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(1)

5. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES: UN RESUMEN DE IDEAS

5.1 RESUMEN BREVE CON ALGUNAS IDEAS SOBRE LAS EDP.

5.1.1 ALGUNAS DE LAS EDP MÁS IMPORTANTES DE LA FÍSICA 5.1.2 CONSIDERACIONES GENERALES DE LA EDP

5.1.3 ALGUNAS IDEAS PARA RESOLVER LAS EDP DE 1er Y 2º GRADO 5.1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS EDP LINEALES DE 2º GRADO

5.2 EXPRESIONES VECTORIALES.

5.3 COORDENADAS ORTOGONALES.

5.4 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Y ECUACIÓN DE HELMHOLTZ.

Objetivos: Dar un a guía de las ideas básicas más elementales de las EDP (5.1). Incluyo “chuletarios” que pueden ser útiles (5.2 y 5.3). Finalmente unos ejemplos de cómo se maneja el método de separación de variable en la ecuación de Helmholtz en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

¡¡¡ CUIDADO CON LAS ERRATAS !!! ¡¡¡MÁS QUE EN LOS CAPÍTULOS PRECEDENTES!!!

¡¡¡ ESTAS NOTAS NO PUEDEN SUSTITUIR A BUEN LIBRO !!!

ESPECIALMENTE ESTE CAPÍTULO

(2)

5.1 RESUMEN BREVE CON ALGUNAS IDEAS SOBRE LAS EDP.

(Imprescindible acudir a un buen libro)

5.1.1 ALGUNAS DE LAS EDP MÁS IMPORTANTES DE LA FÍSICA Ecuación de Ondas:

2

2 2

2

1 ( , , , )

) , , ,

( t

t z y x u t v

z y x

u

= ∂

o

1 0

2 2 2

2

=

− ∂

t

u

u v

Describe distintos problemas donde una magnitud física, en un medio homogéneo e isótropo, varía de forma periódica con el tiempo y que se desplaza (u) en ese medio con velocidad c. Los ejemplos son muy conocidos e importantes como las vibraciones de la materia (ondas materiales) en distintos medios

(gases, líquidos y sólidos) y dimensiones (1, 2 y 3 dimensiones), las ondas electromagnéticas (u debe ser cada componente del campo eléctrico y magnético) que describen las vibraciones de los campos eléctrico y magnético o las variaciones periódicas del potencial (u) en una línea de transmisión en ausencia de resistencia y conductancia.

La velocidad v de desplazamiento de la onda es la velocidad de la luz en las ondas electromagnéticas, la raíz del cociente entre una constante elástica y una densidad de masa, y la raíz de la inversa de LC (producto de la inductancia por la capacidad).

La velocidad de las ondas en medios materiales (homogéneos e isótropos) es

v = T ρ

, por lo que se

rescribe como: 2

0

2 2

=

− ∂

t

u u T ρ

. Esta ecuación es de tipo homogéneo. La presencia de fuerzas externas, por unidad de volumen,

f ( x , y , z , t )

la transforma en no homogénea:

2 2

( , , , )

2

t z y x f u t T

u = ∇ +

ρ ∂

.

Si en el problema de la transmisión la línea tiene resistencia (R) y conductancia (G), la ecuación también se vuelve no homogénea y aunque algo más complicada al aparecer un término en la primera derivada del tiempo:

) , ) (

, ) ( ) (

, ( )

, (

2 2 2

2

t x t RGu

t x LG u t RC

t x LC u x

t x

u +

∂ + ∂

∂ +

= ∂

Naturalmente los medios no son en general ni homogéneos ni isótropos. En estos casos las ecuaciones, aunque formalmente similares, se vuelven bastante más complejas de resolver: los coeficientes de las derivadas parciales dejan de ser constantes y las ecuaciones adquieren forma tensorial. Por ejemplo para una cuerda (problema de una dimensión espacial) no homogénea sometida a una fuerza externa

la ecuación de ondas para en desplazamiento transversal se escribe:

) , ( t x f

0 ) , ) (

, ) ( ( )) , ( ) (

(

2

2

+ =

− ∂

f x t

t t x x u

t x x u x

x T ρ

Ecuación de Laplace:

2

u ( x , y , z ) = 0

Describe estados independientes del tiempo: estacionarios, de equilibrio, o estáticos. Como el potencial de flujo (ver al final) de un líquido incompresible en ausencia de fuentes o vórtices, el equilibrio térmico en ausencia de fuentes o sumideros térmicos o el potencial eléctrico (gravitatorio) en ausencia de cargas (masas) causado por campos externos.

(3)

Ecuación de Poisson:

2

u ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z )

Corresponde al caso de la ecuación de Laplace con un término no homogéneo que representa las fuentes y/o sumideros (cargas y masas en los casos de los campos eléctricos y gravitatorios, fuentes o sumideros de energía térmica y fluido). De esta ecuación se llega a la famosa ecuación de Bernoulli:

2 .

1

2

const gz

p

v + + ρ = ρ r

Ecuación de difusión:

t t z y x t u

z y x

u

= ∂

∇ 1 ( , , , )

) , , ,

2

(

κ

Describe la evolución de un sistema hacia el equilibrio, en ausencia de fuentes y sumideros, como por ejemplo la difusión de un componente fluido en un sistema con concentración inicial no uniforme o la difusión de energía térmica en sistemas con temperatura inicial no uniforme

Cappa es el coeficiente de difusión que tiene unidades de L2T-1. Para la difusión térmica está dada por

ρ σ

κ = / c

, donde σ es la conductividad térmica, ρ la densidad y c el calor específico.

Las ecuaciones de difusión, como las demás, pueden ser más complejas si el medio no es homogéneo ni isótropo y si además hay fuentes y sumideros. Por ejemplo para la difusión de la energía térmica en una dimensión de un sistema cuyas propiedades dependan de la posición (sistema no homogéneo) y con la presencia de una fuente y/o sumidero de calor f(x,t) (que hace no homogénea a la ecuación):

0 ) , ( )) , ( ) , ( ) , ( ( )) , ( ) (

( + =

− ∂

x t c x t u x t f x t

t t x x u x

x k ρ

Ecuación de Helmholtz:

2

u − λ u = 0

Esta ecuación resulta de otras después de utilizar el método de separación de variables.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

t i u u z y x V

m u

= ∂ +

− h ( , , ) h

2

2 2

Describe la evolución de la función de onda bajo el efecto de un potencial externo V.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

u V x y z u Eu

m ∇ + =

− ( , , )

2

2

h

2

Ecuación de la función de onda bajo el efecto de un potencial externo V en un estado estacionario de energía E.

Ecuación de Klein-Gordon de con campo nulo:

1 0

2 2

2 0 2

2 2

2

⎥ − =

⎢ ⎤

− ∂

u

c u m t

c h

Versión relativista de la ecuación de Ecuación de la ecuación de Schrödinger (espín=0)

Ecuación de Klein-Gordon con campo:

1 0

2 2

2 0 2

2

=

⎥ −

⎥ ⎦

⎢ ⎢

⎡ ⎟

⎜ ⎞

⎛ ∇ −

⎟ −

⎜ ⎞

⎛ −

u

c u m A i e t e

i h

ϕ r

Versión relativista de la ecuación de Ecuación de la ecuación de Schrödinger (espín=0) con campo.

(4)

MECÁNICA DE FLUIDOS:

Ecuación de continuidad:

+ ∇ ⋅ ( ) = 0

v

t

ρ r ρ

Fluido incompresible (densidad constante):

vr = −∇ ϕ

,

2

ϕ = 0

(ϕ potencial velocidad)

ondas acústicas:

v v p F

t

v r r r r

=

∇ +

∂ +

∂ ρ ( )

ρ

Si además hay viscosidad:

v v v v p

t

v + ⋅ ∇ + ∇ + + ∇ ∇ ⋅ = −∇

∂ r ( r ) r

2

r ( ) ( r ) µ

λ µ

ρ ρ

fluido compresible (adiabático):

1 ( , , , ) ( , , , ) )

, , ,

(

2 2

2

f x y z t

t t z y x p dp t d

z y x

p = ∇ ⋅

− ∂

∇ ρ

ELECTRODINÁMICA:

En el vacío:

= 0

∇ B r

∇ E ⋅ r = 0

t B E c

− ∂

=

×

r 1 r

t E B c

= ∂

×

r 1 r

0 0

1

2

= c µ ε

2

2 2

2

1

t E E c

= ∂

∇ r r

2

2 2

2

1

t B B c

= ∂

∇ r r

En presencia de cargas y corrientes:

= 0

∇ B r

∇ E ⋅ r = 4 πρ

t B E c

− ∂

=

×

r 1 r

t E j c B c

∂ + ∂

=

×

r r

r 4 π 1

Independiente del tiempo:

= 0

∇ E r

,

∇ E × r = 0

E r = −∇ ϕ

2

ϕ = 0

= 0

∇ B r

,

j

B r = 4 c π r

×

B r A r

×

= j

A c

A r r 4 π r

)

2

− ∇ ( ∇ ⋅ = −

,

si

A r = A r + ∇ Λ

'

con

A r

−∇

= Λ

2

j

A r 4 c π r

2

' = −

Caso general (en el vacío):

t A E c

− ∂

−∇

=

r ϕ 1 r

B r A r

×

=

con

ϕ 1 ϕ 4 πρ

2 2 2

2

= −

− ∂

c t

j

c t

A

A c r r

r 1 4 π

2 2 2

2

= −

− ∂

ECUACIÓN DE LOS TELEGRAFISTAS:

) , ) (

, ) ( ) (

, ( )

, (

2 2 2

2

t x t RGu

t x LG u t RC

t x LC u x

t x

u +

∂ + ∂

∂ +

= ∂

Describe la variación de potencial a lo largo de una línea de transmisión de una señal eléctrica.

ECUACIÓN DE DIRAC

2

0

0 3

1

=

⎥ +

⎢ ⎤

− ∂

− ∂ ∑

=

u c m x u

t ic i u

k k

k

β

h α h

Ecuación de onda en la mecánica relativista para partículas de espín 1/2.

(5)

5.1.2 CONSIDERACIONES GENERALES DE LA EDP

En general las EDP tienen la forma:

( , , ,..., , ,..., ,

2

,..., , ,..., ) 0

2 2

2

=

u

y u x u y

u x

u y

u x y u x

F

n

n n n

. Como siempre el orden de la ecuación está dado por n, la derivada (parcial) de mayor rango, y el grado por la potencia a la que está elevada. Nosotros estamos interesados fundamentalmente en las de segundo grado y lineales:

( , ,...) ( , ,...) ( , ,...) ( , ,...)

,...) , ,...) (

, ,...) (

,

(

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

,

2 1 2 2

1

c x x u x x f x x

x x x x u

x x b

x x x x u

x

a

m

i i

i m

j

i i j

ij

+ + =

La presencia del término hace la ecuación no homogénea, en caso contrario la ecuación se llama homogénea. Las EDP son operadores lineales de tal manera que si u

,...) , , ( x

1

x

2

f

1 y u2 son soluciones de la ecuación homogénea también lo es cualquier combinación lineal de ellas. La casuística de estas

ecuaciones es todavía más prolija que la de las EDO. Esto hace difícil una presentación sistemática clara:

es una de las razones por la que cada libro de “métodos” las presenta de manera diferente e incluso en sucesivas ediciones del mismo tratado. Hay sin embargo un comportamiento típico de las soluciones según una cierta clasificación (EDP hiperbólicas, parabólicas y elípticas) bastante útil de las EDP que se describe más abajo. De momento doy algunas ideas en estas notas preliminares y, ¡cuidado!

bastante incompletas. Una vez más: ¡un buen libro es insustituible!

5.1.3 ALGUNAS IDEAS PARA RESOLVER LAS EDP DE 1er Y 2º GRADO ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO:

Si la ecuación F(x,y,C)=0 define en una región del plano un haz de curvas y=f(x,C) y por cada punto de esa región pasa una y sólo una curva de un haz, entonces C=ϕ(x,y) para cada curva. Por otra parte y’=fx(x,C) y por tanto: y’=fx(x, ϕ(x,y)) ⇒ y’=g(x,y) es la ecuación diferencial del haz.

Vemos que partiendo de la ecuación implícita de un haz de curvas podemos obtener la EDO del haz. Lo mismo se puede hacer en tres dimensiones. Las ecuaciones

0 ) , , , , (

0 ) , , , , (

2 1

2 1

=

= C C z y x

C C z y x F ϕ

definen una congruencia de curvas en tres dimensiones (haz de curvas que dependen de dos parámetros) en una región del espacio tridimensional. Por cada punto del espacio en esa región pasa una y sólo una curva de la congruencia por lo que cada parámetro tendrá que depender de cada punto de la curva:

ecuaciones

f ( x , y , z ) = C

1 y

ϕ ( x , y , z ) = C

2.

Cada una de estas ecuaciones es una familia uniparamétrica de superficies y es equivalente al sistema anterior. Derivando, con respecto a x, cada una de ellas se tiene:

+ + = 0 dx f dz dx f dy

f

x y z

+ + = 0

dx dz dx

dy

z y

x

ϕ ϕ

ϕ

de donde se llaga a la ecuación diferencial de la congruencia es

) , , ( ) , , ( ) , ,

( Z x y z

dz z

y x Y

dy z

y x X

dx = =

(1)

(6)

siendo:

z y

z f y f z y x X

∂ ∂

= ϕ ϕ

) , ,

( ,

x z

x f z f z y x Y

∂ ∂

= ϕ ϕ

) , ,

( y

y x

y f x f z y x Z

∂ ∂

= ϕ ϕ

) , , (

Pero además si se establece una relación arbitraria entre los dos parámetros C1 y C2 se obtiene una de las posibles superficies (llamada superficies de curvas características):

Ψ ( C

1

, C

2

) = Ψ ( f ( x , y , z ), ϕ ( x , y , z )) = 0

Derivando con respecto a x e y se obtienen dos ecuaciones para Ψf y Ψϕ que para que tenga solución el determinante correspondiente debe ser cero. O lo que lo mismo:

( , , ) ( , , ) Z ( x , y , z ) y

z z y x x Y z z y x

X =

∂ + ∂

(2)

que es un EDP de primer orden para una superficie formada por curvas características (una integral general de (2)).

Así que para encontrar una solución general (puede haber muchas) de esta ecuación basta con obtener las curvas de la congruencia correspondiente (resolución de dos EDO) y luego establecer cualquier relación entre los parámetros de la congruencia. El método se generaliza a un número cualquiera de variables independientes. Directriz: curva por donde pasa una de las superficies de características: no puede ser una característica.

ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO GRADO:

Como en el caso de las EDO una solución general se puede escribir como la suma de una solución general de la homogénea y una particular de la no homogénea.

Algunos de los “trucos” para resolver EDO se pueden extender a las EDP:

Ecuaciones homogéneas pueden ser reducibles a un grado menor. Por ejemplo para las ecuaciones de 2º grado la EDP con coeficientes constantes se puede rescribir como (

D y D

x

x

y

≡ ∂

≡ ∂ ,

):

0 ) )(

( ) )(

( a

1

D

x

+ b

1

D

y

+ c

1

a

2

D

x

+ b

2

D

y

+ c

2

u = a

2

D

x

+ b

2

D

y

+ c

2

a

1

D

x

+ b

1

D

y

+ c

1

u =

que es equivalente a dos EDP de primer grado:

( a

1

D

x

+ b

1

D

y

+ c

1

) u = 0 ( a

2

D

x

+ b

2

D

y

+ c

2

) u = 0

Soluciones particulares de las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Si se escribe la EDP (para el caso de dos variables independientes) como una función formal de

D y D

x

x

y

≡ ∂

≡ ∂ ,

:

, se pueden probar soluciones del tipo

0 ) ,

( =

Φ D

x

D

y

u u = exp( α x + β y )

) exp(

) , ( ) exp(

) ,

( D

x

D

y

α x + β y = Φ α β α x + β y Φ

que serán posibles soluciones para aquellos valores de α y β que hagan cero Φ(α,β).

(7)

Ecuaciones no homogéneas reducibles. Una solución particular de esta ecuaciones se obtienen mediante el procedimiento que sigue en el caso de dos variables independientes. La generalización es trivial. Sea la EDP reducible:

( a

1

D

x

+ b

1

D

y

+ c

1

)( a

2

D

x

+ b

2

D

y

+ c

2

) u = f ( x , y )

. Llamo

( a

2

D

x

+ b

2

D

y

+ c

2

) u = g ( x , y )

, luego la EDP será . Resuelta para g(x,y) se utiliza para resolver la anterior.

Todo acaba en EDO.

) , ( )

( a

1

D

x

+ b

1

D

y

+ c

1

g = f x y

Ecuaciones no homogéneas irreducibles con el término no homogéneo con alguna forma del tipo

exponencial,

exp( α x + β y )

, trigonométrico,

asen ( α x + β y ) + b cos( α x + β y )

, polinómico y/o combinaciones de estos tipos: seguir el mismo procedimiento que en las EDO.

Las ecuaciones análogas a las de Euler (con los términos de la forma ) se transforman en una EDP con coeficientes constantes) con el cambio de variables: .

u D D y

x

n m xn ym

r

s

y e

e

x = =

5.1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS EDP LINEALES DE 2º GRADO

De estas, comenzaremos con las más simples: las que tienen dos variables independientes (m=2):

) , ( ) , ( ) , ) (

, ) ( , ) (

, ) ( , (

) , ) ( , ) (

, ) ( , ) (

, ) ( ,

(

2

2 2

2 2

y x f y x u y x y F

y x y u x x E

y x y u x D

y y x y u

x y C

x y x y u

x x B

y x y u

x A

=

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂ + + ∂

∂ + ∂

Se demuestra que con un cambio de coordenadas adecuado,

ξ = φ ( y x , )

,

η = ψ ( y x , )

, estas ecuaciones se acaban escribiendo formalmente en tres modos únicos dependiendo del signo de

B

2

− 4 AC

:

Hiperbólicas (

B

2

− AC 4 > 0

) : 2

( , , , , ) 0

2 2

2

=

∂ + ∂

− ∂

η η ξ

η ξ ξ

u u u

función u

u

Parabólicas (

B

2

− AC 4 = 0

): 22

( , , , , ) = 0

∂ + ∂

η η ξ

ξ ξ

u u u

función u

Elípticas (

B

2

− AC 4 < 0

): 2

( , , , , ) 0

2 2

2

=

∂ + ∂

∂ + ∂

η η ξ

η ξ ξ

u u u

función u

u

Observar que el signo es un invariante. (El nombre es debido simplemente a la similitud de los signos de las cónicas). Lo interesante de la clasificación es que el comportamiento de las soluciones de cada caso.

Naturalmente si los coeficientes son funciones es posible que en un región del espacio de las variables independientes la expresión cambie de signo y por lo tanto las soluciones de comportamiento.

Esto no sucede normalmente en los problemas de física. Es más, nosotros nos vamos a limitar a

problemas sencillos donde los coeficientes (ver primeras páginas de estas notas) serán constantes y por lo tanto la EDP correspondiente será siempre del mismo tipo sobre todo el dominio de las variables.

AC B

2

− 4

Es usual clasificar las hiperbólicas como aquellas en la que subsiste solamente el término cruzado

η ξ ∂

∂ u

2 , que en efecto se llega con el adecuado cambio de variables.

Se generaliza la clasificación para cualquier número de variables independientes de la siguiente forma. En las elípticas permanecen todas las derivadas de segundo orden y el coeficiente de ellas tiene el mismo signo. En las parabólicas falta la derivada segunda de alguna de las variables independientes. En las hiperbólicas, como en las elípticas, permanecen todas las derivadas de segundo orden pero el coeficiente de una de ellas difiere en signo de las demás. Si hay más de un coeficiente de distinto signo se llaman ultrahiperbólicas.

(8)

Por lo tanto las ecuaciones que vamos a estudiar estarán clasificadas como:

Hiperbólicas: Ecuación de Ondas: 2

2 2

2

1 ( , , , )

) , , ,

( t

t z y x u t v

z y x

u

= ∂

Parabólicas: Ecuación de difusión:

t t z y x t u

z y x

u

= ∂

∇ 1 ( , , , )

) , , ,

2

(

κ

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

t i u u z y x V

m u

= ∂ +

− h ( , , ) h

2

2 2

Elípticas: Ecuación de Laplace:

2

u ( x , y , z ) = 0

Ecuación de Poisson:

2

u ( x , y , z , t ) = f ( x , y , z )

Ecuación de Helmholtz:

2

u − λ u = 0

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

u V x y z u Eu

m ∇ + =

− ( , , )

2

2

h

2

Observe algunos puntos interesantes: debido a que de las cuatro variables independientes, tres son

espaciales y hay homogeneidad e isotropía, todas las derivadas segundas de x, y, z tienen el mismo signo y por lo tanto no tenemos ecuaciones ultrahiperbólicas. Mucho más interesante es que las ecuaciones elípticas corresponden a situaciones de equilibrio, estáticas o estacionarias, el tiempo no aparece como variable independiente. En las hiperbólicas y parabólicas aparecen derivadas con respecto a la variable independiente t, pero lo importante es que en las hiperbólicas aparece la derivada segunda mientras que en las parabólicas la derivada primera. Esto hace que las soluciones se comporten de manera totalmente diferente como puede esperarse: en las hiperbólicas describen variaciones periódicas, que en ausencia de mecanismos disipativos describen estados estacionarios dinámicos, mientras que las parabólicas describen variaciones hacia un cierto estado de equilibrio estático.

De acuerdo con estas clasificaciones las condiciones de contorno deben ser las adecuadas para obtener una solución de la ecuación dada. Como ya hemos visto en otras ocasiones usualmente se imponen tres tipos de c.c.:

C.C. de Dirichlet: Estas imponen sobre la frontera (extremos del intervalo en 1D, curva en 2D, superficie en 3D, ...) el valor, u, de la variable dependiente.

C.C. de Neumann: Estas imponen sobre la frontera (extremos del intervalo en 1D, curva en 2D, o superficie en 3D, ...) el valor de la componente normal a la frontera, ∇nu, de la variable dependiente.

C.C. de Cauchy: Estas imponen sobre la frontera (extremos del intervalo en 1D, curva en 2D o superficie en 3D, ...) el valor de la variable dependiente, u, y su componente normal a la frontera, ∇nu.

(9)

Para ilustrar el tipo de C.C. necesarias en cada caso doy tres ejemplos típicos. Todos ellos en una dimensión espacial, es decir con una variable espacial x y el tiempo t.

Ecuación de la difusión (parabólica): Considere una barra unidimensional localizada en el espacio entre los puntos a y b. Se desea conocer , la temperatura de la barra en cada de sus puntos en

cualquier momento . El espacio de las variables independientes deberá ser un rectángulo de lado b-a ( ) y largo infinito ( ), zona sombreada de la figura (también podría considerarse el tiempo anterior a ). Para determinar el problema basta fijar el valor de la temperatura de toda la barra en el instante y en los extremos de la barra en los instantes posteriores:

) , ( t x T

b x a < <

t

0

t >

b x

a < < t > t

0

t

0

t

0

) ( ) ,

( x t

0

f x

T =

,

T ( a , t ) = T

a y . Con estas C.C. es posible obtener una solución única de la ecuación de difusión. Es tipo de condiciones de Dirichlet se llaman abiertas

T

b

t b T ( , ) =

(línea roja en la figura) por no encerrar el domino de las variables

independientes. El problema queda también determinado usando condiciones de Neumann, es decir fijando

T

x

' ( a , t )

y

T

x

' ( b , t )

(condiciones de Neumann abiertas) y una combinación de ambas, de Neumann y de Dirichlet (como en las c.c. separadas).

a t

t

0

f(x)

Ta Tb

b

Ecuación de Laplace (elíptica): Considere una zona bidimensional (zona sombreada en la figura) en donde se desea conocer el potencial eléctrico V(x,y). Sea x=x(ξ) e y=y(ξ) las ecuaciones paramétricas de la curva cerrada (línea roja en la figura) que delimita esa zona y sea V=V(ξ) el valor del potencial sobre esta curva. Esta C.C. es suficiente para obtener el potencial V(x,y) en cualquier punto del interior de la curva dada. Estas C.C., de tipo Dirichlet. se llaman cerradas (línea roja en la figura). También queda determinada la solución con c.c cerradas de tipo Neumann.

Ecuación de ondas (hiperbólica): Considere una cuerda elástica localizada en el espacio entre los puntos a y b. Se produce una deformación sobre la cuerda y se desea conocer su

evolución. El espacio de las variables independientes deberá ser un rectángulo de lado b-a (

) ( ) ,

( x t

0

f x

u =

b x

a < <

) y infinito ( ), zona sombreada de la figura (también podría considerarse el tiempo anterior a

). Para determinar la evolución de la cuerda hay que conocer la deformación de la cuerda en los extremos en todo tiempo, y (c.c. tipo Dirichlet), la mencionada en toda la cuerda en el instante y la velocidad de deformación,

en este mismo instante .En este caso las condiciones son de Cauchy y abiertas

t

0

t >

t

0

) , ( t a

u u ( t b , ) )

, ( x t

0

u t

0

) ( ) , (

' x t

0

g x

u

x

= t

0

. Las c.c. de Dirichlet pueden ser sustituidas por las de tipo Neumann o por una combinación de ambas.

y

x V(ξ)

a t

t

0

f(x) g(x)

u(a,t) u(b,t)

b

Todas estas condiciones son usuales pero no generales, cada caso se debe estudiar con cuidado el problema.

(10)

5.2 EXPRESIONES VECTORIALES.

Gradiente de una función f(x,y,z), ∇f(x,y,z):

⎟⎟

⎜⎜ ⎞

≡ ∂

z

f y f x z f

y x

f ( , , ) , ,

ff ( x , y , z )

Divergencia de un vector v(x,y,z), ∇⋅v(x,y,z):

z v y v x z v y x

v

x y z

∂ + ∂

∂ + ∂

≡ ∂

∇ r ( , , )

+ ∇ ⋅ ( , , ) = 0

v x y z

t

ρ r

ρ

Laplaciano: 2

2 2 2 2

2

( , , ) ( , , )

2

z f y

f x

z f y x f z

y x

f

+ ∂

∂ + ∂

= ∂

=

Rotacional de un vector v(x,y,z), ∇×v(x,y,z):

z y x

z y x

v v v

z y x

u u u z y x

v

≡ ∂

×

r r r

r ( , , )

Definiciones integrales:

∫ ∫

=

∇ ∫

τ

σ

τ

d

f f d

d 0

lim

= ∫

∇ ∫

τ

σ

τ

d

v v d

d

r r

0

lim

×

= ∫

×

∇ ∫

τ

σ

τ

d

v v d

d

r r lim

0

Teorema de Gauss

∫∫ = ∫∫∫

V S

dV v s

d

v r r r

Teorema de Green

∫∫∫ = ∫∫

S V

s d u v v u dV

u v v

u ) ( ) r

(

Teorema de Stokes

= ∫∫ ×

S

s d v dl

v r r r

(11)

5.3 COORDENADAS ORTOGONALES.

Coordenadas curvilíneas generales

) , , (

) , , (

) , , (

3 2 1

3 2 1

3 2 1

q q q z z

q q q y y

q q q x x

=

=

=

r=r

1

q

1

+ r

2

q

2

+ r

3

q

3

Métrica:

j

ij

g

ij

dq

i

dq dz

dy dx

ds

2

=

2

+

2

+

2

=

j i j i j i j i

ij

q

r q

r q

z q

z q

y q

y q

x q g x

⋅ ∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂ r r

q

j

r

∂r y q

i

r

∂r tangentes a la superficie q

k

constante, k ≠ i,j

Si g

ij

=0 (i ≠ j): coordenadas ortogonales ⇒ =

i

i ii

dq g

ds

2 2 2

q

i

q

j

= δ

1j

g

i

≡ g

ii

vectores unitarios

i

distancia diferencial: d r r = dx u r

x

+ dy u r

y

+ dz u r

z

= g

1

dq

1

q ˆ

1

+ g

2

dq

2

q ˆ

2

+ g

3

dq

3

q ˆ

3

superficie diferencial: d s r = dydz u r

x

+ dzdx u r

y

+ dxdy u r

z

= g

2

g

3

dq

2

dq

3

q ˆ

1

+ g

3

g

1

dq

3

dq

1

q ˆ

2

+ g

1

g

2

dq

1

dq

2

q ˆ

3

Jacobiano: dxdydz = Jdq

1

dq

2

dq

3

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1 3

2

1

( , , )

) , , ( ,

, , ,

q z q

z q

z

q y q

y q

y

q x q

x q

x

q q q

z y x q

q q

z y J x J

∂ ∂

∂ ∂

∂ ≡

≡ ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

≡ ⎛

Gradiente: 3

3 3 2 2 2 1 1 1 3 2

1

1 ˆ

1 ˆ 1 ˆ

) , ,

( q

q f q g

q f q g

q f q g

q q

f

+ ∂

∂ + ∂

= ∂

Divergencia:

⎢ ⎤

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

∇ 1 ( ) ( ) ( )

) , ,

(

3 1 2

3 1 3 2 2 3 2 1 1 3 2 1 3 2

1

v g g

g q g q v g g q v g g q g

q q vr

Laplaciano:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟⎟

⎜⎜ ⎞

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

= ∂

=

3 3

2 1 3 2

2 1 3 2 1

1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3

2 1

2

1

) , , ( )

, ,

( q

f g

g g q q

f g

g g q q

f g

g g q g g q g

q q f q

q q

f

Rotacional:

3 3 2 2 1 1

3 2 1

3 3 2 2 1 1 3 2 1

ˆ ˆ ˆ ) , , (

v g v g v g

q q q

q g q g q g q q q

v

≡ ∂

×

∇ r

(12)

Coordenadas cilíndricas

:

( q

1

, q

2

, q

3

) ≡ ( ρ , ϕ , z )

z π ϕ

ρ 2 0

0

z x y y x

1 2 / 1 2 2

tan ) (

=

+

= ϕ ρ

z z

sen y

x

=

=

=

ϕ ρ

ϕ ρ cos

1 1

3 2

1

=

=

=

=

=

=

g

z

g g g

g g

ρ

ρ

ρ

distancia diferencial:

d r r = g

1

dq

1

q ˆ

1

+ g

2

dq

2

q ˆ

2

+ g

3

dq

3

q ˆ

3

= d ρ ρ ˆ + ρ d ϕ ϕ ˆ + dz z ˆ

superficie diferencial:

d s r = g

2

g

3

dq

2

dq

3

q ˆ

1

+ g

3

g

1

dq

3

dq

1

q ˆ

2

+ g

1

g

2

dq

1

dq

2

q ˆ

3

= ρ d ϕ dz ρ ˆ + dzd ρ ϕ ˆ + ρ d ρ d ϕ z ˆ

Jacobiano:

dxdydz = Jd ρ d ϕ dz = ρ d ρ d ϕ dz

ϕ ρ ϕ ρ ϕ

ρ ϕ

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕ ρ

=

=

∂ ∂

∂ ∂

=

1 0

0

0 cos

0 cos

sen

sen

z z z

z z

y y

y z

x x x

J

Gradiente:

z

z f f

z f

f ( , , ) ˆ 1 ˆ ˆ

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

∇ ϕ

ϕ ρ ρ

ϕ ρ ρ

Divergencia:

z v v v

z

v

z

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

∇ ρ ρ ϕ

ρ ϕ ρ

ρ 1 (

ρ

) 1

ϕ

)

, , r (

Laplaciano: 2

2 2 2 2

2

1 1

) , , ( )

, ,

( z

f f z f

f z

f

+ ∂

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

= ∂

=

∇ ρ ρ ρ ϕ

ρ ϕ ρ

ρ ϕ

ρ

Rotacional:

v

z

v

v z

z z

v

ϕ

ρ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ

ρ ∂

≡ ∂

×

ˆ ˆ ˆ ) 1

,

,

r (

(13)

Coordenadas esféricas

:

( q

1

, q

2

, q

3

) ≡ ( ρ , θ , ϕ )

π ϕ

π θ

2 0

0 0

≤ r

x y z y x

z z y x r

1 2 / 1 2 2 2

2 / 1 2 2 2

tan ) (

) (

=

+

= +

+ +

=

ϕ

θ

θ ϕ θ

ϕ θ

cos cos

r z

sen rsen y

rsen x

=

=

=

ϕ

θ

θ

rsen g

g

r g g

g

g

r

=

=

=

=

=

=

3 2

1

1

distancia diferencial:

d r r = g

1

dq

1

q ˆ

1

+ g

2

dq

2

q ˆ

2

+ g

3

dq

3

q ˆ

3

= dr r ˆ + rd θ θ ˆ + rsen θ d ϕ ϕ ˆ

superf. diferenc.:

d s r = g

2

g

3

dq

2

dq

3

q ˆ

1

+ g

3

g

1

dq

3

dq

1

q ˆ

2

+ g

1

g

2

dq

1

dq

2

q ˆ

3

= r

2

sen θ d θ d ϕ r ˆ + rsen θ drd ϕ θ ˆ + rdrd θ ϕ ˆ

Jacobiano:

ϕ θ θ ϕ

θ d r sen drd d Jdrd

dxdydz = =

2

θ

θ θ

ϕ θ ϕ

θ ϕ

θ

ϕ θ ϕ

θ ϕ

θ

ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

sen r rsen

rsen sen

r sen sen

sen rsen r

sen

z z r z

y y r y

x x r x

J

2

0 cos

cos cos

cos cos cos

=

=

∂ ∂

∂ ∂

=

Gradiente:

ϕ

ϕ θ θ

ϕ θ

θ , ) ˆ 1 ˆ 1 ˆ

,

( ∂

+ ∂

∂ + ∂

= ∂

f

rsen f

r r r r f

f

Divergencia:

⎢ ⎤

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

∇ θ ϕ

θ θ ϕ θ

θ r v r sen v

θ

r v

ϕ

sen r sen r r

v 1 (

r

) ( )

) , ,

(

2 2

r

Laplaciano:

⎢ ⎤

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

=

2 2 2

1

2 2

) (

) 1 (

) , , ( )

, ,

( θ θ θ ϕ

θ θ ϕ θ

θ ϕ

θ f

sen sen f

r r f sen r sen r r

f r

f

Rotacional:

ϕ

θ

ϕ θ

θ

ϕ θ θ

ϕ θ θ

v rsen rv

v r

rsen r

r sen r r

v

r

≡ ∂

×

ˆ ˆ ˆ ) 1

, ,

(

2

r

Figure

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References

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