) ( ), ( _y), ( _z) U V U V <<< U T U M U M ( _y), ( _z) U V U V ( ) ( _y), ( _z) U N << U M U M

Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano 9.2.2.- TEOREMA DE CASTIGLIANO

Sea un cuerpo elástico, apoyado de tal forma que le sea imposible moverse y sobre él se aplican gradualmente las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn.

Se supone que se cumplen las condiciones vistas en 3.3, por las que se podrá considerar que el trabajo que realizan las fuerzas externas se transforma todo en energía de deformación (campos conservativos)

Los desplazamientos que sufren los puntos de aplicación de dichas fuerzas: ∆i ( i→i2 ), se descomponen en dos componentes, los desplazamientos δi (i→i1) que van en la misma dirección que los vectores fuerza Fi, y los desplazamientos (i1→i2) en direcciones perpendiculares a las anteriores.

Esta descomposición se hace así para que en el cálculo del trabajo que realizan las fuerzas exteriores tan sólo haya que tener en cuenta las componentes δi, que van en la misma dirección que las fuerzas aplicadas, pues las otras componentes, al ser perpendiculares a las direcciones de las fuerzas aplicadas, no realizan trabajo.

La energía de deformación del cuerpo será función de las fuerzas aplicadas sobre él: ) ,... ... , , (F₁ F₂ F_i F_n U U =

Si se diera un incremento infinitesimal a una cualquiera de las fuerzas aplicadas, por ejemplo la Fi, la energía de deformación sería:

F1 F2 Fi Fn δ1 δ2 δn δi ∆i i _i1 i2 Fig.9.8.a F1 F2 Fi Fn dFi Fig.9.8.b . _i (9.13) i U U dF F ∂ + ∂

Si se considerase ahora un segundo estado de cargas, en el que se invierta el orden de aplicación de las fuerzas externas, así, se aplica en primer lugar dFi y a continuación las restantes fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. La energía de deformación sería ahora:

En efecto:

• al aplicar primero dFi, se realizará un trabajo de valor:

• al aplicar a continuación el resto de las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn, se

realizará un trabajo: U+dFi.δi en donde el término: dFi.δi es el trabajo indirecto que realiza dFi, que ya estaba

aplicado, al aplicar ahora el resto de las fuerzas y desplazarse su punto de aplicación δi.

Y como según se sabe, en el caso de campos conservativos: “el trabajo que realizan las fuerzas externas es igual a la energía de deformación y su valor depende solamente de los valores iniciales y finales de dichas fuerzas y no de su orden de aplicación”. Como consecuencia de ello serán iguales los dos valores obtenidos de la energía de deformación para los dos estados de cargas considerados, ecuaciones: (9.13) y (9.14). Así pues se verificará:

y despreciando infinitésimos de 2º orden frente a los de 1º:

Teorema de Castigliano: “ el desplazamiento del punto de aplicación de una fuerza exterior que actúa sobre un cuerpo, medido en dirección de la misma, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación respecto de dicha fuerza”

F1 F2 Fi Fn dFi Fig.9.8.c 1 . . . (9.14) 2 dF di δi + +U dFiδi i id dF. δ . 2 1 = ∂ ∂ + i i dF F U U . .dF_i.dδ_i U dF_i.δ_i 2 1 _{+ +} → = ∂ ∂ i i i i dF dF F U _δ . . i i F U ∂ ∂ = δ (9.15)

Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano Observaciones:

1. En el caso de que fuera un momento, en lugar de una fuerza, la carga que actuase sobre el cuerpo, el giro producido se podría obtener de igual forma a través del Teorema de Castigliano. Siguiendo un proceso análogo al anterior, la relación sería en este caso:

2. La energía de deformación U, es la dada en (9.12)

3. El Teorema de Castigliano determina los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores, en dirección de las mismas, así como los giros de las secciones de aplicación de los momentos exteriores.

4. Si se quisiera calcular el desplazamiento δi de un punto donde no actuase ninguna fuerza exterior, el Teorema de Castigliano se aplicaría de la siguiente forma: se supondría que hubiese una fuerza Fi actuando en dicho punto, a continuación se aplicaría el Teorema de Castigliano y finalmente se haría que dicha fuerza fuese nula (Fi = 0)

i i M U ∂ ∂ = ϑ (9.16) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . L L L L L L y z y z y z t y z V dx M dx N dx V dx T dx M dx U E A

β

G A

β

G A G I E I E I =

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

Fi Fi δi δi θi Mi Fig.9.9.a F1 F2 _F1 Fi F2 δi δi ⇒ Fig.9.9.b 0 =       ∂ ∂ = i i i para F F U δ

9.2.3.- TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Este Teorema dice: “ la condición necesaria y suficiente para que un cuerpo o sistema material esté en equilibrio es que la suma de los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre él, tanto exteriores como interiores, para cualquier conjunto de desplazamientos que sean compatibles con los enlaces del cuerpo, sea nulo”

siendo:

siendo: Fi → cargas exteriores aplicadas Ri → reacciones externas en los apoyos

δ´i → desplazamientos virtuales en las direcciones Fi

∆´i → desplazamientos virtuales de los apoyos en las direcciones Ri

Teniendo en cuenta que las fuerzas internas de una rebanada de un cuerpo, de longitud dx, son iguales y opuestas a las fuerzas externas que actúan sobre ella, el trabajo virtual que realizarán las fuerzas internas, durante la deformación virtual, será igual y de signo opuesto al que realizan las fuerzas externas.

Se calculará a continuación el trabajo virtual de las fuerzas internas para dos tipos de solicitaciones concretas:

TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N)

Observación: el signo menos es debido a que las fuerzas interiores siempre se oponen a los

desplazamientos, por lo tanto irán en sentidos contrarios y el trabajo será negativo.

´ ´ 0 (9.17) e i Τ + Τ = eriores fuerzas las de virtual trabajo exteriores fuerzas las de virtual trabajo i e int ´ ´ → Τ → Τ : ´ e de Cálculo Τ Τ_e´ =

∑

F_i.

δ

_i´+

∑

R_i.∆´_i : ´ i de Cálculo Τ Fe Fe N N ε´x.dx dx desplazamiento virtual Fig.9.10.a ´ ´ ( int ) .( . ) e i x N fuerza erna F N ε dx = − Τ = − (9.18)

Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales FLEXIÓN (Mz)

Repitiendo estos resultados para los restantes tipos de solicitaciones: Vy, Vz, T, My, se tendrá como fórmula para el caso general que actuasen todos ellos:

Las expresiones de las deformaciones virtuales: ε´x, γ´xy, γ´xz, dϕ´x, dθ´y, dθ´z en función de las correspondientes solicitaciones son:

y sustituyéndolas en la expresión del T´i se tendrá:

Sustituyendo finalmente los valores obtenidos de T´e y T´i en la ecuación (9.17), quedará finalmente: (9.20) Me Me Mz Mz dx giro virtual dθ´z Fig.9.10.b ) .( ) int ( ´ ´ z zi i e z d M M erno momento M ϑ − = Τ − = = ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 0 0 0 .( . ) .( . ) .( . ) .( ) .( ) .( ) L L L L L L i N

ε

x dx Vy

γ

xy dx Vz

γ

xz dx T d

ϕ

x My d

ϑ

y Mz d

ϑ

z Τ = −

_∫

−

_∫

−

_∫

−

_∫

−

_∫

−

_∫

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ . . . . . . . . . . . y _z x xy y xz z y _z x y z t y z V N V E A G A G A M dx T dx M dx d d d G I E I E I

ε

γ

β

γ

β

ϕ

ϑ

ϑ

= = = = = = ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 0 0 ´ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . (9.19) . L L L L L y y z z y y i y z t y L z z z V V M M N N V V T T dx dx dx dx dx E A G A G A G I E I M M dx E I

β

β

Τ = − − − − − − −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 0 ´ ´ 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . L L L L y y _{z z} i i i i y z t L L y y z z y z V V N N V V T T F R dx dx dx dx E A G A G A G I M M M M dx dx E I E I

δ

+ ∆ = +

β

+

β

+ + + +

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Observaciones:

1. N, Vy, Vz, T, My, Mz → solicitaciones reales

N´, V´y, V´z, T´, M´y, M´z → solicitaciones virtuales (las correspondientes a los desplazamientos virtuales)

2. El Teorema de los Trabajos Virtuales es más general que el Teorema de Castigliano y puede aplicarse también al caso de que hubiese asientos en los apoyos

3. Para aplicar el Teorema de los Trabajos Virtuales es conveniente hacerlo a través del llamado “Método de la Carga Unitaria”, que se expondrá a

continuación a través de un ejemplo:

MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA

En la viga de la figura, se desea calcular la flecha en su punto medio C

Se considera la viga sometida a dos sistemas de cargas:

Estado de carga 1 Estado de carga 2

la viga sometida a las cargas reales la viga sometida a una carga unitaria aplicada en el punto medio C y en dirección de su desplazamiento q kg/m L L/2 A C B q kg/m R´A C yC deformación real R´B R´A = R´B = q.L/2 Kg 1 kg RA C yC deformación virtual = deformación real estado de carga 1

RB

Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales, (ecuación (9.17)), a la viga del estado de carga 2, a la cual se le ha dado una deformación virtual que sea la misma que la deformación real que tendrá la viga con el estado de carga 1, se tendrá:

(se desprecia el trabajo interno debido a las fuerzas cortantes Vy, por ser de pequeño valor con respecto al producido por los momentos flectores Mz, (ver 2.9.1 apartado D))

siendo:

y sustituyendo todos estos valores:

z L L L C I E dx x x q x L q L x x dx x x q x L q x y . . 2 . . . 2 . . ) 2 .( 1 . 2 1 . 2 . . . 2 . . . 2 1 0 . 1 2 / 0 /2

∫

∫

      −       − − +       − = + y operando: ´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 . . . . . . . . . . L L L y y z z z z i i i i y z z V V M M M M F R dx dx dx G A E I E I

δ

+ ∆ =

β

+ ≅

∑

∑

∫

∫

∫

2 . . . 2 . ) 2 .( 1 . 2 1 2 / 2 . . . 2 . . 2 1 2 / 0 0 2 1 , 1 ´ ´ ´ ´ x x q x L q M L x x M L x L x x q x L q M x M L x y Kg R R R Kg F z z z z i C i B A i i − = − − = − − − = = − − = ∆ = = = =

δ

z C I E L q y . . 384 . . 5 4 =

9.3.- FLEXIÓN Y TRACCIÓN-COMPRESIÓN COMBINADAS

Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy, Vz, My, Mz

Cálculo de Tensiones:

Se calcularán aplicando el Principio de Superposición: TRACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) →σx (ver sección 4.2)

FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz) →τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4) (My, Mz) →σ (ver sección: 5.4.1)

Cálculo del Eje Neutro:

La ecuación del eje neutro, será:

Observación: El eje neutro ya no pasará por G y el punto de σmax será el más alejado del mismo. x y z L Mz My N Vy Vz G Fig.9.11 ( ) ( , ) ( , ) x x x y z y z N M M V V

σ

σ

σ

τ τ

= + = 0 ( ) ( , ) 0 x x x N x My Mz

σ

= →

σ

=

σ

+

σ

= n n z y G σmax Fig.9.12

Sección 9.3: Flexión y Tracción-Compresión combinadas

Cálculo de Deformaciones:

Se podrán calcular aplicando igualmente el Principio de Superposición, empleando para ello las fórmulas obtenidas para el cálculo de las deformaciones en los capítulos correspondientes:

TRACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) →∆L (ver sección: 4.3)

FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz, My, Mz) → Giros:θy, θz, Flechas: y, z (ver secciones: 6.2, 6.3, 6.4)

o bien a través del Teorema de Castigliano o el de los Trabajos Virtuales: A- Por el Teorema de Castigliano:

y despreciando los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará:

B- Por el teorema de los Trabajos Virtuales:

despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará: ( ) ( _y) ( _z) ( _y) ( _z) U =U N +U V +U V +U M +U M 0 0 0 . . . . . . . . . y z y z L L L i i i i i y z M M N N M M F F F U dx dx dx F E A E I E I

δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ∂

∫

∫

∫

´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 . . . . . . . . . . . L L L y y _{z z} i i i i y z M M N N M M F R dx dx dx E A E I E I

δ

+ ∆ = + +

∑

∑

_∫

_∫

_∫

9.3.1- CASO PARTICULAR: TRACCIÓN-COMPRESIÓN EXCÉNTRICA. NÚCLEO CENTRAL

La Compresión excéntrica es un caso particular de la Flexión + Tracción-Compresión combinadas visto en el apartado anterior.

Caso particular 1º:

Barra sometida a Tracción-Compresión excéntrica, actuando sobre uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal (Izy = 0):

los ejes y, z son ejes principales de inercia → Izy = 0 Cálculo de las tensiones:

TRACCIÓN (N):

FLEXIÓN (Mz):

Aplicando el Principio de Superposición , la tensión total será: F F G e x y z L x z y G a b N = F Mz = F.e F F F.e x Fig.9.13 x N F A A

σ

= = G a b x z z z x I y e F I y M . . . = =

σ

G a b x . . ( ) ( ) x x x z z F F e y N M A I σ =σ +σ = + G a b x yn n G a b x yn n G a b x yn n ( ) ( ) a a z si σ N >σ M si σa( )N =σa(Mz) si σa(N)<σa(Mz)

Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica Cálculo del eje neutro:

siendo 2 " " inercia de radio A I i z z = Observaciones:

• La posición del eje neutro no depende del valor de la carga F aplicada

• La posición del eje neutro depende de la excentricidad “e” con la que se aplique la carga F y ocurrirá que:

si: e ↑ (aumenta) ⇒ yn↓ (disminuye) y viceversa: si: e ↓ (disminuye) ⇒ yn↑ (aumenta)

• El eje neutro estará del lado opuesto al punto de aplicación de la carga (ello es debido al signo menos de la fórmula obtenida)

Caso particular 2º:

Barra sometida a Tracción-Compresión excéntrica, actuando fuera de los ejes principales de inercia de la sección transversal (Izy = 0):

Cálculo de las tensiones: TRACCIÓN (N): FLEXIÓN (Mz, My): 2 . . ( ) ( ) 0 . n z z x x x z n z F e y I i F N M y A I A e e σ =σ +σ = + = → = − = − G F z y n n e yn F F F G ey x y z L x x z y G N = F Mz = F.ey ez My = F.ez F F F F F.ey F Fig.9.14 x N F A A

σ

= = y z z y y y z z x I z e F I y e F I z M I y M . . . . + = + =

σ

F.ez F

Aplicando el Principio de Superposición , la tensión total será:

Cálculo del eje neutro:

Para dibujar el eje neutro se hallarán sus puntos de intersección con los ejes coordenados

Observaciones:

• La posición del eje neutro no depende del valor de la carga F aplicada, pero sí depende de la excentricidad con la que actúe dicha carga.

• Si la carga F se aplica en el punto 1, de excentricidad ey1, el eje neutro será el n1n1, siendo por lo visto anteriormente: yn1= - i2z / ey1.

Si la carga F se aplica en el punto 2, de excentricidad ez2, el eje neutro será el n2n2, siendo por lo visto anteriormente: zn2= - i2y / ez2.

Si la carga F se aplica en un punto cualquiera de la recta r, que une los puntos 1 y 2, se podrá descomponer en sus dos componentes: F1 y F2, aplicadas en los puntos 1 y 2 respectivamente y según el Principio de Superposición, su efecto será la suma de los efectos que producirán, actuando por separado, las cargas componentes F1 y F2. Según ello la línea neutra pasará necesariamente por el punto 3, intersección de los ejes neutros n1n1 y n2n2

2 2 . . . . ( ) ( , ) 0 ( ) . . 1 0 ( min ) . _. . _. 1 0 1 0 n z n x x x z y z y y n z n z y y n z n y n z n z y _{z y} F e y F e z F N M M dividiendo por F A I I e y e z

dividiendo el deno ador por A

A I I e y _{e z} e y _{e z} A I I _{i i} A _{A A} σ =σ +σ = + + = + + = + + = → + + = G F z y n ey yn ez n zn z y n n y z n n e i z y e i y z 2 2 0 0 − = → = − = → = (9.22) . . . . ( ) ( , ) y z x x x z y z y F e y F e z F N M M A I I σ =σ +σ = + + (9.21) G F z y ey1 yn1 ez2 n1 zn2 2 (F1) (F2) n1 n2 n2 3 r 1 F F1 _F2 1 2

Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica

NÚCLEO CENTRAL:

Dependiendo de la posición del punto de aplicación de la carga F, el eje neutro podrá cortar o no a la sección transversal. En función de ello se define como Núcleo Central:

“la zona de la sección transversal donde podrá aplicarse la carga F para que el eje neutro no corte a la sección”

Primer caso: F se aplica dentro del Núcleo Central ⇒ El eje neutro no corta a la sección ⇒ Todos los puntos de la sección trabajan a Tracción (σx >0) o a Compresión (σx <0)

Segundo caso: F se aplica fuera del Núcleo Central ⇒ El eje neutro corta a la sección ⇒ Hay parte de la sección que trabaja a Tracción (σx >0) y otra parte a Compresión (σx <0).

Se calculará a continuación el Núcleo Central para dos casos frecuentes de secciones transversales:

A.-SECCIÓN CIRCULAR

Se situa el eje neutro n-n tangente al círculo, es decir haciendo: yn = R. Para que ello ocurra, la excentricidad ey, con la que habrá que aplicar la carga será:

Y por simetría de la figura se podrá concluir diciendo que: “el Núcleo Central de una sección circular es un círculo, con el mismo centro y con radio R/4”

G F z y n n Núcleo Central Fig.9.15.a G F z y n n Núcleo Central Fig.9.15.b G F z y ey yn = R n n 2 4 2 ₂ ( 9.22) . 4 . : 4 z n y z z y n n i y ver e R I i _{A R} R de donde e y y R π π = − = − = − = − = − Fig.9.16.a

B.-SECCIÓN RECTANGULAR

Se sitúa el eje neutro n1-n1 en el borde superior del rectángulo, es decir haciendo: yn = -h/2. Para que ello ocurra, la excentricidad ey1, con la que habrá que aplicar la carga será:

Se sitúa ahora el eje neutro n2-n2 en el borde izquierdo del rectángulo, es decir haciendo:

zn = -b/2. Para que ello ocurra, la excentricidad ez2, con la que habrá que aplicar la carga será:

Si se traza ahora la recta r que pasa por los puntos 1 y 2 y por lo visto anteriormente: “si la carga externa F se aplica sobre la recta r, entre dichos puntos, el eje neutro pasará por el punto 3 de intersección de los ejes neutros: n1-n1 y n2-n2, sin cortar al interior del rectángulo. Repitiendo este procedimiento a los otros bordes del rectángulo resultará que: “el Núcleo Central de una sección rectangular es un rombo, con el mismo centro y de semidiagonales h/6 y b/6” G G R R/4 núcleo central _Fig.9.16.b b h z y r 1 2 3 n1 n1 n2 zn = b/2 yn = h/2 ey1 ez2 n2 Fig.9.17.a 2 1 3 2 1 ( 9.22) . 12 . : / 2 6 z n y z z y n n i y ver e b h I i _{A b h} h de donde e y y h = − = − = − = − = − 6 2 / . 12 . : ) 19 . 9 ( 3 2 2 2 2 b b h b b h z A I z i e donde de ver e i z n y n y z z y n = − − = − = − = → − =

Sección 9.4: Flexión y Torsión combinadas

9.4- FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS

Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy, Vz, T, My, Mz

Cálculo de Tensiones:

Se calcularán aplicando el Principio de Superposición: TORSIÓN: (T) →τ (ver secciones: 8.2, 8.3, 8.4 y 8.5)

FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz) →τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4) (My, Mz) →σ (ver sección: 5.4.1)

Observación: en la mayoría de los casos τ (Vy, Vz) << τ (T) y se suelen despreciar, τ b h z y h/6 b/6 núcleo central Fig.9.17.b x y z Mz My T Vy Vz G Fig.9.18 ( , ) ( , ) ( ) x x y z y z M M V V T

σ

σ

τ τ

τ

= = +

Cálculo de Deformaciones:

Se podrán calcular aplicando igualmente el Principio de Superposición, empleando para ello las fórmulas obtenidas para el cálculo de las deformaciones en los capítulos correspondientes:

TORSIÓN: (T) →θx ,ϕx (ver secciones: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5)

FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz, My, Mz) → Giros:θy, θz, Flechas: y, z (ver secciones: 6.2, 6.3, 6.4)

o bien a través del Teorema de Castigliano o el de los Trabajos Virtuales: A.-Por el Teorema de Castigliano:

y despreciando los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará:

B.-Por el teorema de los Trabajos Virtuales:

despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará: ( _y) ( _z) ( ) ( _y) ( _z) U =U V +U V +U T +U M +U M 0 0 0 . . . . . . . . . y z y z L L L i i i i i t y z M _M T T M M F F F U dx dx dx F G I E I E I

δ

∂ _∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ∂

∫

∫

∫

´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 . . . . . . . . . . . L L L y y z z i i i i t y z M M T T M M F R dx dx dx G I E I E I

δ

+ ∆ = + +

∑

∑

∫

∫

∫

Sección 95: Flexión y Compresión combinadas en piezas muy esbeltas 9.5-FLEXIÓN Y COMPRESIÓN COMBINADAS EN PIEZAS MUY ESBELTAS 9.5.1-INTRODUCCIÓN

En el caso de piezas muy esbeltas solicitadas a flexión-compresión combinadas, habrá que tener en consideración nuevas precisiones a lo ya visto anteriormente, en base a los siguientes hechos:

En la fig.9.19.a., se representa una viga sometida a la carga F de compresión y a la carga lateral P que produce flexión. Se indica así mismo la elástica y0 y el diagrama de momentos flectores Mz0 debidos a la carga P. Tanto la elástica como el diagrama de momentos flectores los podremos obtener con los conocimientos estudiados hasta ahora. En la fig.9.19.b., se representa de nuevo la misma viga con las mismas cargas, pero se ha tenido en cuenta que la elástica producida por la carga de flexión P se ha visto amplificada por la carga de compresión F, dando lugar a la elástica y. Así mismo ocurrirá con el diagrama de momentos flectores.

Así pues ocurrirá:

y0 , Mz0 → elástica y momento flector debidos sólo a la carga lateral P

y, Mz → elástica y momento flector debidos a la carga lateral P y amplificados

debido a la carga de compresión F

Observación: La amplificación de la flexión debido a la carga de compresión, es un efecto que habrá que tener muy en cuenta sobre todo en el caso de piezas muy esbeltas y sometidas a cargas grandes, pues es en estos casos donde dicha amplificación toma una importante relevancia. En el resto de los casos: piezas no muy esbeltas o piezas muy esbeltas pero con cargas no muy grandes, que son la mayoría de los casos que se nos darán en la práctica, no será necesario su consideración.

F P y0 Mz0 x Mz0 P F Mz y y 0 Mz0 Mz

Fig. 9.19.a Fig. 9.19.b

9.5.2-ESTUDIO DE LA FLEXIÓN-COMPRESIÓN EN PIEZAS MUY ESBELTAS SOMETIDAS A GRANDES CARGAS

Ecuación de la elástica amplificada

La ecuación diferencial de la línea elástica será:

sustituyendo:

haciendo:

La solución de la ecuación diferencial será de la forma:

en donde yp, es la solución particular y será una expresión de la misma forma que Mz0

Ejemplo: Resolvamos la ecuación diferencial para el siguiente caso concreto

P F x y x y Fig. 9.20 laterales as c la a sólo debido flector momento M y F M M siendo I E M dx y d z z z z z arg : . : . 0 0 2 2 + = − = elástica la de l diferencia ecuación I E M y I E F dx y d I E y F M dx y d z z z z z . . . . . 0 2 2 0 2 2 − = + → + − = elástica la de l diferencia ecuación I E M y k dx y d I E F k z z z z z . . . 0 2 2 2 2 = → + =− (9.24) (9.23) p z z x C k x y k sen C y= ₁. . + ₂.cos . + (9.25) q F x y Fig. 9.21 L RA= q.L/2 RB= q.L/2 ymax y = y(x) 5 4 2 3 2 1 0 5 4 2 3 2 0 . . . cos . . . : ) ( . . 2 . . 2 . C x C x C x k C x k sen C y será elástica la de ecuación la M que grado mismo del C x C x C y x q x L q M z z z p z + + + + = + + = → − = (9.26)

Sección 95: Flexión y Compresión combinadas en piezas muy esbeltas Cálculo de las constantes C3, C4, C5 :

Cálculo de las constantes C1, C2 : poniendo ecuaciones de contorno de la elástica:

y sustituyendo finalmente todas las constantes calculadas en la ecuación de la elástica 9.26. quedará:

”ecuación de la línea elástica amplificada” (para el ejemplo de la fig.9.31)

Cálculo de la flecha máxima

La flecha máxima, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 y valdrá:

2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 2 2 1 2 3 2 . . .cos . . .

llevando estos valores a la ecuación . .cos . . . . 2. .

diferencial de la elástica (9.23) quedará:

. . . . .cos . 2. z z z z z z z z z z y C sen k x C k x C x C x C dy C k k x C k sen k x C x C dx d y C k sen k x C k k x C dx   = + + + +   = − + + →   = − − + _ 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 3 4 3 5 . . . . .cos . 2. .( . . .cos . . . ) 1 . . . . y operando : . 2 2 . ( . ). ( . ). (2. . ) . . e igualando térmi 2. . 2. . z z z z z z z z z z z z z C k sen k x C k k x C k C sen k x C k x C x C x C q L q x x E I q q L k C x k C x C k C x x E I E I − − + + + + + + =   = − _ − _       + + + =  −      3 2 4 2 5 4 nos : . .2. . .2. . . . z z z z z z q q L q C C C k E I k E I k E I − − = = =       ₋ = ⇒ = → = = ⇒ = → = L k sen L k I E k q C y L x I E k q C y x z z z z z z . . cos 1 . . . 0 . . 0 0 4 1 4 2       − − − + − = .( . ) 2 1 . cos . . . . cos 1 . . . 2 2 4 Lx x k x k x k sen L k sen L k I E k q y z z z z z z z (9.27)

(

)

2 2 2 max 4 2 4 max 4 1 cos . ( ) . . . cos . 1 . 2 . . . 2 2 2 2 4 24. sec 1 . 5. . 2

haciendo : . "flecha máxima amplificada "

z z z z z z z z k L k L q L L L L y y x sen k k k E I sen k L u u k L q L u y  ₋   = = =  + − −  −      − − = → =

Observaciones:

1.- La carga F de compresión a amplificado la elástica producida por la carga lateral q En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a la carga lateral q, (ver fig 9.22), el valor de la flecha máxima que se obtendría sería:

En el caso de considerar también la carga de compresión F (ver fig.9.23), el valor obtenido para la flecha máxima ha sido:

Comparando ambos valores se puede poner:

Momentos flectores amplificados

Conocida ya la elástica amplificada, el momento flector amplificado se podrá obtener por dos procedimientos:

q F Fig. 9.23 ymax y y0 q Fig. 9.22 y0max y0 z I E L q y . . 384 . . 5 4 0 max =

(valor obtenido de Tablas)

4 2 4 max . 3 2 1 sec . 24 . . . 384 . . 5 u u u I E L q y z       − − = 2 0 0

max max 4 2 max

2 2 4 24. sec 1 2 . . 3. 24. sec 1

"coeficiente de amplificación de la flecha máxima 2

siendo:

producida por la carga F de compresión" 3. u u y y k y u u u k u   − −     = =   − −     = 2 2 2 2 0 . . . ) 2 . ) 1 dx y d I E M I E M dx y d y F M M z z z z z z − = → − = + = (9.28) (9.29)

Sección 95: Flexión y Compresión combinadas en piezas muy esbeltas Así para el ejemplo que nos ocupa, la elástica amplificada viene dada por la ecuación 9.27 y quedará:

Cálculo del momento flector máximo

El momento flector máximo, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 y valdrá:

Observaciones:

1.- La carga F de compresión a amplificado el momento flector producido por la carga lateral q

En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a la carga lateral q, (ver fig 9.24), el valor del momento flector máximo que se obtendría sería: 0 2 2 2 4 2 . 1 cos . . . . . cos . 1 .( . ) 2 2 . . . 2 y operando 1 cos .

. . . cos . 1 " momento flector amplificado" . z z z z z z z z z z z z z z z M M F y k L k q L q q x x F sen k x k x L x x k E I sen k L k L q M sen k x k x k sen k L = + =  ₋    = − +  + − − − =      ₋  =  + −    (9.30) max 2 2 max 2 1 cos . ( ) . . . cos . 1 2 . 2 2

"momento flector máximo

. . 2.(1 cos ) haciendo : . amplificado" 2 8 .cos z z z z z z z z z k L L q L L M M x sen k k k sen k L k L q L u u M u u  ₋  = = =  + −    − = → = q Fig. 9.24 Mz0 M0max Mz0 L x 8 . 2 0 max L q M_z =

En el caso de considerar también la carga de compresión F (ver fig.9.25), el valor obtenido para el momento flector máximo ha sido:

comparando ambos valores se puede poner:

Cálculo de las tensiones amplificadas

Al amplificarse el momento flector se verán amplificadas las tensiones que él produce, así para el ejemplo que se está estudiando sería:

(es el mismo coeficiente que el de amplificación de los momentos flectores) q Fig. 9.25 Mz Mzmax Mz L x F M0z u u u L q M_z cos . ) cos 1 .( 2 . 8 . 2 2 max − = 0

max max 2 3 max

3 2

2.(1 cos )

. .

.cos

"coeficiente de amplificación del momento flector 2.(1 cos )

siendo :

máximo, debido a la carga F de compresión" .cos o z z z u M M k M u u u k u u − = = − = 0 0 3 0 3 3 3 2 . ( . ). . ( ) ( ) . .

"coeficiente de amplificación de las tensiones debidas a la flexión 2.(1 cos )

siendo:

producido por la carga F de compresión" .cos z y z y z y total z f z z z M v k M v M v F F F N M k k A I A I A I u k u u

σ

=

σ

+

σ

= + = + = + = +

σ

σ

− =

Sección 96: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas sometidas a solicitaciones combinadas 9.6-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS METÁLICAS SOMETIDAS A SOLICITACIONES COMBINADAS .(Normativa DB-SE-A)

A.- RESISTENCIA DE LAS SECCIONES

1.-Caso de Flexión y Axil: N, Mz, My

Criterio elástico de dimensionamiento Las fórmulas a aplicar serán:

Criterio plástico de dimensionamiento Las fórmulas a aplicar serán:

Observación:

En los casos en que no existiesen algunas de las solicitaciones: N, Mz, My, las fórmulas a utilizar serían las mismas, sin más que hacer cero la solicitación que no actúe

2.-Caso de Flexión, Axil y Cortante: N, Mz, My,Vy, Vz

El estudio se hará indistintamente para las cortaduras: Vy o Vz y la denominaremos en general: V Siempre que: * 1. _, 1. . 2 2 3 yd pl d v f

V ≤ V = A → no habrá que hacer mas comprobaciones

tan sólo las correspondientes al caso 1º (sin cortantes)

Los valores a considerar para el área Av de la sección son los siguientes: • Secciones macizas de gran espesor: rectangulares, circulares,…….

Av = A (área de la sección)

• Perfiles abiertos de pequeño espesor: IPE, HEB, UPN,………. Con cortadura Vy: Av = Área del alma del perfil

Con cortadura Vz: Av = Área de las alas del perfil • Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares:

* * * , , , 1 y z pl d zel d yel d M M N N +M +M ≤ * * * , , , 1 y z pl d zpl d ypl d M M N N +M +M ≤ (9.31) (9.32)

Av = A.2/π

En el caso de que no se cumpliese lo anterior, es decir:

habría que hacer una nueva comprobación combinando el Momento flector con la Fuerza Cortante (ver Normativa DB-SE-A)

3.-Otros casos de combinaciones

Su estudio es objeto de otras asignaturas específicas. (Ver normativa)

B.- RESISTENCIA DE LAS BARRAS

Al considerar ahora la barra en su conjunto se tendrán que hacer nuevas comprobaciones, pero estas comprobaciones son objeto de otras asignaturas específicas. (Ver normativas) * , 1 1 . . . 2 2 3 yd pl d v f V > V = A