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EL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Onda: (movimiento ondulatorio) es el fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte neto de materia entre ambos, pero sí se transporta energía.
Tipos de ondas:
Ondas materiales Según el medio en el que se propaguen:
Ondas electromagnéticas (vacío) m/s
10
· 1 3
c 8
0 0
Ondas transversales Según la dirección en la que se propague
la perturbación. Ondas longitudinales
DESCRIPCIÓN DE UNA ONDA
- Periodo (T): tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos.
- Longitud de onda ( ): distancia entre dos puntos sucesivos en igualdad de fase.
- Velocidad de propagación (Vp): (m/s)
Vp T velocidad a la que se propagan los pulsos.
- Frecuencia (f = ): (Hz s ) T
f 1 1 número de pulsos producidos por unidad de tiempo.
- Amplitud (A): distancia máxima que separa un punto de la perturbación de la posición de equilibrio.
DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA
Kx) t ( sen A ) x , t (
y o bien x
T sen2 t A ) x , t ( y (rad/s)
T
2 pulsación angular
) 2 (m
K 1 número de ondas
A X
Y
www.benitopb.wordpress.com Página 2 - Velocidad transversal de un punto de la onda:
Kx) t ( cos A ) x , t ( ' y ) x , t (
v vmax = A
- Aceleración transversal de un punto de la onda:
Kx) t ( sen A
- ) x , t ( ' v ) x , t (
a 2 amax = A 2
- Diferencia de fase entre dos puntos de la onda en un mismo instante de tiempo:
1 = t – kx1 , 2 = t – kx2 = k(x2 – x1)
- Diferencia de fase entre de un mismo punto en dos instantes diferentes:
1 = t1 – kx , 2 = t2 – kx = (t2 – t1) ENERGÍA DE UNA ONDA
2 2
2 m y
2 mV 1 2 E 1
Para la máxima elongación V = 0 , y = A: m 2A2 2m 2f2A2 2
E 1
Intensidad de onda: energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie colocada en el punto donde se mide, perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
2 2
m w A I
Si no hay pérdidas: 2 2 m w r 4
I P (P potencia del foco emisor)
Si hay pérdidas: 0 x 2
m w e I
I ( coeficiente de absorción del medio)
SONIDO
2 2 2 1 2 1
A A I I
2 1
2 2 2 1
r r I I
t
· S
E r
4 P S
I P
2Intensidad sonora: 0 10 2
m w 10 I
I
0 12 2m 10 w I
Nivel de intensidad sonora:
dB
I log I 10
0
(decibelios)
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www.benitopb.wordpress.com Página 4 SUPERPOSICIÓN DE ONDAS
I) SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS COHERENTES (IGUAL , IGUAL E IGUAL A).
) kx t ( Asen
y1 1
) kx t ( Asen
y2 2
) kx t ( sen ) kx t ( sen A ) kx t ( Asen )
kx t ( Asen y
y
y 1 2 1 2 1 2
De trigonometría sabemos que
sen 2 cos 2
2 sen sen
2
) kx t ( ) kx t sen ( 2
) kx t ( ) kx t cos ( 2
A 1 2 1 2
2 ) x x k( t sen 2 A
) x x k( t 2 sen
) x x k( cos A
2 2 1 1 2 r 1 2
Amplitud resultante: 2Acos (x x )
2 ) x x k( cos A 2
Ar 2 1 2 1
Amplitud nula:
)2 1 n 2 ( ,..., 2 ,3 2 ) x x ( 2 1
interferencia destructiva.
Posición de los mínimos de interferencia:
)2 1 n 2 ) ( x x ( 2 1
x2 x1 (2n 1)2
Amplitud máxima: (x2 x1) 0, ,2 ,...,n
interferencia constructiva.
Posición de los máximos de interferencia: (x2 x1) n
x2 x1 n P
F2
F1
x2
x1
www.benitopb.wordpress.com Página 5 )
kx t cos(
A
y1 1
) kx t cos(
A
y2 2
) kx t cos(
) kx t cos(
A ) kx t cos(
A ) kx t cos(
A y y
y 1 2 1 2 1 2
De trigonometría sabemos que
cos 2 cos 2
2 cos cos
2
) kx t ( ) kx t cos ( 2
) kx t ( ) kx t cos ( 2
A 1 2 1 2
2 ) x x k( t cos 2 A
) x x k( t 2 cos
) x x k( cos A
2 2 1 1 2 r 1 2
Amplitud resultante: 2Acos (x x )
2 ) x x k( cos A 2
Ar 2 1 2 1
Amplitud nula:
)2 1 n 2 ( ,..., 2 ,3 2 ) x x ( 2 1
interferencia destructiva.
Posición de los mínimos de interferencia:
)2 1 n 2 ) ( x x ( 2 1
x2 x1 (2n 1)2
Amplitud máxima: (x2 x1) 0, ,2 ,...,n
interferencia constructiva.
Posición de los máximos de interferencia: (x2 x1) n
x2 x1 n P
F2
F1
x2 x1
www.benitopb.wordpress.com Página 6 II) SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS DE DISTINTA AMPLITUD PERO IGUAL E IGUAL .
) kx t ( sen A
y1 1 1
) kx t ( sen A
y2 2 2
) kx t ( sen A ) kx t ( sen A y y
y 1 2 1 1 2 2
De trigonometría sabemos que sen(a b) sena ·cosb-sen b ·cosa
t cos · ) kx ( sen ) (kx cos · t sen A t cos · ) kx ( sen ) (kx cos · t sen
A1 1 1 2 2 2
) kx ( sen A ) (kx sen A · t cos )
kx ( cos A ) (kx cos A · t
sen 1 1 2 2 1 1 2 2 (*)
Por otro lado, si suponemos una solución del tipo y Asen( t kx) y aplicamos la misma fórmula anterior:
t cos ) kx ( sen A ) (kx cos t sen A t cos · ) kx ( sen ) (kx cos · t sen A kx) - t ( sen A y
Que comparándola con (*) nos queda:
kx cos A ) kx ( cos A ) (kx cos
A1 1 2 2
kx sen A ) kx ( sen A ) (kx sen
A1 1 2 2
Elevando al cuadrado y sumando ambas expresiones:
2 2 2 2
1
1cos(kx ) A cos (kx ) (A coskx)
A +
2 2 2 2
1
1sen (kx ) A sen (kx ) (A sen kx) A
kx cos A ) kx ( cos ) (kx cos A 2A ) kx ( cos A ) (kx cos
A12 2 1 22 2 2 1 2 1 2 2 2 +
kx sen A ) kx ( sen ) (kx sen A 2A ) kx ( sen A ) (kx sen
A12 2 1 22 2 2 1 2 1 2 2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 2 2
1 A 2A A cos(kx )cos (kx ) sen (kx )sen (kx ) A
A
Teniendo en cuenta que cos(a b) cosa ·cosb sen a ·sen b, queda:
) x k(x cos A 2A A A
A2 12 22 1 2 1 2 O bien: A A12 A22 2A1A2cosk(x1 x2) Si A1 = A2 = A Ar 2A2 2A2cosk(x1 x2) A 2 2cosk(x1 x2)
Máximo de interferencia: cos k(x1 – x2) = 1 k(x1 – x2) = 2n 2 (x x ) 2n
2 1
x1 – x2 = n
P
F2
F1
x2
x1
www.benitopb.wordpress.com Página 7 Mínimo de interferencia: cos k(x1 – x2) = –1 k(x1 – x2) = (2n + 1)
) 1 n 2 ( ) x x 2 (
2
1 (x1 x2) (2n 1)2
III) ONDAS ESTACIONARIAS
Dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos:
1)
) kx t ( Asen y1
) kx t ( Asen y2
)]
kx t ( sen ) kx t ( sen [ A ) kx t ( Asen )
kx t ( Asen y
y
y 1 2
2 kx cos 2 2
t sen 2 A 2 2
) kx t ( ) kx t cos ( 2
) kx t ( ) kx t sen ( A 2
t sen kx cos A 2 kx cos t sen A
2 y(x, t) = 2A cos kx · sen t
2)
) t kx ( Asen y1
) t kx ( Asen y2
)]
t kx ( sen ) t kx ( sen [ A ) t kx ( Asen )
t kx ( Asen y
y
y 1 2
2 t cos 2 2
kx sen 2 A 2 2
) t kx ( ) t kx cos ( 2
) t kx ( ) t kx sen ( A 2
t cos kx sen A 2 ) t (- cos kx sen A
2 y(x, t) = 2A sen kx · cos t
3)
) t kx cos(
A y1
) t kx cos(
A y2
)]
t kx cos(
) t kx [cos(
A ) t kx cos(
A ) t kx cos(
A y y
y 1 2
2 t cos 2 2
kx cos 2 A 2 2
) t kx ( ) t kx cos ( 2
) t kx ( ) t kx cos ( A 2
t cos kx cos A 2 ) t (- cos kx cos A
2 y(x, t) = 2A cos kx · cos t
4)
) kx t cos(
A y1
) kx t cos(
A y2
)]
kx t cos(
) kx t [cos(
A ) kx t cos(
A ) kx t cos(
A y y
y 1 2
www.benitopb.wordpress.com Página 8 2
kx cos 2 2
t cos 2 A 2 2
) kx t ( ) kx t cos ( 2
) kx t ( ) kx t cos ( A 2
t cos kx cos A 2 kx cos t cos A
2 y(x, t) = 2A cos kx · cos t
y(x, t) = 2A cos kx · sen t Ar = 2A cos kx
Máximos de interferencia: cos kx = 1 kx = n 2 x n
n2 x
Mínimos de interferencia: cos k x = 0
)2 1 n 2 (
kx
)2 1 n 2 ( 2 x
)4 1 n 2 ( x
Distancia entre dos máximos o dos mínimos consecutivos.
n2 x1 ,
)2 1 n (
x2
x 2 x
d 2 1 d 2
)2 1 n 2 (
x1 ,
)2 1 n 2 (
x2
x 2 x
d 2 1 d 2 Distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos:
n2 x1 ,
)4 1 n 2 (
x2
x 4 x
d 1 2 d 4 /2
/4
Ar
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IV) ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
0 dt Bx
Adx dt
x d
2 2
r2 + Ar + B = 0
2
B 4 A r A
2
r = a bi ]
t sen C t b cos C [ e
x at 1 2
dt 0 Adx dt
x d
2 2
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
r2 + Ar = 0 r(r + A) = 0 r = 0 , r = -A x C1 eot C2 e At C1 C2 e At
0 dt Bx
x d
2 2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
r2 + B = 0 r2 = - B r = bi x C1cosbt C2senbt , b =
0 dt Ax
x d
2 2
(MAS)
r2 + A = 0 r A
solución real x C1 e A t C2 e A t
solución compleja de la forma a + bi x ea t[C1 cosbt C2 senbt]
o bien x C1ea t sen(bt C2), o bien x C1ea t cos(bt C3) Ejemplo:
Del movimiento armónico simple (MAS) - x dt
x
d 2
2 2
0 dt x
x
d 2
2 2
0
r2 2 r 2 r 1 i solución compleja y sólo
tiene parte imaginaria x e0 t[C1 cos t C2 sen t] C1 cos t C2 sen t o bien x C1e0 t sen( t C2) C1 sen( t C2),
o bien x C1 e0 t cos( t C2) C1 cos( t C2)
www.benitopb.wordpress.com Página 10 EFECTO DOPPLER
F O
v v
v f v
' f
VO = velocidad del observador VF = velocidad del foco Casos:
1) Foco en reposo (VF = 0) y observador alejándose:
v v f v
'
f
O2) Foco en reposo (VF = 0) y observador acercándose:
v v f v
'
f
O3) Foco acercándose y observador en reposo (VO = 0):
v
Fv f v ' f
4) Foco alejándose y observador en reposo (VO = 0):
v
Fv f v ' f
5) Los dos al encuentro:
F O
v v
v f v
' f
6) Los dos separándose:
F O
v v
v f v
' f
VF VO
X
