Ricardo Gatica Escobar
Escuela de Ingeniería Industrial
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile rgatica@ucv.cl
Lógica
Lógica Proposicional
Proposición
Definición: Una proposición o enunciado es una
frase que a la cual se puede asignar unívocamente
un valor verdadero o falso.
¿Cuáles de las siguientes frases son
proposiciones?
1.
Dos más dos son cuatro
2.
Dos más dos son cinco
3.
La luna llena
4.
Juan es universitario
5.
Te invito a salir
6.
La alegría de llegar a casa
7.
Ricardo es profesor de Modelamiento Discreto.
8.
Todos los alumnos de este curso son menores de 20 años
5
Proposiciones compuestas
Nombre
Simbolismo Lectura
Valor de verdad
Conjunción
p q
“p y q”
Verdadero solo si p y q son ambos verdaderos. Falso caso contrarioDisyunción
p q
“p o q”
Verdadero si uno oambos componentes son verdaderos. Falso solo si
p y q son ambos falsos.
Negación
~p
“no p”
Falso si p es verdadero, verdadero si p es falso.Ricardo Gatica Escobar 6
Juan y Pedro juegan poker. Cada uno tiene una mano de 5 cartas. Sean:
• p= “Pedro tiene escala real”
• q= “pedro tiene tres reyes”
• r= “Juan tiene dos ases”
• s= “Pedro tiene rey de corazón”
p q = “Pedro tiene escalay Pedro tiene tres reyes”
= “Pedro tiene escala real y tres reyes”
q ~s= “Pedro tiene tres reyes y Pedro no tiene rey de corazón”
“Pedro tiene tres reyes, pero no tiene el rey de corazones”
p r= “Pedro tiene escala real o Juan tiene dos ases”
Ejemplo de proposiciones compuestas
?
?
Ricardo Gatica Escobar
7
Ejemplo de proposiciones compuestas
Juan y Pedro juegan poker. Cada uno tiene una mano de 5 cartas. Sean:
• p= “Pedro tiene escala real”
• q= “Pedro tiene tres reyes”
• r= “Juan tiene dos ases”
• s= “Pedro tiene rey de corazón”
r ~q = “Juan tiene dos ases o Pedro no tiene tres reyes”
(p q) ~s= “Pedro tiene escala real o tres reyes, pero no tiene rey
de corazón”
p (q ~s )= “Pedro tiene escala real, o bien tiene tres reyes y no
tiene el rey de corazón”
?
?
?
Ricardo Gatica Escobar 8
Ejemplo de proposiciones compuestas
Juan y Pedro juegan poker. Cada uno tiene una mano de 5 cartas. Sean:
• p= “Pedro tiene escala real”
• q= “pedro tiene tres reyes”
• r= “Juan tiene dos ases”
• s= “Pedro tiene rey de corazón”
(p q) ~(p q) = “Pedro tiene escala real o el rey de corazón, pero
no ambos”
(r p) (q ~r) = “Juan tiene dos ases y Pedro tiene escala real, o
Pedro tiene tres reyes y Juan no tiene dos ases”
?
?
9
Ejemplo de proposiciones compuestas
Juan y Pedro juegan poker. Cada uno tiene una mano de 5 cartas. Sean:
• p= “Pedro tiene escala real”
• q= “pedro tiene tres reyes”
• r= “Juan tiene dos ases”
• s= “Pedro tiene rey de corazón”
~(p r)= “No es cierto que Pedro tiene escala real o que Juan
tiene dos ases”
~p ~r = “Ni pedro tiene escala real, ni Juan tiene dos ases”
?
?
Ricardo Gatica Escobar 10
Tablas de verdad
Una tabla de verdad despliega el valor de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad de sus componentes primitivos (variables proposicionales).
p ~p
V F
F V
Tabla de verdad para ~p
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de verdad para p q∧
∨ p q p q V V V V F V F V V F F F
Tabla de verdad para p q
∨
∧
Ricardo Gatica Escobar
Ejemplo
Tabla de verdad para la proposición
)
~
(
q
s
p
∨
∧
p q S ~s q∧~s p∨(q∧ ~s) V V V F F V V V F V V V V F V F F V V F F V F V F V V F F F F V F V V V F F V F F F F F F V F FEquivalencia lógica
Definición: Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen
el mismo valor de verdad para cada combinación de valores de verdad de sus variables proposicionales.
Notación:proposición1 y proposición2 son lógicamente equivalentes
se denota
proposición
1
≡
proposición
2
Ejemplos:)
(~
~
p
p
p
q
q
p
p
q
q
p
≡
∨
≡
∨
∧
≡
∧
13
Prueba de una equivalencia lógica
La siguiente tabla muestra que:
r
p
r
p
)
~
~
(
~
∨
≡
∧
p r p∨r ~p ~r ~( p∨r) ~p∧~r V V V F F F F V F V F V F F F V V V F F F F F F V V V VRicardo Gatica Escobar 14
Tautologías y contradicciones
Definición:
Una tautología es una proposición que es
siempre verdadera, independientemente de los valores de
verdad de sus componentes.
Ejemplo: p ~p
Definición:
Una contradicción es una proposición que es
siempre falsa, independientemente de los valores de
verdad de sus componentes.
Ejemplo: p ~p
Ricardo Gatica Escobar
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Leyes de equivalencia
Teorema: Dadas proposiciones cualesquiera p, q y r, una tutología t y
una contradicción c, se cumple:
1. Conmutatividad p∧q ≡ q∧p p∨q ≡ q∨p. 2. Asociatividad p∧(q∧r) ≡ ( p∧q)∧r p∨ (q∨r) ≡ ( p∨q)∨r 3. Distributividad p∧(q∨r) ≡ ( p∧q) ∨ (p∧r) p∨ (q∧r) ≡( p∨q)∧(p∨r) 4. Identidad p∧t ≡ p p∨c ≡ p 5. Negación p∧~p ≡ c p∨~p ≡ t
Ricardo Gatica Escobar 16
Leyes de equivalencia
1. Conmutatividad p q q p p q q p. 2. Asociatividad p (q r) ( p q) r p (q r) ( p q) r 3. Distributividad p (q r) ( p q) (p r) p (q r) ( p q) (p r) 4. Identidad p t p p c p 5. Negación p ~p c p ~p t 6. Doble negación ~(~p) ≡p 7. Idempotencia p∧p ≡ p p∨p ≡ p 8. Cota universal p∧c ≡ c p∨t ≡ t 9. Leyes de Morgan ~( p∨r).≡ ~p∧~r ~( p∧r). ≡ ~p∨~r 10.Absorción p∧(p∨q) ≡ p p∨(p∧q) ≡ p 11.Negación de t y c ~t ≡ c ~c ≡ t17
Prueba de equivalencia usando leyes
Ejemplo: Probaremos que:p
q
p
q
p
∧
)
∧
(
∨
)
≡
(~
~
identidad
negación
vidad
distributi
)
(~
negación
doble
)
(
)
~
(
De Morgan
de
ley
)
(
)
~
)
(~
(~
)
(
)
(~
~
p
c
p
q
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
≡
∨
≡
∧
∨
≡
∨
∧
∨
≡
∨
∧
∨
≡
∨
∧
∧
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Prueba de que dos proposiciones no son
equivalentes
Ejemplo: La siguiente tabla muestra que las proposiciones
p q r q∨r q∧r p∧(q∨r) p∨(q∧r) V V V V V V V V V F V F V V V F V V F V V V F F F F F V F V V V V F V F V F V F F F F F V V F F F F F F F F F F
)
(
y
)
(
q
r
p
q
r
p
∧
∨
∨
∧
no son equivalentes.
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Proposiciones condicionales
Definición:
Dadas dos proposiciones p y q, la expresión
“
p
→
q
” es una proposición compuesta denominada
implicancia de
p
a
q
o condicional de
p
a
q
.
Se lee “
p
implica
q
”. Es falsa si
p
es verdadera y
q
es falsa, y es
verdadera en cualquier otro caso.
En la expresión
p
!
q
,
p
se denomina “antecedente” y
q
se denomina “consecuente”
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p q p ! q V V V V F F F V V F F V 20
Proposiciones condicionales
Ejemplos:
“Vivir en Papudo
implica
vivir en la Quinta
Región”
“Que Pedro llegue tarde
implica
que sea
felicitado”
“Que Pedro llegue tarde
implica
que sea
reprendido”
“Que Pedro coma fruta
implica
que hay un
meteorito que impactará la Luna”
Proposiciones condicionales
Sea: p: Merlina es una labradora
q: Qui-hon es una ciudad China
Determine el valor de p
q en cada uno de los
siguientes casos:
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Antecedente Consecuente p q Merlina es una labradora Qui-hon es una ciudad China V Merlina es una labradora Qui-hon no es una ciudad China F Merlina es un gata Qui-hon es una ciudad China V Merlina es una gata Qui-hon no es una ciudad China V
Proposiciones condicionales
Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
4+2=6 implica que 6-2=4
3x0=0 implica que 3+0=3
4+2=7 implica que 7-2=4
4+2=7 implica que 7-2=5
4+2=6 implica que 2+2=5
5>4 implica que 4-5<0
4>5 implica que 4-5<0
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Proposiciones condicionales
La expresión p
q se puede leer también
de las siguientes formas:
p
implica
q
Si
p
, entonces
q
Si
p
,
q
q
, si
p
p
sólo si
q
p
es condición suficiente para
q
q
es condición necesaria para
p
Ricardo Gatica Escobar 24
Proposiciones condicionales
Ejemplos:
Sea: p : “Vivo en Papudo”
q : “Vivo en la Quinta Región”
p
!
q se lee:
“Vivo en Papudo, implica que vivo en la Quinta Región”
“Si vivo en Papudo, entonces vivo en la Quinta Región”
“Si vivo en Papudo, vivo en la Quinta Región”
“Vivo en la Quinta Región, si vivo en Papudo”
“Vivo en Papudo, sólo si vivo en la Quinta Región”
Vivir en Papudo es condición suficiente para vivir en la
Quinta Región”
Vivir en la Quinta Región es condición necesaria para
vivir en Papudo”
Ricardo Gatica Escobar
