Flujo de Potencia Óptimo Para Minimizar las Pérdidas de Potencia Activa en el Sistema Nacional Interconectado Empleando el Método de Puntos Interiores Primal Dual y Programación Matlab

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA. FLUJO DE POTENCIA ÓPTIMO PARA MINIMIZAR LAS PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA EN EL SISTEMA NACIONAL INTERCONECTADO EMPLEANDO EL MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES PRIMAL- DUAL Y PROGRAMACIÓN MATLAB. PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO ELÉCTRICO. NOELA SOFÍA GUZMÁN ENCALADA [email protected]. DIRECTOR: MSc. WALTER ALBERTO VARGAS CONTRERAS [email protected] CODIRECTOR: MBA. LUIS EDMUNDO RUALES CORRALES [email protected]. Quito, noviembre 2014.

(2) DECLARACIÓN. Yo, Noela Sofía Guzmán Encalada, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normativa institucional vigente.. ___________________________ Noela Sofía Guzmán Encalada.

(3) CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Noela Sofía Guzmán Encalada, bajo mi supervisión.. ________________________ MSc. Walter Vargas DIRECTOR DEL PROYECTO. ________________________ MBA. Luis Ruales CODIRECTOR DEL PROYECTO.

(4) AGRADECIMIENTOS. A Dios, por ser mi guía en el camino recorrido. A mis padres, por brindarme su cariño, apoyo incondicional y por enseñarme que a pesar de las dificultades hay que perseverar hasta alcanzar los sueños. Al Msc. Walter Vargas, por haber sido un gran maestro, por compartir conmigo parte de sus conocimientos y por sus valiosos consejos. Al Ing. Luis Ruales, por sus sugerencias en el desarrollo del proyecto. A mi amigo Andrés, por ser un apoyo incondicional a lo largo de la carrera. A CELEC EP TRANSELECTRIC, por haberme brindado la oportunidad de realizar el presente proyecto de titulación..

(5) DEDICATORIA. A mis padres: Angelita y Eloy. A mis amigos, que considero como familia: Andrés, José y Estefanía..

(6) I. CONTENIDO LISTA DE ANEXOS (CD) ..................................................................................... VI RESUMEN ........................................................................................................... VII PRESENTACIÓN .................................................................................................. IX. CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 1 CAPÍTULO 2 .......................................................................................................... 5 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA ÓPTIMO DE MINIMIZACIÓN DE PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA .................................... 5 2.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROBLEMA ......................................... 5. 2.2. MODELO MATEMÁTICO EMPLEADO .................................................... 7. 2.2.1. MODELACIÓN. DEL. SISTEMA. GENERACIÓN-TRANSPORTE-. CARGA ........................................................................................................... 7 2.2.2. MODELACIÓN DE LÍNEAS Y TRANSFORMADORES ...................... 7. 2.2.3. MODELACIÓN DE GENERADORES ................................................. 9. 2.2.4. MODELACIÓN DE CARGAS............................................................ 10. 2.2.5. MODELACIÓN DE ELEMENTOS EN DERIVACIÓN ....................... 11. 2.2.6. ECUACIONES DEL SISTEMA ......................................................... 12. 2.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN DE PÉRDIDAS. DE POTENCIA ACTIVA.................................................................................... 13 2.3.1. FUNCIÓN OBJETIVO....................................................................... 13. 2.3.2. VARIABLES DEL PROBLEMA ......................................................... 16. 2.3.3. RESTRICCIONES DE IGUALDAD ................................................... 17. 2.3.4. RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD ............................................ 18. CAPÍTULO 3 ........................................................................................................ 19 MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES PRIMAL-DUAL ....................................... 19.

(7) II. 3.1. REPRESENTACIÓN DEL PROBLEMA ................................................. 19. 3.2. TRANSFORMACIÓN DEL PROBLEMA ................................................ 20. 3.3. RESTRICCIONES DE OPTIMALIDAD .................................................. 22. 3.4. CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES DE NEWTON ................................ 22. 3.4.1. SOLUCIÓN DEL SISTEMA AUMENTADO ...................................... 23. 3.4.2. SOLUCIÓN DEL SISTEMA REDUCIDO .......................................... 23. 3.5. ACTUALIZACIÓN DE VARIABLES PRIMALES Y DUALES .................. 25. 3.6. CÁLCULO DE LONGITUDES DE PASO PRIMAL Y DUAL ................... 25. 3.7. REDUCCIÓN DEL PARÁMETRO DE BARRERA.................................. 26. 3.8. CRITERIO DE CONVERGENCIA .......................................................... 27. 3.9. PUNTO INICIAL ..................................................................................... 27. 3.10. ALGORITMO GENERAL DEL MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES .. 28. 3.11. DIAGRAMA DE FLUJO DEL MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES .... 30. CAPÍTULO 4 ........................................................................................................ 31 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN EN MATLAB ........................................... 31 4.1. CARACTERÍSTICAS GENERALES....................................................... 31. 4.2. ECUACIONES UTILIZADAS EN LA APLICACIÓN DESARROLLADA .. 33. 4.2.1. FUNCIÓN OBJETIVO DE PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA ...... 34. 4.2.2. RESTRICCIONES DE IGUALDAD ................................................... 39. 2.1.1.1. Restricciones de igualdad lineales ............................................. 40 4.2.2.1 4.2.3. Restricciones de igualdad no lineales ........................................ 40. RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD ............................................ 46. 4.2.3.1. Restricciones de desigualdad lineales ....................................... 47. 4.2.3.2. Restricciones de desigualdad no lineales .................................. 47. 4.2.3.2.1 Magnitud de la corriente al cuadrado .................................... 48 4.2.3.2.2 Magnitud de la potencia aparente al cuadrado ..................... 52 4.3. DESCRIPCIÓN. DEL. PROGRAMA. DESARROLLADO. Y. SUS.

(8) III. COMPLEMENTOS ........................................................................................... 55 4.3.1. PROGRAMACIÓN DPL .................................................................... 56. 4.3.2. PROGRAMACIÓN MATLAB............................................................. 56. 4.3.3. INTERFAZ GRÁFICA DE USUARIO ................................................ 59. 4.4. EJEMPLO DE APLICACIÓN .................................................................. 62. CAPÍTULO 5 ........................................................................................................ 68 RESULTADOS OBTENIDOS DE OPF-ML Y SU VERIFICACIÓN EMPLEANDO DIGSILENT POWER FACTORY ......................................................................... 68 5.1. COMPARACIÓN. DE. RESULTADOS. OBTENIDOS. CON. LA. APLICACIÓN OPF-ML DESARROLLADA EN MATLAB Y DIGSILENT POWER FACTORY......................................................................................................... 68 5.1.1. SISTEMAS DE PRUEBA .................................................................. 69. 5.1.1.1. CASO 5 BARRAS ...................................................................... 69. 5.1.1.2. CASO 14 BARRAS .................................................................... 69. 5.1.1.3. CASO 39 BARRAS .................................................................... 70. 5.1.2. PRUEBAS,. COMPARACIÓN. Y. ANÁLISIS. DE. RESULTADOS. OBTENIDOS PARA SISTEMAS DE PRUEBA .............................................. 71 5.1.2.1. Prueba 1..................................................................................... 71. 5.1.2.2. Prueba 2..................................................................................... 72. 5.1.2.3. Prueba 3..................................................................................... 72. 5.1.2.4. Prueba 4..................................................................................... 72. 5.1.2.5. Análisis de los resultados obtenidos .......................................... 73. 5.1.3. VERIFICACIÓN DE LOS RESULTADOS DE OPF-ML PARA EL SNI,. EMPLEANDO DIGSILENT POWER FACTORY ........................................... 75 5.2. APLICACIÓN. DEL. PROGRAMA. AL. SISTEMA. NACIONAL. INTERCONECTADO ........................................................................................ 78 5.2.1. ASPECTOS GENERALES DE OPF Y CONTROL DEL REACTIVOS. APLICADO AL SNI ........................................................................................ 78.

(9) IV. 5.2.2. ANÁLISIS DE LAS VARIACIONES DE LAS VARIABLES DE. CONTROL..................................................................................................... 81 5.2.3. COMPARACIÓN DE PERFILES DE VOLTAJE DEL OPF y FLUJO. DE POTENCIA .............................................................................................. 86 5.2.4. ANÁLISIS ECONÓMICO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON. OPF-ML......................................................................................................... 89 CAPÍTULO 6 ........................................................................................................ 96 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ....................................................... 96 6.1. CONCLUSIONES .................................................................................. 96. 6.2. RECOMENDACIONES .......................................................................... 98. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 100 ANEXOS ............................................................................................................ 102 A.1. DEFINICIONES MATEMÁTICAS ......................................................... 102. A.2. PRUEBAS. PARA. LA. VERIFICACIÓN. DEL. CORRECTO. FUNCIONAMIENTO DE OPF-ML ................................................................... 104 A.2.1. Aplicación a casos de prueba ......................................................... 104. Tabla A. 2: Controles y restricciones de las pruebas aplicadas a los 9 casos de estudio.................................................................................................... 104 A.2.2. Aplicación al Sistema Nacional Interconectado .............................. 108. Tabla A. 9: Controles y restricciones de las pruebas aplicadas a casos del SNI .............................................................................................................. 108 A.3. DATOS DE LOS SISTEMAS DE 5 BARRAS, 14 BARRAS Y 39 BARRAS ………………………………………………………………………………...111. A.3.1. Sistema 5 barras............................................................................. 111. A.3.2. Sistema 14 barras........................................................................... 112. A.3.3. Sistema 39 barras........................................................................... 113. A.4. EJEMPLO MATEMÁTICO DEL MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES. PRIMAL-DUAL................................................................................................ 117.

(10) V. A.5. EJEMPLO DEL MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES PRIMAL-DUAL. APLICADO A UN SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA ............................. 128.

(11) VI. LISTA DE ANEXOS (CD) ANEXO B:. Aplicación OPF-ML desarrollada en Matlab. ANEXO C:. Archivo Exportar_DATOS.pfd. ANEXO D:. Manual de usuario OPF-ML.

(12) VII. RESUMEN. El desarrollo de este proyecto de titulación se debe a que, en el sistema eléctrico del país y específicamente en el área de transmisión, no existe un control de potencia reactiva que contribuya a la optimización de potencia activa del sistema. El gestionar la red para reducir las pérdidas de potencia en MW, conlleva a una reducción en la generación de potencia activa, y por tanto a una reducción de costos en la operación del SNI (Sistema Nacional Interconectado). Todo lo mencionado evidencia la necesidad de desarrollar un OPF (Flujo de Potencia Óptimo), cuyo propósito sea el de mantener a todas las variables del sistema dentro de sus rangos operativos normales, que a su vez se minimice el valor de la función objetivo de pérdidas de potencia activa, y todo esto empleando un método de optimización eficiente, como lo es el método de puntos interiores primal-dual. Se parte de la modelación matemática de cada uno de los elementos del sistema y las ecuaciones que se empleará en la resolución del problema planteado. Después se formula el problema de minimización de pérdidas de potencia activa, estableciendo claramente la función objetivo a optimizar, las variables del problema. involucradas. y. las. restricciones. de. igualdad. y. desigualdad. consideradas. Una vez definido todo esto, se emplea un algoritmo general para la aplicación del método de puntos interiores, para lo que se empleó fórmulas matriciales, muchas de las cuales fueron desarrolladas en este trabajo y constituyen su principal aporte. Una vez que se tiene todas las ecuaciones y herramientas matemáticas listas, se procede a la programación de la aplicación en Matlab R2011a. Se programa además la interfaz gráfica de usuario para facilitar el uso y acceso a la herramienta desarrollada, denominada OPF-ML. Para que la aplicación OPF-ML se pueda aplicar al SNI, se debe contar con los datos del sistema, para esto se utiliza la interfaz NMR-Power Factory, desarrollada en el COT (Centro de Operación de Transmisión) para obtener los datos desde el sistema SCADA a DIgSILENT Power Factory. Adicionalmente, se programa en lenguaje DPL (DIgSILENT Programming Language) un archivo que al ejecutarse permite la extracción de datos desde DIgSILENT a archivos de texto *.txt, que son leídos y.

(13) VIII. procesados por OPF-ML, creando un archivo de Matlab *.m en el formato requerido para la ejecución del OPF. La aplicación desarrollada permite la ejecución de un OPF para cualquier sistema, siempre que se cuente con el archivo de datos *.m en el formato adecuado. Finalmente, se verifica si los resultados obtenidos por OPF-ML son puntos factibles y óptimos de los sistemas probados. Para comprobar esto, se realiza simulaciones de los sistemas en DIgSILENT Power Factory. Además, se utiliza los resultados obtenidos de OPF-ML para el SNI, con el propósito de realizar análisis de perfiles del voltaje, análisis de variaciones de las variables de control y análisis económico de la reducción de pérdidas de potencia activa..

(14) IX. PRESENTACIÓN. En el presente trabajo se formula y programa el problema de Flujo de Potencia Óptimo, con función objetivo de minimización de pérdidas de potencia activa, utilizando el método de puntos interiores primal-dual. En el capítulo 1 se presenta una breve introducción acerca del problema de flujo óptimo de potencia, y los métodos desarrollados para su resolución en las últimas décadas. Se hace énfasis en el método de puntos interiores, y se describe sus características más importantes y ventajas respecto a otros métodos. El capítulo 2 contiene una descripción general del problema de OPF. Se muestra el modelo matemático empleado para el sistema generación-transporte-carga, líneas y transformadores, generadores, cargas, elementos en derivación, y ecuaciones del sistema. Además, se presenta la formulación del problema de minimización de pérdidas de potencia activa, detallando la función objetivo, las variables del problema, y las restricciones de igualdad y desigualdad. En el capítulo 3 se muestra el método de puntos interiores primal-dual. Se realiza la representación del problema, su transformación, restricciones de optimalidad, cálculo de las direcciones de Newton, actualización de las variables primales y duales, cálculo de longitudes de paso primal y dual, reducción del parámetro de barrera, criterio de convergencia, y punto inicial. Finalmente, se muestra el algoritmo general del método de puntos interiores, y un diagrama para facilitar su comprensión. El capítulo 4 contiene el desarrollo de la aplicación OPF-ML. Se indica las características generales del programa desarrollado, y se presentan las ecuaciones empleadas, que constituyen la parte esencial del proyecto de titulación. Adicionalmente, se describe el programa y los complementos que se deben emplear para su correcto funcionamiento. Como parte final de este capítulo se presenta un ejemplo de aplicación, con el objetivo de entender mejor el uso y funcionamiento del programa. En el capítulo 5 se realiza una verificación de los resultados obtenidos de la aplicación desarrollada en Matlab, mediante comparación con simulaciones.

(15) X. realizadas en el programa DIgSILENT Power Factory, para sistemas de prueba y para el SNI. Este capítulo contiene además, una explicación de cómo se realiza el control de reactivos en el Sistema Nacional de Transmisión, y se presentan un análisis de las variaciones de las variables de control y de los perfiles de voltaje obtenidos, además de un análisis económico de los resultados obtenidos. El capítulo 6 contiene las conclusiones y recomendaciones obtenidas de este trabajo..

(16) 1. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Uno de los principales intereses en la operación de los sistemas eléctricos de potencia es el abastecimiento de la demanda, respetando simultáneamente los criterios de seguridad, confiabilidad y calidad. La ejecución de un flujo de potencia, cuando se tiene convergencia, da como resultado valores de las variables del sistema que permiten abastecer la carga y las pérdidas, pero no siempre los valores de dichas variables caen dentro del rango establecido en operación normal; es por ello que resulta mucho mejor ejecutar un flujo de potencia óptimo u OPF, por sus siglas en inglés Optimal Power Flow. El propósito de mantener las variables de un sistema de potencia dentro de un rango establecido en condiciones normales, es cumplir con los estándares de calidad, confiabilidad y seguridad del sistema. En los sistemas de potencia se ejecutan flujos óptimos de potencia en las etapas de operación y planificación. El OPF determina un estado de operación estable que a su vez minimice el valor de la función objetivo y satisfaga las restricciones físicas y operativas del sistema [1]. El problema de flujo óptimo de potencia requiere el desarrollo de aplicaciones complejas, pues los sistemas reales cuentan con un gran número de variables continuas como la potencia de inyección de los generadores y los voltajes en las barras; pero además se tiene variables discretas como los taps o LTCs de los transformadores y los pasos de los elementos de derivación (bancos de capacitores o reactores), que aunque pueden ser modelados inicialmente como variables continuas, se discretizan posteriormente. Para la resolución del problema de flujo de potencia óptimo se han realizado varios estudios por décadas.. En 1962, Carpentier [2] formuló. técnicas de. gradiente para resolver el problema y desde entonces se ha realizado avances significativos en procesos de resolución de OPF, en cuanto a técnicas matemáticas y eficiencia se refiere. Desde la formulación de este problema se ha.

(17) 2. incrementado la necesidad de resolverlo de manera lineal y en 1984 Sun [3] desarrolló un algoritmo que daba solución a esta necesidad mediante la combinación del método de Newton con multiplicadores de Lagrange y funciones de penalización, que conjuntamente con estructuras bien planteadas y técnicas de matrices dispersas logró tener un gran éxito, pues permitía la optimización con manejo de restricciones de igualdad como de desigualdad. A pesar de que en un inicio se trató de resolver los problemas de OPF como problemas lineales, en su mayoría constituyen problemas no lineales que implican una resolución compleja, por esta razón se desarrollaron técnicas de optimización para resolver OPF, entre las que se pueden mencionar: programación lineal (LP), programación no lineal (NLP), programación cuadrática (QP), programación mixta (MP), programación lineal secuencial (SLP), programación secuencial cuadrática (QSP), algoritmos de inteligencia artificial y método de puntos interiores (IPM). [1, 2] El IPM se emplea para resolver problemas de programación lineal como no lineal y tiene ventajas sobre otros métodos como por ejemplo el de programación lineal secuencial y el de programación secuencial cuadrática, ya que para asegurar una convergencia exitosa, los dos últimos métodos tienen que partir de un punto de operación factible, lo que puede ser muy difícil de obtener; por el contrario el método de puntos interiores es insensible a cuan bueno o malo sea el punto inicial. Dantzing [4] desarrolló en 1947 el método simplex que mediante programación lineal encuentra una solución óptima siguiendo una ruta de puntos extremos adyacentes, en la extensión de las orillas del espacio de soluciones. La aparición de este método desencadenó el desarrollo de varias investigaciones, y en 1955 Frish [2] desarrolló un método de barrera logarítmica que se destacó en la solución de. problemas de. optimización. sin. restricciones. Este método. posteriormente fue estudiado por Fiacco y McCormick's [5] con el objetivo de resolver problemas no lineales con restricciones de desigualdad, considerando perturbaciones en las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. En 1967 Huard [6] desarrolló un IPM conocido como método de centro y capaz de resolver problemas de programación no lineal con restricciones. El método de afinamiento escalar fue presentado por Dikin [7] ese mismo año, el mismo que presenta la.

(18) 3. ventaja de tener pasos muy cortos en la iteración actual cuando la respuesta se aproxima al borde, mientras que puede tener pasos muy grandes cuando la respuesta se encuentra en el espacio transformado. En 1979 Khachiyan [8] presentó un método elipsoidal para resolver problemas lineales con inecuaciones en tiempo polinomial, pero demostró ser menos eficiente computacionalmente que el método simplex. Cinco años después se probó de manera práctica la eficiencia computacional del método de puntos interiores en el campo de programación lineal y ese mismo año Karmarkar [9] desarrolló el método de puntos interiores para programación lineal (LP) con una velocidad 50 veces mayor a la del método simplex de aquella época. Más tarde Gill [10] extendería la aplicación de este método a problemas de programación no lineal. Desde entonces se han realizado millones de publicaciones enfocadas al IPM para problemas de optimización lineal y no lineal. Al comparar el método simplex con el método de puntos interiores se observa que el primero resulta ineficiente, pues el número de puntos que conforman la región factible de soluciones crece conforme crece el número de variables y restricciones de problema; consecuentemente se tiene un tiempo de solución alto para un sistema grande con varias variables y restricciones. Esta ineficiencia resulta debido a que este método busca la solución en los extremos del espacio de soluciones, mientras que el método de puntos interiores busca la solución óptima en el interior del espacio de solución. Los métodos de puntos interiores se clasifican en: métodos proyectivos, métodos afines y métodos primal-dual [2]. En 1986 Meggido [11] propuso un método primal-dual de seguimiento de ruta, que consiste en aplicar el método de barrera logarítmica al método primal-dual simultáneamente. Éste método fue aceptado y posteriormente en 1992 Mehrotra [12] desarrolló una técnica llamada predictorcorrector que mejora aún más la eficiencia computacional que el método primaldual, pero que posteriormente sería mejorado por técnicas de múltiples pasos correctores desarrollados por Columbo y Gondzio [9]. Los IPM han demostrado ser una herramienta computacional de gran utilidad en sistemas de potencia, debido a su eficiencia, robustez y bajo esfuerzo computacional de procesamiento. Los métodos de puntos interiores con más éxito.

(19) 4. se basan en una formulación primal-dual y la aplicación del método de Newton para sistemas de ecuaciones derivadas de aplicar las condiciones de optimalidad a la función de Lagrange, debido a que facilitan la convergencia, son robustos e insensibles a puntos iniciales no factibles. Este último hecho cobra importancia principalmente al tratar de aplicar el método a un sistema de potencia que en el punto inicial no tiene solución, debido a que las ecuaciones de balance de potencia no se necesitan satisfacer en el punto inicial. En general, de acuerdo a la función objetivo, se puede emplear el OPF para: calcular el mínimo deslastre de carga, máxima cargabilidad del sistema, mínimo costo de producción, mínimas pérdidas de potencia activa, entre otras. Todos estos son problemas altamente no lineales y difícilmente serían resueltos empleando métodos de aproximación lineal. El presente trabajo se enfoca en el método de puntos interiores primal-dual para la solución de un problema no lineal (NLP) de flujo óptimo de potencia con función objetivo de minimización de pérdidas de potencia activa..

(20) 5. CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA ÓPTIMO DE MINIMIZACIÓN DE PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA 2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROBLEMA Por eficiencia, confiabilidad y economía en la operación de un sistema de potencia se debe seleccionar y coordinar apropiadamente las variables de control, pues debido a que la potencia activa y reactiva del sistema cambian continuamente, se puede llegar a tener valores en las restricciones físicas y operativas fuera del rango normal permitido. Para reparar estas condiciones operativas inadecuadas se requiere que los operadores ajusten variables como: potencia de inyección de los generadores, taps o LTC de los transformadores, paso de los elementos en derivación como capacitores o reactores, entre otras, dependiendo del sistema. La tarea de mantener los diferentes parámetros del sistema dentro de los rangos normales de operación puede realizarse de manera eficiente mediante un Flujo Óptimo de Potencia (OPF). El OPF es una herramienta computacional que emplea técnicas de optimización para encontrar un estado del sistema de potencia en el que una función dada, en este caso la función de pérdidas de potencia activa, sea llevada a su valor óptimo mientras se satisfacen restricciones físicas y operativas impuestas. La función objetivo de un problema de OPF varía de acuerdo a la aplicación, en el presente proyecto se considera que la función objetivo a minimizar es la de pérdidas de potencia activa en el sistema de transmisión sujeto a las ecuaciones de balance de potencia, los límites operativos de voltajes y potencia de salida de los generadores, los límites físicos en las suceptancia de los elementos en derivación, y los ajustes en los valores de taps bajo carga o LTC de los transformadores. El problema de OPF presenta dos grupos de variables: variables dependientes o.

(21) 6. de estado y variables independientes o de control. Entre las variables de estado se incluyen la magnitud y ángulo de voltajes en los nodos o barras del sistema. Las variables de control incluyen la potencia activa y reactiva de los generadores, los valores de voltaje establecidos en las barras del sistema, la posición de los taps o LTCs en los transformadores y el número de pasos de los elementos de derivación (reactores o capacitores). El OPF incluye las siguientes restricciones [1]: 1. Ecuaciones de flujo de potencia 2. Límite superior e inferior de la potencia activa de salida de los generadores 3. Límite superior e inferior de la potencia reactiva de salida de los generadores. 4. Límite superior e inferior de voltaje en las barras del sistema, considerando el nivel de voltaje. 5. Límite superior e inferior de la posición del tap o LTC de los transformadores. 6. Paso máximo de los elementos de derivación. 7. Límite de capacidad de transferencia de corriente o potencia por las líneas del sistema. Todas las restricciones excepto la primera son restricciones de desigualdad. El problema de OPF debe formularse como un problema de programación matemática, donde se debe modelar la red eléctrica según lo siguiente [9]: . Debe modelarse mediante un modelo estático de generación – transporte, basado generalmente en formulación de inyecciones de potencia constante.. . Debe cumplir las restricciones de igualdad, es decir la potencia generada debe abastecer a la carga total más las pérdidas.. . Debe tener límites de operación para salvaguardar la seguridad del equipamiento, lo que logra mediante el cumplimiento de las restricciones de desigualdad.. . Se debe optimizar la función objetivo, es este caso se la debe minimizar, para favorecer la operación del sistema eléctrico desde un punto de vista.

(22) 7. técnico – económico. El problema de OPF puede modelarse como un problema de optimización no lineal, o como un problema de optimización lineal usando técnicas de simplificación. Además se debe tener en cuenta que el método de Puntos Interiores (IPM) se aplica para ambos tipos de problemas de programación y que en este trabajo se lo trata como un problema no lineal.. 2.2 MODELO MATEMÁTICO EMPLEADO 2.2.1. MODELACIÓN DEL SISTEMA GENERACIÓN-TRANSPORTE-CARGA. El modelo de Generación – Transporte – Carga que se presenta a continuación fue desarrollado por Ray D. Zimmerman, Carlos E. Murillo Sánchez y Deqiang Gan de PSERC de la Universidad de Cornell. Este modelo es presentado en [13] y se emplea en el paquete de MATLAB llamado MATPOWER utilizado para resolver flujos de potencia y flujos de potencia óptimos con minimización de costos de generación. Esta herramienta emplea modelos estándar típicos de estado estacionario, usados para el análisis de flujos de potencia, presentados en forma matricial o vectorial para mejorar la eficiencia computacional. 2.2.2. MODELACIÓN DE LÍNEAS Y TRANSFORMADORES N*ie. ie. Vf N. Ve. ir. Ys = r +1jx s s. j b2c. j b2c. Vr. N:1 N =  ejshift ij. Figura 2.1: Modelo de líneas y transformadores. Todas las líneas de transmisión y transformadores tienen un modelo de rama común que corresponde al modelo impedancia serie. estándar de líneas de transmisión, con. y una capacitancia total. en serie con un. transformador sin pérdidas. El transformador cuyo tap es de magnitud. y ángulo. , se localiza en el terminal de envío de la línea, como se muestra en la.

(23) 8. Figura 2.1. Las inyecciones de corriente compleja. e. , que corresponden a las corrientes. de envío y recibo respectivamente, pueden ser representadas en términos de una matriz de admitancias. de rama denotada por. voltajes terminales de envío. y recibo. de dimensión. y los. .. [ ]. 0 1. (2.1). Con el elemento de admitancia serie del modelo. dado por. , la. admitancia de la rama puede ser descrita como: (. ) (2.2). [. ]. Los elementos de la matriz. se expresan de acuerdo a (2.3): 6. 7. Los cuatro vectores de (2.3) son de dimensión. (2.3) , donde el elemento -ésimo. de cada uno viene dado por el elemento correspondiente de matrices de conexión dispersas. y. . Además las. empleadas en la construcción del sistema. de matrices de admitancia pueden definirse como sigue: el elemento ( matriz. y el elemento (. ) de la matriz. ) de la. es igual a 1 para cada rama , donde. la rama conecta la barra con la barra . Todos los otros elementos de. y. son cero. Los transformadores de tres devanados son modelados como tres de dos devanados y la adición de una barra ficticia, así: : Impedancia medida en. con. cortocircuitada y abierto.. : Impedancia medida en. con cortocircuitada y. abierto.. : Impedancia medida en. con cortocircuitada y. abierto..

(24) 9. p. Zp. Zs. Zt. s t Figura 2.2: Modelo del transformador de tres devanados. (2.4) (2.5) (2.6) Manipulando (2.4)-(2.6), se tiene:. 2.2.3. (. ). (2.7). (. ). (2.8). (. ). (2.9). MODELACIÓN DE GENERADORES. Cada generador se modela como una inyección de potencia compleja en una determinada barra del sistema, como sigue: (2.10) Donde: : Inyección de potencia aparente en la barra : Inyección de potencia activa en la barra.

(25) 10. : Inyección de potencia reactiva en la barra La matriz. de dimensión. , contienen las inyecciones los generadores: (2.11). Para casos en los que exista más de un generador conectado a la misma barra, se emplea la matriz dispersa de conexiones de generadores , cuyos elementos (. de dimensiones. ) tienen el valor de 1 si el generador. está. conectado a la barra , caso contrario tienen un valor de 0, con lo que la matriz de inyecciones de los generadores en cada barra, puede ser expresada como: (2.12) 2.2.4. MODELACIÓN DE CARGAS. El modelo de carga empleado es un modelo de carga constante en el que su valor de potencia activa y reactiva corresponde a la demanda en una barra. en el. sistema, así: (2.13) Donde: : Demanda de potencia aparente en la barra : Demanda de potencia activa en la barra : Demanda de potencia reactiva en la barra El matriz que contiene todas las cargas del sistema es de dimensión. y se. representa como sigue: (2.14) Además se emplea la matriz dispersa de conexiones de cargas, para casos en los que se tenga más de una carga conectada a la misma barra del sistema. Esta matriz dispersa. es de dimensión. diferente de cero sólo si la carga. y sus elementos ( está conectada a la barra. cargas en cada barra puede ser expresada como:. ) tienen el valor . La matriz de.

(26) 11. (2.15) 2.2.5. MODELACIÓN DE ELEMENTOS EN DERIVACIÓN. Los elementos en derivación pueden ser reactores o capacitores conectados a una barra y su admitancia en la barra se modela de la siguiente manera: (2.16) Donde: : Admitancia del elemento en derivación en la barra : Conductancia del elemento en derivación en la barra : Suceptancia del elemento en derivación en la barra La matriz de dimensión en derivación, donde. que contiene todas las admitancias de los elementos corresponde al número de elementos en derivación del. sistema, se representa como sigue: (2.17) Donde. representa los MW consumidos y. representa los MVars inyectados. a un voltaje de 1p.u. con ángulo de 0 grados. Como se puede dar el caso de que más de un elemento en derivación se conecte a la misma barra se emplea la matriz dispersa elementos (. de dimensión. , cuyos. ) tienen el valor diferente de cero sólo si el elemento en derivación. está conectado a la barra. . La matriz de elementos en derivación en cada barra. puede ser expresada como: (2.18) Se puede dar el caso de que se tenga que aumentar o disminuir los pasos del elemento en derivación con el propósito de minimizar la función objetivo, para esto se emplea un vector. de dimensión. que actualiza en cada iteración. el paso de los elementos en derivación, resultado lo siguiente: (. ). (2.19).

(27) 12. Se debe mencionar que se aplica producto punto al multiplicar los vectores. y. y que la admitancia del sistema se mantiene constante en cada iteración. 2.2.6. ECUACIONES DEL SISTEMA. Para un sistema de dimensión. barras se tiene una matriz de admitancias. de. , que permite relacionar la inyección de corriente con el voltaje en. los nodos del sistema, de la siguiente manera: (2.20) De igual manera, para una red con envío y recibo de dimensión. y. ramas, las matrices de admitancias de. respectivamente, permiten relacionar las matrices de voltaje con las corrientes de envío y recibo de todas las ramas, así: (2.21) (2.22). Se usa [ ] como un operador que toma un vector de dimensión en una matriz diagonal de dimensión. y lo convierte. , con base en esto se puede expresar las. matrices de admitancias de envío y recibo como: ,. -. ,. -. (2.23). ,. -. ,. -. (2.24). Por lo tanto, ,. -. (2.25). Las ecuaciones de corriente (2.20) a (2.22) se pueden emplear para expresar las inyecciones de potencia compleja como función de los voltajes complejos en las barras: , -. , -. (2.26). ,. -. ,. -. (2.27). ,. -. ,. -. (2.28). La ecuación de balance de potencia, expresada como función de la potencia.

(28) 13. inyectada por los generadores y consumida por las cargas, es: (2.29). 2.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN DE PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA La solución del OPF de reducción de pérdidas en MW consiste en la minimización de la función objetivo de pérdidas de potencia activa en el sistema. Se puede llegar a este objetivo de dos maneras: la primera es reduciendo la potencia de la barra considerada como barra de referencia en el sistema, ya que al reducir ese valor de potencia mientras se continúa abasteciendo la demanda, se reducen las pérdidas totales del sistema; la segunda forma es la presentada a continuación y consiste en la minimización de la función de pérdidas tanto de envío como de recibo por las líneas de transmisión. 2.3.1. FUNCIÓN OBJETIVO. Como se mencionó previamente, la función objetivo de un problema de OPF varía de acuerdo a la aplicación a desarrollarse. En el presente proyecto de titulación se considera la función objetivo de pérdidas de potencia activa de acuerdo a (2.30): ( ) Donde,. y. ∑(. son vectores de dimensión. (2.30). ). , que representan la potencia activa. de envío y recibo respectivamente, que circula por las líneas de transmisión y que al sumarse resulta en las pérdidas de potencia activa totales del sistema, si se desprecia las pérdidas de magnetización en los transformadores. Para obtener las fórmulas de pérdidas de potencia activa, se parte del modelo generalizado de un transformador con taps, como el mostrado en la Figura 2.3. Ii Vi. Zi. ni : n j. Zj. Ij Vj. Figura 2.3: Modelo generalizado de un transformador con taps.

(29) 14. (2.31). (2.32) Usando (2.25): (2.33) (2.34) Reemplazando (2.28) en (2.27), se tiene: ( Se define a la admitancia. ). (2.35). como: (2.36). Con lo que se tiene: (2.37) Empleando un artificio matemático: (2.38) Se obtiene: ( De forma similar para. ). (. ). (2.39). ). (2.40). empleando (2.34) y (2.37): (. Con lo que se obtiene el modelo:. ). (.

(30) 15. Vi i. Vj j. n1n2y. n2(n2-n1)y. n1(n1-n2)y. envío. recibo. Figura 2.4: Modelo generalizado de rama. De acuerdo a la Figura 2.1 se tiene una. y el tap en el lado de envío con un. ángulo de cero grados, por lo que el modelo de la Figura 2.4, se modifica, obteniéndose:. Vi i. Vj j. ij y. (1- ij)y. ij( ij )y. envío. recibo. Figura 2.5: Modelo general de rama con taps en el lado de envío. Ahora. es: (2.41). Se calcula la potencia de envío por la rama, cuyo modelo corresponde tanto a líneas (. ), como a transformadores: [(. ). (. ) ]. (2.42). Se tiene que, (. ). (. ). (2.43).

(31) 16. Reemplazando (2.43) en (2.42):. (2.44). De similar manera, para la barra de recibo, se tiene:. (2.45). Considerando que las pérdidas de potencia activa son la parte real de la potencia aparente, tanto para envío como para recibo se tiene: (. ). (. (2.46). ). (2.47). En forma matricial, se tiene:. 2.3.2. ( ( )). (,. -. ). (2.48). ( ( )). (,. -. ). (2.49). VARIABLES DEL PROBLEMA. El vector. que contiene las variables del problema está conformado a su vez por. vectores que contienen las variables de estado y otros que contienen las variables de control. [. ]. Los vectores que contienen las variables de estado son los vectores. (2.50) y. que. corresponden a los ángulos y magnitudes de voltaje en las barras del sistema y son de dimensión. , donde. representa el número de barras del sistema..

(32) 17. Por otro lado los vectores que contienen las variables de control son . Tanto los vectores. y. y. correspondientes a la potencias activa y reactiva. de inyección de los generadores son de dimensión número de generadores del sistema. El vector. , donde. representa el. corresponde a las posiciones de. los tap o LTC de los transformadores del sistema y tienen dimensión. , donde. representa el número de transformadores con taps y LTC variables. Finalmente, el vector. corresponde a las posiciones de los elementos en. derivación (reactores o capacitores) y es de dimensión. , donde. representa. el número de elementos en derivación del sistema. 2.3.3. RESTRICCIONES DE IGUALDAD. Existen dos tipos de restricciones de igualdad: las restricciones de igualdad lineales y las no lineales. Las restricciones de igualdad lineales comprenden el valor del ángulo de voltaje de la barra de referencia con un valor definido, que generalmente se toma como cero. Adicionalmente se establece como una restricción de este tipo a cualquier variable de operación que se requiera fijar en un valor determinado. Como restricciones de igualdad no lineales se tiene las ecuaciones de balance de potencia activa y reactiva de los generadores que corresponden a la parte real e imaginaria de la ecuación de potencia compleja del sistema, y que en coordenadas polares se expresan como: (. ). ∑. (. ). (2.51). (. ). ∑. (. ). (2.52). En ambos casos. pertenece a. Expresando estas ecuaciones en forma. matricial para todo el sistema, se tiene: (2.53) (2.54).

(33) 18. 2.3.4. RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD. Las condiciones de desigualdad del problema OPF son las siguientes:. (2.55). | |. ó |. |. Donde: : Voltaje en la barra : Potencia activa inyectada por el generador : Potencia reactiva inyectada por el generador : Posición del tap o LTC del transformador : Paso del elemento de derivación | | : Cuadrado de la magnitud de la corriente en la rama |. | : Cuadrado de la magnitud de la potencia en la rama. Las cinco primeras restricciones son de desigualdad lineales, mientras que la última es una restricción de desigualdad no lineal. El algoritmo desarrollado presenta dos opciones de restricción de desigualdad no lineal por las líneas de transmisión: límites de corriente o potencia aparente. Todas estas restricciones se deben a limitaciones operativas y físicas del sistema. En condiciones normales de operación se debe tener un estado de transformadores, reactores, capacitores líneas de transmisión y unidades de generación sin sobrecarga para no afectar la calidad del servicio, además por criterio de calidad, confiabilidad, seguridad del sistema y para garantizar la vida útil de los equipos..

(34) 19. CAPÍTULO 3 MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES PRIMAL-DUAL Para resolver el problema de flujo de potencia óptimo se han empleado diversas técnicas de optimización numérica y complejos desarrollos computacionales. En el presente trabajo se emplea el método de puntos interiores primal-dual debido a las importantes ventajas que presenta sobre los otros métodos empleados para resolver el problema de OPF, como se mencionó en el capítulo 1. El concepto principal del método de puntos interiores es aproximarse a la solución óptima estrictamente por el interior del espacio de soluciones. Se deben tener en cuenta dos aspectos importantes: la barrera que evita que alguna variable alcance un borde de la región y el punto inicial. Lo ideal sería tener un punto inicial factible, pero en la práctica puede resultar muy difícil de obtener. Por varios años diversas investigaciones realizadas han tratado de que la condición de un punto factible inicial sea menos indispensable, con el fin de mejorar su desempeño. El proceso mostrado a continuación constituye un ejemplo claro de este logro. La condición del punto inicial factible es reemplazada por simples restricciones de desigualdad que requieren variables de holgura no nulas y multiplicadores de Lagrange [1]. A continuación se describe explícitamente el método de puntos interiores primaldual para resolver un problema de programación no lineal (NLP). Las formulación matemática mostrada en este capítulo hace referencia a [9].. 3.1 REPRESENTACIÓN DEL PROBLEMA El modelo de optimización no lineal se puede representar de manera general como: ( ). Objetivo: Sujeto a:. ( ) ( ). (3.1).

(35) 20. Donde: : Variables de control y de estado. ( ): Función no lineal objetivo del OPF que se pretende minimizar. ( ): Restricciones de igualdad lineales y no lineales. ( ): Restricciones de desigualdad lineales y no lineales.. 3.2 TRANSFORMACIÓN DEL PROBLEMA Las restricciones de desigualdad se transforman en restricciones de igualdad mediante la adición de variables de holgura positivas, por lo que el problema (3.1) se representa como sigue: ( ). Sujeto a: ( ). (3.2). ( ). La aproximación de barrera logarítmica clásica empleada para resolver (3.1) desarrollada por Fiacco y McCormick's, consiste en que la adición de variables de holgura. positivas permiten incorporar restricciones de no negatividad (. ) a la. función objetivo. Con esto se incrementa la dimensión del problema no lineal, pero como ventaja significativa se tiene que, el problema expresado de esta manera ya no cuenta con restricciones de desigualdad sino sólo con restricciones de igualdad. En estas condiciones (3.1) se puede expresar nuevamente como: ( ). ∑ ( ) (3.3). Sujeto a: ( ) ( ) Donde: : Número de restricciones de desigualdad : Parámetro de barrera que satisface la condición.

(36) 21. El parámetro. decrece monótonamente hasta cero conforme avanza el proceso. iterativo. En este proceso se genera una secuencia de. subproblemas definidos. en (3.3). Bajo ciertas condiciones, como el hecho de que secuencia de puntos * ( (3.3) se aproxima a. se aproxime a cero, la. )+ que se genera al resolver el problema transformado. , donde. de (3.1). Se considera que * (. constituye un mínimo local de (3.3) y por lo tanto )+ es la trayectoria del problema (3.3).. Las condiciones de optimalidad necesarias para resolver el problema de restricciones de igualdad (3.3), con un. fijo en cada iteración. , se pueden. derivar de la función lagrangiana, definida como: (. ). ( ). ∑ ( ). ( ). ( ( ). ). (3.4). Donde: : Vectores multiplicadores de Lagrange, llamados también variables duales. El vector. tiene dimensión. y el vector. es de dimensión. .. Al derivar la función lagrangiana respecto a cada una de sus variables, se tiene: (3.5) , -. (3.6). ( ). (3.7). ( ). (3.8). Donde: : Gradiente de la función objetivo : Matriz Jacobiana de restricciones de igualdad, de dimensión : Matriz Jacobiana de restricciones de desigualdad, de dimensión , -: Matriz diagonal de : Vector de dimensiones apropiadas en el que todos sus elementos son 1..

(37) 22. 3.3 RESTRICCIONES DE OPTIMALIDAD Un mínimo local de (3.3) se puede calcular con un punto estacionario de (3.4), el mismo que debe satisfacer las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [14]. Las condiciones de KKT proporcionan todos los candidatos óptimos de un mismo punto y para satisfacerlas se debe igualar las derivadas de la función lagrangiana a cero, así [9][9]: (. ) (3.9). Además, se tiene que:. (. , -. ) [. ]. [. ( ) ( ). (3.10) ]. Donde: : Condiciones de factibilidad primal. : Condiciones de factibilidad dual.. 3.4 CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES DE NEWTON A pesar de que el sistema (3.10) es un sistema de ecuaciones no lineales, que cumple las condiciones KKT, su solución se aproxima usualmente por una única iteración del método de Newton. Las direcciones de Newton son un medio para seguir la trayectoria de mínimos parametrizados por. en cada iteración. . El. método consiste en un proceso iterativo en que se llega al punto de solución óptimo (. ) partiendo de un punto inicial (. secuencia de puntos (. ), mediante una. ) que siguen una trayectoria durante el proceso.. Necesariamente, en cada iteración se debe satisfacer las condiciones de no negatividad. y. Empleando el método de Newton, se encuentra la solución a las ecuaciones de optimalidad KKT (3.10), al resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones:.

(38) 23. (. ). (. ). (3.11). Donde: : Conjunto de variables ( (. ) en la iteración .. ): Matriz de derivadas parciales de (. ).. : Vector de direcciones de Newton.Si se aplica el método de Newton de acuerdo a (3.11), se obtiene un sistema lineal de indefinido ecuaciones que puede ser resuelto de dos maneras: resolviendo todas las ecuaciones de (3.10), o resolviendo un equivalente reducido obtenido mediante la eliminación de variables y su sustitución. Ambas soluciones se describen a continuación [2, 9]: 3.4.1. SOLUCIÓN DEL SISTEMA AUMENTADO. Al aplicar (3.11) al sistema (3.10), se obtiene el sistema simétrico indefinido:. [. , -. , -. ]*. (. +. )*. +. , ( ) [ ( ). (3.12) ]. Donde: : Matriz hessiana correspondiente a la segunda derivada de la función lagrangiana respecto a la variable . (3.13) Donde: : Matriz simétrica hessiana de la función objetivo : Matriz simétrica hessiana de la función de restricciones de igualdad : Matriz simétrica hessiana de la función de restricciones de desigualdad 3.4.2. SOLUCIÓN DEL SISTEMA REDUCIDO. El sistema de ecuaciones (3.12) se puede reducir resolviendo explícitamente en términos de. , y posteriormente. en términos de. Al resolver la segunda fila de (3.12) para. , se tiene:.

(39) 24. , -. , -. , -. , -. , -. (. , -. ). , - (. , -. ). Resolviendo la cuarta fila de (3.12) para. (3.14). , tenemos lo siguiente: ( ). ( ). (3.15). Al sustituir (3.14) y (3.15) en la primera fila de (3.12):. , - (. (. , - (. .. , -(. , -. ( ). ( ). )). ))/. , , - , - ( ) (. , - , -. , - , , - (. ). , - ( )) (3.16). Donde: , - , -. (3.17). Además, , - (. , - ( )). (3.18). Al combinar (3.16) y la tercera fila de (3.12) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones reducido: [. ]0. 1. (. )0. 1. [. ( ). ]. (3.19). Debido a que los tres términos de la derecha de (3.18) son matrices simétricas, la matriz de coeficientes del sistema reducido. , es simétrica e indefinida..

(40) 25. Para el cálculo de las direcciones de Newton empleando el modelo reducido, primero se debe calcular se calcula. y. empleando (3.19), después con estos resultados. utilizando (3.15) y finalmente se calcula. con (3.14).. 3.5 ACTUALIZACIÓN DE VARIABLES PRIMALES Y DUALES En cada iteración. se resuelve el sistema aumentado (3.12) o el sistema. reducido (3.19) y luego se actualiza el valor de las variables del problema, mediante:. (3.20). Donde: : Logitudes de paso primales y duales de valor (. - que multiplican a cada. uno de los incrementos determinados en el método de Newton.. 3.6 CÁLCULO DE LONGITUDES DE PASO PRIMAL Y DUAL Las longitudes de paso primal. y dual. se calculan para asegurar que. ninguna variable de holgura o su multiplicador asociado, sea negativa. Una manera de calcular las longitudes de paso es mediante la siguiente regla heurística: 4. 5. (3.21). 4. 5. (3.22). Donde: : (. ) con un valor típico de 0,99995. Es un factor de seguridad que permite. tener certeza en cuanto a la positividad de las variables en cada iteración además de evitar la excesiva proximidad a un límite.. ,.

(41) 26. 3.7 REDUCCIÓN DEL PARÁMETRO DE BARRERA La elección de una buena estrategia para reducir experiencia ha demostrado que el valor de. es muy complicada. La. no debe decrecer tan rápido, ya que. esto puede causar una no-convergencia. El parámetro. debe reducirse en cada. iteración de manera que, al terminar el proceso todas las condiciones de complementariedad se encuentren satisfechas. , -. (3.23). A partir del valor residual de la condición de complementariedad. que se. conoce como brecha de complementariedad o gap de complementariedad, se calcula el nuevo valor del parámetro de barrera. .. El gap de complementariedad se calcula de la siguiente manera: (3.24) La relación existente entre los parámetros. y. se define implícitamente en. (3.23). A medida que avanza el proceso iterativo y si éste converge a un óptimo, la secuencia de puntos *. + debe converger a cero, se puede decir también que. . En la realidad. , donde. es un valor suficientemente pequeño para. que la solución sea considerada como óptima. Adicionalmente, se sugiere que el decrecimiento. de. se puede basar en el decrecimiento del gap de. complementariedad, así: (3.25) Donde: : Parámetro de centro que. (. ). Se espera que. decrezca en función de. .. En la práctica los algoritmos computacionales emplean el intervalo abierto (. ). : Número de inecuaciones.. para el valor de. , con dos objetivos: el primero es reducir. mejorar la centralidad del método. Considerando :. y el segundo es. , se define el valor de.

(42) 27. *. +. (3.26). 3.8 CRITERIO DE CONVERGENCIA Se considera que el método de puntos interiores converge cuando se obtiene un mínimo local del problema (3.1), es decir cuando se cumple que:. (3.27). Donde: ( ( )) ‖ ( )‖ }. { ‖. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖. ‖ ‖. (3.28) ‖ ‖ | (. ). ( | (. )| )|. Al cumplirse (3.27) se asegura el cumplimiento de las condiciones de factibilidad primal y dual escaladas, las condiciones de complementariedad y que el valor de la variación de la función objetivo de una iteración a la siguiente se encuentre por debajo de un valor de tolerancia especificado.. Si se satisfacen dichas. condiciones, la iteración actual es un punto que cumple las condiciones KKT y tiene una precisión dada por. y. .. Se consideran valores típicos de tolerancias:. y. .. 3.9 PUNTO INICIAL Aunque los métodos de puntos interiores no requieren que el punto inicial sea un punto factible, necesariamente se deben cumplir las restricciones de no negatividad (. ), pues caso contrario no se alcanza convergencia. Pese a. que se mencionó que el punto inicial no necesariamente debe ser factible, sino lo es, el rendimiento del método puede verse afectado..

(43) 28. A continuación se presenta un método de inicialización propuesto en [2]. 1. Las variables primales. se pueden calcular como la solución de un. problema de reparto de cargas, o como el punto medio entre los límites de las variables acotadas. 2. Las variables de holgura. se inicializan para satisfacer la condición de no. negatividad. Las inecuaciones pueden ser reescritas como: ̂( ) Las variables. (3.29). , asociadas a los límites inferiores, se obtienen así: {. (. {. ). }(. ). }. (3.30). Donde:. Las variables. , asociadas con los límites superiores, se calculan de la. siguiente manera: (3.31) 3. Se obtiene las variables duales. de acuerdo a (3.2):. , 4. Las variables duales. 3.10 ALGORITMO INTERIORES. (3.32). pueden tener inicialización nula.. GENERAL. DEL. MÉTODO. DE. PUNTOS. El algoritmo del método de puntos interiores se puede describir en los siguientes pasos: 1. Se inicializa. y. , además del punto inicial (. cumpla las restricciones de no negatividad 2. Se calcula los vectores. , (. ), (. 3. Se comprueba si el punto (. ), tal que. y. ) y las matrices. y. .. ) satisface los criterios de.

(44) 29. convergencia (3.27), si es así se termina el proceso, caso contrario se continúa al siguiente paso. 4. Se calcula el vector de la derecha del sistema lineal reducido (3.19). 5. Con la ecuación (3.13) se calcula la matriz hessiana. .. 6. Se forma y se factoriza la matriz de la izquierda del sistema reducido (3.19). 7. Se calcula las direcciones de Newton. Primero se calcula. y. al. resolver (3.19) para el punto (. ) y con esos resultados se. calcula. con (3.14).. con (3.15) y posteriormente. 8. Se calcula las longitudes de paso primales. y duales. con (3.21) y. (3.22) respectivamente. 9. Se. actualizan. (. las. variables. del. problema. de. optimización. ), utilizando (3.20).. 10. Se calcula los vectores. ,. (. ), (. ) y las matrices. . 11. Se actualiza 12. Se actualiza. utilizando (3.24) y. mediante (3.25).. y se retorna al paso 3.. y.

(45) 30. 3.11 DIAGRAMA DE INTERIORES. FLUJO. DEL. MÉTODO. DE. Figura 3.1: Diagrama de flujo del método de puntos interiores.. PUNTOS.

(46) 31. CAPÍTULO 4 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN EN MATLAB En éste capítulo se describe brevemente la razón de la utilización de Matlab en el desarrollo de la aplicación, las características de OPF-ML, las fórmulas matriciales empleadas en el algoritmo utilizado, una descripción general de la aplicación desarrollada con todo lo que se requiere para su correcto funcionamiento y finalmente se presenta un ejemplo de aplicación.. 4.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES OPF-ML se desarrolló en Matlab R2011a, creado por MathWorks (1984), cuya sede se encuentra en Massachusetts, U.S.A. Se seleccionó este programa, cuyo nombre de Matlab proviene de Matrix Laboratory, por ser un líder en software de cálculo matemático a nivel mundial, además de ser muy utilizado en el campo de la ingeniería como de las ciencias. Presenta un entorno de programación para el desarrollo de algoritmos, análisis de datos, visualización, procesamiento numérico y como se sugiere en su nombre, se basa la programación con uso y manipulación de matrices. Debido a que las fórmulas empleadas en la resolución de problema de OPF se desarrollaron en forma matricial, se consideró conveniente realizar la programación en Matlab, pues al utilizar este programa se tiene la ventaja de que las ecuaciones utilizadas se ingresan a la programación en la misma forma en que fueron desarrolladas. Otras ventajas importantes son [15]: amplio soporte matemático, alta precisión, amplio soporte de funciones desarrolladas y opción de ayuda bien estructurada. Una característica importante de la programación es que usa matrices dispersas. Una matriz dispersa es aquella que tiene muy pocos elementos diferentes de cero, en relación a su tamaño. Las redes grandes que contienen miles de barras pueden ocasionar matrices dispersas, pues cada barra está conectada en promedio con otras tres. Esto nos da una idea clara de que en una red de mil nodos, el porcentaje de elementos diferentes de cero es:.

(47) 32. Por lo tanto, si se almacenaran únicamente los elementos diferentes de cero se requeriría el. de la capacidad de la memoria que se requiere para. almacenar todos los elementos de una matriz. elementos. El. almacenamiento total de la matriz de un sistema de dimensión. crece como. , mientras que el almacenamiento total de una matriz dispersa crece linealmente como. . La ventaja de emplear matrices dispersas es el ahorro de. espacio de almacenamiento y eficiencia computacional [16]. Se puede apreciar otro beneficio de emplear matrices dispersas al emplear técnicas de solución, por ejemplo para un sistema lineal y U de. , la factorización L. implica una gran cantidad de multiplicaciones, donde uno o los dos. términos pueden ser cero. Si se emplea técnicas de solución de matrices dispersas se evita éstas operaciones innecesarias, y se opera únicamente sobre los elementos diferentes de cero, con lo que se logra un ahorro significativo en el esfuerzo y tiempo computacional [8]. Se debe tener claro que el tiempo. de. respuesta de la aplicación también depende de las características de computador usado, dimensión del problema a resolver y no linealidad del mismo, punto y parámetro de barrera inicial, método de resolución del problema lineal, tasa de crecimiento del parámetro de barrera, longitud de paso primal y dual y criterio de parada [9]. Como se mencionó antes, el método de resolución del sistema lineal (3.19) de la forma. es muy importante, y según él se pueden acelerar o no los tiempos. de respuesta. Dentro del método presentado se resuelve el sistema lineal en dos pasos: el primero es la factorización de la matriz. y es el que implica más. esfuerzo y tiempo computacional, el segundo es la sustitución hacia adelante y hacia atrás. Para la factorización de. , se empleó un paquete multifrontal no. simétrico para factorización LU de matrices dispersas, conocido como UMFPACK (Unsyrnmetric-pattern. Multifrontal. PACKage). que. se. puede. obtener. en. [17],desarrollado por Timothy A. Davis, que permite obtener una solución directa para este tipo de sistemas lineales utilizando el método multifrontal y en donde la.

(48) 33. matriz , puede ser singular, no singular, compleja, real o alguna combinación. Al utilizar ,. -. (), se ejecuta el paquete UMFPACK incluido en Matlab, del. que resultan las matrices triangulares. y. columna de reordenamiento , tal que. , una matriz de permutación , para una matriz. y una. dispersa y no. vacía. UMFPACK reordena las columnas de , tal que se reduzcan los elementos no nulos, sin tomar en cuenta los valores numéricos, luego escala la matriz. ,y. escoge automáticamente una estrategia de pre ordenamiento de columnas y filas dependiendo si la matriz es simétrica o asimétrica [9]. En el capítulo anterior se muestran dos maneras de calcular las direcciones de Newton: mediante el sistema aumentado o reducido. En la programación se parte del sistema reducido porque la dimensión de la matriz de coeficientes es de dimensiones menores que las que se tendría al resolver el sistema aumentado. Por ejemplo para un caso de un sistema de 5 barras con restricciones de igualdad y. de desigualdad [9], se tiene una. (. matriz de coeficientes de. variables,. ) con un. de elementos. nulos para el sistema aumentado, mientras que para el reducido las dimensiones de la matriz son. (. ) con un. de elementos nulos; es decir se. tiene una importante reducción en la dimensión de la matriz de coeficientes y un menos de elementos nulos, lo que implica menor tiempo y esfuerzo computacional.. 4.2 ECUACIONES UTILIZADAS DESARROLLADA. EN. LA. APLICACIÓN. Las ecuaciones, sus primeras y segundas derivadas presentadas a continuación son descritas en forma matricial de acuerdo al modelo establecido en [13] y obtenidas mediante operaciones entre matrices dispersas. Las derivadas respecto a. y. , son un aporte de la autora, además de las adaptaciones de algunas de. las ecuaciones al OPF de minimización de pérdidas de potencia activa, debido al incremento de variables respecto a lo planteado en [13]. Se define el vector de voltajes complejos de dimensión que el voltaje para cada barra es magnitud de voltajes y. | |. , donde. , como. , mientras. corresponde al vector de. el vector de ángulos de los voltajes. Además se define.

(49) 34. , 4.2.1. .. FUNCIÓN OBJETIVO DE PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA. Recordando a (2.30), (2.48) y (2.49): ( ). ∑. ( ( )). (,. -. ). ( ( )). (,. -. ). La primera derivada de ( ) respecto a. es:. [. ]. [. (4.1). ]. A continuación se presentan las derivadas de las potencias aparentes de envío y recibo, a partir de las cuales se calcularán las primeras derivadas de la función objetivo: Para la potencia aparente de envío: [. ] (4.2). [. ]. Para la potencia aparente de recibo: [. ] (4.3). [. ]. Los términos de (4.2) y (4.3) son: (,. - , -. ,. -. ,. -). (4.4). (,. - , -. ,. -. ,. -). (4.5).

(50) 35. ,. - , -. ,. -. ,. -. (4.6). ,. - , -. ,. -. ,. -. (4.7). , -(. ], -. [. , -( [. [. ] , -). (4.8). ] , -). (4.9). Empleando (2.48)-(2.49), los términos de (4.1) son: (4.10) (. ). (. ). (4.11) (. ). (. ). (4.12) .. /. .. /. En (4.13) se presenta la segunda derivada de la función objetivo respecto al vector de variables :. (. ). [. ]. (. ). (4.13) [. ].

(51) 36. Para el cálculo de los términos de (4.13) se emplean las segundas derivadas de potencia aparente. A continuación se presenta éstas derivadas pero multiplicadas por los vectores multiplicadores de Lagrange: envío y. para la potencia aparente de. para la potencia aparente de recibo, que tienen dimensión. , donde. corresponde al número de líneas. Con el objetivo de no alterar el valor de con la introducción de. y. , se considera que para el cálculo de (4.13) todos los. valores de los vectores mencionados (. (. ). 4. y. son 1.. 5 (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (4.14). ) (. ). [. ]. La ecuación (4.14) es válida también para la segunda derivada de la potencia aparente de recibo, para lo que se debe cambiar los subíndices. por .. Los términos de (4.14) son: (. ). 4 ,. 5. -. ,. , (. ). ,. -. -,. 4 ,. -. ). ,. -. ,. - , -. -,. 4. ,. -. ,. ,. ,. -. (4.15). -, -. , -. ,. -. ,. ,. ,. (4.16). -. -. -, -. , -. ,. -. -, -). 5. , - (, ,. , -. 5. , (. - , -. ,. -. -. , -,. - , -. ,. ,. -. ,. -. (4.17).

(52) 37. (. ). 4. 5. , - (, ,. ,. -. -. , -,. - , -. ,. ,. , -. ,. -. -. -, -). ,. (4.18). -. (. ). (. ). (4.19). (. ). (. ). (4.20). (. ). 4. 5. , - (, (. ). -. (4.21) ,. 4. - , -. , -. ,. -. ,. -), -. 5. , - (,. -. (4.22) ,. - , -. , -. ,. -. ,. -), -. (. ). 4. 5. ,. -, -,. -4 [. ]. [. ]. 5. (4.23). (. ). 4. 5. ,. -, -,. -4 [. ]. [. ]. 5. (4.24). (. ). (. ). (4.25). (. ). (. ). (4.26). (. ). 4. 5. (. ). 4. 5. (4.27). (4.28) ,. -4 ,. -[. ]. , -. , -[. ]. ,. -5. (. ). (. ). (4.29). (. ). (. ). (4.30).

(53) 38. (. ). 4. 5 (4.31) ] ,. , -4 [. (. ). 4. -. 5. ] ,. [. -5 ,. ] ,. , -[. -,. -. -. (4.32). Utilizando (4.15)-(4.32) se definen los términos de (4.13) diferentes de cero, como: ( ) ( ). (. (. ( ). (. ( ) ( ) ( ) ( ). .. ( ). ( 4. ). /. 4. 5. (. )/. (4.34). (. )/. (4.35). 5. )5. 4. (. . 4. )/. 5 4. 5 (4.36). 4. (. )5. (. )5. 5. (4.37). ( ). ) (. . 4. )/. (. 4. ( ). )/. (. (4.33). ( ). ). ( .. .. 5. )/. 5. )/. (. 4. (. . 4. (. .. 5. )/ ). .. ( ). 4. (. .. ( ) ( ). ). )5. 4. (4.38).

(54) 39. ( ) ( ). .. ( ). (. . 4. )5. ). 5 (. 4. 4. 5. )5. / (. (4.40). (. 4. 4 )5. (4.39). )5. ( ). (. 4. ( ) ( ). 4. (. 4. ( ). /. )5. 5. 4. (. 4. 5. (4.41). )5. Debido a que la función objetivo no depende de potencia activa, potencia reactiva y de los elementos en derivación, las primeras y segundas derivadas de respecto a éstos son cero. 4.2.2. RESTRICCIONES DE IGUALDAD. En esta sección se presentan las restricciones de igualdad lineales y no lineales, además de sus primeras y segundas derivadas, que se pueden expresar como: ( ). 6. ( ) 7 ( ). (4.42). Donde: ( ): Restricciones de igualdad no lineales ( ): Restricciones de igualdad lineales La primera derivada de ( ) respecto a 6. es: 7. (4.43). La segunda derivada de ( ) respecto al vector de variables , multiplicada por el vector de multiplicadores de Lagrange , es:.

(55) 40. ( ). (4.44). 7( ). 6. A continuación se describe en forma detallada cada término de (4.42)-(4.44) 2.1.1.1.. Restricciones de igualdad lineales. Tienen la forma: ( ). (4.45). En el problema que se está tratando, el valor del ángulo en la barra de referencia constituye las restricciones de igualdad lineales. La primera derivada de (4.45) respecto al vector , es: (4.46). La segunda derivada de (4.45) respecto a Lagrange. y por el vector de multiplicadores de. , es: (4.47) (. ). (. (. )). Es importante mencionar que si se quiere fijar el valor de una variable, dicha restricción debería formar parte de 4.2.2.1. ( ).. Restricciones de igualdad no lineales. Las restricciones de igualdad no lineales están dadas por las ecuaciones de balance de potencia, cuya forma matricial de acuerdo a (2.29) es:. En donde: (4.48) O también: (4.49).

(56) 41. (. ). (4.50). (. ). (4.51). Teniendo en cuenta que la diferencia o desajuste de la ecuación (2.29) debe ser ( ). cero y además que. , tenemos que:. ( ). (4.52). En la programación de la aplicación se usa (4.52) reescrito como: ( ). 6. (. ). (. ). 7. (4.53). La primera derivada de (4.41) respecto al vector de variables. , de manera. general es: ( ) 0. 1. (4.54). En la programación, se emplea (4.54) reescrita así:. *. (. ). (. ). (. ). (. ). .. / (. ). (. ). (. ) (. ). (. ). (. ). ). (. (4.55) +. La matriz (4.55) está formada por la parte real e imaginaria de las primeras derivadas de. ( ) respecto a cada variable del vector , que se definen como: (. ). ( -. , -(, (. ). , (. , -(,. -. (. ). (4.56). ) -). (4.57). ) , (. -), ). (4.58).

(57) 42. (. ). (. (. ). , - (4. [. (. ]. (. ). La matriz de segundas derivadas de. (4.59). ). (4.60). ) [. ] 5,. -. (. ). [. ,. ] ,. -) (4.61). -. ( ) por el vector de multiplicadores de. Lagrange , se expresa de manera general como: .. [. /. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ]. ( ) (4.62). ( ) [. ( ). ( ). ( ). ]. La ecuación (4.62) es una matriz dispersa, pues. no depende de todas las. variables del vector . Debido a que los multiplicadores de Lagrange que se encuentran multiplicando a la parte real de la primera derivada de multiplican a su parte imaginaria, se definen tanto:. ( ) son y. diferentes a los que. respectivamente. Por lo.

(58) 43. (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). {[. (. ]}. (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). {[. ). (. (4.63). ). ]}. Además, teniendo en cuenta (4.49)-(4.51), se puede definir la siguiente ecuación: .. /. (. (4.64). ). (. ). A continuación se presenta la definición general de cada uno de los términos diferentes de cero en (4.62) y junto a ella una definición más precisa tomando en cuenta (4.64), a partir de la cual se pueden formar las matrices de (4.63): ( ). . ,. / -(. , -, -. , -, -( ( ). ,. -. , - ]). [ ,. -). 4. 5 (4.65) .,. ,. -, -( .,. ,. -(. , -, ,. -(. -, -(. -. ,. , -, ,. -. [. ]). , -. ]). -)/ -. ,. , -. [ -)/.

(59) 44. ( ). . , -. / .,. -(. , -, -( ( ). , -, ,. -. , - ]). [. ,. -)/. 4. 5 (4.66). (, ,. -, -( (, -. ,. -(. .,. ,. ,. ( ). .. /. ( ). .. /. -. -. ( ). , -. ]). [. , -. ]). ,. -. -)/) (4.67). ( ). ,. -. ,. , -, -), -. -. 4. (4.68). 5. (, - (,. -, -. ,. -. ,. -. , -,. -), - ). (, - (,. -, -. ,. -. ,. -. , -,. -), - ). .. /. (, -, -, , -, -, ( ). [. -)/) , -,. , - (, -, ( ). -. ,. -(. .,. -, -(. , -,. -4 [ - 4[. ]. [. ]. [. 4 ( 4,. ]. ]. 5. 5). (4.69). 5 -, -,. -. 0. 1. 0. 1. /.

(60) 45. ,. -, -,. 1. -, -,. ( ). .. -4 [. - 4[. 1. /5). ]. [. ]. 1. ,. -/. , -0. 1. ,. -/. ]. 5)). ,. -0. 1. , -. , - .,. -0. 1. , -. 4. 5. 4 ,. -. 0 1. ,. -/. , -0. 1. ,. -/5. ,. - .,. , -. 1 -0. , -. 1. , -0. -0. 5. [. , -. 1. , -0. ,. ]. /. , -. 0. ( ). 0. -, -,. ( (,. ,. - .0. 1. ,. ,. - .,. -0 -0. 4 , , -0 , -. ,. , -0. (4.70). , -. 1. -. 0. 1. , -. 1. 1. , -. -/ 1. ,. -/5. ( ). .. /. ( ). (4.71). ( ). .. /. ( ). (4.72). ( ). .. / (4.73). , -, - 4 ,. -[. ]. ,. -[. ]5.