CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

1. Introducción

2. Conceptos preliminares

2.1. Posición, movimiento, ley vectorial horaria, trayectoria y ley horaria 2.2. Velocidad y aceleración instantánea, hodógrafa

3. Expresiones de los vectores velocidad y aceleración en distintos sistemas de coordenadas

3.1. Coordenadas cartesianas 3.2. Coordenadas intrínsecas

3.3. Coordenadas cilíndricas y polares 3.4. Coordenadas esféricas

4. Derivadas de vectores respecto de distintos sistemas de referencia 5. Bibliografía

________________________________________________________

1. Introducción

La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen. Estudia de la posición en el espacio en función del tiempo, y suele dársele el nombre de “Geometría del movimiento”. El cálculo de trayectorias de vuelo de los aviones, cohetes y naves espaciales y el diseño de engranajes, levas y articulaciones para producir ciertos movimientos son ejemplos de problemas cinemáticos (Meriam, 1993).

En este tema se van a introducir los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una partícula en el espacio. El término partícula corresponde a la idealización de cualquier objeto cuyas dimensiones características sean mucho menores que las distancias que recorre en su trayectoria, y se representa por un punto.

2. Conceptos preliminares

2.1. Posición, movimiento, ley vectorial horaria, trayectoria y ley horaria La posición de una partícula P en el espacio queda determinada por las coordenadas (x, y, z) del punto geométrico coincidente con la partícula respecto de un sistema de ejes de referencia. Estas coordenadas son las componentes del vector OP, que es el vector de posición del vector rG

de dicho punto respecto al sistema de referencia (Figura 1).

El movimiento es el cambio de posición de la partícula respecto al sistema de referencia.

Representa la variación de las coordenadas de la partícula respecto del sistema de

referencia. Por tanto, el movimiento es un concepto relativo que depende del sistema de referencia elegido.

rG

Figura 1: Vector de posición en coordenadas cartesianas

Si se considera un observador situado en el sistema de referencia OXYZ y dicho observador ve variar el vector de posición rG

al transcurrir el tiempo, se dice que dicha partícula está en movimiento respecto al mencionado sistema de referencia. Si por el contrario dicha posición no varía con el tiempo se dice que dicha partícula está en reposo respecto del sistema de referencia elegido. Como la idea de reposo y movimiento están íntimamente ligadas al sistema de referencia elegido, una partícula puede estar a la vez en movimiento respecto a un sistema y en reposo respecto de otro.

Para definir el movimiento es necesario conocer no solamente las posiciones que ha ocupado el móvil sino cómo las ha ido ocupando con el tiempo, es decir, la posición del móvil en cada instante. Esta información se obtiene de dos formas equivalentes:

ƒ Mediante la ley vectorial horaria, es decir, mediante el valor de las componentes del vector de posición en función del tiempo:

k t z j t y i t x t

rG G G G

) ( ) ( ) ( )

( = + +

ƒ Mediante la trayectoria y la ley horaria. La trayectoria rG =rG(λ) es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que ha ido ocupando la partícula y la ley horaria s=s(t) determina la posición del móvil sobre la trayectoria (Figura 2).

(t) Gr

) (λ rG

) (

dt r t G +

) (t r dG

) (t s

Figura 2: Trayectoria ,rG =rG(λ), y ley horaria ,s=s(t). Velocidad instantánea

La geometría analítica permite relacionar el parámetro λcon el arco de curva s, y determinar por tanto la ley vectorial horaria conocidas la trayectoria y la ley horaria, y a la inversa.

2.2. Velocidad y aceleración instantánea, hodógrafa

Se considera la diferencia entre los vectores de posición para dos instantes separados un tiempo infinitesimal (Figura 2). Este vector es en primera aproximación, tangente a la trayectoria y su módulo corresponde a la distancia (infinitesimal) recorrida por la partícula en el tiempo . El cociente entre estos valores ( ), que corresponde a la derivada del vector de posición respecto del tiempo, representa la velocidad instantánea de la partícula:

r dG

dt

dt drG/dt

dt t r t d

v ( )

) ( G G

=

Si el vector de posición se escribe de la forma rG =ruG_r^{1, donde} uG_r

representa el versor en la dirección de rG

en cada instante, se tiene que la velocidad es:

dt u rd dtu dr dt

t r t d

v _r ^r

G G G = G( ) = +

) (

Expresión que pone de manifiesto que el vector velocidad proviene de la variación con el tiempo del módulo y de la dirección del vector de posición.

1Aunque no se indique de modo explícito, es función del tiempo, rG(t)=r(t)uG_r(t). Para simplificar la notación, este criterio se va a utiliar de modo general.

La aceleración instantánea² de una partícula se define como:

2 2 ( ) )

) (

( dt

t r d dt

t v t d a

G G G

=

=

La hodógrafa del movimiento de una partícula P respecto de un sistema de referencia se define como el lugar geométrico de los extremos de los vectores equipolentes a los vectores velocidad trazados desde un origen común. De esta definición se deduce que el vector de posición de la hodógrafa en cada instante es el vector velocidad del movimiento considerado, y la velocidad de un móvil que recorra la hodógrafa es la aceleración del movimiento primitivo.

3. Expresiones de los vectores velocidad y aceleración en distintos sistemas de coordenadas

Al ser la velocidad y la aceleración vectores, éstos tendrán distintas expresiones según el sistema de referencia que se elija para expresarlos. Este sistema no debe confundirse con el de referencia del movimiento, aunque en ocasiones se adopte el mismo³.

Además, según las características geométricas de cada movimiento, será conveniente utilizar uno u otro sistema de coordenadas. A continuación se van a desarrollar las expresiones de los vectores velocidad y aceleración en los sistemas de coordenadas más usuales.

3.1. Coordenadas cartesianas

El triedro OXYZ está asociado a los versores (iG Gj kG ,

, ) según cada dirección coordenada (Figura 3). Puesto que los versores del triedro son constantes, para obtener la velocidad y la aceleración basta derivar directamente las coordenadas del vector de posición.

k t z j t y i t x t

rG G G G

) ( ) ( ) ( )

( = + +

k t z j t y i t x t

v G

G  G 

G 

) ( ) ( ) ( )

( = + +

k t z j t y i t x t

a G

 G 

 G 

 G 

) ( ) ( ) ( )

( = + +

En las expresiones anteriores se ha utilizado la siguiente notación para las derivadas temporales:

dt f ≡df _,

2 2

dt f f≡d



2 La rapidez de funcionamiento de muchas máquinas y mecanismos actuales ha hecho que adquiera importancia en ingeniería la seguna aceleración (

adt dG

) o salto, ya que representa los cambios en los valores de las fuerzas de inercia que deben mantenerse dentro de unos límites para evitar cargas bruscas en las máquinas o mecanismos.

3Para fijar ideas realizar los ejercicios nº 2 y 3 del Cuadernillo I_ Cinemática de la partícula

rG

iG Gj kH

Figura 3: Coordenadas cartesianas

3.2. Coordenadas intrínsecas

Este sistema de coordenadas es especialmente útil cuando se conoce la trayectoria (rG(λ)

) y la ley horaria (s=s(t)), ya que se describe el movimiento de la partícula a partir únicamente de la coordenada s medida sobre la trayectoria.

Se desea obtener las expresiones de los vectores velocidad y aceleración de la partícula en el triedro intrínseco⁴ de la trayectoria definido por los versores τ^G, nG y bG

, correspondientes a la tangente, normal principal y binormal de la posición de la partícula en cada instante. Para ello se van a utilizar las fórmulas de Frenet:

ƒ 1ª fórmula de Frenet: n ds

dG G

ρ τ = 1

ƒ 2ª fórmula de Frenet: n ds

b d

t

G G ρ

− 1

=

ƒ 3ª fórmula de Frenet: n b ds

n d

t

G G G

ρ ρ

1

1 +

−

=

Siendo ρ el radio de curvatura de flexión⁵ y ρ_t el radio de curvatura de torsión.

4Para ampliar información consultar el libro Goicolea Ruigómez, J.M. (2001), Curso de Mecánica, Volumen I y II. UPM . Disponible en la dirección: http://ocw.upm.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras/mecanica

5Si la trayectoria es plana (y=f(x)), el plano osculador en cada posición (definido por los versores τ^Gy ) coincide con el plano de la trayectoria, y el radio de curvatura viene dado por la expresión

nG

( )

[ ]

2 2

2

dx y

dx dy 1

d

= +

ρ . Si la trayectoria es

Empleando estas fórmulas es inmediato deducir las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración:

τ^G G

G G

dt ds dt ds ds

r d dt

r t d

v( )= = =

Por tanto, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria. Derivando de nuevo se obtiene la aceleración:

v n dt

s d dt ds ds d dt ds dt

s d dt

v t d

a G G G

G G G

τ ρ

τ τ ²₂ ²

2 2

)

( ⎟= +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

=

En esta expresión se identifican claramente dos términos de la aceleración:

ƒ Aceleración tangencial (^{G 2}₂ τ^G dt

s

a_t = d ). Corresponde al cambio en el módulo de la

velocidad, sin variación en la dirección.

ƒ Aceleración normal ( v n aG_n G

ρ

2

= ). Corresponde al cambio en la dirección del vector

velocidad, sin variación del módulo del mismo.

3.3. Coordenadas cilíndricas y polares

Se define la posición de un punto P respecto del sistema de referencia OXYZ mediante las coordenadas cilíndricas (Figura 4):

ƒ ρ (radio o coordenada radial): es la distancia entre el punto P y el eje Z.

(0≤ρ <∞)

ƒ θ (azimut o longitud): es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección ortogonal del punto P en el plano XY. (0≤θ <2π)

ƒ z (altura): es la distancia del punto P al plano XY. (−∞< z<∞) El triedro de vectores unitarios asociado es el siguiente:

ƒ u_ρ: Contenido en el plano XY, tiene la dirección radial y sentido hacia fuera

ƒ u_θ: Es perpendicular al plano definido por el eje OZ y OP y sentido de θ creciente.

)

(

alabeada ,rG λ

, la orientación del plano osculador viene definida por el versor bG

, bG=τG ∧nG. El radio de curvatura

ρse pueden obtenera partir de τ^Gy de su derivada respecto del arco s: ( ) ( ) ( )

λ τ

λ λ

ρ λ

d d

d dz d

dy d

dx G

2 2

2+ +

=

ƒ u_z: Es paralelo al eje Z y sentido de z creciente. Es un versor constante.

rG

ρ ) , ,

( z

P ρ θ

uρ

uGθ

uGΖ

Figura 4: Coordenadas cilíndricas y versores

Las expresiones del vector de posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas son las siguientes:

ƒ Vector de posición: rG=ρuG_ρ +zuG_z

ƒ Velocidad: u u zu_z

dt r

v d  G G

G = G =ρ _ρ + ρθ _θ +

ƒ Aceleración: a u u z uG_z

G 



 

 G G 

) ( ) 2

( )

( − ² + + +

= ρ ρθ _ρ ρθ ρθ _θ

A continuación se desarrolla el procedimiento utilizado para obtener dichas expresiones:

• Velocidad

Se sabe que:

dt u zd u dt z

u u d

dt d dt

r

v d _z ^z

G G

 +

+ +

=

= ρ _ρ ρ ^ρ

Para que la velocidad esté expresada en coordenadas cilíndricas es necesario determinar únicamente

dt u d _ρ

, ya que =0 dt

u dG_z

porque u_z es un versor constante. Sus derivadas temporales se obtienen a partir de sus derivadas parciales respecto de sus coordenadas.

Aplicando la regla de la cadena resulta:

dt dz z u dt u d dt u d dt

u d

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ ^{ρ υ ρ}

ρ θ

θ ρ ρ

Como el módulo de uG_ρ

es constante, la variación de u_ρ se debe únicamente al cambio en dirección y ésta se produce únicamente cuando varía el ángulo θ . Así se tiene que

θ θ θ θ

ρ ρ

ρ Gρ G G 

G

d u d dt u d dt

u

u d =

∂

= ∂

=

En la Figura 5 aparecen representadas las posiciones del punto P para las coordenadas )

, ,

(ρ θ z y (ρ,θ +Δθ,z) respectivamente, y los versores u_ρ(θ) y u_ρ(θ+Δθ) correspondientes a dichas posiciones. Se observa que los cambios de dirección de uG_ρ

se dan sólo cuando varía el ángulo θ.

θ Δ

Δθ

ρ

(θ)

uρ ) (θ θ ρ +Δ

u

) (θ θ ρ +Δ

u

) (θ

uρ

) ( θ

ΔuGρ Δ

Figura 5: Variación de uG_ρ

debida al incremento de θ

Para calcular

θ

ρ

∂

∂uG

, se representan los vectores equipolentes a u_ρ(θ) y u_ρ(θ+Δθ) con un origen común. También el vector ΔuG_{ρ Δ( θ)}

, que representa la variación de uG_ρ

debido únicamente a la variación del ángulo θ (Figura 5), y se aplica la definición de derivada:

[ ] [ ]

θ θ θ ρ

ρ θ

ρ ρ

θ ρ

θ θ θ

θ θ θ

θ

θ ^{u u}

u u u

u u

Δ =

≈ Δ Δ

= Δ Δ

− Δ

= +

∂

∂ Δ

→ Δ

→

Δ (1)

) ( 0

0 lim

) ( ) (

lim

(1) A partir de este triángulo de vectores, se deduce que:

|ΔuG_ρ(Δθ) |≈|uG_ρ(Δθ) |Δθ =Δθ

Es decir, la cuerda es igual al arco, que es igual al ángulo por el radio. Por otro lado si

→0

Δθ la dirección de ΔuG_ρ se aproxima a la de uG_θ

, por tanto se puede aproximarΔuG_ρ como:

ΔuG_ρ(Δθ) ≈|ΔuG_ρ |uG_θ =Δθ uG_θ

En el límite, cuando Δθ→0 , todas las aproximaciones se convierten en exactas.

Resulta, por tanto: ^ρ θ u_θ dt

u d = 

Y la velocidad u u zu_z

dt r

v d G

G 

  G G

+ +

=

= ρ _ρ ρθ _θ

• Aceleración

Para obtener la aceleración bastará con derivar respecto al tiempo el vector anterior:

u u u u u zu^z zu^z dt

v

a d G G

G 

G  G 

 

 G

G G G

+ + +

+ +

+

=

= ρ _ρ ρ _ρ ρθ _θ ρθ _θ ρθ _θ

Se evalúa ahora uG_θ

. Al tratarse de un vector de módulo constante su variación se debe al cambio en dirección y ésta se produce únicamente cuando varía el ángulo θ_{. Así,}

aplicando la regla de la cadena:

θ θ θ

θ^{θ θ}

θ Gθ G G 

G

d u d dt u d dt

u

u d =

∂

= ∂

=

Y procediendo de forma análoga al caso anterior, para calcular

θ^θ

∂

∂uG

, se representan los vectores equipolentes a u_θ(θ) y u_θ(θ+Δθ) con un origen común. También el vector

, que representa la variación de

) ( θ

ΔuGθ Δ

uGθ

debido únicamente a la variación del ángulo

θ (Figura 6), y se aplica la definición de derivada:

[ ]

[ ]

ρ θ ρ

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ

θ ^{u u}

u u u

u u

−

= Δ −

= Δ Δ

= Δ Δ

− Δ

= +

∂

∂ ^Δ

→ Δ

→

Δ ( ) ( ) lim ( )

lim ^{( )}

0 0

Resulta, por tanto: ^θ θ u_ρ dt

u

d =− 

Así, sustituyendo y agrupando términos en la ecuación de la aceleración obtenida previamente, se obtiene:

uz

z u u

a G

 G 





 

 G

 G 

+ +

+

−

=( ρ ρθ² ) _ρ (2ρθ ρθ) _θ

θ Δ

Δθ

ρ

) (θ

uθ

) (θ

uθ ) (θ θ θ +Δ

u

) (θ θ θ +Δ

u

) ( θ θ Δ

ΔuG

Figura 6: Variación de uG_θ

debida al incremento de θ

Si Δθ→0 la dirección de uG_θ

Δ ^se

convierte en la de (

), y por el triángulo de vectores obtenemos que:

uGρ

− θ

θ θ

θ

θ = Δ =Δ

ΔuG_(Δ) |uG |

• Coordenadas polares

Corresponden a las coordenadas cilíndricas en el plano, es decir, cuando la coordenada z es nula. Las expresiones del vector de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares son las siguientes:

ƒ Vector de posición: rG =ρuG_ρ

ƒ Velocidad: ρ u_ρ ρθu_θ dt

r

v d  G

G = G = +

ƒ Aceleración: aG ρ ρθ uG_ρ ρθ ρθ uG_θ ) 2

( )

( − ² + +

=

3.4. Coordenadas esféricas

Se define la posición de un punto P respecto del sistema de referencia OXYZ mediante las coordenadas esféricas (Figura 7):

ƒ r (radio): es la distancia entre el punto P y el origen. (0≤ r <∞)

ƒ θ (azimut o longitud): es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección ortogonal del punto P en el plano XY. (0≤θ <2π)

ƒ φ (latitud): es el ángulo entre la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY y la línea que une el origen con el punto P. (

2 2

ϕ π π _{≤ <}

− )

El triedro de vectores unitarios asociado es el siguiente:

ƒ u_r: Tiene la dirección radial y sentido hacia fuera.

ƒ u_θ: Perpendicular al plano definido por el eje OZ y OP y sentido de θ creciente.

ƒ u_ϕ: Contenido en el plano definido por el eje OZ y OP, perpendicular a OP y sentido de φ creciente.

Las expresiones del vector de posición, velocidad y aceleración en coordenadas esféricas son las siguientes:

ƒ Vector de posición: r =ru_r

ϕ

θ ϕ

ϕ

θ u rd u

d r u dr r

d = _r + cos G + G

ƒ Velocidad: v = r u_r +rθcosϕ u_θ +rϕu_ϕ

ƒ Aceleración:

ϕ

θ

ϕ ϕ ϕ θ

ϕ

ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ

ϕ θ

u r sen r

r

u sen r

r r

u r r

r

a _r

) cos

2 (

) 2

cos cos

2 ( ) cos

(

2

2 2

2

 





 



 

 



+ +

+

+

− +

+

−

−

=

Figura 7: Coordenadas esféricas y versores unitarios

A continuación se desarrolla el procedimiento utilizado para obtener dichas expresiones:

• Velocidad

Por definición se sabe que:

dt u rd dtu

dr dt

r

v = d = _r + ^r

Para determinarla es necesario calcular dt

u d _r

. Su derivada temporal se obtiene a partir de sus derivadas parciales respecto de sus coordenadas. Aplicando la regla de la cadena resulta:

dt d u dt d u dt dr r u dt

u

d _{r r r r} ϕ

ϕ θ

θ ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

Como u_r =1 , constante, la variación de u_rse debe únicamente al cambio en dirección y éste se produce cuando varían θ y φ, (o ambos a la vez). Se tiene que:

o =0

∂

∂ r u_r

, ya que el vector u_r no cambia con la variación de r.

o ϕ _θ

θ ^u

u_r

=cos

∂

∂ .

Para comprobarlo, en la Figura 8 aparecen representadas las posiciones del punto P para las coordenadas (θ,ϕ,r) y (θ +Δθ,ϕ,r) respectivamente, y los versores

(θ)

ur y u_{r(θ Δ+ θ)} correspondientes a dichas posiciones.

) (θ

ur

θ Δ θ

Δ

) (θ+Δθ

ur

Figura 8: Variación de la coordenada θ

Para calcular

θ

∂

∂u_r

, se representan los vectores equipolentes a u_r(θ) y

) (θ Δ+ θ

ur con un origen común. También el vector Δu_r(Δθ), que representa la variación de u_r debido únicamente a la variación de θ (manteniendo r y φ constantes), (Figura 9).

ϕ cos ur

) (θ

ur

θ

Δ

) (θ+Δθ

ur

) (Δθ

Δu_r

Figura 9: Variación de u_r debida al incremento de θ

Y aplicando la definición de derivada:

[ ]

[ ]

θ θ

θ θ

θ ϕ

θ θ ϕ θ

θ θ θ

θ

θ ^{u u}

u u u

ur ur r r r

) cos cos lim (

) ( ) (

lim (1)

) ( 0

0 =

Δ

≈ Δ Δ

= Δ Δ

− Δ

= +

∂

∂ ^Δ

→ Δ

→ Δ

(1) En el límite, la cuerda es igual al arco, que es igual al ángulo por el radio.

ϕ cos ur ^Δθ

) (

Δθ

Δu ^r

Figura 10: Aproximación de la cuerda al arco

o _ϕ

ϕ ^u

u_r

∂ =

∂

De modo análogo al caso anterior, en la Figura 11 aparecen representadas las posiciones del punto P para las coordenadas (θ,ϕ,r) y (θ ,ϕ +Δϕ,r) respectivamente, y los versores u_r(ϕ) y u_{r(ϕ Δ+ ϕ)} correspondientes a dichas posiciones.

ϕ Δ

) (ϕ+Δϕ

ur

) (ϕ

ur

Figura 11: Variación de la coordenada ϕ

Para calcular ϕ

∂

∂u_r

, se representan los vectores equipolentes a u_r(ϕ) y u_r(ϕ+Δϕ) con un origen común. También el vector Δu_r(Δϕ), que representa la variación de

ur debido únicamente a la variación de φ (manteniendo r y θ constantes).

(Figura 12).

) (ϕ

ur )

( ϕ ϕ

+Δ

ur

ϕ Δ

) (^Δϕ

Δ ur

Figura 12: Variación de u_r debida al incremento de ϕ

Y aplicando la definición de derivada, se obtiene:

[ ]

[ ]

Resulta, por tanto: θ ϕ u_θ ϕ u_ϕ dt

u

d _r = cos + 

Y la velocidad: v = r u_r +rθcosϕ u_θ +rϕu_ϕ

• Aceleración

La aceleración se obtiene derivando el vector velocidad

dt u r d u r

u dt r

u r d

u r

u sen r

u dt r

u rd u dt r

v

a d _r ^r

ϕ ϕ

θ ϕ θ

θ θ

ϕ ϕ

ϕ θ

ϕ θ

ϕ ϕ

ϕ θ ϕ

θ











 



 



 





 + +

+ +

+ +

− +

+

=

= cos cos cos

Como ya se conoce dt

u d _r

, sólo es necesario calcular dt

u d _θ

y dt

u d _ϕ

. Según se obtuvo en

coordenadas esféricas: ^θ θu_ρ dt

u

d =−  ,

ρ

uϕ ur

uρ

Figura 13: Componentes de u en coordenadas esféricas _ρ que proyectado en según u_r y u_ϕ, resulta: ^θ θ(cosϕ u senϕ u_ϕ)

dt u d

r −

−

=  .

Aunque el cálculo de dt

u d _ϕ

se puede realizar del mismo modo, también se puede aplicar que u_ϕ = u_r ∧ u_θ . Derivando respecto al tiempo y sustituyendo los resultados

anteriores se obtiene: ^ϕ ϕ u θsenϕ u_θ dt

u d

r 

 −

−

=

ϕ ϕ

ϕ u =u

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

u u u

ur ur r r r

Δ

≈ Δ Δ

= Δ Δ

− Δ

= +

∂

∂ ^Δ

→ Δ

→

Δ (1)

) ( 0

0 ( ) ( ) lim

lim

Así, sustituyendo y agrupando términos en la ecuación de la aceleración obtenida previamente, resulta:

ϕ

θ

ϕ ϕ ϕ θ

ϕ

ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ

ϕ θ

u r sen r

r

u sen r

r r

u r r

r

a _r

) cos

2 (

) 2

cos cos

2 ( ) cos

(

2

2 2

2

 





 



 

 



+ +

+

+

− +

+

−

−

=

4. Derivadas de vectores respecto de distintos sistemas de referencia

Como ya se ha indicado anteriormente, no se puede hablar de movimiento sin especificar el sistema de referencia o sólido desde el que se realiza la observación. Como en muchas ocasiones prácticas es necesario realizar dicha observación desde múltiples sistemas, y el concepto de movimiento implica variación con respecto al tiempo, es importante poder relacionar la derivación de vectores desde distintos sistemas de referencia.

Se consideran dos distemas de referencia (Figura 14):

o Sistema de referencia fijo o absoluto: S₁ (O₁X₁Y₁Z₁)

o Sistema de referencia móvil: S2 (O2X2Y2Z2). Este sistema tiene respecto del fijo un movimiento general definido por la traslación del origen de coordenadas O₂ y por la rotación o cambio de orientación de los ejes móviles respecto de los fijos.

( ) b tG

O2

rG

i1

G kG1

j1

G

i2

G j2

G kG2

Figura 14: Sistemas de referencia fijo^{S1 =}

{

}

{

}

Sea una función vectorial de la que se desea calcular su derivada con respecto del tiempo para un observador situado en S1 y para otro observador situado en S2. Sus expresiones cartesianas en ambos sistemas son

( ) b tG