Conjuntos Númericos. Guía de Ejercicios

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M´

odulo 1

Conjuntos N´

umericos

´

_Indice

Unidad I.

N´

umeros Naturales

Ejercicios Resueltos ... p´ag. 02 Ejercicios Propuestos ... p´ag. 06

Unidad II.

N´

umeros Enteros

Ejercicios Resueltos ... p´ag. 08 Ejercicios Propuestos ... p´ag. 10

Unidad III.

N´

umeros Racionales

Ejercicios Resueltos ... p´ag. 11 Ejercicios Propuestos ... p´ag. 14

Unidad IV.

N´

umeros Irracionales

Ejercicios Resueltos ... p´ag. 17 Ejercicios Propuestos ... p´ag. 21

Unidad I.

N´

umeros Naturales

Ejercicios Resueltos

1. Un piloto anuncia a sus pasajeros que la altitud actual del avi´on es de 10.360 metros. Por una turbulencia inesperada se ve forzado a descender 640 metros. ¿Cu´al es la nueva altitud?.

Soluci´on

La nueva altitud del avi´on es 10.360 m− 640 m= 9720 metros.

2. M=12C4 representa a un n´umero de 4 cifras divisible por 6. ¿Qu´e valores puede tener

C para que se cumpla la divisibilidad?

Soluci´on

Un n´umero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Es divisible por 2 ya que termina en par. Ser´a divisible por 3 si la suma de sus d´ıgitos es m´ultiplo de 3. Entonces si C=2 en 1+2+C+4=7+C=9, que es un m´ultiplo de 3. Entonces un valor posible de C es 2.

3. En una cartulina rectangular de lados 9 cm y 15 cm se desea pegar fotograf´ıas cuadradas de igual tama˜no hasta cubrirla exactamente. ¿Cu´al es la mayor longitud del lado de las fotograf´ıas que cumple esta condici´on?

Soluci´on

Los divisores de 9 son {9, 3, 1} y los divisores de 15 son{15, 5, 3, 1}. Luego, el m´aximo com´un divisor entre 9 y 15 es el n´umero 3. Por lo tanto la mayor longitud del lado de las fotograf´ıas debe ser 3 cent´ımetros.

4. Desde el aeropuerto de Santiago los vuelos hacia Miami parten cada 42 minutos, y hacia Boston cada 54 minutos. A mediod´ıa partieron juntos. ¿A qu´e hora volver´an a hacerlo?

Soluci´on

Los m´ultiplos de 42 son{42, 84, 126, 168, 210, 252, 294, 336, 378, . . .} y los m´ultiplos de 54 son {54, 108, 162, 216, 270, 324, 378, . . .}. Luego el m´ınimo com´un divisor entre 42 y 54 es 378. Entonces los aviones volver´an a encontrarse dentro de 6,3 horas, lo que equivale a 6 horas y 18 minutos.

5. ¿Cu´antos factores primos diferentes tiene el n´umero 360? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Soluci´on

Descomponiendo el n´umero en factores

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·3·30 = 2·2·3·5·6 = 2·2·3·5·2·3 = 23_·32_·5

entonces el n´umero 360 tiene 3 factores primos (2, 3 y 5) que son las 3 bases resul-tantes de la descomposici´on.

6. Un grupo de amigas gast´o $10.000 en un asado. La mitad se gast´o en carne y el resto de la siguiente forma: la mitad se gast´o en vinos y babidas, un cuarto en frutas y el resto en ensaladas. ¿Cu´al(es) de las aseveraciones siguientes se desprende(n) de la informaci´on dada?

i) Gastaron en carne el doble que en vinos y bebidas.

ii) El gasto en frutas y ensaladas fue el mismo que en vinos y bebidas.

iii) El 25 % del total se gast´o en frutas y en saladas

Soluci´on

Seg´un los datos entregados se gast´o en carne $5.000, en vinos y bebidas $2.500, en fruta $1.250 y en ensaladas $1.250. Por lo tanto

i) Verdadero

ii) Verdadero

iii) Verdadero

7. Encontrar la factorizaci´on prima y el m´ınimo com´un m´ultiplo de los siguientes n´umeros: 256, 294, 315.

Soluci´on

256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28

8. Si a es un n´umero natural cualquiera, encontrar:

i) El antecesor del cuadrado de a.

ii) El antecesor del sucesor del cuadrado de a.

iii) El doble del antecesor del cuadrado de a.

iv) El sucesor del triple dea, al cuadrado.

v) El antecesor del triple de a.

vi) El antecesor del antecesor del doble dea.

Soluci´on i) a2₋₁ ii) a2 iii) 2(a2₋₁₎ iv) (3a+ 1)2 v) 3a−1 vi) 2a−2

9. ¿Cu´al es la cifra de la unidad al calcular el n´umero 362? a) 3 b) 0 c) 1 d) 7 e) 9 Soluci´on 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 _{= 243} 36 _{= 729} 37 ₌₂₁₈₇ 38 ₌₆₅₆₁

Podemos notar que cada 4 potencias la unidad se repite, por tanto si dividimos 64 por 4, el cuociente es 15 y el resto es 2. Entonces la unidad de la potencia 362 _{es 9.}

10. Indique verdadero o falso seg´un corresponda.

i) 15·4−2 = 62

ii) 3·3 + 8−4·2 = 17

iii) 25−5·3 + 4−2·2 = 10

Soluci´on

Respetando la prioridad de las operaciones las respuestas son

i) Falso, la respuesta correcta es 59

ii) Falso, la respuesta correcta es 9

Ejercicios Propuestos

1. Se quiere entregar 90 globos, 120 chocolates y 180 juguetes a un cierto n´umero de ni˜nos de manera tal que cada uno reciba un n´umero ex´acto de globos, chocolates y juguetes. ¿Cu´al es la mayor cantidad de ni˜nos que pueden recibir los obsequios?

2. El cine Rey y el cine Estrella proyectan pel´ıculas en forma continua, y cada cine comien-za su primera funci´on a la 1:00 p.m. Si la pel´ıcula proyectada en el cine Rey dura 80 minutos y la pel´ıcula proyectada en el cine Estrella dura 2 horas, ¿a qu´e hora voler´an a comenzar las 2 pel´ıculas al mismo tiempo?

3. Un comerciante compr´o 30 pa˜nuelos a $200 y vendi´o 20 a $180 cada uno. ¿A cuanto ven-di´o, en promedio, cada uno de los pa˜nuelos restantes si sabe que no gan´o ni perdi´o dinero. a) $190

b) $200 c) $240 d) $250 e) $260

4. n es un n´umero natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n+ 1 est´a represen-tado por a) n+ 2 b) n+ 3 c) n+ 4 d) 2n+ 2 e) 2n+ 4

5. Un pliego de cartulina de 2 mm. de espesor se dobla por la mitad, repitiendo el proceso 25 veces. La altura que alcanazar´ıa esta cartulina despues del vigesimo quinto doblez ser´ıa. a) 224 b) 225 c) 226 d) 227 e) 250

6. Si A = 23_·32_{·5, B = 2·3}3 _·52 _{y C = 2}3_·32_{·7, entonces ¿cu´al(es) de las siguientes}

afirmacines es(son) verdadera(s)?

i) 23 _{es un divisor com´un de A y C.}

ii) B es m´ultiplo de 32_·5

iii) 2·32 _{es divisor com´un de A, B y C.}

7. Un ni˜no comienza contando de 5 en 5, y otro lo hace de 6 en 6, ¿en qu´e n´umero se encuentran por segunda vez?

a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75

8. ¿Cu´al es la regla de mayor longitud con la que se puede medir exactamente las tres longitudes siguientes: 180 cm, 240 cm y 400 cm.? a) 8 cm. b) 12 cm. c) 20 cm. d) 24 cm. e) 40 cm.

9. Si hoy es martes, ¿qu´e d´ıa ser´a dentro de 51 d´ıas? a) Lunes b) Jueves c) Mi´ercoles d) Viernes e) S´abado 10. Calcular la expresi´on 2·12−3 + 1·7−8 : 2 + 2·3 a) 27 b) 14 c) 28 d) 225 e) 30

Unidad II.

N´

umeros Enteros

Ejercicios Resueltos

1. El 23 de enero de 2002, la temperatura se elev´o 9o_{C en dos minutos en Coyhaique, Sur}

de Chile. Si la temperatura inicial fue de -20o_{C, ¿cu´al fue la temperatura dos minutos}

despu´es?

Soluci´on

La temperatura final fue -20oC + 9oC = -11oC

2. En la recta num´erica se comienza en el -5, luego se avanza 7 unidades a la derecha y luego 3 unidades a la izquierda. ¿En que puento de la recta te encuentras?.

Soluci´on

Te encuentras en el puesto −5 + 7−3 = −1

3. Un jugador de futbol americano en una serie de tres jugadas seguidas gan´o 10 yardas, perdi´o 2 yardas y perdi´o 4 yardas. ¿Qu´e n´umero, positivo o negativo, representa su ganancia neta total de yardas para la serie de jugadas?

Soluci´on

Su ganancia neta total fue de 10−2−4 = 4

4. El valor de −[−1−(−1 + 1)−1−(−1 + 1)−1] es a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3 Soluci´on −[−1−(0)−1−(0)−1] =−[−3] = 3

5. Si a=−2;b =−3; c=−1 y d=−4, entonces [a−b·(d−c)]−a= a) -9 b) -7 c) -4 d) 7 e) 9 Soluci´on [a−b·(d−c)]−a= [a−bd+bc]−a=−bd+bc=−(−3)(−4)+(−3)(−1) =−12+3 = −9

6. La temperatura m´as baja registrada en Santiago de Chile, fue -5o_{C. La temperatura}

m´as alta registrada fue 41o_{C mayor que la m´ınima. ¿Cu´al es la temperatura m´axima?}

Soluci´on

La temperatura m´as alta registrada fue -5oC + 41oC = 36oC.

7. Una ciudad romana fue construida al a˜no 345 a.C. y destruida 500 a˜nos despu´es. ¿En qu´e a˜no fue destruida?.

Soluci´on

Tomando el nacimiento de Cristo como el a˜no cero, las fechas anteriores ser´an consid-eradas n´umeros negativos y las fechas posteriores n´umeros positivos, entonces la ciudad fue destruida el a˜no−345 + 500 = 155

8. Si a=−4 yb = 2, entonces −3a:b−[−a−2−(b−a)] es igual a a) -22 b) -2 c) 2 d) 10 e) 14 Soluci´on

Reemplazando los valores de a y b dados, resulta

Ejercicios Propuestos

1. En tres pases de jugadas seguidas, un pase de pelota de futbol americano gan´o 5 yardas, fue atrapado y perdi´o 17 yardas, y luego pas´o a una ganancia de 33 yardas. ¿Qu´e n´umero, positivo o negativo, representa su ganancia neta total de yardas para la serie de jugadas?

2. Si la termperatura era de -1oC a las 11:00 horas y en dos horas aument´o 7 grados, ¿cu´al es la temperatura a las 13:00 horas?.

3. A las 12 horas la temparatura era de 12o_{C. Si subi´o constantemente 0,5}o_{C, desde las 12}

horas, hasta llegar a los 16,5o_{C, ¿a qu´e hora se registr´o la temperatura m´axima de ese}

d´ıa?.

4. La cima del volc´an Parinacota, visible desde el Lago Chungar´a, tiene una altitud de 6342 metros. El valle est´a a 4570 metros sobre el nivel del mar. Tomando el cero como el nivel del mar, encuentre la diferencia entre estas dos elevaciones.

5. El punto m´as alto en Chile, el volc´an Ojos del Salado, se encuentra a una altitud de 6893 metros. El punto m´as bajo, la Fosa de Atacama, se encuentra a 8065 por debajo del nivel del mar. Tomando el cero como el nivel del mar, encuentre la diferencia entre estas dos elevaciones.

6. Arist´oteles naci´o el a˜no 384 a.C. y nuri´o el a˜no 322 a.C. ¿Cu´antos a˜nos vivi´o?

7. Crist´obal se divierte jugando tri´onimos los Viernes por la noche. En cuatro turnos suce-sivos, sus marcadores fueron -19, 28, -5 y 13. ¿Cu´al es su marcador total, para los cuatro turnos?

8. Carolina se divierte buceando. Se sumerge a 13 metros por debajo de la superficie de un lago. Su compa˜nera, Mary, se sumerge 19 metros por debajo de la superficie, pero luego ascience 10 metros. ¿Cu´al es la distancia vertical entre Carolina y Mary?

9. Un piloto de una importante compa˜n´ıa ´aerea nacional anunci´o a sus pasajeros que su nave, actualmente a unos 10.000 metros, descender´a 800 metros para evitar una tur-bulencia y luego ascender´a 1000 metros, una vez que hubiera pasado el peligro de la turbulencia. ¿Cu´al ser´ıa su altura final?

10. Si A, B, C y D son n´umeros enteros tales que A > B, C > D, B < D y C < A. ¿Cu´al es el orden creciente de estos n´umeros?

Unidad III.

N´

umeros Racionales

Ejercicios Resueltos

1. Un buen d´ıa las acciones de una gran compa˜n´ıa cerraron a 833₄ d´olares por acci´on. Esto significaba 21₄ d´olares sobre el precio al inicio del d´ıa. ¿Cu´anto costaba una acci´on al inicio del d´ıa?

Soluci´on

Una acci´on al inicio del d´ıa costaba 833₄ −21₄ = 811₂ d´olares.

2. El viernes se inforn´o que en un periodo de 3 meses el valor m´as alto para una empresa fue de 60 d´olares por acci´on, mientras que el m´as bajo fue de 405₈ d´olares por acci´on. Cu´al fue la diferencia entre estos precios?

Soluci´on

La diferencia entre estos precios es 60−405₈ = 480₈ − 325 8 =

155 8 = 19

3

8 d´olares.

3. En una liquidaci´on de una conocida multitienda se rebaj´o una chaqueta primero en 1₄ de su valor y una semana despu´es, como una super oferta, en 2₃ del precio ya rebajado. Si el cliente pag´o $36.000 por el abrigo, ¿cu´al era su precio original, antes de la liquidaci´on?.

Soluci´on

El precio original antes de las ofertas era 36000 1 4 · 2 3 = 36000₁ 6 = 6·36000 = 216000

4. En un d´ıa gasto dos dieciochoavas partes de mi dinero. ¿Cu´anto gasto en total en una semana?.

Soluci´on

Gasto en total en una semana 7· 2 18 =

14 18

5. Crist´obal estudia 2₅ de una p´agina en 15 minutos. ¿En cu´anto tiempo estudiar´a 20 p´ agi-nas de igual complejidad, manteniendo el mismo ritmo de lectura?.

Soluci´on

En estudiar una p´agina se demora 15· 5 2 =

75

2 minutos. El tiempo que tarda en estudiar

las 20 p´aginas es 20· 75

2 = 750 minutos.

6. Una barra de aluminio mide 0,5 metro. Por efecto de cambios de temperatura, a las 16 horas se ha dilatado una cent´esima parte de su longitud. ¿Cu´anto mide a las 16 horas? a) 0,51 b) 0,55 c) 0,505 d) 0,555 e) 0,5005 Soluci´on

La medida de la barra a las 16 horas es 0,5 + 1

100 ·(0,5) = 0,5 + 0,005 = 0,505

7. En un tri´angulo is´osceles, ambos ´angulos interiores agudos disminuyen en un noveno su medida. Entonces la medida del tercer ´angulo interior del tri´angulo resultante

a) aumenta en un noveno b) disminuye en un noveno c) aumenta en un d´ecimo d) aumenta en un quinto e) aumeta en dos novenos

Soluci´on

En un tri´angulo rect´angulo is´osceles los ´angulos interiores agudos miden 45o_{. Una}

nove-na parte de ellos es 45o _{: 9 = 5}o_{. Si disminuyen un noveno, entonces resultan en 40}o _cada

uno. Como la suma de ´angulos interiores de un tri´angulo cualquiera es 180o_{, entonces el}

otro ´angulo del tri´angulo resultante debe medir 100o_{. Su medida anterior era 90}o_{, por}

lo tanto aument´o 10o_{, que corresponde a un noveno de 90}o_{. Por lo tanto la respuesta es}

8. Un partido de f´utbol se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qu´e fracci´on del partido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?

Soluci´on

Han transcurrido 45 + 20 = 65 minutos de partido de los 90 minutos que duran ambos tiempos juntos. Por lo tanto faltan 90−65 = 25 minutos. Entonces lo que resta de partido es

25 90 =

5 18

9. Una persona compr´o dos s´eptimos de 31₂ docenas de naranjas. ¿Cu´antas naranjas com-pr´o? a) 1 b) 7 c) 2 d) 10 e) 12 Soluci´on

Primero transformamos el n´umero mixto 31₂ = 7₂. Entonces compr´o 2

7 · 7

2 = 1docena Por lo tanto compr´o 12 naranjas.

10. Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres octavos por cuatro quntos, ¿cu´anto se ontiene?

Soluci´on 51 2+ 3 8· 4 5 = 11 2 + 3 10 = 55 + 3 10 = 58 10 = 5 8 10 = 5 4 5

Ejercicios Propuestos

1. Calcule el valor de la siguiente suma de fracciones.

14 26 + 98 99+ 100 51 + 90 31 + 13 27 =

2. En los ejercicios siguentes realice las operaciones indicadas y simplifique las respuestas a su m´ınima expresi´on.

1 3

:

1 2

+

5₆

=

7 9

+

1 9

=

13 20

−

5 12

=

3 8

·

2 7

=

15 16

:

30 8

=

2 5

:

−

4₅

:

₁₀3

=

5 6

:

7 12

=

5 8

−

3 14

=

−

2₃

· −

5₈

=

3. En los ejercicios siguientes convierta cada n´umero mixto en una fracci´on, y cada fracci´on en un n´umero mixto.

4

1₃

=

3

7₈

=

19 3

=

18 5

=

4. En los ejercicios siguientes realice cada operaci´on y exprese su respuesta como un n´umero mixto.

3

1₄

+ 2

7₈

=

6

1₅

−

2

₁₅7

=

−

4

7₈

·

3

2₃

=

−

4

1₆

: 1

2₃

=

5. Una persona camina 51₄ km. en 90 minutos. ¿Cu´antos kil´ometros camina en las mimas condiciones en 5₆ de hora?.

6. Una jarra tiene 5₄ de litro de capacidad y est´a llena de jugo. Se echa 1₅ de litro de este jugo en un vaso. ¿Cu´anto queda en la jarra?.

7. En un conjunto habitacional de 8 edificios, los gastos comunes se distribuyen de la sigu-iente forma: 1₃ del dinero en combustible, 1₉ en recolecci´on de basura, ₁₁1 en mantenci´on de jardines, 1₄ en sueldos de empledos y el resto en limpieza. ¿Qu´e fraci´on del total se emplea en todos estos gastos?. ¿Qu´fracci´on queda para utilizar en limpieza?. Si el presupuesto total asciende a $740.000, ¿cu´anto se gasta en combustible y en sueldos de

8. Se pagan $1.240.371 que corresponden a los 3₈ de una deuda. Al mes siguiente se pagan los 4₅ del resto de la deuda. ¿Cu´antos pesos quedan a´un por pagar?.

9. Se cont´o el n´umero de asistentes a una funci´on de cine y se obtuvieron los siguientes datos: el lunes 938 personas, el martes 752 y el mi´ercoles 1305. El jueves se ocuparon

6

9 del total de sillas; el viernes 8

9; el s´abado y el domingo asistieron 1275 personas, que

equivalen a 17₁₈ del total. Calcule el n´umero de espectadores del jueves, viernes y s´abado, y la fracci´on del total de sillas que se ocup´o el lunes, el martes y el mi´ercoles.

10. Una persona vende su autom’ovil en 10 cuotas y propone 2 alternativas de forma de pago: a) El primer mes $1.000.000, al mes siguiente la d´ecima parte menos, al mes sigu-iente la de d´ecima parte menos y as´ı sucesivamente; b) $100.000 el primer mes, al mes siguiente la d´ecima parte m´as y as´ı sucesivamente durante 10 meses. ¿Qu´e forma de pago es la m´as conveniente para el comprador?

Unidad IV.

N´

umeros Irracionales

Ejercicios Resueltos

1. ¿Cu´al es el orden de mayor a menor de los n´umeros A=

√ 3 2 , B = 9 2√3 y C = 1? Soluci´on

Debemos racionalizar B, lo que resulta B = 9

2√3 · √ 3 √ 3 = 3√3

2 . Usando que

aproximada-mente √3 = 1,7, entonces A≈0,8,B ≈2,5 yC = 1. Por lo tanto el orden decreciente de estos n´umeros es B; C;A.

2. Al ordenar de menor a mayor los n´umeros:−(−2), −π, √8, |−6| y − |−8| se obtiene a) − |−8|, −π,−(−2), |−6|, √8. b) − |−8|, |−6|, −π, −(−2), √8. c) − |−8|,−π, −(−2), √8,|−6|. d) −π, −(−2), √8, − |−8|, |−6|. e) |−6|,−π, −(−2), √8,− |−8| Soluci´on

Los n´umeros son

−(−2) = 2, −π≈ −3,14, √8 = 2√2≈2·1,7 = 3,4, |−6|= 6 y− |−8|=−8 Entonces el orden creciente es

− |−8|=−8,−π ≈ −3,14, −(−2) = 2, √8 = 2√2≈2·1,7 = 3,4 y |−6|= 6 3. El n´umero (√3 + 3√2)2 _es:

a) un n´umero entero b) un decimal finito c) una fracci´on impropia

d) un decimal infinito peri´odico e) un decimal infinito no peri´odico

Soluci´on

Desarrollando el cuadrado de binomio se obtiene (√3 + 3√2)2 _{= 3 + 3}√_{6 + 18 = 21 + 3}√₆

4. ¿Cu´al(es) de los siguientes n´umeros es(son) irracional(es)? i) √3√27 N´umero racional ii) 5√5 +√5 N´umero irracional iii) √ 2 √ 128 N´umero racional Soluci´on i) √3√27 =√3√9·3 = 3·3 = 9 ii) 5√5 +√5 = 6√5 iii) √ 2 √ 128 = √ 2 √ 2·64 = 1 8

5. Si q = √11, ¿por cu´al de los siguientes n´umeros puede multiplicarse q para dar como resultado un n´umero racional?

i) √11 ii) −√11 iii) 11 Soluci´on i) q·√11 = √11·√11 = 11 N´umero racional ii) q· −√11 = √11· −√11 =−11 N´umero racional

iii) q·11 = 11√11 N´umero irracional

6. ¿Cu´al(es) de las operaciones siguientes da(n) como resultado un n´umero racional?

i) √3 7·√3 7 ii) √ 7+√7 √ 7+√7+√7 iii) √7 + 2√7 Soluci´on i) √3 7·√3 7 = √3 49 N´umero irracional ii) √ 7+√7 √ 7+√7+√7

=

2√7 3√7

=

2 3 N´umero racional

7. Si el radio de una circunferencia se mide por un n´umeor racional, el lado del cuadrado inscrito est´a dado por un n”umero:

a) racional b) irracional c) entero

d) cuadrado perfecto

e) ninguno de los anteriores

Soluci´on

Sea r el radio de la circunferencia, entonces la diagonal del cuadrado inscrito en ella ser´a 2r = a√2, en donde a corresponde al lado del cuadrado. Entonces el lado del cuadrado es

a = √2r 2 que corresponde a un n´umero irracional.

8. Calcular las siguientes raices: a) 3√x 2x 3√x 2x 3√x 2x b) q 3 +√5 + q 3−√5 c) √ 50_√−√72 2 d) √64x2_49y2_144z6 Soluci´on a) 3√x 2x 3√x 2x 3√x 2x ₌ 3√x 2x₂x₂x ₌ 3√x 23x _{= 2} b) q 3 +√5 + q 3−√5 = q(3 +√5)(3−√5) =q32₋₍√₅₎2 ₌√_{9−5 =} √_{4 = 2} c) √ 50_√−√72 2

=

√ 25·2_√−√36·2 2

=

√ 25√2_√−√36√2 2

=

5√2_√−6√2 2

=

−_√√2 2

=

−1 d) √64x2_49y2_144z6 ₌√₆₄√_x2√₄₉√_y2√₁₄₄√_z6 _{= 8x7y}2_12z3 _{= 672x y}2_z3

9. El primer conjunto del cual es elemento la expresi´on −(2−√5) es a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) Reales e) Otro Soluci´on

La expresi´on−(2−√5) corresponde a un n´umero irracional, por lo que su primer con-junto es el de los n´umeros reales.

10. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 1 3−√2 b) √ 2_√−2√3 2 c)

√

3−2√2

√

3+2√2 Soluci´on a) 1 3−√2= 1 3−√2

·

3+√2 3+√2= 3+√2 32₋₍√₂₎2= 3+√2 9−2 = 3+√2 7 b) √ 2_√−2√3 2 = √ 2_√−2√3 2

·

√ 2 √ 2= √ 2(√2−2√3) 2 = (√2)2₋₂√₆ 2 = 2−2√6 2 = 2(1−√6) 2 =1− √ 6 c)

√

3−√2

√

3+√2

=

√

3−√2

√

3+√2

·

√

3+√2

√

3+√2

=

√

(3−√2)(3+√2) (

√

3+√2)2

=

√

32₋₍√₂₎2 3+√2

=

√ 7 3+√2 y luego √ 7 3+√2

·

(3−√2) (3−√2)

=

√ 7(3−√2) 9−(√2)2

=

√ 7(3−√2) 7

Ejercicios Propuestos

1. Indicar si los siguientes n´umeros son irracionales: a) √2 + 3√2 b) 5,121121112. . . c) 4,232323. . . d) √6·√3/√2 e) 1,71 + 1,7¯1 f) 10,010010001. . . g) π + 3,14

2. Indicar V o F si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, respectivamente. a) La suma de dos n´umeros irracionales es siempre un n´umero irracional.

b) El producto entre un n´umero racional y un n´umero irracional es siempre un irracional. c) Entre 2 n´umeros irracionales infinitos hay infinitos n´umeros racionales.

d) Al elevar al cuadrado un n´umero irracional se obtiene siempre un n´umero racional.

3. Si α= √ 2 √ 3 y β = √ 3 √

5, entonces ¿cu´al de las siguientes opciones es la correcta?

a) α < β < α·β

b) α < α·β < β

c) β < α < α·β

d) α·β < α < β

e) α·β < β < α

4. Si a y b son dos n´umeros reales negativos, con a > b, ¿cu´al(es) de las siguientes expre-siones es(son) n´umero(s) real(es) positivo(s)?

i) −(a+b)(a−b)

ii) a2+b2 iii) −(2a+b)

5. Un n´umero racional comprendido entre √5 y√7 es: a) √ 5+√7 2 b) √ 5−√7 2 c) √6

6. El n´umero√18 puede interpretarse como

i) la altura de un tri´angulo equil´atero de lado 6

ii) una soluci´on de la ecuaci´on x2 _{= 18}

iii) un n´umero irracional comprendido entre 4 y 5

7. Sea m un n´umero primo. De las expresiones m√2, 3√m2 _y √_{m ·}√_{m, ¿cu´al(es)}

corresponde(n) a n´umero(s) irracional(es)?

8. Dado x= 2 +√3, entonces ¿cu´al de los siguientes n´umeros no es irracional? a) x2

b) x2_{+ 1}

c) x2_−x

d) x2₋₁

e) x2_−4x

9. A y B, est´an ubicados en la recta num´erica real de la forma 0 < A < B < 1, entonces el producto AB es otro n´umero real ubicado

a) a la izquierda del 0 b) entre 0 y A

c) entre A y B

d) entre B y 1 e) a la derecha de 1

10. Para determinar si el n´umerob es un n´umero irracional se sabe que:

i) b tiene un desarrollo decimal infinito.

ii) b es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado. a) (i) por s´ı sola

b) (ii) por s´ı sola

c) ambas juntas, (i) y (ii)

d) cada una por s´ı sola, (i) ´o (ii) e) Se requiere informaci´on adicional