Trabajo No 3. Teoría de Portafolios BONOS

Trabajo No 3. Teor´ıa de Portafolios

BONOS

Norman Giraldo G´

omez

EIO - Universidad Nacional de Colombia

[email protected]

Noviembre, 2009

1.

Introducci´

on

El Trabajo No 3 consiste de un punto. Cada grupo tiene asignado un pareja de punto de los que se enuncian a continuaci´on. Al final de este tema est´a la tabla de asignaci´on de puntos para cada grupo. En la p´agina del curso hay algunas funciones en R para los c´alculos de este trabajo. Estas funciones se describen a continuaci´on.

2.

Notas

Estructuras de Tasas de Inter´es.Para este Trabajo utilizaremos el modelo de Nelson-Siegel para la estructura de tasas de inter´es dado por

i(0, t) =β1+β2(e−λt−1)/λt+β3, (1)

dondet es tiempo en a˜nos ´o fracciones de a˜no,i(0, t) es la tasa efectiva anual de referencia para un CDT con vencimiento t. Por ejemplo, la estructura correspondiente a 30/10/2001 tiene los valores de β y λ dadas (en notaci´on de R) por:

betas = c(0.1156039, -0.08942927, 0.1345373) lambda = c(0.17932)

Si se coloca un vector de tiempos, por ejemplo,t=c(5/12,8/12,11/12,13/12) el resultado de llamar la funci´on NSrates(betas,lambda,t) es un vector con las tasas efectivas anuales para cada tiempo.

Para el trabajo se pueden utilizar las ocho funciones que aparecen en la lista siguiente. source("tir.r") source("margen.r") source("convexidad.r") source("duracion.r") source("precio.bono.r") source("precio.bono.fc.r") source("precio.bono.ns.margen.r") source("aproximacion.r")

1. funcion tir(). Calcula la tasa interna de retorno ´o tasa de rendimiento a la emisi´on, con i = , donde A es el precio de emisi´on,t= (t1, . . . , tn) es el vector de los tiempos de

pagos en a˜nos o fracciones de a˜no, y cf = (C1, . . . , Cn) es el flujo de pagos del bono.

Por ejemplo, si es un bono con 12 pagos semestrales, con tasa de cup´on 0.08 efectiva semestral, con valor facial 100, y valor de redenci´on 100, con precio A = 98, se coloca

source("tir.r") A = 98 t = seq(1,12,1)/2 cf = rep(0.08*100, 12) cf[12] = cf[12] + 100 i = tir(A,t,cf)

calcula una tir efectiva anual de 0.172, que equivale a una tasa efectiva semestral de 0.082.

2. funcion margen(). Calcula el margen im, a partir del precio A, el vector con los

tiempos de pagos t = (t1, . . . , tn), el vector de las tasas de la estructura temporal

y = (i(0, t1), . . . , i(0, tn)), y el vector con el flujo de pagos, cf = (C1, . . . , Cn). El

margenim se define con la expresi´on siguiente.

A= n X j=1 Cj((1 +im)(1 +i(0, tj)))−tj. (2) Se coloca en R: im = margen(y,A,t,cf).

3. funcion duracion(). Calcula la duraci´onD, colocando D = duracion(F,C,r,i,n), donde F es la denominaci´on, C el valor de redenci´on, r la tasa cup´on efectiva para el per´ıodo de pagos, i es la tir del bono, n el n´umero de pagos. La funci´on permite calcular las duraciones de varios bonos. Para esto se ingresan las variables F,C,r,i,n como vectores.

4. funcion convexidad(). Calcula la ConvexidadCX, colocando CX = convexidad(F,C,r,i,n), con las mismas variables de la funci´on duracion(). Igualmente, la funci´on permite cal-cular las duraciones de varios bonos ingresando las variables F,C,r,i,n como vectores.

5. funcion precio.bono(). Calcula el precio de un bono con base en las variables (F,C,r,i,n), definidas en la funci´on duracion(). Es decir, calculaA=rF(1−vn_)/i+Cvn_,

con v= (1 +i)−n_{. Se coloca en R: A = precio.bono(F,C,r,i,n).}

6. funcion precio.bono.fc(). Calcula el precio de un bono con base en un flujo de pagos dado, en los tiempos de pago y una tir. Es decir, calcula A = Pn_k=1Ck(1 +i)−tk. Se

coloca en R: A = precio.bono.fc(cf,t,i).

7. funcion precio.bono.ns.margen(). Calcula el precio de un bono con base en un flujo de pagos dado, en los tiempos de pago, en las tasas de la estructura temporal en los tiempos de pago y en un margen. Es decir, calcula A seg´un la f´ormula (2). Se coloca en R: A = precio.bono.ns.margen(cf,t,im,y).

8. funcion aproximacion(). Aproxima el precio de un bono con base en la duraci´on y la convexidad, de acuerdo a la f´ormula

A(i+ ∆) =A(i) 1−D ∆ 1 +i + 1 2CX ∆ 1 +i 2! (3) Se coloca en R: P = aproximacion(A,D,CX,i,delta). Terminolog´ıa

1. Son sin´onimos: valor facial, denominaci´on, valor nominal. Sin´onimos: estructura tem-poral de tasas de inter´es, tasas a plazos.

2. La denominaci´on F = 100 es un valor de referencia. En una emisi´on se especifica el valor de F, por ejemplo, F = 1 mill. Usualmente, el precio de emisi´on es a par. Luego, se invierte 1 mill para comprar un bono. Con 100 mill se compran 100 bonos. En un portafolio de bonos el n´umero de unidades de cada bono se determina por N = capital/precio. Y el porcentaje invertido en el bono es w = N(precio)/(valor portafolio).

3.

Puntos del Trabajo

1. Descripci´on del punto: consideramos dos bonos con tasas cup´on diferentes, vencimiento a 10 a˜nos, precios diferentes. Se forman dos portafolios. Uno con duraci´on alta y otro

con duraci´on baja. Se debe vender a los 5 a˜nos, a una tasa de descuento menor que las tir de los portafolios. Queremos ver el efecto en el precio de venta de haber utilizado una duraci´on alta versus una baja.

Enunciado. El bono A tiene vencimiento a 10 a˜nos, tasa de cup´on de 7 % ea. El bono B tiene vencimiento a 10 a˜nos, tasa de cup´on de 12 % ea. Ambos bonos tienen F = C = 100. Los precios de emisi´on de los bonos A y B son P a = 103.0 y P b = 82.1, respectivamente. Considere un portafolio con estos dos bonos. Asuma que el pron´ostico a 5 a˜nos es que las tasas del mercado van a decrecer o mantenerse en el nivel actual.

a) Encuentre la TIR, la duraci´on D y la convexidad CX de cada bono.

b) Conforme un portafolio ´optimo con estos dos bonos, maximizando la convexidad y asumiendo una meta de duraci´on alta, es decir, asumiendo que las tasas van a mantenerse o decrecer en el mediano plazo. El portafolio se denota por w = (w1, w2).

c) Asuma que el capital inicial que se invierte en el portafolio esCapital= 10000. El valor inicial del portafolio por tanto es 10000. Calcule N el n´umero de unidades adquiridas de cada bono, N = (N1, N2), con

capital = 10000

(N = floor(w*capital/A))

d) Calcule el flujo de pagos que genera este portafolio, definido comoCk =C1,kN1+

C2,kN2. En esta f´ormula C1,k denota el flujo de pagos del primer bono y C2,k el

del segundo. En R se programa cf.p = cbind(cf1,cf2) %* %N

e) Calcule la tir de este portafolio. Use la funci´on tir(A,t,cf.p), con A = capital y t = (1,...,10).

f) Se debe vender el portafolio faltando exactamente 5 a˜nos para el vencimiento de los bonos, y en el mercado solamente se puede negociar a una tasa de descuento de 0.085. Encuentre el precio de venta del portafolio.

g) Repita desde el punto b) pero tomando una meta de duraci´on baja.

h) Qu´e se puede conclu´ır de las partes g) y h)?.

2. Descripci´on: se trata de conformar un portafolio con dos bonos que proteja capital en caso de una baja de las tasas. Se comprueba el efecto de este portafolio calculando el precio de venta despu´es de dos a˜nos, asumiendo que la estructura temporal decrece. Se compara con un portafolio que no tenga esa protecci´on.

Considere un bono con vencimiento a 10 a˜nos, pagos anuales, tasa cup´on 10.5 %, con

F =C = 100, precio emisi´onA1 = 96.86. Y otro bono con vencimiento a 8 a˜nos, pagos anuales, tasa cup´on 10.0 %, con F = C = 100 y precio de emisi´on A2 = 102.92. La estructura temporal vigente a la fecha de emisi´on est´a dada por las constantes betas

β = (0.11560390,−0.08942927,0.13453730) y λ= 0.17932.

a) Calcule los flujos de pagos de ambos bonos. Calcule las tasas efectivas para cada per´ıodo de pagos, seg´un la estructura temporal. Es decir, los valores de las tasas

i(0, tk) seg´un el modelo (1). Use la funci´on NSrates(betas,lambda,t) de la librer´ıa

YieldCurve, con t = (1,2,...,10).

b) Calcule los m´argenes a la emisi´onim. Use la funci´on im = margen(y,A,t,cf), donde

A es precio, y el vector de tasas seg´un la estructura temporal, t vector de tiempos y cf flujo de pagos. Note que para el primer bono y,t,cf son de dimension 10, y en el segundo de dimensi´on 8. En este caso use im = margen(y[1:8],A,t[1:8],cf).

c) Conforme un portafolio ´optimo con estos dos bonos, maximizando la convexidad y asumiendo una meta de duraci´on conforme con la proyecci´on de que las tasas van a mantenerse o decrecer en 2 a˜nos. El portafolio se denota por w= (w1, w2).

Asuma que el capital inicial que se invierte en el portafolio esCapital= 10000. El valor inicial del portafolio por tanto es 10000. Calcule N el n´umero de unidades adquiridas de cada bono, N = (N1, N2), con

capital = 10000

(N = floor(w*capital/A))

d) Se vende el portafolio a los 2 a˜nos. Calcule el precio de mercado asumiendo que a los 2 a˜nos todas las tasas en la estructura temporal decrecen -0.003. Para esto, calcule el flujo de pagos de este portafolio, cf.p, luego la tir que genera este flujo, tir.p, con base en el precio inicial del portafolio que es 100, luego se calcula el margen m.p del portafolio con respecto a la estructura temporal inicial, y.ns, y finalmente, con el flujo

cf.p = matrix(c(cf1,cf2,0,0),ncol=2,nrow=10)%*%N tir.p = tir(capital,t,cf.p)

m.p = margen(y.ns,capital,t,t(cf.p))

Precio = precio.bono.ns.margen(t(cf.p[3:10]),t[1:8],m.p,y.ns[1:8]-0.003)

e) Calcule aproximadamente el precio del bono a los 2 a˜nos mediante la aproximaci´on con la duraci´on y la convexidad en la f´ormula (3), asumiendo un delta de -0.003.

D.p = t(D)%*%w CX.p = t(CX)%*%w

Precio.a = aproximacion(capital,D.p,CX.p,tir.p,-0.003)

f) Repita los pasos desde la conformaci´on del portafolio, pero asumiendo que las tasas van a subir. Qu´e efecto tiene haberse equivocado en ese supuesto?. Concluya.

3. Se planea invertirA = $100 millones en dos CDT’s a 180 y 360 d´ıas. Las tasas efectivas anuales de los CDT son y.i = (4.93,5.45)0/100. Defina los tiempos de pagos como el vectort= (1/2,1). Por teor´ıa, las duraciones de los CDT sonD =t, y las convexidades son CX =t(t+ 1).

a) Encuentre el valor de los pagos en los tiempos tusando las tasas de los CDT.

b) Encuentre un portafolio ´optimo maximizando la convexidad y fijando un valor meta para la duraci´on, indicado por Dp. Note que 1/2< Dp <1. Asuma que las tasas van a aumentar y fije el valor de Dp de acuerdo a este supuesto.

c) Reporte cu´anto se invierte en cada CDT. Con estos totales y con las tasas de los CDT encuentre los pagos que se obtendr´an (en mill). Guarde estos valores en un vector con nombre cf. Calcule la tir de este portafolio. Use

capital = 100 A = capital*w cf = A*(1+y.i)^t y.tir = tir(100,t,cf)

d) Asuma que la estructura temporal de las tasas a corto plazo en la fecha de compra de los CDT estaba dada por un modelo Nelson-Siegel con par´ametros

betas = c(0.1156039, -0.08942927, 0.1345373) lambda = c(0.17932)

e) Calcule las tasas seg´un esta estructura para los plazos de los CDT. Indique el vector de las dos tasas por y.ns. Y luego calcule los m´argenes de ambos CDT. Reporte los valores.

f) El portafolio se vende transcurridos 4 meses. Asuma que las tasas bajan 0.003 puntos. Es decir, el vector de tasas y.ns se cambia por y.ns - 0.003. Con esta nueva estructura y con el margen calcule el valor presente de los pagos. Este es el precio de venta seg´un la metodolog´ıa de la CE 030/09 de la SF.

g) Qu´e rendimiento se obtuvo con esta venta?. Es mayor que la tasa tir, y.tir?. Qu´e hubiera sucedido si las tasas hubieran subido +0.03 y se hubiera tenido que vender el portafolio?.

4. Los bonos con tasa cup´on fija tienen una propiedad interesante, denominada inmu-nizaci´on. Cuando el bono se vende en la fecha que corresponde a la duraci´on, el rendimiento que se obtiene es siempre mayor ´o igual que la tir original, independi-entemente de las desviaciones en la estructura de las tasas a plazo. Este punto es un ejemplo de inmunizaci´on.

Considere un bono con las siguientes caracter´ısticas: tasa cup´on de 7 %, valor nominal

F = 100, valor redenci´on C = 100, precio de emisi´on A = 96, pagos anuales durante

n = 8 a˜nos. Asuma que la estructura de tasas a largo plazo en la emisi´on est´a dada por un modelo Nelson-Siegel con par´ametros

betas = c(0.1156039, -0.08942927, 0.1345373) lambda = c(0.17932)

a) Calcule los tiempos y el flujo de pagos de este bono. Calcule la tir. Reporte estos valores.

b) Calcule el vector de tasas correspondiente a los tiempos de pago seg´un la estruc-tura dada. Calcule el margen de este bono. Reporte estos valores.

c) Calcule la duraci´on del bono. La duraci´on de este bono est´a en a˜nos y fracci´on. La fracci´on se convierte a meses multiplic´andola por 12. Reporte el valor en a˜nos y fracci´on y en a˜nos y meses.

d) El bono se vende al final del per´ıodo de tiempo correspondiente a la duraci´on. Calcule los tiempos para los pagos restantes, contabilizados desde la duraci´on. Indique por t.v el vector con estos tiempos.

e) Calcule las tasas a plazo con la estructura temporal en los tiempos t.v, y a˜n´adales -0.003. De esta manera se est´a especificando una baja en las tasas de inter´es en la fecha de la venta. Reporte estas tasas.

f) Calcule el precio de venta descontando los pagos que faltan en los tiempos t.v, con las tasas formadas con el margen m´as las tasas a plazos calculadas en el punto anterior. Reporte el precio.

g) Calcule la tir de ese precio. Use la instrucci´on: y.v = tir(precio,t.v,cf.v), donde precio es el precio de venta, t.v es el vector con los tiempos de los pagos que faltan,

y cf.v es el vector con los valores de estos pagos. Reporte esta tasa. Con esta tasa

recalcule el precio de emisi´on, usando

A.v = precio.bono(F,C,r,y.v,n)

Reporte este valor. Entonces, la rentabilidad obtenida por la venta en el tiempo t = D, teniendo en cuenta la variaci´on en la estructura de las tasas, est´a dada por

y.ie = (1+y.v)*(A.v/A)^(1/D)-1

Seg´un la teor´ıa de la inmunizaci´on se debe cumplir que esta tasa y.ie debe ser siempre mayor o igual que la tir inicial del bono, independientemente de los cam-bios en la estructura de las tasas. Reporte la tir y la tasa y.ie y verifique si se cumple la propiedad de inmunizaci´on.

h) Repita desde el paso e) cambiando -0.003 por +0.003. Se cumple la propiedad?.

4.

Presentaci´

on y Valor del trabajo

Para la presentaci´on aplica lo mismo que se especific´o para los trabajos anteriores. El valor de este trabajo es 33 %.

Asignaci´on de Puntos

Grupo No Punto Grupo No Punto

1 1 11 3 2 2 12 4 3 3 13 1 4 4 14 2 5 1 15 3 6 2 16 4 7 3 17 1 8 4 18 2 9 1 19 3 10 2 20 4

Referencias