Probabilidad y Estad´ıstica

(1)

Dos desigualdades útiles Ley Débil de los Grandes Números Teorema Central del L´ımite

Probabilidad y Estad´ıstica

Agust´ın G. Bonifacio

UNSL

Teoremas L´ımites

(2)

Desigualdad de Markov Desigualdad de Chebyshev

Teorema (Desigualdad de Markov)

Sea X una v.a. que toma s´ olo valores mayores o iguales que cero.

Entonces, para cualquier a > 0,

P ([X ≥ a]) ≤ E(X)

a .

(3)

Teorema (Desigualdad de Chebyshev)

Sea X es una v.a. con E(X) = µ y V ar(X) = σ ² . Entonces, para cualquier k > 0,

P ([|X − µ| ≥ k]) ≤ σ ²

k ² .

(4)

Ejemplo

Supongamos que sabemos que el n´ umero de ´ıtems producidos en una f´ abrica en una semana es una v.a. con media igual a 50.

1

¿Qu´e puede decirse acerca de la probabilidad de que la producci´ on de esta semana sea de al menos 1.000 unidades?

2

Si la varianza de la producci´ on semanal es igual a 100, ¿qu´e

se puede decir sobre la probabilidad de que la producci´ on de

esta semana est´e entre 400 y 600?

(5)

Enunciado Aplicaci´on

La ley d´ebil de los grandes n´ umeros estudia la forma en que una sucesi´on de promedios de v.a. converge a un determinado valor.

Teorema (Ley D´ebil de los Grandes N´ umeros)

Sea X ¹ , . . . , X n , . . . una sucesi´on de v.a. independientes e id´enticamente distribuidas. Supongamos que E(X _i ) = µ, i = 1, . . . , n, . . . es finita. Entonces, para cualquier ε > 0,

P

X 1 + . . . + X _n

n − µ

> ε

−→ 0 cuando n → ∞.

(6)

La aplicaci´ on que daremos provee una justificaci´ on del uso de las frecuencias relativas como aproximaciones de la

probabilidad de un evento. Anteriormente, la justificaci´ on era

realizada a trav´es de la presencia del fen´ omeno de regularidad

estad´ıstica.

(7)

Sea (Ω, A, P ) un e.p. y A ∈ A un evento. Sea p = P (A).

Definamos la v.a. X _A : Ω −→ R de la siguiente manera:

X _A (ω) =

1 si ω ∈ A, 0 o.c.

Es f´ acil ver que X _A ∼ Bernoulli(p). Sea X ¹ , . . . , X _n , . . . una muestra aleatoria de tama˜ no infinito para X _A . Como E(X _i ) = p, tenemos

P

X ¹ + . . . + X _n

n − p

> ε

−→ 0 cuando n → ∞.

(8)

Pero tener una muestra aleatoria infinita X 1 , . . . , X _n , . . . es equivalente a tener una muestra infinita ω 1 , . . . , ω _n , . . . y hacer X i = X A (ω i ). Por lo tanto,

X ¹ + . . . + X _n

n = N _A

n de donde se deduce que

P

N _A n − p

> ε

−→ 0 cuando n → ∞.

(9)

Introducci´on Enunciado Aplicaciones

Dada una muestra aleatoria de n observaciones de una poblaci´on con media µ y desviaci´ on est´ andar σ, queremos estudiar el comportamiento de la media muestral X _n . Para la nueva variable aleatoria X _n , se puede mostrar que:

1

su media es igual a la media de la poblaci´ on muestreada, esto es, E(X n ) = µ,

2

su desv´ıo est´andar es igual a σ/ √ n,

3

si la poblaci´ on se distribuye de forma normal, entonces la media muestral tambi´en se distribuye de forma normal.

Si la poblaci´ on no se distribuye de forma normal, ¿podemos decir algo m´ as acerca de la distribuci´ on de X _n ? S´ı.

La media muestral tender´ a a distribuirse como una normal al

aumentar el tama˜ no de la muestra, independientemente de cu´ al

sea la distribuci´ on de la poblaci´ on de la que estamos muestreando.

(10)

Teorema Central de L´ımite (TCL)

Sea X 1 , . . . , X _n , . . . una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribu´ıdas. Supongamos que E(X i ) = µ y V ar(X i ) = σ ² para cada i = 1, . . . , n, . . . , y que tanto µ como σ ² son finitas. Sea X _n = _n ¹ P _n

i=1 X _i . Entonces, la distribuci´ on de

X n − µ σ/ √

n tiende a una normal estardarizada, esto es,

P

a < X _n − µ σ/ √

n < b

−→ Φ(b) − Φ(a) cuando n → ∞,

(11)

Para n grande,

X

n

−µ

σ/√n tiende a distribuirse como N (0, 1),

P

n

i=1

X

i

−nµ

σ√n tiende a distribuirse como N (0, 1).

(12)

n = 1 p(k) 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.05 0.04 0.02

0.001 2 3 4 5 6 k

1 / 6

n = 2 p(k) 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.05 0.04 0.02

0.00 2 7 12 k

1 / 6

n = 3 p(k) 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.05 0.04 0.02

1 / 8

n = 4 p(k)

0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.05 0.04 0.02

0.00 4 14 24 k

73 / 648

n = 5 p(k)

0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.05 0.04 0.02

0.00 5 17,18 30k

65 / 648

(13)

¿Qu´e tipo de preguntas nos permite responder (de manera aproximada) el TCL?

Problema: Supongamos que los sueldos en una gran empresa tienen media $62.000 y desv´ıo est´ andar de $32.000.

1

Si se elige un empleado al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que su salario exceda los $66.000?

2

Si se eligen 100 empleados al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que su salario medio exceda los $66.000?

La primera pregunta no se puede responder al menos que sepamos c´ omo se distribuyen los salarios.

La segunda pregunta puede aproximarse utilizando el TCL.

(14)

¿Por qu´e es importante el TCL?

El teorema fundamenta el uso extendido de la distribuci´ on

normal en procedimientos de inferencia estad´ıstica a´ un en

casos donde la poblaci´ on analizada podr´ıa tener una

distribuci´ on que no es normal.

(15)

Aproximaci´ on Normal de la Distribuci´ on Binomial

Distribuci´ on Binomial con par´ ametros (n, p):

P (X = x) = n x

p ^x (1 − p) ^n−x para x = 0, 1, . . . , n.

E(X) = np,

V ar(X) = np(1 − p).

Como toda X ∼ Bin(n, p) puede verse como una suma X = P _n

j=1 X _j con X _j ∼ Bern(p), el TCL nos asegura que para valores suficientemente grandes de n podemos aproximar la distribuci´ on binomial a trav´es de la distribuci´ on normal.

Importancia hist´ orica: primer TCL (DeMoivre-Laplace).

Importancia pr´ actica: C´ alculo de combinatorios dif´ıcil para n grande.

Aproximaci´ on buena para valores de p cercanos a ¹ (sesgo).

(16)

Probabilidad y Estad´ıstica