Universidad De Santiago De Chile C´ alculo B-10
Prof: Eugenio Rivera M.
Ayud: Perla Trejos M.
Control N o 5 A˜ no 2009
1. La transformaci´on de una curva en coordenadas cartesianas a coordenadas polares es mediante las expresiones
½ x(θ) = r(θ) cos(θ) y(θ) = r(θ) sin(θ) .
a) Transforme la curva de ecuaci´on (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 a coordenadas polares.
b) Escriba en coordenadas cartesianas la curva de ecuaci´on r(θ) = cos(2θ).
c) Si r(θ) = cos(2θ) analice simetr´ıas y ubique en el plano XY los puntos (θ, r(θ)) para los valores θ = 0, π
4 , π 2 .
d) Si r(θ) = cos(2θ), determine θ para los cuales la tangente a la curva es paralela al eje X.
2. Demuestre que la funci´on f (x) = a · sin(wx) + b · cos(wx) alcanza un valor m´aximo igual a √ a 2 + b 2 .
3. Se suelta un globo en un punto P a 1500 mt con respecto a un observador que esta a nivel del
suelo. Si el globo se eleva verticalmente a raz´on de 18 mt/min ¿Con que rapidez aumenta la
distancia del observador al globo cuando ´este se encuentra a 80 mt de altura?
Soluci´ on Control N o 5.
1. a) Transforme la curva de ecuaci´on (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 a coordenadas polares.
De las expresiones
½ x(θ) = r(θ) cos(θ)
y(θ) = r(θ) sin(θ) . Es f´acil observar que r 2 (θ) = x 2 + y 2 , reem- plazando en la ecuaci´on de la curva
(x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 ⇒ ¡
r 2 (θ) ¢ 2
= r 2 (θ) cos 2 (θ) − r 2 (θ) sin 2 (θ) Entonces
r 4 (θ) = r 2 (θ)[cos 2 (θ) − sin 2 (θ)] ⇒ r 2 (θ) = cos 2 (θ) − sin 2 (θ) Finalmente
r 2 (θ) = cos(2θ) ⇒ r(θ) = p
cos(2θ)
b) Escriba en coordenadas cartesianas la curva de ecuaci´on r(θ) = cos(2θ).
r(θ) = cos 2 (θ) − sin 2 (θ) ⇒ r = ³x r
´ 2
− ³y r
´ 2
= x 2 − y 2
r 2 ⇒ r 3 = x 2 − y 2 De la expresi´on x 2 + y 2 = r 2 ⇒ r = p
x 2 + y 2 , reemplazando tenemos:
¡p x 2 + y 2 ¢ 3
= x 2 − y 2 por lo tanto la ecuaci´on cartesiana corresponde a:
(x 2 + y 2 )
32= x 2 − y 2
c) Si r(θ) = cos(2θ) analice simetr´ıas y ubique en el plano XY los puntos (θ, r(θ)) para los valores θ = 0, π
4 , π 2 .
r(−θ) = cos(−2θ) = cos(2θ) = r(θ), por lo tanto es sim´etrica con respecto al eje X.
r(π − θ) = cos(−2θ) = cos(2π − 2θ) = r(θ) = cos(2θ) = r(θ), por lo tanto es sim´etrica con respecto al eje Y .
Los puntos (θ, r(θ)) se obtienen de la siguiente forma:
r(0) = cos(0) = 1 ⇒ (0, 1)
r ³π 4
´
= cos ³π 2
´
= 0 ⇒ ³π 4 , 0
´
r ³π 2
´
= cos (π) = −1 ⇒ ³π
2 , −1 ´
.
d) Si r(θ) = cos(2θ), determine θ para los cuales la tangente a la curva es paralela al eje X.
Analizando la primera derivada:
dy dx =
dy dx dθ dθ
= y 0 (θ)
x 0 (θ) = r(θ) cos(θ) + r 0 (θ) sin(θ)
r 0 (θ) cos(θ) − r(θ) sin(θ) . Donde dr
dθ = −2 sin(2θ) Reemplazando tenemos:
dy
dx = cos(2θ) cos(θ) + (−2 sin(2θ)) sin(θ)
(−2 sin(2θ)) cos(θ) − cos(2θ) sin(θ) = cos(2θ) cos(θ) − 2 sin(2θ) sin(θ)
−2 sin(2θ) cos(θ) − cos(2θ) sin(θ) Entonces dy
dx = 0 ⇔ cos(2θ) cos(θ) − 2 sin(2θ) sin(θ) = 0, trabajando esta ecuaci´on y reduciendo t´erminos se obtiene:
cos(θ)[1 − 6 sin 2 (θ)] = 0, luego se tiene:
cos(θ) = 0 ⇒ θ = π 2 , 3π
2 .
1 − 6 sin 2 (θ) = 0 ⇒ sin(θ) = ± 1
√ 6 ⇒
θ = arcsin µ 1
√ 6
¶
θ = π ± arcsin µ 1
√ 6
¶
θ = 2π − arcsin µ 1
√ 6
¶
El gr´afico de r(θ) es:
1 1
0,5
0,5 0
-0,5 0
-1 -0,5 -1
