Diagnóstico de deformaciones en devanados de transformadores de potencia mediante la evaluación de la reactancia de dispersión

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA. DIAGNÓSTICO DE DEFORMACIONES EN DEVANADOS DE TRANSFORMADORES DE POTENCIA MEDIANTE LA EVALUACIÓN DE LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN. PROYECTO DE TITULACIÓN PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO. EDISON SANTIAGO CHICAIZA CHICAIZA [email protected]. Director: Ing. Fausto Ramiro Valencia Arcos, MSc. [email protected]. Quito, Agosto 2016.

(2) DECLARACIÓN. Yo, Edison Santiago Chicaiza Chicaiza, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. La Escuela Politécnica Nacional puede hacer uso de los derechos correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente.. Edison Santiago Chicaiza Chicaiza.

(3) CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Edison Santiago Chicaiza Chicaiza, bajo mi supervisión.. Ing. Fausto Valencia, MSc. DIRECTOR DEL PROYECTO.

(4) AGRADECIMIENTOS A Dios, por ser mi fortaleza, mi luz, mi sabiduría en el camino recorrido. A mis Padres, por su dedicación, entrega en tan ilustre tarea, cuyo ejemplo me inspiró a no desmayar. A mis hermanos, por todo el apoyo brindado, por sus consejos y extenderme siempre sus manos. A mi abuelita Angelina, gracias por creer en mí, cuya esperanza de ver a su nieto graduarse de ingeniero me animó a continuar. A la Escuela Politécnica Nacional por convertirse en mi segundo hogar en cuyas aulas, no solo prepararon un profesional sino también a una persona con nobles virtudes, inculcándome esa pasión por hacer ciencia. A la Iglesia Misionera Dios Habla Hoy, por el apoyo espiritual brindado para atravesar este ‘gran desierto’. Al Ing. Fausto Valencia, por ayudarme a culminar esta etapa en mi vida brindándome sus conocimientos, su tiempo, y sus sugerencias en el desarrollo del proyecto. A todos mis compañeros y amigos, con quienes se compartió gratos momentos, así también a mis amigos Cristian C. y Evelyn M., quienes son como mis hermanos, les agradezco por sus palabras sabias y el tiempo compartido durante esta etapa estudiantil. “Ya que la fábrica del universo es más que perfecta y es el trabajo de un Creador más que sabio, nada en el universo sucede en el que alguna regla de máximo o mínimo no aparezca”. Leonhard Euler “Las matemáticas son el lenguaje con el que Dios ha escrito el Universo”. Galileo Galilei.

(5) DEDICATORIA A aquel cuyo trono está en los cielos y es digno de recibir toda la alabanza, la gloria, la honra, el honor y el poder por siempre. A mis Padres: Carmen y Gonzalo. A mis hermanos: Silvia, Cristian, David, Evelyn y Génesis. A mis cuñados: Mauricio y Daysi. A mis preciosas sobrinas: Sarahí y Raquel. A mis abuelitas: Consuelo y Angelina. A mis tíos y primos. A mis amigos y hermanos de la Iglesia Dios Habla Hoy: mi Pastor, los líderes, mis compañeros del grupo de la alabanza, al grupo de jóvenes. A toda la gente que creyó en mí. A aquellos jóvenes, quienes desde sus aulas de clases, le dicen: “No a la corrupción”, sabiendo que lo primordial es practicarlo y no solo imponerlo o gritarlo desde las calles.. "Cristo es el Hijo de Dios, quien murió por la redención de los pecadores y resucitó después de tres días. Ésta es la verdad más grande que hay en el universo. Muero a causa de mi fe en Cristo".. “สⶓᱟ⾎Ⲵ‫ݯ‬ᆀˈѪӪ䍾㖚㘼↫ˈйᰕᗙ⍫ˈ䘉ᱟᆷᇉ䰤ᴰབྷⲴһᇎǄᡁؑสⶓ㘼↫” “Christ est le Fils de Dieu, qui est mort pour la rédemption des péchés et qui est ressuscité trois jours plus tard. Voilà la plus grande vérité de tout l'univers. Je meurs en raison de ma foi en Christ”. - Watchman Nee (ٚḍ༠).

(6) ÍNDICE DE CONTENIDO LISTA DE ANEXOS (CD) ................................................................................... I RESUMEN ......................................................................................................... II PRESENTACIÓN .............................................................................................. III. INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1 0. ASPECTOS GENERALES .......................................................................... 1 0.1.. REVISIÓN DE RELACIONES FUNDAMENTALES .............................. 2. 0.1.1.. CORRIENTE ELÉCTRICA I............................................................ 2. 0.1.2.. LEY DE BIOT-SAVART .................................................................. 2. 0.1.3.. LEY CIRCUITAL DE AMPÈRE ...................................................... 4. 0.1.4.. INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO ....................................... 4. 0.1.5.. FLUJO MAGNÉTICO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ...... 5. 0.1.6.. FUERZA ELECTROMOTRIZ O LEY DE FARADAY ...................... 6. 0.1.7.. FUERZA MAGNETOMOTRIZ......................................................... 6. 0.2.. TRANSFORMADOR ............................................................................. 7. 0.2.1.. TRANSFORMADOR DE POTENCIA ............................................. 7. 0.2.2.. TRANSFORMADOR DE DISTRIBUCIÓN ...................................... 8. 0.3.. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL TRANSFORMADOR ............................... 8. 0.3.1.. NÚCLEO ......................................................................................... 8. 0.3.2.. DEVANADOS ............................................................................... 10. 0.3.3.. SISTEMA DE REFRIGERACIÓN ................................................. 11. 0.3.4.. SISTEMA DE AISLAMIENTO ....................................................... 12. 0.3.5.. TANQUE Y ACCESORIOS .......................................................... 12. 0.4.. TRANSFORMADOR IDEAL ................................................................ 13. 0.5.. TRANSFORMADOR PRÁCTICO ....................................................... 15. 0.6.. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL ........ 16. CAPITULO 1 .................................................................................................... 17.

(7) 1. MODELO DEL TRANSFORMADOR PARA EVALUACIÓN DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS ................................................................................. 17 1.1.. MAGNETOSTÁTICA ........................................................................... 17. 1.1.1.. CORRIENTE ELÉCTRICA ESTACIONARIA ................................ 18. 1.1.2.. CAMPOS CREADOS POR CORRIENTES ESTACIONARIAS .... 18. 1.1.3.. ECUACIÓN DE MAXWELL PARA MEDIOS ISOTROPICOS. HOMOGENEOS LINEALES. ..................................................................... 21 1.2.. ECUACIÓN. DIFERENCIAL. PARCIAL. DEL. MODELO. DEL. TRANSFORMADOR ..................................................................................... 22 1.2.1. 1.3.. CONDICIONES DE BORDE ......................................................... 24. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DEL. MODELO. DEL. TRANSFORMADOR. POR. EL. MÉTODO. DE. LOS. ELEMENTOS FINITOS ................................................................................. 25 1.3.1.. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 25. 1.3.2.. JUSTIFICACIÓN O VENTAJAS DEL USO DEL FEM ................. 26. 1.3.3.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELECTROMAGNÉTICO ... 26. 1.3.3.1.. Condiciones de borde ............................................................ 27. 1.3.3.1.1. Condición del primer tipo o de Dirichlet ............................. 27 1.3.3.1.2. Condición del segundo tipo o de Neumann ...................... 28 1.3.3.1.3. Condición del tercer tipo ................................................... 28 1.3.3.2. 1.3.4.. Discontinuidades .................................................................... 28. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN DEL FEM .......................... 29. 1.3.4.1.. Discretización del dominio...................................................... 29. 1.3.4.2.. Interpolación........................................................................... 30. 1.3.4.3.. Problema planteado en forma integral ................................... 32. 1.3.4.4.. Ensamble del sistema de ecuaciones .................................... 34. 1.3.4.5.. Condiciones de bordes .......................................................... 36. CAPÍTULO 2 .................................................................................................... 37.

(8) 2. CÁLCULO DE LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN MEDIANTE CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS ............................................................ 37 2.1.. LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN EN EL TRANSFORMADOR ..... 37. 2.1.1.. INDUCTANCIAS, FLUJO MUTUO Y DISPERSO......................... 38. 2.2.. ENERGÍA MAGNÉTICA ...................................................................... 39. 2.3.. ENERGÍA EN EL CAMPO MAGNÉTICO ............................................ 40. 2.3.1.. INDUCTANCIA EN TÉRMINOS DE LA ENERGÍA ....................... 41. 2.4.. REACTANCIA DE DISPERSIÓN ........................................................ 42. 2.5.. METODOLOGÍA DE CÁLCULO .......................................................... 42. 2.5.1.. ANÁLISIS DE LAS FUERZAS MAGNETOMOTRICES ................ 44. 2.5.2.. CREACIÓN DE LA GEOMETRÍA ................................................. 46. 2.5.3.. DEFINICIÓN DE LA FUENTE ...................................................... 46. 2.5.4.. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ...................................... 46. 2.5.5.. CONDICIONES DE FRONTERA .................................................. 47. 2.5.6.. MALLADO ADAPTATIVO ............................................................. 47. 2.5.7.. POSTPROCESAMIENTO ............................................................ 47. 2.6.. APLICACIÓN A UN TRANSFORMADOR DE POTENCIA .................. 48. 2.6.1.. FINITE ELEMENT METHOD MAGNETICS .................................. 48. 2.6.2.. DATOS GENERALES DEL TRANSFORMADOR......................... 48. 2.7.. 2.6.2.1.. Valores nominales .................................................................. 49. 2.6.2.2.. Dimensiones de la geometría interna del transformador ........ 49. SIMULACIÓN EN EL PROGRAMA FEMM ......................................... 49. CAPÍTULO 3 .................................................................................................... 55 3. ESTUDIO DE LA SENSIBILIDAD DE LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN ANTE VARIACIONES DE LOS DEVANADOS DEL TRANSFORMADOR ....... 55 3.1.. DEFORMACIONES EN EL LADO AV (PRIMARIO) ............................ 56. 3.1.1.. POR DESPLAZAMIENTO DE DISCOS ........................................ 56. 3.1.1.1.. Simples .................................................................................. 56.

(9) 3.1.1.2. 3.1.2. 3.2.. PANDEO EN EL LADO AV ........................................................... 69. DEFORMACIONES EN EL LADO BV (SECUNDARIO)...................... 73. 3.2.1.. POR DESPLAZAMIENTO DE DISCOS ........................................ 73. 3.2.1.1.. Simples .................................................................................. 74. 3.2.1.2.. En grupos ............................................................................... 81. 3.2.2. 3.3.. En grupos ............................................................................... 64. PANDEO EN EL LADO BV ........................................................... 85. DESPLAZAMIENTOS DE LOS DEVANADOS .................................... 89. 3.3.1.. DEVANADO PRIMARIO ............................................................... 89. 3.3.1.1.. Desplazamiento vertical o axial .............................................. 89. 3.3.1.2.. Desplazamiento horizontal o radial ........................................ 92. 3.3.2.. DEVANADO SECUNDARIO ......................................................... 94. 3.3.2.1.. Desplazamiento vertical o axial .............................................. 94. 3.3.2.2.. Desplazamiento horizontal o radial ....................................... 96. CAPÍTULO 4 .................................................................................................... 99 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................. 99 4.1.. CONCLUSIONES................................................................................ 99. 4.2.. RECOMENDACIONES ..................................................................... 102. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 104 ANEXOS ........................................................................................................ 107 A.. TRANSFORMACIONES DE CONTRASTE .......................................... 107. B.. EJEMPLO APLICATIVO PARA UN CAMPO MAGNETOSTÁTICO ..... 109. C.. CASOS PRELIMINARES ..................................................................... 112. C.1. AUMENTO DE LA LONGITUD DE LA CULATA O YUGO .................. 112 C.2. INSERCIÓN DE LA CURVA DE MAGNETIZACIÓN ........................... 113 C.3. CONVERGENCIA DEL MALLADO ..................................................... 114 C.4. AUMENTO DE LA CORRIENTE ......................................................... 116.

(10) i. LISTA DE ANEXOS (CD) ANEXO D: Archivos .FEM simulaciones del Transformador 5 MVA ANEXO E: Tablas y Figuras.

(11) ii. RESUMEN En el presente trabajo de titulación se demuestra que el valor de la reactancia del transformador presenta variaciones cuando se producen deformaciones en la estructura interna del equipo, específicamente en los devanados. Como su nombre lo indica la reactancia de dispersión es un parámetro que describe la cantidad de flujo magnético disperso durante la operación del equipo eléctrico. La reactancia del transformador, así como repercute en la regulación de voltaje, también es un parámetro de protección cuando dentro del sistema eléctrico se producen sobrecorrientes, ya que limita la corriente de cortocircuito.. En este sentido, se implementa una metodología para valorar el estado de los devanados del transformador, la cual se basa en la energía magnética almacenada en el interior de la máquina eléctrica. Se hace uso de una herramienta informática basada en el método de los elementos finitos para el análisis del comportamiento de este fenómeno. Es así que se analizan varios casos de deformaciones en los devanados del transformador, obteniéndose distintos valores de reactancia para cada caso tratado. Del mismo modo, se analiza el efecto que produce en el valor de la reactancia cuando se desplazan horizontalmente los devanados del transformador..

(12) iii. PRESENTACIÓN El presente documento plantea un método para determinar el valor de la reactancia de dispersión del transformador de potencia. Demostrando que este parámetro presenta variaciones en su valor ante deformaciones de sus devanados.. En la introducción, se presenta una breve descripción del transformador como elemento principal dentro del sistema eléctrico de potencia, y además se exponen los conceptos básicos relacionados con la teoría de transformadores, análisis y principios de circuitos electromagnéticos.. En el capítulo 1, se propone el modelo matemático del transformador para la evaluación de los campos magnéticos en el interior del mismo, así como su solución mediante el método de los elementos finitos.. En el capítulo 2, se plantea la metodología para determinar el valor de la reactancia en base a la energía magnética acumulada en el interior del transformador, para luego aplicarla directamente a un transformador real.. En el capítulo 3, se analiza la variación de la reactancia ante diferentes deformaciones de los devanados del transformador.. El capítulo 4 contiene las conclusiones y recomendaciones obtenidas en este trabajo..

(13) 1. INTRODUCCIÓN 0. ASPECTOS GENERALES El transformador es uno de los elementos de más relevancia dentro del sistema eléctrico de potencia, y durante su vida útil está expuesto a diferentes condiciones de estrés eléctrico, tales como descargas eléctricas o fallas del sistema, lo cual afecta su operación. El más mínimo fallo mecánico, así como una deformación en la geometría interna del equipo, específicamente en sus devanados,. ocasionado en la operación, transporte, carga o descarga del. mismo, llega a variar el valor de reactancia del transformador, lo cual podría afectar seriamente a la fiabilidad y estabilidad del sistema de potencia.. Por esta razón, es necesario llevar a cabo un mantenimiento continuo del equipo, tanto para preservarlo como para su diagnóstico. Este mantenimiento puede ser intrusivo, si se manipula directamente la parte interna del equipo, o no intrusivo si su diagnóstico se lo realiza sólo con mediciones externas.. Comúnmente, para el conocimiento de los efectos magnéticos en el interior del transformador, sea la reactancia de dispersión o la reactancia de magnetización, se emplean métodos empíricos de cálculo basados en el equivalente de circuito magnético. Dado al avance en la utilización de métodos numéricos, como el método de elementos finitos, se hace uso de esta herramienta para determinar el estado de los devanados del transformador..

(14) 2. 0.1.. REVISIÓN DE RELACIONES FUNDAMENTALES. Se tomarán en cuenta las principales relaciones dentro de la teoría electromagnética para llevar a cabo el presente proyecto.. 0.1.1. CORRIENTE ELÉCTRICA I La corriente eléctrica, como se expresa en la ecuación (0.1), es la tasa de transporte de carga eléctrica. que pasa por un punto específico o a través de una. superficie determinada. !=. " "#. (0.1). La corriente total I que atraviesa una superficie % como se observa en la Figura 0.1, está dada por:. ! = & '⃗ ∙ "%⃗ = & '⃗ ∙ +,⃗ "% [-] *. *. (0.2). donde ' es la densidad de corriente [-/.0 ] , "%⃗ es el vector perpendicular al. diferencial de superficie, +,⃗ es el vector unitario normal a la superficie, y "% es el diferencial de superficie.. Figura 0.1: Vector densidad de corriente. 0.1.2. LEY DE BIOT-SAVART. Esta ley hace hincapié en. el campo magnético creado por corrientes. estacionarias. En el caso de corrientes que circulan por circuitos filiformes, la. contribución de un elemento infinitesimal de longitud "1⃗’ en la misma dirección de. ,⃗, en el una corriente !′ verá una contribución elemental de campo magnético, "3.

(15) 3. punto situado en la posición que apunta el vector 4⃗5 a una distancia 6 respecto de. "1⃗′ , como se aprecia en la Figura 0.2 y cuya ecuación se expresa en (0.3). ,⃗ = "3. 78 !′"1⃗′ × 4⃗5 4: 60. (0.3). donde 78 es la permeabilidad del vacío igual a 4: × 10>? [H/m].. Figura 0.2: Relaciones geométricas entre un elemento de corriente y la induccion magnetica que produce [1] ,⃗ definido así recibe el nombre de inducción magnética, El campo vectorial 3. ,⃗ [1]. también llamada densidad de flujo magnético o simplemente como campo 3 ,⃗ es el tesla (A). La ecuación (0.3) se ha enunciado en función de La unidad de 3 corrientes filamentarias, pero existen situaciones en las cuales resulta más conveniente expresarlas en función de corrientes distribuidas sobre un volumen o superficie. Por ejemplo, si las corrientes fuente corresponden a una densidad volumétrica '⃗′(C⃗ D ) un resultado análogo a (0.3) quedaría expresado como: ,⃗ = "3. 78 '⃗′(C⃗ D ) × 4⃗5 "E′ 4: 60. (0.4). Tomándose la integral sobre todo el volumen, E′, que contiene a las corrientes..

(16) 4 0.1.3. LEY CIRCUITAL DE AMPÈRE. La ley circuital de Ampère, según se expresa en (0.5), establece que la integral. ,⃗ sobre cualquier trayectoria cerrada es exactamente igual a 7 veces de línea de 3 la corriente encerrada por dicha trayectoria.. ,⃗ ∙ "1⃗ = 7!IJGIKKLML [-] F 3 G. (0.5). Donde 7 = 7K 78 es la permeabilidad del medio o permeabilidad magnética, 78 es. la permeabilidad del vacío, en tanto que 7K es la permeabilidad relativa del medio.. Los materiales pueden clasificarse según su permeabilidad magnética relativa en:. Ferromagnéticos, cuyo valor de permeabilidad magnética relativa es muy superior a 1; Paramagnéticos o no magnéticos, cuya permeabilidad relativa es aproximadamente 1 (se comportan como el vacío); Diamagnéticos, de permeabilidad magnética relativa inferior a 1 [2].. 0.1.4. INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO El campo de fuerza asociado con 3 es la intensidad de campo magnético N, que. está dada por:. ,⃗ = 7N ,⃗ 3. (0.6). ,⃗ , en [-/.], es una magnitud independiente del medio, esto debido a que donde N. si reemplazamos la expresión (0.6) en (0.5), se tiene:. ,⃗ ∙ "1⃗ = 7!IJGIKKLML [-] F 7N G. ,⃗ ∙ "1⃗ = !IJGIKKLML [-] F N. (0.7). G. Para el presente caso de un circuito filiforme, la expresión (0.7) es otra manera de relacionar el campo magnético producido por una corriente filamentaria..

(17) 5. ,⃗ debe haber un grado considerable Para utilizar la ley de Ampère al determinar N. ,⃗ debe ser tangencial o normal a la de simetría en el problema. Para lo cual N. trayectoria cerrada en cada punto manteniendo su magnitud, como se muestra en la Figura 0.3a.. (a). (b). Figura 0.3: Intensidad de campo magnético: (a) Dirección en base a la regla de la mano derecha, (b) alrededor de un conductor con una corriente ingresando por el mismo. La Figura 0.3b representa un conductor por el cual está entrado una corriente !. Si se aplica la ley de Ampère, la intensidad de campo magnético quedaría de la siguiente manera:. N(2:C) = !. N=. ! P Q 2:C .. (0.8). 0.1.5. FLUJO MAGNÉTICO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO El flujo magnético R a través de una superficie se define como: ,⃗ ∙ "%⃗ R=& 3 *. (0.9). La unida del flujo magnético es el weber (ST). Siempre cuando se relaciona 3. con el flujo magnético, a la inducción magnética 3 también se suele denominar como densidad de flujo magnético. Si se considera al vector diferencial de ,⃗, entonces se define a R como: superficie "%⃗ paralelo al vector 3.

(18) donde - es el área de la superficie.. 6. R = 3-. (0.10). 0.1.6. FUERZA ELECTROMOTRIZ O LEY DE FARADAY. Para campos variantes con el tiempo, según [3], Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un campo magnético, entonces un campo magnético debería producir una corriente. Un campo magnético que varía con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de producir una corriente en un circuito cerrado. De esta manera, se considera como fuerza electromotriz al voltaje procedente de los conductores que se mueven en un campo magnético o de campos magnéticos variantes. Como expresa [4], la fem inducida es muy aproximada al voltaje aplicado a un circuito eléctrico. UV. = V = −. "R "#. (0.11). El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una corriente, cuyo flujo, si se suma al flujo original, reduciría la magnitud de la fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para producir un flujo opuesto se conoce como la ley de Lenz.. 0.1.7. FUERZA MAGNETOMOTRIZ De acuerdo con [4], la fuerza magnetomotriz (FMM) representada con el signo ℑˈ es el producto amperios-vuelta, (0.12), que define la fuente del campo magnético en el núcleo, YZZ = ℑ = \!. (0.12). con \ como el número de vueltas o espiras de la bobina, e ! es la corriente. Por otra parte, la fuerza magnetomotriz dentro de un circuito magnético se puede definir como en (0.13)..

(19) 7. ℑ = ℛR ℑ = ℛ3-. (0.13). donde R es el flujo magnético, y ℛ es la reluctancia magnética o resistencia que. un material magnético presenta al paso del flujo magnético. La reluctancia, expresada en términos de la longitud 1 del circuito, y el área - de la sección transversal del circuito junto con su permeabilidad, es. ℛ=. 0.2.. 1 7-. P. -._ − E`V1#4 Q SVTVC. (0.14). TRANSFORMADOR. El transformador es una máquina eléctrica de carácter estático la cual mediante el proceso de inducción electromagnética transforma voltajes y corrientes eléctricas alternas o pulsantes entre dos o más devanados a la misma frecuencia y generalmente a otros valores de voltaje y corriente [5].. De manera general se pueden distinguir los siguientes tipos de transformadores según la función que cumplen dentro del sistema eléctrico, así tenemos:. ·. Transformadores de potencia: generación, de. interconexión y de. distribución. ·. Transformadores de distribución: Medio Voltaje/Bajo Voltaje.. ·. Otros transformadores: servicios auxiliares, aplicaciones industriales.. 0.2.1. TRANSFORMADOR DE POTENCIA. Las referencias [5], [6] y [7] definen como transformador de potencia a aquel transformador que transfiere energía eléctrica de cualquier parte del circuito entre el generador y los circuitos primarios de distribución. Normalmente los transformadores de este tipo son de más de 500 kVA y más de 34 500 V..

(20) 8 0.2.2. TRANSFORMADOR DE DISTRIBUCIÓN. Las referencias [5], [6] y [7] definen como transformador de distribución a aquel transformador que transfiere energía eléctrica desde un circuito primario de distribución a un circuito secundario de distribución o de servicio al consumidor. Normalmente este tipo de transformadores presentan capacidades desde 5 hasta 500 kVA y hasta 34 500 V.. 0.3.. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL TRANSFORMADOR. El transformador se constituye de las siguientes partes principales:. 0.3.1. NÚCLEO. El núcleo tiene como función principal conducir el flujo magnético a través de un circuito que éste conforma. El circuito magnético está compuesto por las columnas, en la cuales se montan los devanados, y las culatas o yugos, las cuales cierran el circuito uniendo entre si las columnas; a los espacios entre columnas y las culatas se denominan ventanas del núcleo. En la Figura 0.4 se presentan dos tipos de núcleos: (a) de columnas o tipo núcleo, y (b) acorazados, esto debido a que sus devanados están abrazados o acorazados por el núcleo magnético; de esta manera se logra disminuir las pérdidas por flujo de dispersión.. (a).

(21) 9. (b) Figura 0.4: Circuitos magnéticos de transformadores monofásicos: (a) tipo columna, y (b) tipo acorazado [6]. En la Figura 0.4 se muestran. los circuitos magnéticos correspondientes a. transformadores monofásicos; también existen circuitos magnéticos que constan de tres columnas idénticas, como se muestra en la Figura 0.5, los cuales corresponden a transformadores trifásicos.. Figura 0.5: Circuito magnético y devanados de un transformador trifásico [6]. Además del número de columnas que pueden presentar los núcleos otro aspecto importante es la sección transversal de las columnas, que para transformadores pequeños estos presentan una forma cuadrada [8], como se puede apreciar en la Figura 0.6; pero para obtener un mejor aprovechamiento del área interior de los devanados (de sección circular), la sección transversal toma la forma de un polígono escalonado, presentando mayor número de escalones mientras más elevada sea la potencia del transformador; denominándose así como sección de tipo cruciforme..

(22) 10. Figura 0.6: Núcleos de transformadores tipo cruciforme [8]. 0.3.2. DEVANADOS. Los devanados de los transformadores constituyen el circuito eléctrico del transformador cumpliendo. la función de conducir la corriente eléctrica. normalmente en forma de hilos redondos, si su diámetro es inferior a 4 mm dentro del diseño; o de sección rectangular, pletinas, cuando se requieren de secciones mayores [8]; generalmente son de cobre aunque también suele utilizarse aluminio [7]. En pequeños transformadores, sus conductores están recubiertos por una capa aislante de barniz, para el caso de transformadores con devanados constituidos de pletinas se utiliza una o varias capas de algodón o cinta de papel [8].. Los devanados, dada su posición relativa entre el bajo y alto voltaje, pueden clasificarse en concéntricos o alternados (Figura 0.7). Las bobinas de los devanados concéntricos tienen forma de cilindros coaxiales; debido a que resulta más fácil de aislar el devanado de bajo voltaje, en comparación con el devanado de alto voltaje, el primero se sitúa más cerca de la columna [8], y entre los dos devanados se coloca un cilindro aislante de cartón o papel baquelizado. En los devanados alternados las partes de los devanados de alto y bajo voltaje se subdividen y suceden de forma alternada a lo largo de la columna, en esta disposición también se logra disminuir de manera considerable el flujo disperso [9]..

(23) 11. (a). (b). Figura 0.7: Tipos de devanados en transformadores: (a) Devanado concéntrico, y (b) devanado alternado [8]. 0.3.3. SISTEMA DE REFRIGERACIÓN. Para evitar que se eleve la temperatura dentro del transformador, se emplea necesariamente un sistema de refrigeración adecuado. Se pueden distinguir los transformadores en seco los cuales al emplear potencias pequeñas la evacuación de calor necesaria se lo efectúa por la superficie externa de la máquina [8], en tanto que para potencias elevadas se emplean aceite mineral como medio refrigerante, resultando los transformadores en baño de aceite.. Entre los sumergidos en aceite [7], se tiene:. Tipo OA: Sumergido en aceite con circulación normal de aire. Tipo OA/FA: Sumergido en aceite con circulación forzada de aire. Tipo OA/FA/FOA: Sumergido en aceite con enfriamiento natural de aire, a base de circulación forzado de aire y a base de aceite forzado. Tipo FOA: Sumergido en aceite con enfriamiento con aire forzado con enfriadores de aire forzado. Tipo OW: Sumergido en aceite, con enfriamiento por agua. Tipo FOW: Sumergido en aceite, con enfriamiento de aire forzado con enfriadores de aire forzado.. Entre los tipos secos [7], tenemos:.

(24) 12 Tipo AA: Circulación natural de aire. Tipo AFA: Circulación forzada de aire u otro gas. Tipo AA/FA: Enfriamiento por circulación natural y forzada de aire.. 0.3.4. SISTEMA DE AISLAMIENTO. El sistema de aislamiento aísla los devanados del transformador entre ellos y a tierra [7], así como las partes cercanas al núcleo y a las partes de acero que forman las estructuras. El sistema de aislamiento en los trasformadores incluye diferentes materiales, tales como:. ·. Cartón prensado (pressboard).. ·. Papel Kraft normal o tratado (insuldur).. ·. Papel manila y corrugado.. ·. Cartón prensado de alta densidad.. ·. Collares de cartón prensado y aislamientos finales.. ·. Partes de cartón prensado laminados.. ·. Esmaltes y barnices.. ·. Recubrimientos orgánicos e inorgánicos para la laminación del núcleo.. ·. Porcelana (boquillas o aisladores).. ·. Recubrimientos de polvo epóxico.. ·. Madera de maple o machiche para armados.. ·. Fibra vulcanizada.. ·. Plásticos y cementos, telas y cintas adhesivas, cintas de fibra de vidrio, etc.. 0.3.5. TANQUE Y ACCESORIOS. Para preservar el aceite, dado que este cumple la función de dieléctrico y refrigerante, los transformadores deben estar contenidos en un tanque hermético [7]. Entre los accesorios más importantes en el transformador de distribución, están: ·. Aisladores de porcelana de alto y bajo voltaje..

(25) 13 ·. Cambiador de derivaciones o taps.. ·. Terminales de cobre para alto y bajo voltaje.. ·. Válvula de muestreo de aceite.. Mientras que para los transformadores de potencia se incluyen los siguientes:. ·. Termómetros con y sin contacto de alarma.. ·. Niveles de aceite con y sin contacto de alarma.. ·. Relevador o relé Buchollz.. ·. Ventiladores, etc.. 0.4.. TRANSFORMADOR IDEAL. Un transformador se considera como ideal, según se aprecia en la Figura 0.8, bajo las siguientes consideraciones [4], [6]:. ·. Las pérdidas en el cobre de los bobinados son despreciables.. ·. No existe flujo de dispersión, todo el flujo magnético es confinado al núcleo ferromagnético y enlaza ambos devanados.. ·. Las pérdidas en el núcleo son despreciables.. ·. La permeabilidad del material del núcleo es infinita.. ·. El material ferromagnético del núcleo no se satura.. Figura 0.8: Transformador ideal conectado con una carga ab [6].

(26) 14 Bajo las suposiciones citadas, cuando se aplica un voltaje de variación temporal. Ec las terminales del bobinado primario, deberá establecer un flujo R de tal. manera que el medidor de fem Vc iguale el voltaje aplicado. Por lo tanto, se tiene la expresión:. Ec = Vc = \c. "R "#. (0.15). Debido a que se asume que no existe flujo disperso, el flujo R debe enlazar todas. las \0 vueltas del devanado secundario [6]. No existen perdidas en el cobre y por lo tanto la resistencia óhmica en el devanado secundario es asumida cero, esto induce un voltaje V0 el cual es el mismo que el voltaje E0 . Entonces, E0 = V0 = \0. "R "#. (0.16). A partir de las relaciones de las ecuaciones (0.15) y (0.16) , se tiene: Ec \c = =4 E0 \0. (0.17). donde 4 es conocido como relación de vueltas o relación de transformación.. Al considerar la permeabilidad del material núcleo infinita, la reluctancia del núcleo. es despreciable. Por lo tanto, la fuerza magnetomotriz necesaria, ℑJId , para magnetizarla es cero. Entonces,. ℑJId = \c ec − \0 e0 = R ℛ = 0 \c ec − \0 e0 = 0 \c ec = \0 e0. (0.18). donde ℛ es la reluctancia del núcleo magnético, luego ec \0 1 = = e0 \c 4. Si se igualan las ecuaciones (0.17) y (0.19), se tiene la siguiente expresión:. (0.19).

(27) 15 Ec ec = E0 e0. (0.20). En conclusión, en un transformador ideal los voltajes se convierten en proporciones directas con el número de vueltas del devanado, las corrientes en proporción inversa; la potencia permanece sin cambios.. 0.5.. TRANSFORMADOR PRÁCTICO. El análisis presentado para el caso de un transformador ideal únicamente se hace necesario para explicar los fundamentos de un transformador activo. Ahora se analiza el caso de un transformador real el cual se muestra en la Figura 0.9.. Figura 0.9: Esquema de un transformador real [6] Siempre que un material magnético se somete a una magnetización cíclica, dos tipos de perdidas, por corrientes de foucault o también conocidas como de eddy o parásitas y pérdidas por histéresis, ocurren en él. Estas pérdidas están siempre presentes en el transformador, esto debido a que su flujo por el núcleo ferromagnético es de naturaleza alterna [9]. Las pérdidas por histéresis están asociadas con el reacomodamiento de los dominios magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo, que se justifican en desprendimiento de energía en forma de calor [6]; en tanto que las pérdidas por corrientes de foucault aparecen en el material por la fuerza electromotriz inducida que provoca corrientes de circulación por la masa del núcleo [8]. Las pérdidas por histéresis y por corrientes de eddy son minimizados por el uso de un mejor grado del material del núcleo y por.

(28) 16 delgadas laminaciones, este tipo de pérdidas se les denomina de manera general como pérdidas en el hierro.. 0.6.. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL. La corriente en vacío, !8 , consiste de la componente de magnetización. o. excitación ( !f ) responsable por producir el flujo mutuo Rf y la componente por pérdidas en el núcleo (!G ) que representan la potencia activa extraída de la fuente. para suministrar las pérdidas parásitas y por histéresis. En el circuito equivalente mostrado en la Figura 0.10, la componente de magnetización es representada por. la reactancia inductiva gf , y mientras que la componente debido a pérdidas en el núcleo es representada por una resistencia 6G .. Figura 0.10: Circuito magnético equivalente de un transformador real 6c y 60 son las resistencias de los devanados primario y secundario, respectivamente. Parte del flujo magnético generado en el devanado primario no. concatena con el secundario, esta componente del flujo es proporcional a la corriente primaria y es responsable de una caída de voltaje, representada por una reactancia gc denominada reactancia de dispersión..

(29) 17. CAPITULO 1 1. MODELO DEL TRANSFORMADOR PARA EVALUACIÓN DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS Dentro de algunos campos de las ciencias aplicadas, así como la ingeniería se trata de describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; estos pueden ser físicos, sociológicos o hasta económicos [10]. La representación o descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina como modelo matemático. Para el caso del transformador, su comportamiento en términos matemáticos puede ser modelado como una reactancia, una impedancia serie de resistencia y reactancia, etc., esto dependiendo del fenómeno a ser estudiado. En general, las ventajas al implementar un modelo dependerán de la situación a ser modelada y del problema planteado.. En el presente capítulo se desarrolla un modelo para la determinación del campo magnético que se presenta en el interior de un transformador, cuando existe circulación de corriente eléctrica por sus devanados.. 1.1.. MAGNETOSTÁTICA. Los imanes, los motores eléctricos y transformadores son elementos en los que se pueden encontrar los problemas que implican magnetostática. El término "estática" implica que la tasa de tiempo de cambio es lenta, por lo que se debe realizar un análisis de las ecuaciones de Maxwell para casos estables [11].. Una situación estacionaria es aquella en que la densidad de corriente en todas las regiones de interés solo depende de la posición y no depende explícitamente del tiempo. En este caso las líneas de la densidad de corriente ' mantienen su forma. en el tiempo [12]..

(30) 18 1.1.1. CORRIENTE ELÉCTRICA ESTACIONARIA. Según [12] y [13] se denomina corriente eléctrica estacionaria a la corriente. eléctrica que se produce en un conductor de forma que la densidad de carga h de cada punto del conductor es constante, es decir que se cumple que: "h =0 "#. (1.1). Estas corrientes se producen de forma que la derivada parcial de la densidad de carga respecto al tiempo es cero en todos los puntos del conductor. Por tanto, para ellas la ecuación de continuidad [1] (1.2) toma la forma (1.3): ∇ ∙ '⃗ +. "h =0 "#. ∇ ∙ '⃗ = 0. (1.2). (1.3). La ecuación de continuidad expresa la conservación de la carga eléctrica, cuyo modelo matemático es de carácter experimental [1].Todas las corrientes eléctricas que se emplean para transportar energía, entre las que se incluyen las corrientes alternas de 50 ó 60 Hz, se podrían considerar como corrientes estacionarias [11].. 1.1.2. CAMPOS CREADOS POR CORRIENTES ESTACIONARIAS ,⃗ para corrientes distribuidas Como se expresó en (0.3), la inducción magnética 3. sobre un volumen o superficie según la ley de Biot-Savart está dada por: ,⃗ = "3. 78 '⃗′(C⃗ D ) × 4⃗5 "E′ 60 4:. Si se considera un conductor que ocupa un volumen E′ , cuyos puntos son localizados por el vector posición C⃗ D = U(k D , n D , o D ), por el cual circula una corriente. ,⃗ creada por estacionaria de densidad de corriente '⃗′(C⃗ D ). La inducción magnética 3.

(31) 19. la corriente en un punto p de vector posición C⃗ vendrá dada por la integral de la. ecuación anterior, en la cual 6,⃗ = C⃗ − C⃗′, tal como se muestra en (1.4). ,⃗ = 3. 78 '⃗′(C⃗ D ) × 4⃗5 "E′ & 4: qr 60. (1.4). El gradiente de un campo escalar viene dado por (1.5). 1 4⃗ ,∇⃗ s t = − 5 6 60. 4⃗5 1 ,⃗ s t = −∇ 0 6 6. (1.5). Si se aplica (1.5) a la ecuación (1.4) se tiene: ,⃗ = 3. 78 1 ,⃗ s tQ "E′ & '⃗D (C⃗ D ) × P−∇ 6 4: qr. 7 1 ,⃗ = 8 & ,∇⃗ s t × '⃗D (C⃗ D ) "E′ 3 4: qr 6. (1.6). En cálculo vectorial se cumple la identidad: ,⃗vw × U⃗ = ∇ ,⃗ × uvU⃗w − vu∇ ,⃗ × U⃗w u∇. (1.7). c Se aplica la ecuación (1.7) a (1.6) con v = 5 y U⃗ = '⃗D (C⃗ D ), y se tiene:. ,⃗ = 3. 1 78 1 ,⃗ × s t '⃗′(C⃗ D ) − s t x∇ ,⃗ × '⃗′(C⃗ D )yQ "E′ & P∇ 4: qr 6 6. (1.8). Teniendo en cuenta que, el operador gradiente ,∇⃗ actúa solamente sobre las. variables de las coordenadas del vector C⃗, mas no en las coordenadas de C⃗′, se. podría decir que:. ,∇⃗ × '⃗D (C⃗ D ) = 0. (1.9).

(32) 20. con lo cual, ,⃗ = 3. 78 1 & ,∇⃗ × s t '⃗′(C⃗ D ) "E′ 4: qr 6. (1.10). Así también, el operador gradiente ,∇⃗ , no primado, sugiere que las variables de integración primadas se comporten como constantes, por lo tanto: ,⃗ = 3. 78 1 ,⃗ × & s t '⃗′(C⃗ D ) "E′ ∇ 4: qr 6. (1.11). ,⃗ es el rotacional de algún campo vectorial, es decir: Según (1.11), 3 ,⃗ = ∇ ,⃗ × -⃗ 3. (1.12). Se denomina a -⃗ como Vector Potencial Magnético, que para el caso de. corrientes estacionarias que ocupan un volumen en el espacio admite la expresión mostrada en (1.13) a partir de (1.11) . -⃗ =. 78 '⃗′(C⃗ D ) "E′ & 4: qr 6. (1.13). El Teorema de Helmholtz establece que un campo está unívocamente determinado a través de su rotacional y su divergencia [14], [15]. Entonces para. definir a - como un campo solo se conoce su rotacional que viene impuesto por (1.12) y su divergencia queda en principio indeterminada, esto da la libertad de. ,⃗ no sufran alguna escoger su divergencia de manera que los campos z,⃗ y 3 alteración. Una posibilidad interesante y que simplifica muchos cálculos consiste en imponer la condición1 ,⃗ ∙ -⃗ = 0 ∇. 1. ,⃗. En el Anexo A se muestra que la imposición de este gauge no altera los campos z,⃗ y 3. (1.14).

(33) 21 Este es un gauge específico denominado como Gauge de Coulomb [14]. La imposición de este gauge no conduce todavía a un valor único de -⃗ ya que aún es. necesario especificar las condiciones de frontera [12]. Es así que el potencial. vectorial magnético definido en (1.14) implícitamente también está determinando su valor en la frontera - = 0 en el infinito, esto debido a que se asume que la corriente es localizada.. ,⃗ se describe De la misma manera, el comportamiento del campo magnético 3. mediante las ecuaciones de Maxwell (1.15) y (1.16). ,⃗ ∙ 3 ,⃗ = 0 ∇. (1.15). ,{ ,⃗ × 3 ,⃗ = 78 '⃗(C⃗). (1.16). La ecuación (1.15) explica que no existen monopolos magnéticos o cargas magnéticas, masas magnéticas aisladas; es decir que, no existen fuentes puntuales de campo magnético [1], [16]. Entendiéndolo de otra manera: las líneas de campo magnético no nacen ni mueren de manera neta en ninguna parte, dado que son siempre cerradas [17]. En tanto que, la ecuación (1.16) expresa esencialmente que las fuentes primarias de campo magnético son las corrientes eléctricas, y a su vez son perpendiculares a las líneas que unen cualquier punto con el recorrido de la corriente eléctrica, como se mostró en la Figura 0.3.. 1.1.3. ECUACIÓN. DE. MAXWELL. PARA. MEDIOS. ISOTROPICOS. HOMOGENEOS LINEALES. La ecuación (1.17) está expresada para el medio vacío, donde 7K tiene el valor de. 1, que a la vez es equivalente a la permeabilidad del aire. También cabe recalcar que la ecuación de Ampere-Maxwell cumple con la condición de que el medio es lineal [18], si la inducción magnética varía linealmente con intensidad de campo magnético, expresado de la siguiente manera: 3=7N. (1.17).

(34) 22. Además, un medio es homogéneo si 7 no varía de un punto a otro, e isotrópico si en un punto dado las propiedades del medio son independientes de la dirección. de 3 [1], es decir que la inducción magnética es paralela a la intensidad de campo magnético, como se expresó en (0.6) que. ,⃗ = 7 N ,⃗ 3 De este modo, la ecuación de Ampère-Maxwell (1.16) puede expresarse también independiente del medio en los que están inmersos los campos, dado que la. ,⃗ resumiría los efectos magnéticos de la materia. intensidad de campo magnético N. ,⃗ , se expresaría de la siguiente Por lo tanto la ecuación (1.16) en términos de N manera:. 1.2.. ,{ ,⃗ × N ,⃗ = '⃗(C⃗). (1.18). ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DEL MODELO DEL TRANSFORMADOR. ,⃗ es el rotacional del Vector potencial magnético, se Como se expresó en (1.12), 3. reemplaza esta identidad en (1.16), de la siguiente manera ,,⃗ × 3 ,⃗ = 78 '⃗(C⃗) {. ,{ ,⃗ × u∇ ,⃗ × -⃗w = 78 '⃗(C⃗). (1.19). Notándose que para el lado izquierdo de la ecuación (1.19) cumple con la identidad vectorial definida como: ,∇⃗ × u∇ ,⃗ × U⃗w = ∇ ,⃗u∇ ,⃗ ∙ U⃗w − ∇ ,⃗0 U⃗. (1.20). La cual aplicándose a (1.19) se tendría ,∇⃗u∇ ,⃗ ∙ -⃗w − ∇ ,⃗0 -⃗ = 78 '⃗(C⃗). (1.21).

(35) 23. Bajo la consideración del gauge de coulomb se llega a ,⃗0 -⃗ = 78 '⃗(C⃗) −∇. (1.22). La expresión de la izquierda ,∇⃗0 , se conoce como el Laplaciano del vector. potencial. La ecuación anterior expresa que el potencial vectorial magnético satisface una ecuación de Poisson vectorial, cuyas fuentes son las componentes del vector densidad de corriente. La ecuación (1.22) se compone de tres. ecuaciones de Poisson escalares, una para cada componente de -⃗ , de la siguiente manera:. ,⃗0 -⃗(C⃗) = ∇ ,⃗0 -| (C⃗)` ,⃗0 -} (C⃗)` ,⃗0 -~ (C⃗)` ∇ ,⃗| + ∇ ,⃗} + ∇ ,⃗~ Por lo tanto,. ,⃗0 -| (C⃗) = 78 '| (C⃗) −∇. ,⃗0 -} (C⃗) = 78 } (C⃗) −∇ ,⃗0 -~ (C⃗) = 78 '~ (C⃗) −∇. (1.23). (1.24). La solución a los problemas de magnetostática consiste en resolver estas. ,⃗ ∙ -⃗ = 0 [19]. ecuaciones, teniendo en cuenta que el resultado debe cumplir ∇. Asumiendo que el vector densidad de corriente está dirigido sobre el eje o (Figura 1.1), se puede deducir de la expresión (1.24) que al vector potencial magnético solo le corresponderá la componente del eje o, de la siguiente manera. ,⃗0 -~ (C⃗) = 78 '~ (C⃗) −∇. (1.25). Considerando la permeabilidad del medio, de manera general se tendrá. ,⃗0 -~ (C⃗) = 7 '~ (C⃗) −∇. ,⃗0 -~ (C⃗) = 7K 78 '~ (C⃗) −∇. (1.26).

(36) 24 Ahora la ecuación (1.26) expresada en coordenadas rectangulares, y a la vez analizando un transformador con una geométrica ubicada en el plano kn y una. corriente con dirección sobre el eje o (Figura 1.1), será: ,⃗ ∙ ∇ ,⃗ -~ (C⃗) = 7K 78 '~ (C⃗) −∇. ,⃗ ∙ ∇ ,⃗ −∇. −. 1 - (C⃗) = 78 '~ (C⃗) 7K ~. 1 0 -~ 0 -~ − 0 + = 78 '~ 7K k n 0. 1 -~ 1 -~ s t− s t = 78 '~ k 7K k n 7K n. (1.27). Obteniéndose de esta manera el modelo para el transformador expresado en una ecuación diferencial parcial.. Figura 1.1: Geometría del transformador en coordenadas rectangulares. 1.2.1. CONDICIONES DE BORDE. Una descripción completa de un problema electromagnético debe incluir información sobre las ecuaciones diferenciales y sus condiciones de borde [20]. Ahora se hace necesario también imponer las condiciones de borde con respecto al potencial magnético. Por la condición (1.14), se cumple que [18]: -⃗ ∙ +,⃗ = 0. LL L u-⃗LKK − -⃗ w ∙ +,⃗ = 0 . L -LKK = - . LL. (1.28) (1.29) (1.30).

(37) 25 Es así que, el vector potencial en magnetostática es continuo a través de cualquier superficie [1],[18]; y la condición (1.14) garantiza que la componente normal sea continua. Por lo tanto, para el eje o, -~ = -~ >. 1.3.. (1.31). SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DEL MODELO DEL TRANSFORMADOR POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Las Ecuaciones Diferenciales Parciales , abreviadamente EDP, ( [10], [21]) son de gran utilidad cuando se trata del modelamiento de fenómenos naturales, y dentro de la teoría clásica de las EDP existen diversos métodos para su solución [22], que varían de acuerdo al tipo de ecuación que se esté tratando, pero los mismos requieren mucha regularidad de las funciones que intervienen en la EDP, lo cual pueden alejarse del problema modelado cuando se hacen simplificaciones que tienen influencia no despreciable en los resultados. Sobrellevar dichas restricciones dio lugar a técnicas numéricas, como el método de elementos finitos, las mismas que no buscan obtener una solución explicita, sino solamente estudiar el comportamiento cualitativo: existencia, unicidad, estabilidad y regularidad de la solución [21]. Entonces (1.27) para su solución puede tomarse dos caminos uno exacto, no siempre aplicable, y otro aproximado.. 1.3.1. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. El Método de Elementos Finitos, abreviadamente FEM de sus siglas en inglés de Finite Element Method, es un procedimiento usado para encontrar una aproximación numérica a la solución de los problemas de frontera en ecuaciones diferenciales parciales [23].El concepto fundamental del FEM es que cualquier cantidad continua, por ejemplo un campo, puede ser aproximada por un modelo discreto compuesto de una serie de funciones continuas segmentadas definidas sobre un número finito de subdominios [24]. De ahí la denominación del método debido a que el dominio o la región limitada en análisis se dividen en subdominios.

(38) 26 elementales, que se denominan elementos finitos, y las ecuaciones de campo se aplican a cada uno de ellos [25]. Por ejemplo, en aplicaciones de dos dimensiones, el dominio puede ser discretizado en áreas finitas tales como triángulos. Los puntos que definen a los triángulos son los “nodos” o “vértices”, mientras que el triángulo en sí mismo es el “elemento”. El conjunto de elementos se denomina “malla” [13].. 1.3.2. JUSTIFICACIÓN O VENTAJAS DEL USO DEL FEM. El FEM permite obtener soluciones del campo en estudio sin importar que los materiales sean no homogéneos, anisótropos, no lineales, o a su vez que su campo varíe en el tiempo [25], [26], [27]. Puede aplicarse a cuerpos compuestos por varios materiales y con geometrías complejas. Las formas irregulares que se presenten en la frontera pueden ser aproximados usando elemento con lados rectos o exactamente lados curvos [27], [28]. En la Figura 1.2 se puede observar la discretización de un cuerpo arbitrario con el método propuesto y la ventaja que presenta en comparación con el método de diferencias finitas.. Figura 1.2: (a) cuerpo arbitrario; y discretización con el método de: (b) diferencias finitas, y (c) elementos finitos.. 1.3.3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELECTROMAGNÉTICO. Los problemas electromagnéticos en términos de derivadas parciales con condiciones de borde pueden ser representados mediante (1.32), R = U. (1.32).

(39) 27. donde es un operador diferencial, R es la función a ser determinada, y U es la. función de excitación o fuente. Para el caso de problemas magnetostáticos que involucran la ecuación de Poisson, se tiene: ,⃗0 - = 7 ' , −∇. con:. en el dominio Ω. (1.33). ,⃗0 = −∇ R=-. U=7'. Para el caso de problemas de valor de frontera en dos dimensiones, la ecuación diferencial viene establecida por: −. R R s| t − s} t + R = U k n k n. (1.34). donde k, n ∈ Ω, que es la región de interés. La expresión anterior trata de una. ecuación diferencial de segundo orden. Los parámetros | , } y son conocidos,. y definidos por la naturaleza del problema.. 1.3.3.1.. Condiciones de borde. Para definir completamente el problema, se tiene que establecer ciertas. condiciones que debe cumplir la función R en determinados puntos del dominio Ω,. denominadas como condiciones de borde o valores de frontera.. Las condiciones de borde consideradas están dadas por [15], [25]:. 1.3.3.1.1. Condición del primer tipo o de Dirichlet. Asigna una constante al potencial del contorno de la región. R = _ en el borde Γc. (1.35).

(40) 28 1.3.3.1.2. Condición del segundo tipo o de Neumann. Asigna un sentido perpendicular a las líneas de campo que pasen por el contorno, es decir, dan un valor nulo a la derivada normal. x| | ⃗ + } } ⃗y ∙ +,⃗ = . . en el borde Γ0. (1.36). 1.3.3.1.3. Condición del tercer tipo x| | ⃗ + } } ⃗y ∙ +,⃗ + R = . . en el borde Γ0. (1.37). donde Γ = Γc + Γ0 denota el contorno que encierra el área o dominio Ω; ⃗ y ⃗ son. los vectores unitarios en coordenadas rectangulares, +,⃗ es el vector unitario normal a la frontera; y , _ y. son parámetros definidos por las propiedades físicas de la. frontera. Particularmente, _ y. pueden ser considerados como fronteras fuente. [20].. Figura 1.3: Dominio bidimensional Ω que presenta una interfaz de discontinuidad denotado por [20] Por las consideraciones definidas en el presente estudio se utilizará la condición de borde R = _ . Así por ejemplo cuando el vector potencial magnético a determinarse es cero (- = 0) en el infinito o como sus bordes pueden presentar. diferentes potenciales si se tratase de una placa.. 1.3.3.2.. Discontinuidades. Si | y } presentan discontinuidades o abruptos cambios, y además, si no hay. fuente superficial de cualquier tipo en la interfaz de la discontinuidad, entonces R.

(41) 29 satisface las condiciones de continuidad:. y. x|. |. ⃗ + }. }. R = R > en el borde ΓM. ⃗y ∙ +,⃗ = x|>. |. ⃗ + }>. }. (1.38) ⃗y ∙ +,⃗ en el borde ΓM ,. (1.39). donde los signos + y – indican uno u otro lado del área Ω, la cual está dividida por. el borde ΓM , y +,⃗ es el vector normal a ΓM , así como se muestra en la Figura 1.3.. Las condiciones de borde expresadas en (1.35) y (1.36) son de carácter opcional, mientras que las condiciones (1.38) y (1.39), producto de las discontinuidades, son necesarias y parte de la resolución del problema en el que se presenta este caso; así por ejemplo cuando se tiene una región compuesta por dos subregiones, la una con una permeabilidad relativa 7K de uno y la otra de mil. 1.3.4. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN DEL FEM. Los principales pasos dentro de la aplicación del método de los elementos finitos, constituyen:. 1.3.4.1.. Discretización del dominio. El primer paso es dividir el dominio Ω en subdominios o elementos. bidimensionales ( V = 1, 2, 3, … , Z ), siendo Z el número de subdominios. Dependiendo si el problema es en. dos o tres dimensiones la región puede. dividirse en triángulos, rectángulos, tetraedros o paralelepípedos [13], [20], [29] [25]. Para el presente estudio se utilizan elementos triangulares, donde cada elemento está relacionado con tres nodos, cada nodo puede ser asignado por una etiqueta local en el elemento asociado, y también por una etiqueta global relativa a todo el sistema (Figura 1.4).. Con el fin de relacionar estos tres conceptos, se creará una matriz de. dimensiones 3kZ , denotada por +(e, V) donde e es el número de nodos del.

(42) 30. elemento V (e = 1,2,3), y el valor dentro de cada celda de la matriz es el número. global del nodo. Como se indica en la Figura 1.4a, un dominio compuesto por. cuatro elemento y seis nodos, en el cual se puede diferenciar la relación entre un nodo local y global, la matriz de conectividad +(e, V) puede ser numerada como en la Tabla 1.1.. (a). (b). Figura 1.4: (a) Discretización de un dominio en elementos triangulares con su numeración global, y (b) Sentido de numeración local de los nodos para cada elemento [30] Tabla 1.1: Matriz de conectividad n(1,e) n(2,e) n(3,e). 1.3.4.2.. e=1 2 4 1. e=2 5 4 2. e=3 3 5 2. e=4 5 6 4. Interpolación. Como se muestra en la Figura 1.4b, para la discretización se usan elementos triangulares por lo que se generan tres ecuaciones con tres incógnitas correspondientes a los vértices o nodos de cada elemento. De esta manera, la función de aproximación es de característica lineal, tal como se expresa en (1.40), siendo el superíndice V el elemento para el cual es formulado la aproximación. lineal, junto con los coeficientes 4I , T I ,y I que son constantes a ser determinadas.. R I (k, n) = 4I + T I k + I n. (1.40).

(43) 31. En este caso se debe determinar el valor de R en los vértices de cada elemento,. entonces se tendrá tres ecuaciones que corresponderán a los vértices 1, 2 y 3, de la siguiente manera:. RcI = 4I + T I kcI + I ncI R0I = 4I + T I k0I + I n0I. (1.41). RI = 4I + T I kI + I nI. donde kI y nI corresponden a las coordenadas de cada vértice o nodo dentro del. elemento ( = 1,2,3). Resolviendo y reagrupando términos, se obtienen los valores. de los coeficientes de 4I , T I , y I y si se reemplaza en la ecuación (1.40), se tiene:. R. I (k,. n) = \I (k, n) RI. Donde \I (k, n) viene dado por: \I (k, n) =. . (1.42). c. 1 u4I + TI k + I nw; 2∆I . = 1, 2, 3. (1.43). en la cual: 4cI = k0I nI − k0I nI. TcI = n0I − nI. 40I = kI ncI − kI ncI y. 4I. =. kcI n0I. −. kcI n0I. 1 1 I ∆ = ¢1 2 1. T0I = nI − ncI kcI k0I kI. TI. =. ncI. − n0I. ncI 1 n0I ¢ = (TcI 0I − T0I cI ) 2 nI. cI = kI − k0I 0I = kcI − kI I. =. k0I. −. kcI. (1.44). (1.45). Y cumple la propiedad: \I ukI , nI w = £. 1 e= 0 e≠. e, = 1,2,3.. (1.46).

(44) 32. La expresión anterior explica que \ I (k, n) se anula cuando el punto de. observación (k, n) dentro de un elemento es opuesto al nodo , así como se muestra en la Figura 1.5.. Figura 1.5: Funciones de aproximación ¦§ del elemento triangular lineal [31] 1.3.4.3.. Problema planteado en forma integral. Las ecuaciones (1.32) a (1.37) plantean en forma diferencial el problema de valor de frontera para dos dimensiones. La ecuación (1.47) representa el problema planteado en su forma integral [20], [25], [30], [31]. 1 R 0 R 0 Y(R) = ¨ ©| s t + } s t + R 0 ª "Ω + & x R 0 − R y "Γ − ¨ UR"Ω 2 k n 2 Ω. y debe cumplir:. «¬. £. Y(R) = 0 R=_ en el borde Γc. Ω. (1.47). (1.48). Se puede resolver directamente la ecuación de Poisson, (1.33), o a su vez resolver (1.47) junto con (1.48) para determinar R [32]. Cabe mencionar que este. procedimiento es usado especialmente para aquellas geometrías para las cuales la ecuación de Poisson no puede ser resuelta fácilmente (por ejemplo materiales con propiedades no homogéneas, dieléctricos no homogéneos y geometrías irregulares) [32]..

(45) Por lo expresado en (1.27) se observa que =. 33. = 0 y también = 0 ,. anulándose la integral de línea. Así que (1.47) puede ser expresado como [20]: ´. Y(R) = Y I (R I ). (1.49). Ic. donde Z es el número total de elementos V y Y I es la función que describe al e-. ésimo elemento dado por: Y. I (R I ). 1 R I R I = ¨ ©| s t + } s t ª "Ω − ¨ UR I "Ω k n 2 0. 0. Ωµ. Ωµ. (1.50). En donde ΩI representa el dominio del e-ésimo elemento. Tomando en cuenta la. expresión (1.42) y derivando Y I con respecto a todos los valores de los vértices R I , junto con sus identidades según (1.43), se obtiene: . \ I \I \ I \I ∂Y I I (k, n) ¨ © = R + ª "Ω | } ∂R I k k n n c. Ωµ. − ¨ U\ I "Ω ,. (1.51). e = 1,2,3. Ωµ. Y en su forma matricial [20], [25], [30] puede ser expresado como:. donde:. P. ∂Y I Q = [· I ][R I ] − [# I ] ∂R I. ∂Y I ⎡ I⎤ ⎢∂Rc ⎥ RcI I ∂Y ⎢ ∂Y I ⎥ P I Q = ⎢ I ⎥ ; [R I ] = ¾R0I ¿ ∂R ∂R RI ⎢ 0I ⎥ ∂Y ⎢ ⎥ ⎣∂RI ⎦. Los elementos de la matriz [· I ] están dados por:. (1.52).

(46) 34 · I. \ I \I \ I \I = ¨ ©| + } ª "Ω k k n n Ωµ. e = 1,2,3. (1.53). Junto con los elementos del vector [# I ] dados por: # I = ¨ U\ I "Ω Ωµ. e = 1,2,3. (1.54). La matriz [· I ] es simétrica. Si se asume ahora que los coeficientes | , } , junto con la función de excitación U son constantes dentro de cada elemento e igual a. |I , }I , U I , respectivamente. Entonces las integrales anteriores pueden ser. evaluadas analíticamente como:. · I =. 1 u I T I TI + }I I I w 4ΔI | #I =. 1.3.4.4.. ΔI I U 3. (1.55). (1.56). Ensamble del sistema de ecuaciones. Con la ecuación elemental (1.52) se puede ensamblar todos los Z elementos, y luego imponer la condición que la primera variación de Y I sea igual a cero [31]. ´. ´. Ic. Ic. ∂Y I ∂Y I P Q = P I Q = Á[· I ][R I ] − [# I ]Â = 0 ∂R ∂R. (1.57). Entonces el sistema de ecuaciones puede escribirse compactamente como: [·][R] = [#]. (1.58). Donde [·] es ensamblado de [· I ] y [#] ensamblado de [# I ]. De esta manera se puede mostrar que la matriz [·] y el vector [#], para el ejemplo de los cuatro. elementos y seis nodos, forman los sistemas:.

(47) 35 ·c ⎡ c ⎢·c [· c ] = ⎢ 0c ⎢·0 ⎢ 0 ⎣ 0. c ·c c ·cc 0 c ·0c 0 0. 0 0 ⎡0 · ⎢ 0 · c [· ] = ⎢ ⎢0 0 ⎢0 ·0 ⎣0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 ·c ·cc 0 ·0c 0. c ·0 c ·c0 0 c ·00 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 ·0 ·c0 0 ·00 0. 0 ⎤ 0⎥ 0⎥ ; 0⎥ 0⎥ 0⎦. 0 0⎤ ⎥ 0⎥ ; 0⎥ 0⎥ 0⎦. 0 0 0 0 0 0 ⎡0 · 0 0 · 0 · 0 0 ⎤ 0 c ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0⎥ 0 [· ] = ⎢ ; 0 0 0 ⎢0 ·0 0 ·00 ·0c 0⎥ 0 0 0 ⎢0 ·c 0 ·c0 ·cc 0⎥ ⎣0 0 0 0 0 0⎦ 0 0 0 0 0 0 ⎡0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎢0 0 0 0 0 0 ⎥ Ã [· ] = ⎢0 0 0 · Ã · Ã · Ã ⎥ c 0 ⎥ ⎢ Ã Ã Ã 0 0 0 · · · c cc c0 ⎥ ⎢ Ã Ã Ã ·0c ·00 ⎣0 0 0 ·0 ⎦. (1.59). Se suman las matrices [· I ] y se obtiene: ·c ⎡ c ⎢·c ⎢ 0 [·] = ⎢ c · ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ 0. [·] = [· c ] + [· 0 ] + [· ] + [· Ã ]. c ·c c 0 ·cc + · + · ·c c 0 ·0c + ·0 0 ·c + ·0 0. 0 ·c ·cc 0 ·0c 0. c ·0 c 0 ·c0 + ·0 0 c 0 Ã ·00 + ·00 + · 0 Ã ·c0 + ·c Ã ·0. De la misma manera para el vector [#],. 0 0 ·c ·c0 0 Ã ·0c + ·c 0 Ã ·cc + ·00 + ·cc Ã ·0c. 0 0 0 #c ⎡0⎤ ⎡ c ⎤ ⎡# ⎤ ⎡# 0 ⎤ ⎢0⎥ ⎢#c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 # c 0 0 Ã c ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [# ] = c ; [# ] = 0 ; [# ] = ⎢ ⎥ ; [# ] = ⎢# Ã ⎥ ⎢#0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢#0 ⎥ ⎢ Ã ⎥ ⎢#c0 ⎥ ⎢#0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢#c ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣#0Ã ⎦ #c ⎡ c ⎤ 0 ⎢#c + # + # ⎥ ⎢ ⎥ #c [#] = [#c ] + [# 0 ] + [# ] + [# Ã ] = ⎢ c 0 Ã⎥ # + #0 + # ⎢ 00 ⎥ Ã ⎢#c + #0 + #c ⎥ #0Ã ⎣ ⎦. 0 ⎤ 0 ⎥ 0 ⎥ Ã ⎥ ·0 Ã ⎥ ·c0 ⎥ Ã ·00 ⎦. (1.60). (1.61). (1.62).

(48) 36 1.3.4.5.. Condiciones de bordes. Antes de proceder a la resolución del sistema de ecuaciones, es decir, a determinar cada uno de los valores de R en sus respectivos nodos, la condición. de Dirichlet debe ser aplicado a los nodos + que se localizan en el borde Γc de la región Ω, para lo cual se debe cumplir que:. ·JJ = 1. (1.63). ·JÄ = 0. (1.64). #J = _J. (1.65). donde ℎ = 1,2, … , \ con \ como el número total de nodos en el dominio Ω. Se ha elegido esta condición dado que esta es la que mejor se adapta y es de fácil. aplicación al modelo del transformador que se cita en (1.27). De esta manera, cualquier problema magnetostático 2 ,(1.34), en particular para el caso del transformador puede ser resuelto mediante el método de los elementos finitos, bajo las consideraciones: | = } = Æ ; c. Ç. R = -~ ;. = 0;. U = 78 '~. (1.66). Si se determina el vector potencial en cada nodo del dominio se puede determinar la inducción magnética, bajo el criterio del rotacional. De inducción magnética en el plano kn es: 3| =. -~ n. n. 3} = −. -~ k. tal manera que la. (1.67). Los mismos que en un dominio discretizado por elementos triangulares se resuelve como se indica en (1.68) [20]. 3|I. 2. . 1 = I RI 2ΔI c. n. 3}I. . 1 = − I TI RI 2Δ c. En el Anexo B se da un ejemplo aplicativo a un campo magnetostático.. (1.68).

(49) 37. CAPÍTULO 2 2. CÁLCULO DE LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN MEDIANTE CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS En este capítulo se presenta una metodología para determinar el valor de la reactancia de dispersión en un transformador al considerar la energía acumulada del campo magnético.. 2.1.. LA. REACTANCIA. DE. DISPERSIÓN. EN. EL. TRANSFORMADOR Como se mencionó en la introducción al presente trabajo, en un transformador ideal, existe un único flujo magnético que circula por el núcleo que enlaza los devanados primario y secundario, pero en la práctica siempre existe un flujo llamado flujo de dispersión, que enlaza únicamente un devanado. A su vez, estos flujos. pueden ser tratados como inductancias dentro del estudio del. transformador, es así que la denominada reactancia de magnetización producto del flujo magnético mutuo o útil. es. confinado a través del núcleo del. transformador, y mientras que la reactancia de dispersión o en el aire, se debe al flujo magnético que no enlaza el circuito magnético sino que se dirige a través del aire. Si el material ferromagnético del núcleo fuese de permeabilidad magnética infinita, es decir un material ideal, todo el flujo magnético producido se utilizaría en lo que se denomina flujo de excitación. Entonces no existirían pérdidas por dispersión ni caídas de voltaje, pero, como se cita en [4] y [7], este idealismo no limitaría las altas corrientes de cortocircuito. En otras palabras, la reactancia de dispersión protege al transformador contra su destrucción durante el tiempo necesario para que funcionen los dispositivos de protección. Las reactancias de dispersión se encuentran en el orden del 4 al 20% en la propia base del transformador de potencia [33], [34]..

(50) 38 2.1.1. INDUCTANCIAS, FLUJO MUTUO Y DISPERSO. Por la ley de Biot-Savart, (0.3), se sabe que la circulación de una corriente produce un campo magnético o inducción magnética, de esta manera para un circuito estacionario, los únicos cambios en el dominio del tiempo de flujo magnético resultan de cambios en la corriente [16], es decir que, el flujo. magnético R es directamente proporcional a la intensidad de corriente !. A esta relación se define como inductancia propia o autoinductancia (2.1). =. "R "!. [ST/-] ≡ [N]. (2.1). Considerando la presencia de otro circuito estacionario adyacente al primero [18], sucede que algunas líneas de campo magnético 3c del circuito uno atraviesan al. segundo, de este modo el flujo magnético Rc0 en el circuito 2 debido solamente a las líneas de 3c, que atraviesan la superficie %0 estarían dadas por: ,⃗c ∙ "%⃗0 Rc0 = & 3 *¬. (2.2). De esta manera se establece la inductancia mutua Zc0 . c0 = Zc0 =. "Rc0 "!c. (2.3). Las demás líneas de flujo magnético que no atraviesan al segundo circuito, sino que se encierran a través del mismo circuito, se denominada como flujo disperso.. Entonces el flujo equivalente por cada circuito puede ser expresado como: Rc = RÉc + Rf. R0 = RÉ0 + Rf. (2.4) (2.5). donde RÉc y RÉ0 son los flujos dispersos de los circuitos 1 y 2, respectivamente y. Rf ,.

(51) 39 Rf = Rc0 + R0c. (2.6). es el flujo mutuo de ambos circuitos, tal como se muestra en la Figura 0.9. Es decir, el flujo resultante a través de una sección de un devanado puede expresarse como una suma del flujo de fuga debido únicamente a la corriente del. devanado más el flujo resultante debido a las fuerza magnetomotrices ( \e ) combinadas. de. las. corrientes. del. primario. y. secundario. actuando. simultáneamente [35]. A partir de las ecuaciones anteriores se puede definir la inductancia de dispersión, Éc =. É0 =. RÉc !c. RÉ0 !0. (2.7) (2.8). así como la inductancia de magnetización, mutua o útil [35]: f =. Rc0 R0c + !c !0. (2.9). Si se considera un circuito con \ lazos y por el cual pasa una corriente ! , denominado bobina, ahora sea R un flujo equivalente que pasa por cada uno de. los lazos o espiras de dicha bobina se expresa como [35]: R=. Ê \. (2.10). donde Ê es el flujo concatenado o enlazado a través de las \ espiras o lazos. De tal manera que las expresiones anteriores, para una bobina en función de las concatenaciones de flujo, rigen los mismos principios electromagnéticos [2], [35].. 2.2.. ENERGÍA MAGNÉTICA. Establecer un campo magnético requiere un gasto de energía, lo cual se concluye. de la ley de inducción de Faraday [16]. Si se aplica un voltaje Ë a un circuito,. toma una cierta cantidad de energía empezar a circular una corriente en un.