Factorización de polinomios
Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico
Definición
• Cuando multiplicamos expresiones
polinómicas, cada expresión se conoce como un factor.
• Ejemplo:
(x – 2)(x + 2) = 𝑥2 − 4, por lo que (x – 2) y (x + 2) son factores de 𝑥2 − 4.
• El proceso de expresar un polinomio como el producto de otros polinomios se conoce como factorización.
Cuando multiplicamos, obtenemos un único resultado.
Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar un número.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24
24 = (8)(3) 24 = (12)(2) 24 = (6)(4) 24 = (4)(2)(3) 24 = (6)(2)(2)
Esta última es la
factorización prima de 24, lo que significa que el número ya no se puede seguir factorizando.
24 = (2)(2)(2)(3)
Ejemplo numérico
Al igual que los números, los polinomios se pueden factorizar de varias formas.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 3𝑥2 + 12x 3𝑥2 + 12𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 4)
3𝑥2 + 12𝑥 = 3 (𝑥2 + 4𝑥) 3𝑥2 + 12𝑥 = x(3𝑥 + 12) 3𝑥2 + 12𝑥 = 12 𝑥(6𝑥 + 24)
La primera forma se conoce como factorización por factores irreducibles, por que los factores 3x y x+4 no se pueden factorizar más.
Polinomio irreducible
Decimos que un polinomio está completamente factorizado si
• se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros.
• todos los polinomios que forman la factorización son irreducibles
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝟑𝒙(𝒙 + 𝟒)
FACTORIZACION POR FACTOR COMUN
Factorización de polinomios
Factorización de factor común
La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva.
ab + ac = a(b + c)
Este tipo de factorización, remueve el
máximo común divisor de todos los
términos.
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más expresioness, se compone del
• máximo común divisor de los coeficientes
• multiplicado por la potencia mayor
de las variables que es común a todas
expresiones dadas.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor
mcd(24x
5, 40x
3, 56x
4) =
Solución: Expandir cada expresión
• 24x
5= 8∙ 3 x
3∙ x
2• 40x
3= 8∙ 5 ∙ x
3• 56x
4= 8∙ 7 ∙ x
3x
• El máximo común divisor es
• 8x
3Factorice completamente
12b
3−88ab
2+ 28ab
4– 36a
2b
2Factorice mediante factor común.
• 22pq – 33qr
• 7xy – 14xy
2+ 21x
2y
• 20w
3z
4– 25w
4z
7– 15 w
5z
3Factores binomiales
Hay casos en los cuales el factor común no es un monomio, sino que tiene más de un término.
• Ejemplo: 𝑥 𝑦 + 2 + 3(𝑦 + 2)
• En este caso los dos términos
comparten un binomio en común: (y+2)
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice el polinomio:
𝑥 𝑦 + 2 + 3(𝑦 + 2)
• Remover el binomio común y formar, en paréntesis, un segundo factor
binomial con los factores que quedan en cada término.
• Esto es,
• 𝑥 𝑦 + 2 + 3 𝑦 + 2 = (y + 2) ( ) 𝑥 + 3
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice el polinomio:
3𝑥(𝑎 − 𝑏) − 5(𝑎 − 𝑏)
En este caso los dos términos comparten un binomio en común: (a – b)
• Si removemos el factor común, entonces
por la propiedad distributiva tenemos que
3𝑥 𝒂 − 𝒃 − 5 𝒂 − 𝒃 = (𝑎 − 𝑏)( ) 3𝑥 − 5
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice completamente
12𝑥𝑦(𝑥 + 5) − 15𝑥2𝑦(𝑥 + 5) + 3𝑥𝑦2 (𝑥 + 5)
Factores binomiales – caso especial
Ejemplo: Factorice el polinomio:
2x(a−b) + 5(b−a)
FACTORIZACION POR AGRUPACION
Factorización de polinomios
Factorización por agrupación
Técnica que consiste en agrupar dos o más términos del polinomio usando algún
criterio; por ejemplo, un criterio puede ser:
agrupar dos o más términos que tengan algún factor común.
Ejemplo:
bc ac
b
a 6 3
2
Note que entre los
primeros dos términos hay un factor de 2 en común, mientras que en los
últimos dos hay un factor de c en común.
